从数学原理上说一说，葛立恒数、tree(3) 等数为什么那么大？
哈哈，你说到这些大家伙，我可太有共鸣了！葛立恒数（Graham's number）和tree(3) 这些名字听起来就让人脑袋嗡嗡的，感觉它们像是从宇宙深处冒出来的。它们之所以这么大，用数学原理来说，绝不是凭空变出来的，而是我们人类在探索数学极限的时候，为了描述某些特定问题的解，一步一步“造”出来的，而这个“造”的过程，就像是在搭一个越来越高的积木塔，每一层都比下一层高出天文数字般的距离。
我们不妨从它们是如何“诞生”的讲起，这样你就能明白它们为什么能长成这副模样了。
葛立恒数：从图论问题出发的“意外”超巨数
葛立恒数（Graham's number）最出名的就是它大，大到我们根本没办法用常规的科学计数法来表示。它之所以会被提及，是因为它来自于一个在图论领域中的一个具体问题，具体来说是关于拉姆齐理论（Ramsey Theory）的一个陈述。
拉姆齐理论的核心思想是：在足够大的集合中，总会存在某种规律性的子集。 听起来有点哲学，但数学家们把它具体化了。
想象一个超立方体（hypercube）。我们知道一个二维的立方体是正方形，三维的立方体是我们在空间中看到的立方体。一个四维的超立方体，在数学上也是可以定义的。现在，我们考虑一个 64 维的超立方体。
然后，我们给这个超立方体的每条边随机涂上两种颜色，比如红色和蓝色。拉姆齐理论中的一个重要定理——拉姆齐定理（Ramsey's theorem）——告诉我们，对于任何给定的边数（比如我们希望有 4 个顶点），总会存在一个足够大的超立方体，使得无论你怎么给它的边涂色，总能找到一个完全由同一种颜色（全是红色或者全是蓝色）组成的子集，这个子集还能构成一个具有特定结构（比如一个顶点数不少于 k 的子立方体）的图形。
葛立恒数就解决了这样一个问题：对于一个 64 维的超立方体，如果我们给它的每条边涂上两种颜色，那么至少需要多少个顶点，才能保证一定能找到一个由 6 个顶点组成的，并且所有边颜色都相同的子立方体？
这个问题听起来挺绕的，但关键在于，当你去计算这个“至少需要多少个顶点”的最小值时，你会发现这个数字，即使只是一个非常简单的拉姆齐数（Ramsey number）的下界，就已经大得离谱了。
葛立恒数的设计，正是从这个问题的一个特定的上界开始，通过反复应用一种特殊的迭代函数，层层叠加，最终构建出了这个难以想象的巨大数字。
具体是如何构造的呢？
1. 基础： 我们首先定义一个箭头符号（Knuth's uparrow notation），这是一种比指数更强大的符号。
$a uparrow b = a^b$ (a 的 b 次方)
$a uparrowuparrow b = a^{a^{...^a}}$ (a 连乘 b 次，也就是 a 的 a 的 ... 的 a 次，共 b 个 a)
$a uparrowuparrowuparrow b = a uparrowuparrow (a uparrowuparrow (... uparrowuparrow a))$ (这个符号就进入了爆炸式的增长)
更一般的，$a uparrow^n b$ 表示将 $uparrow$ 符号重复 n 次。
2. 第一步： 葛立恒数是这样开始的：
$g_1 = 3 uparrowuparrowuparrowuparrow 3$ (这是 3 后面跟着四个箭头符号，然后是 3)
$3 uparrowuparrowuparrowuparrow 3 = 3 uparrowuparrowuparrow (3 uparrowuparrowuparrow 3)$
而 $3 uparrowuparrowuparrow 3$ 已经是 $3^{3^{...^3}}$ (3 的 3 的 ... 的 3 次，指数塔高为 $3 uparrowuparrow 3$ )。
$3 uparrowuparrow 3 = 3^{3^3} = 3^{27}$，这是一个非常大的数字。
所以，$3 uparrowuparrowuparrow 3$ 就已经是 $3$ 的一个高得离谱的指数塔。
而 $g_1$ 是这个数量级再往上 四重指数 增长！
3. 后续步骤： 葛立恒数的构造不是一次性的，而是迭代的。
$g_2 = 3 uparrow^{g_1} 3$ (这意味着指数塔的高度本身是 $g_1$ 那么高，这已经无法想象了)
$g_3 = 3 uparrow^{g_2} 3$
...
