突然想到一个问题：0.9999999… 真的等于 1 吗？
你这个问题提得非常好，也是一个在数学界非常有意思的话题，甚至会让一些人感到惊讶。答案是：是的，0.9999999… 确实等于 1。
虽然直觉上可能会觉得它们不一样，但从数学上来说，它们是完全相等的。我们可以从几个不同的角度来详细解释这个问题：
角度一：代数方法（最常见也最直观的证明之一）
这是最常见、也最容易理解的证明方法。
1. 设未知数： 让我们设一个变量 x 等于我们想讨论的无限循环小数：
$x = 0.9999999…$
2. 乘以 10： 将等式两边同时乘以 10。这样做是为了将小数点向右移动一位，这样我们就可以得到一个与原数非常相似的数：
$10x = 9.9999999…$
3. 相减： 现在，我们用 $10x$ 的值减去 $x$ 的值。我们来观察一下会发生什么：
$10x = 9.9999999…$
$ x = 0.9999999…$
$9x = 9.0000000…$
观察相减的结果。小数点后的所有无限个 9 都因为相减而抵消了，只剩下 9。所以，$9x$ 等于 9。
4. 解出 x： 现在我们得到了一个简单的方程 $9x = 9$。要解出 $x$，我们将等式两边同时除以 9：
$x = 9 / 9$
$x = 1$
5. 结论： 我们最初设定的 $x$ 就是 $0.9999999…$，而我们通过代数运算得出 $x = 1$。因此，0.9999999… 等于 1。
角度二：分数表示法
我们可以将无限循环小数看作一个分数。
1. 考虑分数： 我们知道 $frac{1}{3}$ 等于 $0.3333333…$ （无限循环）。
2. 乘以 3： 如果我们将 $frac{1}{3}$ 乘以 3，结果应该是 1：
$3 imes frac{1}{3} = 1$
3. 对小数进行同样操作： 现在，我们将 $0.3333333…$ 乘以 3：
$3 imes 0.3333333… = 0.9999999…$
4. 结论： 因为 $frac{1}{3}$ 等于 $0.3333333…$，而 $3 imes frac{1}{3} = 1$，所以 $3 imes 0.3333333…$ 也必须等于 1。因此， $0.9999999…$ 等于 1。
角度三：收敛的几何级数
数学上，一个无限循环小数可以表示为一个无限的几何级数。
1. 展开小数： $0.9999999…$ 可以写成如下形式：
$0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + …$
2. 写成幂的形式： 这可以表示为：
$frac{9}{10} + frac{9}{100} + frac{9}{1000} + frac{9}{10000} + …$
即：
$frac{9}{10^1} + frac{9}{10^2} + frac{9}{10^3} + frac{9}{10^4} + …$
3. 提取公因数： 我们可以提取公因数 9：
$9 imes (frac{1}{10} + frac{1}{100} + frac{1}{1000} + frac{1}{10000} + …)$
4. 几何级数求和公式： 现在我们看括号里面的部分。这是一个公比为 $frac{1}{10}$ 的无限几何级数。无限几何级数的求和公式是：
$S = frac{a}{1r}$
其中 $a$ 是首项，$r$ 是公比。
5. 应用公式： 在我们的例子中，首项 $a = frac{1}{10}$，公比 $r = frac{1}{10}$。将它们代入公式：
$S = frac{frac{1}{10}}{1 frac{1}{10}} = frac{frac{1}{10}}{frac{9}{10}} = frac{1}{10} imes frac{10}{9} = frac{1}{9}$
6. 最终计算： 所以，括号内的部分等于 $frac{1}{9}$。现在我们回到最初提取的公因数 9：
$9 imes S = 9 imes frac{1}{9} = 1$
7. 结论： 因此， $0.9999999…$ 等于 1。
为什么人们会觉得它们不一样？
