海森堡当年不知道矩阵，他是怎么想出矩阵力学的？
海森堡当年确实不知道“矩阵”这个数学概念。说他“不知道矩阵”可能有点绝对，但可以说他对当时数学界普遍使用的“矩阵”这个术语以及它背后的一套完整理论并不熟悉。他当时接触的数学工具主要还是代数、微积分以及一些分析学的内容。
那么，他是怎么从这有限的工具出发，一步步构建出矩阵力学的呢？这其中蕴含着海森堡深刻的物理直觉和一套相当“物理化”的思维方式。我们不妨从头梳理一下。
时代背景与物理困境
二十世纪初的物理学，量子现象的出现让经典的牛顿力学和麦克斯韦电磁学显得捉襟见肘。特别是原子光谱的离散性、黑体辐射等问题，旧理论无法解释。玻尔的原子模型在解释氢原子光谱方面取得了巨大成功，但他模型中的一些假设，比如电子轨道的不连续性，以及电子如何从一个轨道跃迁到另一个轨道并发出特定频率的光，都缺乏清晰的理论依据。
海森堡正是处在这样一个前沿阵地，他急切地想找到一个更根本的理论来描述原子行为，一个能够摆脱“看不见摸不着的电子轨道”的束缚，而是基于“可观测的量”来构建的理论。
海森堡的“可观测量”原则
这是海森堡思考的出发点，也是他思想的精髓。他认为，物理学不应该去猜测电子“实际”在哪里绕着原子核转，也不应该去描述电子“到底”是怎么跃迁的。真正应该关注的是那些我们可以通过实验测量到的量：
原子光谱的谱线频率和强度： 这是我们能直接观测到的信息，它们来自原子发出的光。
原子的跃迁概率： 原子从一个状态跃迁到另一个状态的“可能性”。
海森堡的思考是这样的：如果电子在原子内部的运动是无法直接观测的，那么我们描述它的数学工具就不应该基于这种“不可观测”的轨道的几何概念。相反，我们应该找到一种数学语言，能够直接关联那些“可观测的量”，比如谱线的频率和强度。
从经典力学的类比出发
海森堡并没有完全抛弃经典力学的框架，而是试图将它“量子化”。他观察到，在经典力学中，一个系统的状态可以用位置和动量来描述，它们是随时间变化的函数。例如，一个简谐振子的位置 $x(t)$ 和动量 $p(t)$ 可以用三角函数来表示，它们是具有周期性的。
他想到，原子内部的电子运动，虽然不是经典的轨道，但它也应该有一定的“周期性”。例如，一个电子在原子中存在一个确定的频率，它会以这个频率辐射出能量。那么，我们是不是可以把这些与“频率”相关的量，比如位置和动量，看作是“随时间变化的”，但这种变化方式可能不再是简单的经典函数，而是某种更复杂的数学对象。
他把原子内部可能存在的这种“振动”类比成经典力学中的傅里叶级数展开。在经典力学中，任何周期性的运动都可以分解成一系列不同频率的正弦和余弦函数的叠加。例如，一个不规则的周期性函数 $f(t)$ 可以表示为：
$f(t) = sum_{n=infty}^{infty} a_n e^{i n omega_0 t}$
其中 $omega_0$ 是基频，$a_n$ 是不同频率分量的“振幅”。
海森堡受到这个启发，大胆设想：能不能把原子内部电子的“位置”和“动量”也看成是由一系列具有原子特定“跃迁频率”的项组成的叠加？
他当时是这样思考的：一个原子发出光谱线，意味着电子在不同的能级之间跃迁。每个跃迁都有一个对应的频率。那么，我们能不能把电子的“位置”看成是随这些“跃迁频率”变化的？换句话说，电子的“位置”不再是一个单一的、确定的函数 $x(t)$，而是由一系列与不同跃迁频率相关的“振幅”组成的。
例如，他设想一个“平均位置”可以表示为：
$X(t) sim sum_{j,k} x_{jk} e^{i omega_{jk} t}$
这里 $x_{jk}$ 是电子从能级 $j$ 跃迁到能级 $k$ 时“位置”的“振幅”，$omega_{jk}$ 是这个跃迁对应的频率。
关键的“非对易关系”的发现
海森堡当时最关心的问题是：经典力学的某些重要关系在量子力学中会变成什么样子？比如，在经典力学中，位置和动量是独立的变量，它们的乘积 $xp$ 和 $px$ 是相等的。但是，在量子世界，如果我们要用一些与频率相关的量来表示位置和动量，并且这些量是通过“跃迁”联系起来的，它们之间的关系是否还是“对易”的呢？