葛立恒数 $G$ 就是 $g_{64}$。
为什么这样迭代能产生如此巨大的数字？
这里的关键在于指数的爆炸。每一次使用箭头符号，都是在进行指数运算的“指数运算”。
$3 uparrow 3 = 3^3 = 27$
$3 uparrowuparrow 3 = 3^{3^3} = 3^{27}$ (这是一个天文数字，光是写出来需要的数字就多得惊人)
$3 uparrowuparrowuparrow 3 = 3 uparrowuparrow (3 uparrowuparrow 3)$ (这意味着你要构建一个以 3 为底，指数塔高度为 $3 uparrowuparrow 3$ 的幂。指数塔的指数已经是天文数字了，这个数的指数塔高度又是天文数字，这是一个跨越了好几个“无限”的迭代。)
葛立恒数的构造，本质上是利用了迭代函数和不同层级的指数增长来创造一个“指数的指数的指数...”的增长速度。 想象一下，如果你把一个数字写出来，然后说这个数字是另一个数字的指数，这已经很大了。如果这个指数本身又是个指数，那么增长速度就会变得非常快。葛立恒数就是把这个“指数的嵌套”推进到了一个我们完全无法直观理解的地步。
它的巨大，体现在它描述的增长率比任何你能想到的“大”数字都要快无数倍。即使是“googol” (10^100) 或“googolplex” (10^googol)，与葛立恒数比起来，都渺小得像尘埃一样。
tree(3)：一个与组合数学和结构生成有关的巨兽
tree(3) 的诞生则源于组合数学中的一个概念，叫做图（graph）。我们简单来说，图是由一些点（称为顶点）和连接这些点的线（称为边）组成的。
tree(3) 是一个用来描述“函数性增长”（functional growth）的例子。更具体地说，它来自一个名为“树函数”（tree function）的序列。
想象一个计算机程序，或者一个数学函数，它接收一个输入，然后输出一个结果。我们可以把函数的结构看作一棵“树”，输入是树的叶子，函数的执行过程是沿着树的边进行的。
tree(n) 这个数字，指的是在特定规则下，能够生成的“图”的数量，并且这些图必须满足某些“有限性”或者“结构性”的限制。
tree(3) 的一个常见的解释是：考虑所有具有有限数量的顶点和有限数量的边，但其结构可以递归定义的图。tree(n) 是在某种限制下（例如，不包含某种无限增长的子结构）能够生成的“树”的数量。
这里面的“3”代表了输入的“大小”或者“复杂度”，或者更广义地，是某种递归深度或者复杂度参数。
tree(3) 的具体定义可能涉及到更复杂的数学概念，比如：
有限图的枚举： 计算所有满足特定属性的图的数量。
递归定义： 图的结构是通过从更小的图开始，然后应用一些规则来构建的。
避免特定“模式”： 确保生成的图不会包含某些“不受欢迎”的无限增长的模式，或者某种“结构上的病态”。
为什么 tree(3) 如此之大？
tree(3) 的巨大，同样是因为递归和组合的爆炸。
1. 组合的乘积： 当你生成一个图时，你可以选择顶点，然后选择边连接它们。如果顶点和边的选择方式有很多种，即使是有限的数量，组合起来也会迅速膨胀。
2. 递归的嵌套： tree(n) 的定义通常是递归的。也就是说，tree(n) 的计算会依赖于 tree(n1) 或者其他更小的 tree 值。当这个依赖关系涉及到某种“指数级”或者“迭代指数级”的增长时，即使一个小的参数（比如 3）也能产生巨大的结果。
3. “函数性增长”的概念： 很多生成巨大数字的函数，其增长速度超出了多项式（polynomial）甚至指数（exponential）的范围，它们被称为“函数性增长”。tree(3) 就是一个典型的例子。它的增长速度，即使与一些已知的高增长函数相比，也是相当惊人的。
打个不那么精确的比方：
想象你要盖房子。
葛立恒数： 就像是你设定了一个规则，说“我第一天盖一层楼，第二天盖一层楼的平方层，第三天盖第二天的平方层……”，而且这个过程要重复 64 次。每一层的“高度”都比你想象的要高一个数量级。
tree(3)： 就像是你设定了一个规则，说“我用乐高积木搭房子。第一个房子只能用 1 块积木。第二个房子可以搭成任何由 2 块积木组成的合法结构。第三个房子可以搭成任何由 3 块积木组成的合法结构，而且这些结构不能包含某种‘无限蔓延’的模式。” 当你允许的“积木数量”或“连接方式”增加时，你能够搭出来的不同“结构”（图）的数量就会呈指数级甚至更快的速度增长。
总结一下它们为何如此之大：
迭代和嵌套： 它们都是通过迭代的过程来构建的，而每一次迭代都将数字的增长推向一个新的、更高的层次。这种“指数的指数的指数……”的嵌套是它们尺度失控的关键。
