怎么证明每个位上的数字之和可以被3整除的数可以被3整除？
这背后的原理其实很有意思，跟我们平时怎么读数字、怎么写数字的方式紧密相关。咱们就一步步来拆解一下。
假设我们有一个数字，比如 537。我们都知道，这个数字实际上代表的是：
5 个百 + 3 个十 + 7 个一
写成数学式子就是： $5 imes 100 + 3 imes 10 + 7 imes 1$
现在，我们来看看 100、10、1 这些数字有什么特别之处。
100 是不是等于 99 + 1？
10 是不是等于 9 + 1？
1 就是 1。
注意到没有，99 和 9 都能被 3 整除。
我们把这个思路带回到那个数字 537 上：
$537 = 5 imes 100 + 3 imes 10 + 7 imes 1$
我们把 100 和 10 换成我们刚刚发现的“带 9 的”形式：
$537 = 5 imes (99 + 1) + 3 imes (9 + 1) + 7 imes 1$
接着，我们把括号里的乘法展开：
$537 = (5 imes 99) + (5 imes 1) + (3 imes 9) + (3 imes 1) + (7 imes 1)$
现在，我们把所有乘了 99 或 9 的项凑在一起，把剩下那些只乘了 1 的项也凑在一起：
$537 = (5 imes 99 + 3 imes 9) + (5 imes 1 + 3 imes 1 + 7 imes 1)$
大家看，第一部分的 $(5 imes 99 + 3 imes 9)$ 这一串，因为 99 和 9 都能被 3 整除，所以整个这一部分也肯定能被 3 整除。 我们可以把它看作是 $3 imes ( ext{某个整数})$。
那么，我们真正需要关心的是第二部分：$(5 imes 1 + 3 imes 1 + 7 imes 1)$。
如果我们仔细观察一下，这不就是这个数字 537 的各位数字相加吗？
$5 imes 1 + 3 imes 1 + 7 imes 1 = 5 + 3 + 7$
所以，我们把整个等式再写一遍，会发现：
$537 = ( ext{能被 3 整除的数}) + (5 + 3 + 7)$
这就很清楚了。如果我们要判断 537 能不能被 3 整除，其实就相当于在判断：
$( ext{能被 3 整除的数}) + (5 + 3 + 7)$ 能不能被 3 整除。
当一个数（能被 3 整除的数）加上另一个数（5+3+7）后，如果它们加起来能被 3 整除，而我们又知道第一个数本来就能被 3 整除，那第二个这个数（5+3+7）就一定是能被 3 整除的。反过来也一样，如果 5+3+7 能被 3 整除，那么再加上一个能被 3 整除的数，结果当然也能被 3 整除。
这个道理对任何位数、任何数字都成立。
我们拿一个任意的、比如有三位数字的数来举例，把它写成 $abc$ 的形式。
它实际代表的值是：
$a imes 100 + b imes 10 + c imes 1$
我们同样的办法，把 100 写成 $99+1$，把 10 写成 $9+1$：
$a imes (99 + 1) + b imes (9 + 1) + c imes 1$
展开之后是：
$(a imes 99) + (a imes 1) + (b imes 9) + (b imes 1) + (c imes 1)$
把能被 3 整除的部分（乘了 99 和 9 的）凑在一起：
$(a imes 99 + b imes 9) + (a imes 1 + b imes 1 + c imes 1)$
大家可以看到，第一部分 $(a imes 99 + b imes 9)$ 肯定能被 3 整除。
而第二部分 $(a imes 1 + b imes 1 + c imes 1)$ 正好就是这个数字的各位数字之和 $a + b + c$。
所以，一个任意的数，总是可以被拆解成“一个能被 3 整除的数”和“它各位数字之和”的和。
因此，这个数能否被 3 整除，就完全取决于它的各位数字之和能否被 3 整除。
这就像是我们把一个东西分成两堆，其中一堆本来就是完整的，那么整个东西能不能被分给三个人，就看剩下那一堆能不能被分给三个人一样。
之所以 100、10、1 这些数字会有这种特性，是因为它们都比一个能被 3 整除的数（比如 99、9）大 1。 任何十进制的位值，无论是“十”、“百”、“千”、“万”等等，减去 1 后，都会变成一个由全 9 组成的数（9, 99, 999, 9999…），而这些全 9 组成的数，它们本身都可以被 3 整除。
比如：
10 1 = 9 (能被 3 整除)
100 1 = 99 (能被 3 整除)
1000 1 = 999 (能被 3 整除)
而一个数的各位数字之和，实际上就是把这个数的所有位值都“还原”成 1 后的总和。所以，一个数除以 3 的余数，其实就等于它各位数字之和除以 3 的余数。 既然余数相同，那么能被 3 整除（余数为 0）的条件也就自然相同了。
假设我们有一个数字，比如 537。我们都知道，这个数字实际上代表的是：
5 个百 + 3 个十 + 7 个一
写成数学式子就是： $5 imes 100 + 3 imes 10 + 7 imes 1$