他尝试用他提出的“频率叠加”的数学形式来计算经典力学中的一些量，比如能量。经典力学中，一个振子的能量是 $E = frac{p^2}{2m} + frac{1}{2} m omega^2 x^2$。如果 $x$ 和 $p$ 都表示成上述的频率叠加形式，那么计算 $x^2$ 和 $p^2$ 以及它们的乘积时，就会出现一些新的问题。
海森堡特别关注了经典力学中一个重要的关系：泊松括号。对于两个函数 $f$ 和 $g$，它们的泊松括号是 ${f, g} = sum_i (frac{partial f}{partial q_i} frac{partial g}{partial p_i} frac{partial f}{partial p_i} frac{partial g}{partial q_i})$。对于位置 $q$ 和动量 $p$，有 ${q, p} = 1$。
海森堡猜测，在量子力学中，这个泊松括号可能会变成一个“非对易”的算符关系。他当时并没有用算符的形式来思考，而是直接在处理那些表示“频率振幅”的数列（也就是后来的矩阵元素）时发现了这种现象。
当他试图用这些“频率振幅”的叠加来计算能量时，发现将一个“位置”的表示与一个“动量”的表示相乘，其结果取决于乘法的顺序。也就是说，如果把“位置”看作是一个由 $(x_{jk})$ 组成的数列，把“动量”看作是一个由 $(p_{jk})$ 组成的数列，那么它们的乘积不再是可交换的。
他把这种“不可交换性”看作是量子力学的核心特征之一。他当时没有用“矩阵乘法”来命名它，而是将其描述为一种“乘法规则”，这种规则与经典代数的乘法规则不同。
更具体地说，他发现，如果将每一个物理量（比如位置 $x$ 或动量 $p$）都表示成一个由 $(A_{mn})$ 组成的无穷序列（或更准确地说，一个无穷矩阵），其中 $m$ 和 $n$ 代表不同的量子态（或者说不同的能级），那么这个序列的“乘法”就不是我们熟悉的实数或复数的乘法。
举个例子，如果 $X$ 和 $P$ 分别代表位置和动量，并且都表示成我们前面提到的“频率振幅”叠加的形式。海森堡在尝试计算 $XP PX$ 的时候，他发现这个差值不为零。他没有用“矩阵”这个词，而是发现，如果将这些物理量看作是一系列的数字，它们按照特定的规则相乘，那么 $XP PX$ 的结果会对应于一个与普朗克常数 $hbar$ 相关的量（具体来说是 $ihbar$）。
从数列到矩阵的“形式化”
他的同事，特别是约尔丹（Pascual Jordan）和 त्याची（Max Born），在海森堡的这些物理直觉和发现的基础上，才将它们形式化为数学上的矩阵。
玻恩（Max Born） 是最先认识到海森堡的“数字数列”和“乘法规则”本质上就是矩阵的人。他当时正在研究晶格动力学，对矩阵理论有一定了解。当海森堡向他描述他如何处理那些与跃迁频率相关的“振幅”时，玻恩立刻意识到这正是矩阵的元素。他将海森堡描述的“数字数列”看作是无穷维矩阵的元素，而他所说的“乘法规则”正是矩阵乘法。这样一来，海森堡的物理观念就找到了一个现成的数学框架。
约尔丹（Pascual Jordan） 在这其中也起到了关键作用。他与海森堡一起工作，进一步发展和完善了矩阵力学的数学结构。他协助海森堡清晰地表达了“非对易关系”的重要性，并将其推广到所有的力学变量。
可以说，海森堡是那个提出“问题”和“核心思想”的人——基于可观测量，用频率和振幅来描述物理量，并且发现了关键的非对易关系。而玻恩和约尔丹则是将海森堡的物理直觉“翻译”成清晰的数学语言（矩阵）的人。他们一起将矩阵力学的框架建立起来。
海森堡当年构想矩阵力学时，他的思维过程更多的是基于对实验现象的深刻洞察和对经典力学原理的类比与改造。他不是从一个数学家那里学习“矩阵是什么”，而是从物理现实出发，自己“创造”出了一种处理物理量的新方法。这种方法恰好与后来被数学家称为“矩阵”的东西高度吻合，这正是科学思想的魅力所在：物理上的发现有时会领先于数学上的形式化。
所以，海森堡当年是凭借着他独特的物理直觉，将原子光谱的离散性、玻尔模型的局限性，以及可观测量的原则结合起来，并通过类比经典力学中的周期性振动和傅里叶分析，大胆地设想用一组与跃迁频率相关的“振幅”来描述物理量。在探索这些“振幅”的乘法规则时，他发现了关键的非对易性，这是通往矩阵力学的关键一步。然后，数学家们（尤其是玻恩）才将他的思路系统化为我们今天所熟知的矩阵力学。