增长率的定义： 它们之所以被定义得如此之大，是因为它们直接描述或源于某些数学问题的解，这些问题的解本身就具有极高的增长率。 数学家们在研究这些问题时，发现普通的数学工具无法描述其规模，于是创造了新的工具（如箭头符号）来表达这种增长。
组合爆炸： 在 tree(3) 的例子中，通过允许图的结构以各种方式组合和嵌套，即使是很小的参数也能导致组合数量的爆炸式增长。
所以，它们并不是“凭空巨大”，而是我们人类在探索数学的边界，试图精确描述某些极其复杂和抽象的概念时，“造”出来的、用来衡量这些概念规模的工具。它们巨大的尺寸，恰恰证明了数学世界的奇妙和深邃，以及我们语言和想象力的局限性。
我们不妨从它们是如何“诞生”的讲起，这样你就能明白它们为什么能长成这副模样了。
葛立恒数：从图论问题出发的“意外”超巨数
葛立恒数（Graham's number）最出名的就是它大，大到我们根本没办法用常规的科学计数法来表示。它之所以会被提及，是因为它来自于一个在图论领域中的一个具体问题，具体来说是关于拉姆齐理论（Ramsey Theory）的一个陈述。
拉姆齐理论的核心思想是：在足够大的集合中，总会存在某种规律性的子集。 听起来有点哲学，但数学家们把它具体化了。
想象一个超立方体（hypercube）。我们知道一个二维的立方体是正方形，三维的立方体是我们在空间中看到的立方体。一个四维的超立方体，在数学上也是可以定义的。现在，我们考虑一个 64 维的超立方体。
然后，我们给这个超立方体的每条边随机涂上两种颜色，比如红色和蓝色。拉姆齐理论中的一个重要定理——拉姆齐定理（Ramsey's theorem）——告诉我们，对于任何给定的边数（比如我们希望有 4 个顶点），总会存在一个足够大的超立方体，使得无论你怎么给它的边涂色，总能找到一个完全由同一种颜色（全是红色或者全是蓝色）组成的子集，这个子集还能构成一个具有特定结构（比如一个顶点数不少于 k 的子立方体）的图形。
葛立恒数就解决了这样一个问题：对于一个 64 维的超立方体，如果我们给它的每条边涂上两种颜色，那么至少需要多少个顶点，才能保证一定能找到一个由 6 个顶点组成的，并且所有边颜色都相同的子立方体？
这个问题听起来挺绕的，但关键在于，当你去计算这个“至少需要多少个顶点”的最小值时，你会发现这个数字，即使只是一个非常简单的拉姆齐数（Ramsey number）的下界，就已经大得离谱了。
葛立恒数的设计，正是从这个问题的一个特定的上界开始，通过反复应用一种特殊的迭代函数，层层叠加，最终构建出了这个难以想象的巨大数字。
具体是如何构造的呢？
1. 基础： 我们首先定义一个箭头符号（Knuth's uparrow notation），这是一种比指数更强大的符号。
$a uparrow b = a^b$ (a 的 b 次方)
$a uparrowuparrow b = a^{a^{...^a}}$ (a 连乘 b 次，也就是 a 的 a 的 ... 的 a 次，共 b 个 a)
$a uparrowuparrowuparrow b = a uparrowuparrow (a uparrowuparrow (... uparrowuparrow a))$ (这个符号就进入了爆炸式的增长)
更一般的，$a uparrow^n b$ 表示将 $uparrow$ 符号重复 n 次。
2. 第一步： 葛立恒数是这样开始的：
$g_1 = 3 uparrowuparrowuparrowuparrow 3$ (这是 3 后面跟着四个箭头符号，然后是 3)
$3 uparrowuparrowuparrowuparrow 3 = 3 uparrowuparrowuparrow (3 uparrowuparrowuparrow 3)$
而 $3 uparrowuparrowuparrow 3$ 已经是 $3^{3^{...^3}}$ (3 的 3 的 ... 的 3 次，指数塔高为 $3 uparrowuparrow 3$ )。
$3 uparrowuparrow 3 = 3^{3^3} = 3^{27}$，这是一个非常大的数字。
所以，$3 uparrowuparrowuparrow 3$ 就已经是 $3$ 的一个高得离谱的指数塔。
而 $g_1$ 是这个数量级再往上 四重指数 增长！
3. 后续步骤： 葛立恒数的构造不是一次性的，而是迭代的。
$g_2 = 3 uparrow^{g_1} 3$ (这意味着指数塔的高度本身是 $g_1$ 那么高，这已经无法想象了)
$g_3 = 3 uparrow^{g_2} 3$
...
