如何从数学上确定手性？
你有没有想过，为什么我们的双手，一个放在另一个旁边时，总是不那么“般配”？为什么即使我们竭尽全力尝试，也无法让左手完全覆盖右手，反之亦然？这种“无法重叠”的性质，正是我们称之为“手性”（Chirality）的根源。而在数学的世界里，手性并非模糊的感性认知，而是一种可以被精确定义和量化的属性。那么，我们该如何从数学的严谨视角，来确定一个物体是否具有手性呢？
定义手性的基石：对称性与镜像
要理解手性，我们首先要引入两个关键的数学概念：对称性（Symmetry）和镜像（Mirror Image）。
对称性：简单来说，就是一个物体在某种变换（比如平移、旋转、反射）下，其形态保持不变。一个正方形，无论你如何旋转它90度、180度，它看起来还是那个正方形。
镜像：想象一面镜子。放在镜子前，物体在镜子中形成的倒影，就是它的镜像。对于一个物体，我们可以通过一个“反射”操作（就像在镜子中一样）来得到它的镜像。
现在，我们就可以将手性定义为：一个物体，如果它与其镜像不可重叠（superimposable），那么它就具有手性。反之，如果一个物体与其镜像完全相同，并且可以重叠，那么它就是非手性的，也称为“非手性”或“外消旋”（achiral）。
数学的工具箱：反射与同构
在数学中，我们通常用几何对象（Geometric Objects）来表示实际中的物体，比如点、线、面、多面体，甚至是更复杂的空间曲线和曲面。而我们用来检测手性的数学工具，主要包括：
1. 反射变换 (Reflection Transformation)：
在三维欧几里得空间（$mathbb{R}^3$）中，一个反射变换可以将一个点 $(x, y, z)$ 映射到它的镜像点 $(x', y', z')$。最常见的反射是关于某个平面（例如 xy 平面）的反射，将 $(x, y, z)$ 映射到 $(x, y, z)$。更普遍地，我们可以定义关于任意平面的反射。
2. 刚体运动 (Rigid Motion)：
为了判断两个物体是否“重叠”，我们需要用到刚体运动。刚体运动包括平移（Translation）、旋转（Rotation）以及它们的组合。一个刚体运动不会改变物体的大小、形状和内部的相对距离。如果一个物体可以通过一系列刚体运动（包括平移和旋转）完全与它的镜像对齐，那么它们就是重叠的。
如何判断一个几何对象是否手性？
有了这些工具，我们就可以通过以下步骤来数学上确定一个几何对象的“手性”：
步骤一：确定物体的几何表示。
首先，你需要将你想要判断的物体，用数学的语言描述出来。这可能是点集、方程定义的曲面、多边形、多面体，甚至是更复杂的几何结构。
步骤二：生成物体的镜像。
选择一个参考平面（通常是坐标平面，例如 xy 平面），然后对构成该几何对象的每一个点应用反射变换。例如，如果你的物体是由一系列点 $P_i = (x_i, y_i, z_i)$ 构成，那么它的镜像就是点 $P'_i = (x_i, y_i, z_i)$。对于更复杂的几何对象，你需要将这个反射变换应用到其所有的组成部分。
步骤三：尝试重叠镜像。
这是最核心的步骤。我们需要判断，是否存在一个刚体运动（平移和/或旋转），可以使得镜像物体 $O'$ 的每一个点都与原始物体 $O$ 的某个点精确地重合。
如果存在这样的刚体运动，那么这个物体就是非手性的。它的镜像和它自身是“一样”的，只是在空间中的位置或方向可能不同，但通过移动和旋转，可以完美契合。
如果不存在任何刚体运动，能够让镜像物体 $O'$ 与原始物体 $O$ 完全重叠，那么这个物体就是手性的。它与其镜像在本质上是不同的，就像你的左手和右手一样，永远无法完美叠合。
更深入的数学视角：群论与不变性
从更抽象的数学角度来看，手性问题可以与群论（Group Theory）联系起来。
对称群 (Symmetry Group)：对于任何一个几何对象，它都存在一个由所有能够使其保持不变的刚体运动组成的集合。这个集合在运算下构成一个群，称为该对象的对称群。
镜像对称性: 对于一个物体 $O$，它的镜像 $O'$。如果 $O$ 是非手性的，那么 $O'$ 可以通过一个纯粹的反射（不包含任何旋转或平移）变成 $O$。换句话说，如果存在一个对称操作，它是纯反射，并且可以将 $O$ 变成 $O'$，那么 $O$ 就是非手性的。
更严格地说，一个物体 $O$ 是非手性的，当且仅当它的对称群包含一个反转元素（inversion element），或者说，它的对称群包含一个非恒等反射（nonidentity reflection）。
