一个空间中勾股定理不存在，而变成了 c^4=a^4+b^4，甚至有更高的指数，那么这是一种什么空间？
这种空间，我们可以称之为 弯曲的度量空间，或者更具体地说，是 非欧几里得的度量空间。这里的“度量”指的是我们用来衡量距离、长度的概念。在勾股定理失效的情况下，这意味着我们熟悉的“直线”和“平面”的概念，或者至少是它们在这个空间中的行为方式，已经发生了根本性的改变。
让我们来一层一层地剥开这个概念。
1. 欧几里得空间的基石：勾股定理
在开始探讨“失效”之前，理解勾股定理为何在欧几里得空间中成立至关重要。勾股定理是建立在欧几里得几何的几个基本公理之上的，其中最关键的是 平行公理（或者说欧几里得第五公设）。这个公设断言：
> “过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。”
正是基于这个公理，我们才能在平面上构建出完美的直角，并导出勾股定理。在欧几里得空间中，空间的“平坦性”意味着无论你走到哪里，测量单位长度的尺子永远是直的，并且平行线永远保持相等的距离。一个直角三角形，其三边在一个“平坦”的二维平面上，其长度平方和的关系自然遵循 $c^2 = a^2 + b^2$。
2. 勾股定理“失效”的根源：空间的“弯曲”
当勾股定理演变成 $c^4 = a^4 + b^4$ 或更高次方的形式时，最直接的解释就是我们所处的空间不再是“平坦的”欧几里得空间。这里的“弯曲”并非我们日常意义上的球面或马鞍面那种肉眼可见的弯曲，而是一种内在的、几何上的弯曲。
非欧几里得几何： 在数学上，我们已经发展出了多种非欧几里得几何，其中最著名的就是黎曼几何（对应于正曲率空间，如球面）和罗氏几何（对应于负曲率空间，如双曲抛物面）。
球面几何（正曲率）： 在球面上，两点之间最短的路径是“大圆弧线”。如果我们尝试在一个球面上绘制一个“直角三角形”，你会发现它的内角和大于180度。勾股定理在这里就不适用了，通常会得到一个修正的形式，比如与三角形面积有关的公式。
双曲几何（负曲率）： 在双曲空间中，过直线外一点可以有多条平行线与已知直线平行。这里的内角和小于180度。勾股定理同样不适用，且修正形式也不同。
度量张量的改变： 在更一般的黎曼几何中，空间可以用一个 度量张量 来描述。这个张量决定了空间中任意两点之间的距离如何计算。在欧几里得空间中，度量张量非常简单，使得我们能直接得到勾股定理。然而，在弯曲空间中，度量张量会包含更复杂的项，这些项反映了空间的曲率和非平坦性。
当你将欧几里得空间中的距离平方（实际上是内积）公式，比如 $(dx^2 + dy^2 + dz^2)$，在弯曲空间中用度量张量替换时，最终计算出来的“距离”或者说“边长”之间的关系，就不再是简单的平方和了。如果这种关系变成了四次方甚至更高次方，说明这个度量张量的形式非常特殊，它导致了距离的平方变成了“距离的四次方”的某种线性组合，或者说我们用来衡量距离的“单位”本身就以一种非线性的方式依赖于位置和方向。
3. $c^4 = a^4 + b^4$ 的可能解释
那么，为什么是 四次方？这比常见的非欧几里得几何中的修改更为奇特。通常，非欧几里得几何中的修正形式会涉及三角函数或与曲率半径相关的项。四次方关系暗示了更深层的结构变化。
高维空间与投影： 有一种可能性是，我们所处的空间实际上是某个更高维度空间的投影，而勾股定理在那个高维空间中成立，但在我们的“感知”空间中，由于投影的性质，距离的计算方式发生了改变，并且这种改变恰好使得三边关系变成了四次方。想象一下，在三维空间中，一个斜边与地面的夹角为 $ heta $ 的长方体，其长度为 $ L $，当你在二维平面上观察它的影子时，影子的长度会与 $ L cos heta $ 成正比，这是一种降维处理。如果这个降维过程非常奇特，或许也能解释四次方的出现。
特殊的度量定义： 在一些理论物理的框架中（例如某些量子引力理论或弦论的猜想），可能会出现非标准化的距离度量或动量度量。如果我们将“边长”理解为某种动量或能量的度量，那么在能量等价于质量乘以速度平方（$E = mv^2$）的框架下，如果能量的某个属性与“四次方”有关联，并且空间中的基本粒子运动或相互作用遵循这种“弯曲”的度量，那么 $c^4 = a^4 + b^4$ 这种关系就可能出现。这是一种高度推测性的解释。
抽象数学结构： 在纯粹的数学领域，我们可以定义各种各样的代数结构和度量空间。如果存在一种代数结构，其核心运算（类似于向量的内积或模）的定义方式使得勾股定理的类比形式变成了四次方，那么这就是一种由该代数结构决定的空间。例如，我们可以考虑一种“Lp范数”的推广，但 $p=4$ 的情况，或者更复杂的函数定义来度量距离。