现在，我们来看看 100、10、1 这些数字有什么特别之处。
100 是不是等于 99 + 1？
10 是不是等于 9 + 1？
1 就是 1。
注意到没有，99 和 9 都能被 3 整除。
我们把这个思路带回到那个数字 537 上：
$537 = 5 imes 100 + 3 imes 10 + 7 imes 1$
我们把 100 和 10 换成我们刚刚发现的“带 9 的”形式：
$537 = 5 imes (99 + 1) + 3 imes (9 + 1) + 7 imes 1$
接着，我们把括号里的乘法展开：
$537 = (5 imes 99) + (5 imes 1) + (3 imes 9) + (3 imes 1) + (7 imes 1)$
现在，我们把所有乘了 99 或 9 的项凑在一起，把剩下那些只乘了 1 的项也凑在一起：
$537 = (5 imes 99 + 3 imes 9) + (5 imes 1 + 3 imes 1 + 7 imes 1)$
大家看，第一部分的 $(5 imes 99 + 3 imes 9)$ 这一串，因为 99 和 9 都能被 3 整除，所以整个这一部分也肯定能被 3 整除。 我们可以把它看作是 $3 imes ( ext{某个整数})$。
那么，我们真正需要关心的是第二部分：$(5 imes 1 + 3 imes 1 + 7 imes 1)$。
如果我们仔细观察一下，这不就是这个数字 537 的各位数字相加吗？
$5 imes 1 + 3 imes 1 + 7 imes 1 = 5 + 3 + 7$
所以，我们把整个等式再写一遍，会发现：
$537 = ( ext{能被 3 整除的数}) + (5 + 3 + 7)$
这就很清楚了。如果我们要判断 537 能不能被 3 整除，其实就相当于在判断：
$( ext{能被 3 整除的数}) + (5 + 3 + 7)$ 能不能被 3 整除。
当一个数（能被 3 整除的数）加上另一个数（5+3+7）后，如果它们加起来能被 3 整除，而我们又知道第一个数本来就能被 3 整除，那第二个这个数（5+3+7）就一定是能被 3 整除的。反过来也一样，如果 5+3+7 能被 3 整除，那么再加上一个能被 3 整除的数，结果当然也能被 3 整除。
这个道理对任何位数、任何数字都成立。
我们拿一个任意的、比如有三位数字的数来举例，把它写成 $abc$ 的形式。
它实际代表的值是：
$a imes 100 + b imes 10 + c imes 1$
我们同样的办法，把 100 写成 $99+1$，把 10 写成 $9+1$：
$a imes (99 + 1) + b imes (9 + 1) + c imes 1$
展开之后是：
$(a imes 99) + (a imes 1) + (b imes 9) + (b imes 1) + (c imes 1)$
把能被 3 整除的部分（乘了 99 和 9 的）凑在一起：
$(a imes 99 + b imes 9) + (a imes 1 + b imes 1 + c imes 1)$
大家可以看到，第一部分 $(a imes 99 + b imes 9)$ 肯定能被 3 整除。
而第二部分 $(a imes 1 + b imes 1 + c imes 1)$ 正好就是这个数字的各位数字之和 $a + b + c$。
所以，一个任意的数，总是可以被拆解成“一个能被 3 整除的数”和“它各位数字之和”的和。
因此，这个数能否被 3 整除，就完全取决于它的各位数字之和能否被 3 整除。
这就像是我们把一个东西分成两堆，其中一堆本来就是完整的，那么整个东西能不能被分给三个人，就看剩下那一堆能不能被分给三个人一样。
之所以 100、10、1 这些数字会有这种特性，是因为它们都比一个能被 3 整除的数（比如 99、9）大 1。 任何十进制的位值，无论是“十”、“百”、“千”、“万”等等，减去 1 后，都会变成一个由全 9 组成的数（9, 99, 999, 9999…），而这些全 9 组成的数，它们本身都可以被 3 整除。
比如：
10 1 = 9 (能被 3 整除)
100 1 = 99 (能被 3 整除)
1000 1 = 999 (能被 3 整除)
而一个数的各位数字之和，实际上就是把这个数的所有位值都“还原”成 1 后的总和。所以，一个数除以 3 的余数，其实就等于它各位数字之和除以 3 的余数。 既然余数相同，那么能被 3 整除（余数为 0）的条件也就自然相同了。
网友意见
谢邀。
个人觉得这个问题实在不必要到知乎提问。随便百度一下就可以得到结果
证明的关键是把数拆散
假设有一个四位数abcd，它可以表示成以下形式： abcd=1000a+100b+10c+d =999a+99b+9c+a+b+c+d =9×(111a+11b+c)+a+b+c+d 可以看出，9×(111a+11b+c)必定能被3整除，所以判断abcd能否被3整除，就看a+b+c+d能被3整除，也就是看它各数位上的数字之和能否被3整除。 其它的多位数也是如此证明，这个事实可用数学归纳法来证明。
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