手性物体: 手性物体与之相反，它们的对称群不包含任何反转元素，或者说，不存在一个对称操作是纯粹的反射。这意味着，无论你如何旋转、平移，都无法将一个纯粹的反射操作应用到它上面，使其与自身重叠。
举例说明
1. 一个立方体 (Cube)：
立方体有很多对称性，包括旋转和反射。
如果我们在立方体中间放一面镜子（例如，通过立方体中心的xy平面），那么立方体的镜像与它自身是完全一样的。
更重要的是，立方体的对称群包含了反演中心（inversion center），即立方体中心。从中心出发，指向任何一个点的向量，都可以找到一个对应的点，它与中心对称。
因此，立方体是非手性的。
2. 一个人形机器人 (Humanoid Robot)：
假设机器人有一个右手和左手，并且它们是对称的（即镜像是可以重叠的）。
如果我们考虑机器人整体，并且允许我们旋转它，那么它和它的镜像（左右手颠倒）是无法重叠的。
因此，人形机器人（以其左右手的区分来看）是手性的。
3. 螺旋桨 (Propeller)：
一个螺旋桨，无论你如何旋转它，它都不会变成它的镜像（一个反向螺旋的螺旋桨）。
尝试将一个向右旋的螺旋桨放在镜子前，你看到的镜像是向左旋的。无论你如何平移和旋转这个向左旋的螺旋桨，你都无法让它完全“盖住”那个向右旋的螺旋桨。
所以，螺旋桨是手性的。
在不同维度下的手性
虽然我们通常用三维空间来理解手性，但数学上的概念可以推广到其他维度：
二维空间：在二维空间中，一个“物体”的镜像可以通过一条直线（作为镜面）来生成。一个二维物体，如果不能与它的镜像重叠，也是手性的。例如，一个字母“P”是手性的，而一个字母“A”是非手性的。
一维空间：一维空间中的“物体”就是线段。线段的镜像（如果将它看作一个方向）是它本身，因此一维的“手性”概念不太有实际意义。
总结
从数学上确定手性，本质上就是通过反射变换来生成物体的镜像，然后利用刚体运动（平移和旋转）来尝试将镜像与原始物体进行比对。如果能够找到一套刚体运动使得两者完全重合，则物体为非手性；否则，物体为手性。
更深层次地，手性与物体对称群的性质密切相关。一个物体是非手性的，当且仅当它的对称群包含一个能够实现纯粹反射的操作，或者存在一个反演中心。手性物体则缺乏这样的对称性。这种数学上的严谨定义，使得我们可以精确地、客观地识别和分类具有“左”、“右”之分的几何实体。
网友意见
数学问题里也会遇到“手性”，不知道数学书上的手性算不算题主说的“从数学上确定手性”
我见过的数学书上，定义类似“手性”内容的方法也就两种，一种是和物理书上说的一样的：不具有空间反演不变的性质，或者简单地说经过实操作（旋转或平移）不能和自身的镜像重合[1]；另一种是像题主说的，利用右手系的性质。
第一种的情况很多，比如出现在多面体理论，染色问题中的“手性异构”现象，一些书上是这么定义的。
定义：
如果存在一个反转定向（orientation-reversing）的等距变换（isometry） ，使得 ，那么P 就称为无手性的；如果不存在，那么P 就 称为有手性的。
解释：这个看起来很高级，但就是高级版本的“经过实操作不能和自身的镜像重合”。只需要知道等距变换和反转定向两个词的意思就明白了。
三维空间中的等距变换可以定义成“保持曲面上任意曲线的长度不变的变换”。这个也有高级写法：对于内积空间V， ，若 ，有 ，则称 为等距变换。
很明显，三维空间中的等距变换一定可以写成平移、旋转和反射三种变换的复合，很容易猜到其中含有奇数个反射便叫做反转定向，偶数个反射叫做保持定向（orientation-preserving）。
也可以通过矩阵来定义，举个二维的例子（三维的旋转矩阵视觉上太复杂）：
把矩阵乘出来就能看出， 对应镜像，四个三角函数对应旋转，tx，ty对应平移。除了上面这样看 是+1还是-1来定义，还可以通过这个矩阵左上角这个2×2行列式的正负来定义。
当然，上面这个定义有些太窄了，也就晶体或者甲烷的衍生物这种能用。对于大分子就不适用了，因为大分子是“软的”，会有各种构像。上面的定义拓展到流形中就是“拓扑手性”：
A closed, connected, orientable manifold in one of the categories TOP, PL or DIFF is called chiral if it does not admit an orientation-reversing automorphism in the respective category and amphicheiral if it does.