葛立恒数 $G$ 就是 $g_{64}$。
为什么这样迭代能产生如此巨大的数字？
这里的关键在于指数的爆炸。每一次使用箭头符号，都是在进行指数运算的“指数运算”。
$3 uparrow 3 = 3^3 = 27$
$3 uparrowuparrow 3 = 3^{3^3} = 3^{27}$ (这是一个天文数字，光是写出来需要的数字就多得惊人)
$3 uparrowuparrowuparrow 3 = 3 uparrowuparrow (3 uparrowuparrow 3)$ (这意味着你要构建一个以 3 为底，指数塔高度为 $3 uparrowuparrow 3$ 的幂。指数塔的指数已经是天文数字了，这个数的指数塔高度又是天文数字，这是一个跨越了好几个“无限”的迭代。)
葛立恒数的构造，本质上是利用了迭代函数和不同层级的指数增长来创造一个“指数的指数的指数...”的增长速度。 想象一下，如果你把一个数字写出来，然后说这个数字是另一个数字的指数，这已经很大了。如果这个指数本身又是个指数，那么增长速度就会变得非常快。葛立恒数就是把这个“指数的嵌套”推进到了一个我们完全无法直观理解的地步。
它的巨大，体现在它描述的增长率比任何你能想到的“大”数字都要快无数倍。即使是“googol” (10^100) 或“googolplex” (10^googol)，与葛立恒数比起来，都渺小得像尘埃一样。
tree(3)：一个与组合数学和结构生成有关的巨兽
tree(3) 的诞生则源于组合数学中的一个概念，叫做图（graph）。我们简单来说，图是由一些点（称为顶点）和连接这些点的线（称为边）组成的。
tree(3) 是一个用来描述“函数性增长”（functional growth）的例子。更具体地说，它来自一个名为“树函数”（tree function）的序列。
想象一个计算机程序，或者一个数学函数，它接收一个输入，然后输出一个结果。我们可以把函数的结构看作一棵“树”，输入是树的叶子，函数的执行过程是沿着树的边进行的。
tree(n) 这个数字，指的是在特定规则下，能够生成的“图”的数量，并且这些图必须满足某些“有限性”或者“结构性”的限制。
tree(3) 的一个常见的解释是：考虑所有具有有限数量的顶点和有限数量的边，但其结构可以递归定义的图。tree(n) 是在某种限制下（例如，不包含某种无限增长的子结构）能够生成的“树”的数量。
这里面的“3”代表了输入的“大小”或者“复杂度”，或者更广义地，是某种递归深度或者复杂度参数。
tree(3) 的具体定义可能涉及到更复杂的数学概念，比如：
有限图的枚举： 计算所有满足特定属性的图的数量。
递归定义： 图的结构是通过从更小的图开始，然后应用一些规则来构建的。
避免特定“模式”： 确保生成的图不会包含某些“不受欢迎”的无限增长的模式，或者某种“结构上的病态”。
为什么 tree(3) 如此之大？
tree(3) 的巨大，同样是因为递归和组合的爆炸。
1. 组合的乘积： 当你生成一个图时，你可以选择顶点，然后选择边连接它们。如果顶点和边的选择方式有很多种，即使是有限的数量，组合起来也会迅速膨胀。
2. 递归的嵌套： tree(n) 的定义通常是递归的。也就是说，tree(n) 的计算会依赖于 tree(n1) 或者其他更小的 tree 值。当这个依赖关系涉及到某种“指数级”或者“迭代指数级”的增长时，即使一个小的参数（比如 3）也能产生巨大的结果。
3. “函数性增长”的概念： 很多生成巨大数字的函数，其增长速度超出了多项式（polynomial）甚至指数（exponential）的范围，它们被称为“函数性增长”。tree(3) 就是一个典型的例子。它的增长速度，即使与一些已知的高增长函数相比，也是相当惊人的。
打个不那么精确的比方：
想象你要盖房子。
葛立恒数： 就像是你设定了一个规则，说“我第一天盖一层楼，第二天盖一层楼的平方层，第三天盖第二天的平方层……”，而且这个过程要重复 64 次。每一层的“高度”都比你想象的要高一个数量级。