那么，他是怎么从这有限的工具出发，一步步构建出矩阵力学的呢？这其中蕴含着海森堡深刻的物理直觉和一套相当“物理化”的思维方式。我们不妨从头梳理一下。
时代背景与物理困境
二十世纪初的物理学，量子现象的出现让经典的牛顿力学和麦克斯韦电磁学显得捉襟见肘。特别是原子光谱的离散性、黑体辐射等问题，旧理论无法解释。玻尔的原子模型在解释氢原子光谱方面取得了巨大成功，但他模型中的一些假设，比如电子轨道的不连续性，以及电子如何从一个轨道跃迁到另一个轨道并发出特定频率的光，都缺乏清晰的理论依据。
海森堡正是处在这样一个前沿阵地，他急切地想找到一个更根本的理论来描述原子行为，一个能够摆脱“看不见摸不着的电子轨道”的束缚，而是基于“可观测的量”来构建的理论。
海森堡的“可观测量”原则
这是海森堡思考的出发点，也是他思想的精髓。他认为，物理学不应该去猜测电子“实际”在哪里绕着原子核转，也不应该去描述电子“到底”是怎么跃迁的。真正应该关注的是那些我们可以通过实验测量到的量：
原子光谱的谱线频率和强度： 这是我们能直接观测到的信息，它们来自原子发出的光。
原子的跃迁概率： 原子从一个状态跃迁到另一个状态的“可能性”。
海森堡的思考是这样的：如果电子在原子内部的运动是无法直接观测的，那么我们描述它的数学工具就不应该基于这种“不可观测”的轨道的几何概念。相反，我们应该找到一种数学语言，能够直接关联那些“可观测的量”，比如谱线的频率和强度。
从经典力学的类比出发
海森堡并没有完全抛弃经典力学的框架，而是试图将它“量子化”。他观察到，在经典力学中，一个系统的状态可以用位置和动量来描述，它们是随时间变化的函数。例如，一个简谐振子的位置 $x(t)$ 和动量 $p(t)$ 可以用三角函数来表示，它们是具有周期性的。
他想到，原子内部的电子运动，虽然不是经典的轨道，但它也应该有一定的“周期性”。例如，一个电子在原子中存在一个确定的频率，它会以这个频率辐射出能量。那么，我们是不是可以把这些与“频率”相关的量，比如位置和动量，看作是“随时间变化的”，但这种变化方式可能不再是简单的经典函数，而是某种更复杂的数学对象。
他把原子内部可能存在的这种“振动”类比成经典力学中的傅里叶级数展开。在经典力学中，任何周期性的运动都可以分解成一系列不同频率的正弦和余弦函数的叠加。例如，一个不规则的周期性函数 $f(t)$ 可以表示为：
$f(t) = sum_{n=infty}^{infty} a_n e^{i n omega_0 t}$
其中 $omega_0$ 是基频，$a_n$ 是不同频率分量的“振幅”。
海森堡受到这个启发，大胆设想：能不能把原子内部电子的“位置”和“动量”也看成是由一系列具有原子特定“跃迁频率”的项组成的叠加？
他当时是这样思考的：一个原子发出光谱线，意味着电子在不同的能级之间跃迁。每个跃迁都有一个对应的频率。那么，我们能不能把电子的“位置”看成是随这些“跃迁频率”变化的？换句话说，电子的“位置”不再是一个单一的、确定的函数 $x(t)$，而是由一系列与不同跃迁频率相关的“振幅”组成的。
例如，他设想一个“平均位置”可以表示为：
$X(t) sim sum_{j,k} x_{jk} e^{i omega_{jk} t}$
这里 $x_{jk}$ 是电子从能级 $j$ 跃迁到能级 $k$ 时“位置”的“振幅”，$omega_{jk}$ 是这个跃迁对应的频率。
关键的“非对易关系”的发现
海森堡当时最关心的问题是：经典力学的某些重要关系在量子力学中会变成什么样子？比如，在经典力学中，位置和动量是独立的变量，它们的乘积 $xp$ 和 $px$ 是相等的。但是，在量子世界，如果我们要用一些与频率相关的量来表示位置和动量，并且这些量是通过“跃迁”联系起来的，它们之间的关系是否还是“对易”的呢？
他尝试用他提出的“频率叠加”的数学形式来计算经典力学中的一些量，比如能量。经典力学中，一个振子的能量是 $E = frac{p^2}{2m} + frac{1}{2} m omega^2 x^2$。如果 $x$ 和 $p$ 都表示成上述的频率叠加形式，那么计算 $x^2$ 和 $p^2$ 以及它们的乘积时，就会出现一些新的问题。