（机翻）一个封闭的，连通的，可定向的流形，在TOP，PL或DIFF中的一个范畴，如果它在相应的范畴中不允许定向反转自同构，则称为手性流形，如果它允许定向反转自同构，则称为双向流形。
这里要解释一下“可定向”的概念，知道了这个概念，拓扑中的“定向反转”就好理解了。
而且定义起来比前面的还要简明，“可定向”的流形“定向反转”就是“小圆圈旋转方向”在变换后相反了，和前一种定义相互对应。注意这种手性和生物、化学里的手性有区别。
第二种比如微分几何曲线论中的挠率：
这个看起来更高级，其实就是安培法则里螺线管左旋右旋的“数学翻译”版本，本身也属于古典微分几何，不是特别抽象。
这里的挠率和弗莱纳坐标系（Frenet–Serret frame）相关，见上图：
- T 是单位切向量；
- N 是单位法向量 T对弧长参数的微分单位化得到的向量；
- B 是 T和 N的外积。
由此定义曲率 和挠率 ，d/ds是对弧长的微分。
根据定义，曲率为0 是直线，挠率为0 曲线在平面上。挠率是 T和 N的外积随曲线的变化率，按挠率的正负定义左旋右旋就是题主说的方法。
因此我们可以定义：
对于一条空间曲线段P (s),s ∈ (a ,b),如果在点s ０ ∈ (a ,b),挠率τ(s₀)＞ ０ ,则称曲线在s₀是右旋的;如果在点s₀∈ (a ,b)挠率τ(s₀)＜０，则称曲线在s₀是左旋的。如果对开区间(a ,b)内的每点都是左旋的,则称曲线是左旋的。[2]
以上三种可以被称为“几何手性”、“拓扑手性”和“曲线手性”，生物或化学中的手性介于前两者之间（化学键旋转受限，不像绳结那样“灵活”，而拓扑结构上也区分不了类似胺膦锍的情况）。
至于为什么“手型”会出现在数学书上。
第一种“几何手性”比如组合数学中的 pólya定理中的经典问题[3]：对一个正四面体的四个顶点用四种颜色着色，有多少中不同的方法？
12和系数指1个恒等，8个C₃（4个C₃¹+4个C₃²），3个C₂。
硬算的话（X₄）4种，（ X₃Y）12种，（X₂Y₂）6种，（X₂YZ）12种，所以（XYZW）有2种，类似“手性碳”那种情况。
至于拓扑手性，这是和早期对的元素差异的探索相关。当年开尔文提出原子就是以太上的结，为了构造像元素周期表一样的表，他将各种结分类，形成了绳结问题。后来以太结的理论被证明是错的，不过绳结问题流传了下来。
其中的经典非手性比如下面的8字结。
手性绳结比如三叶结，这个都快被玩坏了。
曲线手型的例子就太多了，比如电学常见的螺线管，生物大分子，植物的蔓里都会出现，伊藤润二的漫画里还有“漩涡爱好者”。
甚至影响了化学书，类似螺苯的化合物化学上有专门的MP命名或delta- lambda命名，但好多书就直接说左手螺旋右手螺旋的，也可能是安培定则太深入人心了。
还有这种：
用手比划一下就知道为什么是左手螺旋和右手螺旋了。
p.s.: 这个是当年几个朋友里为了嘲讽有化学里手性碳定义收集的，主题大概是“数理化生语言风格的比较”，看完上面这些定义突然来个“碳接四个不同基团”冲击力真的很大，当然那种给出“所有的手性分子可被归于下列五个点群中的一个: Cn、Dn、T、O或I”之类说法的化学资料，奇葩程度也不遑多让。（范特霍夫和勒贝尔是知道对称性缺失导致手性的，也不知道是怎么就传着传着变成手性碳了。）为了看懂一些内容我花时间去听的微分几何的网课，也不知道当时为什么如此讨厌手性碳这种理论。
参考
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