tree(3)： 就像是你设定了一个规则，说“我用乐高积木搭房子。第一个房子只能用 1 块积木。第二个房子可以搭成任何由 2 块积木组成的合法结构。第三个房子可以搭成任何由 3 块积木组成的合法结构，而且这些结构不能包含某种‘无限蔓延’的模式。” 当你允许的“积木数量”或“连接方式”增加时，你能够搭出来的不同“结构”（图）的数量就会呈指数级甚至更快的速度增长。
总结一下它们为何如此之大：
迭代和嵌套： 它们都是通过迭代的过程来构建的，而每一次迭代都将数字的增长推向一个新的、更高的层次。这种“指数的指数的指数……”的嵌套是它们尺度失控的关键。
增长率的定义： 它们之所以被定义得如此之大，是因为它们直接描述或源于某些数学问题的解，这些问题的解本身就具有极高的增长率。 数学家们在研究这些问题时，发现普通的数学工具无法描述其规模，于是创造了新的工具（如箭头符号）来表达这种增长。
组合爆炸： 在 tree(3) 的例子中，通过允许图的结构以各种方式组合和嵌套，即使是很小的参数也能导致组合数量的爆炸式增长。
所以，它们并不是“凭空巨大”，而是我们人类在探索数学的边界，试图精确描述某些极其复杂和抽象的概念时，“造”出来的、用来衡量这些概念规模的工具。它们巨大的尺寸，恰恰证明了数学世界的奇妙和深邃，以及我们语言和想象力的局限性。
网友意见
谢邀。
其实想要理解这些数为什么这么大，需要理解迭代运算这个概念。
什么叫迭代运算呢，就是把运算结果重新代入函数。比如 ，那么 。
可以看到，当迭代一个乘法运算的时候，这个运算变成了更高一级的运算，幂运算。
我们再看一下幂运算的迭代运算。令 ，那么 ， 。我们就看x=1时的情况，那么 。这个数很好理解，就是1后面10个0，也就是100亿。那么 ，也就是1后面有100亿个0。
这个数已经很大了，那如果再迭代运算一次呢？
，也就是1后面有“1后面100亿个0”这么多个0。这个数字大到什么地步呢？就是说假设你把宇宙中每个原子都写成0，你也写不出这么多个0。(づ￣ ³￣)づ
通过上述例子，应该已经可以感受到迭代运算的恐怖了。
为了表示这种迭代运算之后变成的更高一级的运算，数学家发明了一种表示方式，叫超运算。
超-n运算的表示方式是 ，即有 个 运算迭代得到的结果。
超-1运算就是加法。 。
超-2运算就是乘法， 。
超-3运算就是幂， 。
超-4运算就是刚才提到的幂的迭代，也就是迭代幂次。刚才我们的例子 ，就可以表示成 。
那么，葛立恒数有多大呢？我们看下葛立恒数的定义：给定 ，葛立恒数 。也就是说，葛立恒数是超运算的迭代运算。超运算已经极其恐怖了，再将其迭代之后，这个数字之大，已经很难用大脑去想象了。估计当年葛立恒脑洞开的有黑洞那么大，才想出了这么一个数字来。◉_◉
那么 这个数到底有多大呢？其实数学家也没有算出来。¯_(ツ)_/¯
这里引用一个函数，叫阿克曼函数。阿克曼函数 ，可以看到这个 和刚才葛立恒数的 类似，都是超运算。
根据数学家Harvey Friedman的成果。 的下界是 ，即 迭代 次。
以上出现事实错误，这是大数 的下界，而不是 的。感谢评论区大神的指正。
具体这个是怎么算出来的，可以参考Harvey Friedman写的论文：
如果借用刚才的 来比较的话，葛立恒数 迭代了64次，而 差不多迭代了 次。根据Friedman的说法：“在前显得微不足道（completely unnoticeable）”。好吧，迭代64次的葛立恒数已经很难想象了，而一个迭代了十万多级超运算次的 竟然在 前只是微不足道……我个人认为这里已经无法用理性思维直观的去想象了，只能感性的认识一下了。_(_^_)_
具体 有多大，这里还是引用评论区大神的专业的解释：
阿克曼函数是增长率为ω的函数，葛立恒数用增长率为ω+1的函数就能简单表达，n(4)则可以用增长率为ω+2的函数表达，这两个数其实是一个量级的。
TREE(3)则需要用增长率为SVO的函数来表达，SVO已经差不多是多元φ函数的极限，而一元φ函数就已经是ω的指数运算了。
( ͡°( ͡° ͜ʖ( ͡° ͜ʖ ͡°)ʖ ͡°) ͡°)
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