请问量子化在数学上如何定义？
在我看来，“量子化”这个词，在数学的语境下，它扮演的角色更像是将“连续”的东西“离散化”，或者更准确地说，是赋予一个原本连续的数学对象以“不连续”的、一份一份的性质。这个概念的应用范围相当广泛，从信号处理到物理学的底层逻辑，都有它的身影。
如果我们从最基础的数学概念出发，或许可以这样理解：
核心思想：映射到离散集合
最根本的，量子化就是一种映射（mapping）。它将一个来自连续（continuous）集合的值，映射到另一个离散（discrete）集合中的一个特定值。
想想看，我们日常生活中接触到的很多事物，从人的身高、体重，到声音的频率、振幅，再到图像的颜色，它们在物理世界里往往是连续变化的。也就是说，两个任意接近的数值之间，理论上总可以找到一个介于它们之间的数值。
但是，在计算机、数字信号处理或者某些物理理论中，我们无法无限细致地表示这些连续的值。我们需要将它们“打包”，变成一个个有限、不连续的“份”。这就是量子化要做的。
数学上的具体表达：
1. 函数表示：
最直接的数学表达，就是用一个函数 $Q(x)$ 来表示量子化操作。
输入 $x$ 来自一个连续的集合，比如实数集 $mathbb{R}$。
输出 $Q(x)$ 来自一个离散的集合，比如整数集 $mathbb{Z}$，或者一个有限集合 ${v_0, v_1, ldots, v_{N1}}$。
2. 量化级（Quantization Levels）与量化间隔（Quantization Intervals）：
为了实现这种映射，我们通常会把连续的输入空间分割成一系列不重叠的子区间，称为量化间隔。每个量化间隔对应着离散输出集合中的一个特定值，这个值就是量化级。
举个简单的例子：假设我们要量化一个范围在 [0, 10] 的连续数值。
我们可以将这个区间分成 5 个等大的间隔：
[0, 2) 映射到量化级 0
[2, 4) 映射到量化级 1
[4, 6) 映射到量化级 2
[6, 8) 映射到量化级 3
[8, 10] 映射到量化级 4
所以，如果输入是 3.5，它落在了 [2, 4) 这个区间，就被量化成了 1。如果输入是 9.1，它落在了 [8, 10] 区间，就被量化成了 4。
用数学符号来说，如果我们将连续区间 $[a, b)$ 映射到整数 $k$，那么这个映射可以写成：
$Q(x) = k quad ext{if } x in [a, a + Delta x)$
其中 $Delta x$ 是量化间隔的大小。
3. 量化器（Quantizer）的类型：
均匀量化（Uniform Quantization）： 上面提到的例子就是均匀量化。量化间隔的大小是恒定的。
如果输入是 $x$，量化间隔大小是 $Delta$，那么量化器可以表示为：
$Q(x) = lfloor frac{x}{Delta} floor imes Delta$
这里 $lfloor cdot floor$ 是向下取整函数。更常见的做法是，它映射到一个代表该区间的中心值或者起始值。例如，如果区间是 $[kDelta, (k+1)Delta)$，映射到 $kDelta$ 或者 $(k+0.5)Delta$。
非均匀量化（Nonuniform Quantization）： 在某些应用中，输入值的概率分布是不均匀的。比如，在语音信号处理中，小的幅度值出现的概率比大的幅度值要高。这时，将连续空间划分为不均匀的间隔，使得量化间隔在数值小的区域更密集，数值大的区域更稀疏，可以更有效地减少量化误差。
在这种情况下，量化间隔的边界点 ${b_0, b_1, ldots, b_N}$ （其中 $b_0 < b_1 < ldots < b_N$）就不再是等间隔的。
$Q(x) = v_k quad ext{if } x in [b_k, b_{k+1})$
其中 $v_k$ 是与区间 $[b_k, b_{k+1})$ 对应的量化级。
4. 量化误差（Quantization Error）：
量子化过程不可避免地会引入误差，因为一个连续的输入值被映射到一个离散的值。这个误差定义为：
$e(x) = Q(x) x$