费马大定理的“几何化”： 费马大定理（当 $n>2$ 时，$x^n + y^n = z^n$ 没有正整数解）与勾股定理有着密切的联系。我们所描述的空间，其“勾股定理”变成了 $c^4 = a^4 + b^4$ 这种形式，似乎是在某种意义上将费马大定理的结构“几何化”了。如果说在欧几里得空间中，不存在直角三角形的三边满足 $c^n = a^n + b^n$ （对于整数 $n > 2$），那么在这样一个“四次方空间”中，它可能以一种新的方式“允许”了这种关系，但以“边长”为对象的几何理解就与我们熟悉的标准不同了。
4. 这种空间可能意味着什么？
如果一个空间中勾股定理变成了 $c^4 = a^4 + b^4$，这会对我们理解和描述这个空间产生深远的影响：
几何描述的改变： 我们熟悉的几何工具，如尺子、圆规、坐标系，在描述这个空间时可能需要全新的定义和操作。三角学、圆锥曲线等将不再适用，需要发展新的几何理论。
物理学上的推测： 在物理学中，长度、距离和时空结构是基础。如果勾股定理在基本层面发生了改变，那么它很可能影响到我们对引力、粒子运动甚至宇宙结构的理解。例如，在爱因斯坦的广义相对论中，引力就是时空弯曲的表现，而这种弯曲正是通过度量张量来描述的。如果度量张量如此特殊，以至于基本距离关系变成四次方，那么新的引力理论或粒子动力学将应运而生。
认识论上的挑战： 我们基于欧几里得几何形成的直观感知和逻辑推理，在这个新的空间中可能会失效。这就要求我们跳出固有的思维模式，发展更抽象、更普适的数学和逻辑工具来理解它。
总而言之，一个空间中勾股定理不存在，而是变成了 $c^4 = a^4 + b^4$ 或更高次方，这表明它是一个高度非欧几里得、具有非常规度量结构的抽象空间。它的存在可能源于高维空间的投影、特殊的度量定义或纯粹的数学构造，并且对我们理解几何、物理乃至现实本身都提出了深刻的挑战。这是一种在数学和理论物理探索前沿的、引人入胜的可能性。
网友意见
一个身高不足1m5的人，把身子转到某个角度，立刻变成1m8.。。。。。当然，角度转歪了就1米吧了。。。
目录
（随着回答评论中的问题，我也会把它更新在回答中。为了避免重复问题，我在前面整个目录。。。）
- 开场例子
- 目录
- 第一次回答
- 关于映射的简单探讨
- 范数定义
- 为什么要用到内积，为什么讨论旋转，以及会不会存在 空间下的新“内积”，从而有新的旋转呢？
第一次回答
当然，主要看题主说的勾股定理想要起到怎样的作用。
我理解是：勾股定理是要用来确定一个绝对的距离（其实已经有一个叫法 叫做 范数 ，具体定义放在了文末）。已经有人研究过这样的空间， 可以写成 来表示 “成立”的空间。也就是说，给两个坐标（姑且假设是勾股定理成立的二维空间。但是广义上来讲，一般都是指在无穷维范数收敛的。） ， ，一般我们说这两点距离是 。
当原先勾股定理不存在时，两点距离会成为 （如题主所说）。
在这种空间中，能够发现 两点在平移的情况下距离不变（平移就是每个点的相应坐标加相同的值）
然后看看旋转呗。
因为平移长度不变了，所以把 移动到原点 来考虑就行，这时候 。不失一般性地假设，逆时针旋转某个角度 ， 就成了 然后验证一下，两点距离的情况
emmm。。。。n=4有点难算，我算数不好。。我就假设旋转60°了。。。。。。然而我还得借助一波计算器。。得到
显然，这玩意开根号等于不了之前的长度。。
也就是说，在这个空间下，你转一圈，可以从原来的小矬子变成巨人。。。。。
没发现么，，这不就是哈哈镜么。。。把镜子摆好了，立刻大长腿，，摆歪了，，。。。
关于映射的简单讨论
看到别人的评论问道函数的变化，，我姑且当做是映射（算子）的范数怎么变的。。。
首先，算子的大小可以类比速度，怎么求速度？就是 ，所以一个算子的大小就是 据我了解，如果距离的判定发生改变，，映射不变，其实也就是说原像变了。。原来的单位元成了如图所示的东西
就好比 这个映射来说，，原先映射的大小是 ，在题主所说空间下，大小还是1。。。（因为这个映射是将 ，如果是 就发生改变了，变成了 ）
范数定义
关于范数的具体定义
定义 设 是域 （实数或复数）上线性空间，函数 满足条件：
1） （正定性）
2） （正齐性）
3） （三角形不等式性）
称 是 上的一个范数。 上定义了称为赋范线性空间。
对于上文提到过的 空间，它的范数为