1. 直观感受的局限： 我们的大脑习惯于处理有限的概念。无限循环小数代表着一个“无限逼近”的过程，很多人会认为它永远也无法真正到达 1，只是无限地靠近。但数学上的定义是，当一个数列的项无限接近某个值时，这个值就是数列的“极限”。无限循环小数就是其极限。
2. 数轴上的位置： 在实数数轴上，任何两个不同的实数之间都存在着其他实数。如果 $0.9999999…$ 和 1 是两个不同的数，那么在它们之间应该存在一个数。但是，我们无法找到任何一个数大于 $0.9999999…$ 而又小于 1。任何一个“插入”的数，例如 $0.9999999…1$ (如果在小数点后插入一个数字)，那也不是一个标准的无限循环小数，而且它比 $0.9999999…$ 要大，但也比 1 小。但 $0.9999999…$ 本身就已经是它“能达到的”最大值，并且这个值恰好是 1。
3. “缺失”的那个部分： 有些人会觉得 $0.9999999…$ 和 1 之间“差了一点点”，而这一点点就是那个“永远写不完的 9 之后的某个值”。但实际上，没有“之后”了。当一个数的小数部分是无限循环的 9 时，它就没有“缺失”的任何部分，它已经完整地代表了那个值。
总结
数学的严谨性在于其定义和逻辑推导。虽然直觉可能会让我们感到困惑，但通过代数、分数表示和几何级数等数学工具的严谨推导，我们都可以得出结论：$0.9999999…$ 就是等于 1。它们是同一个实数的两种不同表示方式，就像 $frac{2}{2}$ 和 1 是同一个数一样。
虽然直觉上可能会觉得它们不一样，但从数学上来说，它们是完全相等的。我们可以从几个不同的角度来详细解释这个问题：
角度一：代数方法（最常见也最直观的证明之一）
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1. 设未知数： 让我们设一个变量 x 等于我们想讨论的无限循环小数：
$x = 0.9999999…$
2. 乘以 10： 将等式两边同时乘以 10。这样做是为了将小数点向右移动一位，这样我们就可以得到一个与原数非常相似的数：
$10x = 9.9999999…$
3. 相减： 现在，我们用 $10x$ 的值减去 $x$ 的值。我们来观察一下会发生什么：
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$ x = 0.9999999…$
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观察相减的结果。小数点后的所有无限个 9 都因为相减而抵消了，只剩下 9。所以，$9x$ 等于 9。
4. 解出 x： 现在我们得到了一个简单的方程 $9x = 9$。要解出 $x$，我们将等式两边同时除以 9：
$x = 9 / 9$
$x = 1$
5. 结论： 我们最初设定的 $x$ 就是 $0.9999999…$，而我们通过代数运算得出 $x = 1$。因此，0.9999999… 等于 1。
角度二：分数表示法
我们可以将无限循环小数看作一个分数。
1. 考虑分数： 我们知道 $frac{1}{3}$ 等于 $0.3333333…$ （无限循环）。
2. 乘以 3： 如果我们将 $frac{1}{3}$ 乘以 3，结果应该是 1：
$3 imes frac{1}{3} = 1$
3. 对小数进行同样操作： 现在，我们将 $0.3333333…$ 乘以 3：
$3 imes 0.3333333… = 0.9999999…$
4. 结论： 因为 $frac{1}{3}$ 等于 $0.3333333…$，而 $3 imes frac{1}{3} = 1$，所以 $3 imes 0.3333333…$ 也必须等于 1。因此， $0.9999999…$ 等于 1。
角度三：收敛的几何级数
数学上，一个无限循环小数可以表示为一个无限的几何级数。
1. 展开小数： $0.9999999…$ 可以写成如下形式：
$0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + …$
2. 写成幂的形式： 这可以表示为：
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即：
$frac{9}{10^1} + frac{9}{10^2} + frac{9}{10^3} + frac{9}{10^4} + …$