量化器的性能通常通过分析这个误差的统计特性来衡量，例如均方误差（Mean Squared Error, MSE）。
更广泛的数学视角：
测度论（Measure Theory）角度：
从测度论的角度看，量子化可以看作是将一个概率空间 $(X, mathcal{F}, P)$ 中的随机变量 $X$ 映射到一个具有有限或可数个元素的离散空间 $Y$ 上的随机变量 $Y = Q(X)$。这个映射 $Q: X o Y$ 定义了一个新的概率分布在 $Y$ 上的测度。
代数结构（Algebraic Structures）：
在某些代数上下文中，量子化也意味着从一个具有丰富代数结构的连续空间（例如群、环）映射到一个具有更有限、更“离散”代数结构的集合。这在抽象代数和表示论中可能有所体现，但与信号处理中的“量子化”概念有所不同，需要区分语境。
函数空间（Function Spaces）：
在函数分析中，对函数进行某种形式的“离散化”也可以被看作是一种量子化。例如，将一个函数在离散点上采样，或者用一系列基函数（如傅里叶级数、小波）的系数来近似表示函数，这些都带有量子化的色彩，因为我们用一组离散的系数来“编码”了连续的函数信息。
总结来说， 数学上定义量子化，核心在于构建一个映射，将连续域上的值，通过预设的分割规则（间隔）和代表值（量化级），转换为离散域上的有限数值。 这个过程的设计，尤其是在选择量化间隔的边界和量化级的值时，会直接影响到最终结果的精度和误差特性，这也是许多量子化算法的核心研究内容。它不是一个单一的数学定理，而是一种数学工具或过程，服务于将连续信息转化为计算机可处理的离散形式的需求。
如果我们从最基础的数学概念出发，或许可以这样理解：
核心思想：映射到离散集合
最根本的，量子化就是一种映射（mapping）。它将一个来自连续（continuous）集合的值，映射到另一个离散（discrete）集合中的一个特定值。
想想看，我们日常生活中接触到的很多事物，从人的身高、体重，到声音的频率、振幅，再到图像的颜色，它们在物理世界里往往是连续变化的。也就是说，两个任意接近的数值之间，理论上总可以找到一个介于它们之间的数值。
但是，在计算机、数字信号处理或者某些物理理论中，我们无法无限细致地表示这些连续的值。我们需要将它们“打包”，变成一个个有限、不连续的“份”。这就是量子化要做的。
数学上的具体表达：
1. 函数表示：
最直接的数学表达，就是用一个函数 $Q(x)$ 来表示量子化操作。
输入 $x$ 来自一个连续的集合，比如实数集 $mathbb{R}$。
输出 $Q(x)$ 来自一个离散的集合，比如整数集 $mathbb{Z}$，或者一个有限集合 ${v_0, v_1, ldots, v_{N1}}$。
2. 量化级（Quantization Levels）与量化间隔（Quantization Intervals）：
为了实现这种映射，我们通常会把连续的输入空间分割成一系列不重叠的子区间，称为量化间隔。每个量化间隔对应着离散输出集合中的一个特定值，这个值就是量化级。
举个简单的例子：假设我们要量化一个范围在 [0, 10] 的连续数值。
我们可以将这个区间分成 5 个等大的间隔：
[0, 2) 映射到量化级 0
[2, 4) 映射到量化级 1
[4, 6) 映射到量化级 2
[6, 8) 映射到量化级 3
[8, 10] 映射到量化级 4
所以，如果输入是 3.5，它落在了 [2, 4) 这个区间，就被量化成了 1。如果输入是 9.1，它落在了 [8, 10] 区间，就被量化成了 4。
用数学符号来说，如果我们将连续区间 $[a, b)$ 映射到整数 $k$，那么这个映射可以写成：
$Q(x) = k quad ext{if } x in [a, a + Delta x)$
其中 $Delta x$ 是量化间隔的大小。
3. 量化器（Quantizer）的类型：
均匀量化（Uniform Quantization）： 上面提到的例子就是均匀量化。量化间隔的大小是恒定的。
如果输入是 $x$，量化间隔大小是 $Delta$，那么量化器可以表示为：
$Q(x) = lfloor frac{x}{Delta} floor imes Delta$