， 。对于有限维空间，就让它从某个脚标之后全为0就行了。
为什么要用到内积，为什么讨论旋转，以及会不会存在l4空间下的新“内积”，从而有新的旋转呢？
对于内积的探讨，我想用几个trivial的例子来引入这个问题。
既然问题是问勾股定理，不妨直接看看勾股定理最“原始”的样子。
定理 一个直角三角形△ABC，三条边AB垂直与AC，则有如下公式成立
利用勾股定理，能够求出BC的长度，但是BD就无法根据三角形的边长求出来了。这是因为AC、BC是垂直的。那么垂直意味着什么？意味着有方向，有角度了。虽然公式中没有出现角度，但是它在直角的意义上给“内定”了。
后来，学过一个公式叫做余弦定理
定理 在△ABC中，三个叫对应的边长分别为a,b,c，则有如下公式成立 且该公式对三个边三个角具有轮换对称性。
这样一来，不论三个角角度怎么变化，只要知道能确定一个全等三角形，就一定能确定整个三角形的边+角。
那为何要说内积呢？
其实通过内积二维空间直角坐标系的作用能够发现，内积具有一种“转化”的用途。线性空间中“线性”二字顾名思义，你得有“线”。这个怎么个“线”法？就是在二维空间中，把平面看作是两根“线”，把三维空间看成三根“线”。内积呢？在二维空间中，把平面上的点，劈成两根“线”上的点，而且是同时考虑（不然就是两个一维空间，毕竟二维空间中的两条线是被一定关系所连接的）。
此外，内积还有一个单位统一的作用，就是将角度化作长度来考虑 也就是说，ab两个夹角可以用ab的边长来表示了。
（对于高维空间、可数维空间以及不可数维空间中，以上两点概括全部为真。不过需要证明一些命题去佐证。如果有必要我再去证明。）
从这里来看能够发现，内积是伴随着角度出现的，而旋转是角度变化的体现。
如图所示，左边的向量通过旋转可以的到右边的向量，具体约为（角度有舍入）
矩阵乘向量，实际上是矩阵的每一行的 行向量 内积上右边的 列向量 ，分别得到新的 列向量 的 每一行。
到这里能发现，只要勾股定理成立，角度、旋转的问题的讨论是早晚的事情。
至于为单独列出来这个呢？因为当 时（也就是勾股定理不成立时），就没有内积了。说的本质一点，就是角度没办法划归到长度了。
对于后一个问题，需要列一些定义，并证明一些命题。
首先就要定义什么叫内积（该定义是由普通意义上的内积归纳而来，学过高代的话理解起来更快）~
设 为复线性空间，如果对任给的 都恰有一个复数，记为 ，与之对应，并且对应具有如下性质：
1） （同量非负）
2） （对第一变量的可加性）
3） （对第一变量的齐次性，算上2）可称为 对第一变量的线性性）
4） （Hermite性，这个性质是为了在复线性空间中使1）成立的一个性质，如果在实空间下，则为对称性）
对 。则 称为内积。具有内积的空间便称为内积空间。
且规定，内积为0的两个向量被称为正交。
下面将内积记为 （此处没有说明内积根号为范数，因为正定性、正齐性都显而易见，三角形不等式性需要说一说，下面逐步证明）
首先看看这种方式能不能归纳出满足勾股定理的形式？
假如 ，x，y正交，则有
能够发现，这个对于一般意义上的内积空间（可能无穷维），存在着一种“勾股定理”形式。
命题 设 为一组 中正规正交集，则对任何 有
虽然范数-内积后面才能证明，不过可以发现，这个能够表明：内积空间中的向量长度可以利用一组正交向量将其分割成两部分。从而预示着，射影定理的存在。
证明：通过“加一项减一项”的方法，能够将 写成 能够发现 即，x的那种表示，中括号前两项正交，所以，可以写成“勾股”形式。 命题得证
于是可得以下两个不等式
Bessel不等式 为一组 中正规正交集，则对于任何 都有
和
Schwarz不等式 对内积空间 中任意两个向量 都有
然后利用Schwarz不等式便可得到
所以三角形不等式成立。 为内积空间的范数。
以上，简单介绍了内积空间的一些性质。
一般来说，在内积空间中，对于范数肯定会有一下两个式子成立
极化恒等式
和
平行四边形法则
一般来说，有平行四边形法则，就会有内积。此处就不在给出证明了。（可构造 去证明内积存在）
有人问，会不会有另一种内积，可以用 的范数来表示，且满足 呢。不妨假设真的存在，则（考虑简单的二维实线性空间）
设 ，则应该有 考虑 则可以有 从最后能够发现，这玩意不满足齐次性，也就是说
所以。。QED
其它的性质我一时半会也行不起来，也可能我学识有限把。。。。先写这么多。。。
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