海森堡特别关注了经典力学中一个重要的关系：泊松括号。对于两个函数 $f$ 和 $g$，它们的泊松括号是 ${f, g} = sum_i (frac{partial f}{partial q_i} frac{partial g}{partial p_i} frac{partial f}{partial p_i} frac{partial g}{partial q_i})$。对于位置 $q$ 和动量 $p$，有 ${q, p} = 1$。
海森堡猜测，在量子力学中，这个泊松括号可能会变成一个“非对易”的算符关系。他当时并没有用算符的形式来思考，而是直接在处理那些表示“频率振幅”的数列（也就是后来的矩阵元素）时发现了这种现象。
当他试图用这些“频率振幅”的叠加来计算能量时，发现将一个“位置”的表示与一个“动量”的表示相乘，其结果取决于乘法的顺序。也就是说，如果把“位置”看作是一个由 $(x_{jk})$ 组成的数列，把“动量”看作是一个由 $(p_{jk})$ 组成的数列，那么它们的乘积不再是可交换的。
他把这种“不可交换性”看作是量子力学的核心特征之一。他当时没有用“矩阵乘法”来命名它，而是将其描述为一种“乘法规则”，这种规则与经典代数的乘法规则不同。
更具体地说，他发现，如果将每一个物理量（比如位置 $x$ 或动量 $p$）都表示成一个由 $(A_{mn})$ 组成的无穷序列（或更准确地说，一个无穷矩阵），其中 $m$ 和 $n$ 代表不同的量子态（或者说不同的能级），那么这个序列的“乘法”就不是我们熟悉的实数或复数的乘法。
举个例子，如果 $X$ 和 $P$ 分别代表位置和动量，并且都表示成我们前面提到的“频率振幅”叠加的形式。海森堡在尝试计算 $XP PX$ 的时候，他发现这个差值不为零。他没有用“矩阵”这个词，而是发现，如果将这些物理量看作是一系列的数字，它们按照特定的规则相乘，那么 $XP PX$ 的结果会对应于一个与普朗克常数 $hbar$ 相关的量（具体来说是 $ihbar$）。
从数列到矩阵的“形式化”
他的同事，特别是约尔丹（Pascual Jordan）和 त्याची（Max Born），在海森堡的这些物理直觉和发现的基础上，才将它们形式化为数学上的矩阵。
玻恩（Max Born） 是最先认识到海森堡的“数字数列”和“乘法规则”本质上就是矩阵的人。他当时正在研究晶格动力学，对矩阵理论有一定了解。当海森堡向他描述他如何处理那些与跃迁频率相关的“振幅”时，玻恩立刻意识到这正是矩阵的元素。他将海森堡描述的“数字数列”看作是无穷维矩阵的元素，而他所说的“乘法规则”正是矩阵乘法。这样一来，海森堡的物理观念就找到了一个现成的数学框架。
约尔丹（Pascual Jordan） 在这其中也起到了关键作用。他与海森堡一起工作，进一步发展和完善了矩阵力学的数学结构。他协助海森堡清晰地表达了“非对易关系”的重要性，并将其推广到所有的力学变量。
可以说，海森堡是那个提出“问题”和“核心思想”的人——基于可观测量，用频率和振幅来描述物理量，并且发现了关键的非对易关系。而玻恩和约尔丹则是将海森堡的物理直觉“翻译”成清晰的数学语言（矩阵）的人。他们一起将矩阵力学的框架建立起来。
海森堡当年构想矩阵力学时，他的思维过程更多的是基于对实验现象的深刻洞察和对经典力学原理的类比与改造。他不是从一个数学家那里学习“矩阵是什么”，而是从物理现实出发，自己“创造”出了一种处理物理量的新方法。这种方法恰好与后来被数学家称为“矩阵”的东西高度吻合，这正是科学思想的魅力所在：物理上的发现有时会领先于数学上的形式化。
所以，海森堡当年是凭借着他独特的物理直觉，将原子光谱的离散性、玻尔模型的局限性，以及可观测量的原则结合起来，并通过类比经典力学中的周期性振动和傅里叶分析，大胆地设想用一组与跃迁频率相关的“振幅”来描述物理量。在探索这些“振幅”的乘法规则时，他发现了关键的非对易性，这是通往矩阵力学的关键一步。然后，数学家们（尤其是玻恩）才将他的思路系统化为我们今天所熟知的矩阵力学。
网友意见
其实矩阵运算并不是非要画那些表，，，可能我们现在觉得没那么直观而已。
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