3. 提取公因数： 我们可以提取公因数 9：
$9 imes (frac{1}{10} + frac{1}{100} + frac{1}{1000} + frac{1}{10000} + …)$
4. 几何级数求和公式： 现在我们看括号里面的部分。这是一个公比为 $frac{1}{10}$ 的无限几何级数。无限几何级数的求和公式是：
$S = frac{a}{1r}$
其中 $a$ 是首项，$r$ 是公比。
5. 应用公式： 在我们的例子中，首项 $a = frac{1}{10}$，公比 $r = frac{1}{10}$。将它们代入公式：
$S = frac{frac{1}{10}}{1 frac{1}{10}} = frac{frac{1}{10}}{frac{9}{10}} = frac{1}{10} imes frac{10}{9} = frac{1}{9}$
6. 最终计算： 所以，括号内的部分等于 $frac{1}{9}$。现在我们回到最初提取的公因数 9：
$9 imes S = 9 imes frac{1}{9} = 1$
7. 结论： 因此， $0.9999999…$ 等于 1。
为什么人们会觉得它们不一样？
1. 直观感受的局限： 我们的大脑习惯于处理有限的概念。无限循环小数代表着一个“无限逼近”的过程，很多人会认为它永远也无法真正到达 1，只是无限地靠近。但数学上的定义是，当一个数列的项无限接近某个值时，这个值就是数列的“极限”。无限循环小数就是其极限。
2. 数轴上的位置： 在实数数轴上，任何两个不同的实数之间都存在着其他实数。如果 $0.9999999…$ 和 1 是两个不同的数，那么在它们之间应该存在一个数。但是，我们无法找到任何一个数大于 $0.9999999…$ 而又小于 1。任何一个“插入”的数，例如 $0.9999999…1$ (如果在小数点后插入一个数字)，那也不是一个标准的无限循环小数，而且它比 $0.9999999…$ 要大，但也比 1 小。但 $0.9999999…$ 本身就已经是它“能达到的”最大值，并且这个值恰好是 1。
3. “缺失”的那个部分： 有些人会觉得 $0.9999999…$ 和 1 之间“差了一点点”，而这一点点就是那个“永远写不完的 9 之后的某个值”。但实际上，没有“之后”了。当一个数的小数部分是无限循环的 9 时，它就没有“缺失”的任何部分，它已经完整地代表了那个值。
总结
数学的严谨性在于其定义和逻辑推导。虽然直觉可能会让我们感到困惑，但通过代数、分数表示和几何级数等数学工具的严谨推导，我们都可以得出结论：$0.9999999…$ 就是等于 1。它们是同一个实数的两种不同表示方式，就像 $frac{2}{2}$ 和 1 是同一个数一样。
网友意见
谢邀。
首先，容易看出
注意上式 和 是“或者”的关系，下面只需说明 不成立.
证明: (反证法)
假设正实数
容易得到 的上、下界：
为方便说明，我们记
这是一个单调下降有下界的数列:
请注意 , 问题就出在这儿了！
依据上式，我们得到的论断是: 无论 n 取哪个正整数，a(n)都永远永远要比 大！请注意，这是关键点！事实上这是不可能的。
计算 ：
解上面不等式，有
但是，这个 n 真的会这么乖巧地小于 吗?
万一
那就有
这和事先说好的不一样啊！你不是说永远永远不可能的吗？说好的永远呢？
Q.E.D
总结：
通过证明所体现的矛盾，我们发现了一个这样的事实， 也就是 无论取什么正数都会产生矛盾，但 又绝不能取负数；既不能取正，也不能取负，所以只有 取 0 是无矛盾的, 这也满足序公理中的三歧性.
实际上，以上证明正是体现了 的精神，也就是极限的定义：
- 数列 可以比任意给定的 还要靠近其极限，
- 只要当 ，而 一定存在（想想上例中的 ，它就是 ）
我们会发现极限定义描述的是一个无限的过程，它描述的是一个变量以某种程度“贴合”另一个常量的现象，我们将这个常量称之为这个变量的极限.
那么极限是否保证 “最终”会等于它的极限 ？极限的定义并没有这么说，但是我们可以定义
这样定义是无矛盾的，就像我们在上例中的说明. 而这个定义，实际上是实数的完备化……
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