这里 $lfloor cdot floor$ 是向下取整函数。更常见的做法是，它映射到一个代表该区间的中心值或者起始值。例如，如果区间是 $[kDelta, (k+1)Delta)$，映射到 $kDelta$ 或者 $(k+0.5)Delta$。
非均匀量化（Nonuniform Quantization）： 在某些应用中，输入值的概率分布是不均匀的。比如，在语音信号处理中，小的幅度值出现的概率比大的幅度值要高。这时，将连续空间划分为不均匀的间隔，使得量化间隔在数值小的区域更密集，数值大的区域更稀疏，可以更有效地减少量化误差。
在这种情况下，量化间隔的边界点 ${b_0, b_1, ldots, b_N}$ （其中 $b_0 < b_1 < ldots < b_N$）就不再是等间隔的。
$Q(x) = v_k quad ext{if } x in [b_k, b_{k+1})$
其中 $v_k$ 是与区间 $[b_k, b_{k+1})$ 对应的量化级。
4. 量化误差（Quantization Error）：
量子化过程不可避免地会引入误差，因为一个连续的输入值被映射到一个离散的值。这个误差定义为：
$e(x) = Q(x) x$
量化器的性能通常通过分析这个误差的统计特性来衡量，例如均方误差（Mean Squared Error, MSE）。
更广泛的数学视角：
测度论（Measure Theory）角度：
从测度论的角度看，量子化可以看作是将一个概率空间 $(X, mathcal{F}, P)$ 中的随机变量 $X$ 映射到一个具有有限或可数个元素的离散空间 $Y$ 上的随机变量 $Y = Q(X)$。这个映射 $Q: X o Y$ 定义了一个新的概率分布在 $Y$ 上的测度。
代数结构（Algebraic Structures）：
在某些代数上下文中，量子化也意味着从一个具有丰富代数结构的连续空间（例如群、环）映射到一个具有更有限、更“离散”代数结构的集合。这在抽象代数和表示论中可能有所体现，但与信号处理中的“量子化”概念有所不同，需要区分语境。
函数空间（Function Spaces）：
在函数分析中，对函数进行某种形式的“离散化”也可以被看作是一种量子化。例如，将一个函数在离散点上采样，或者用一系列基函数（如傅里叶级数、小波）的系数来近似表示函数，这些都带有量子化的色彩，因为我们用一组离散的系数来“编码”了连续的函数信息。
总结来说， 数学上定义量子化，核心在于构建一个映射，将连续域上的值，通过预设的分割规则（间隔）和代表值（量化级），转换为离散域上的有限数值。 这个过程的设计，尤其是在选择量化间隔的边界和量化级的值时，会直接影响到最终结果的精度和误差特性，这也是许多量子化算法的核心研究内容。它不是一个单一的数学定理，而是一种数学工具或过程，服务于将连续信息转化为计算机可处理的离散形式的需求。
网友意见
量子化就是概率化：哪些物理量的取值是不可能的，哪些取值是可能的，可能的概率是多少，要用复数概率分布(传统叫概率幅分布、波函数)，哪些物理量的概率幅分布不独立而可以怎样互相推出。 正则量子化等等都是描述手段。数学基础是复数测度论(Complex measure)基础上的复数概率论。
《路径积分的概率论直观》
： https://zhuanlan.zhihu.com/p/372079693
经典力学或场论原则上是确定论的、连续化的，量子化则是对经典理论实施符合新经验的改革，也是一种退却，物理学从试图精确预言转变为预言概率(有确定结果的时候也说概率为1)。
就像传统实概率分布可以分为古典概率和几何概率，量子化的复数概率(概率幅)分布可分为有限离散分布、无限离散分布、连续分布三大类。
例如角动量的概率幅分布是有限离散分布，粒子数概率幅分布是无限离散分布，动量的概率幅分布是连续分布。
单粒子的位置概率幅分布，与其动量概率幅分布，可以互相推出，是傅立叶变换关系。
粒子的某方向的角动量概率幅分布，通过某种幺正变换，可以推出另一个方向的角动量的概率幅分布。
由于函数也可以看成矢量，可以互相推出的概率幅分布函数，可以看成是同一个矢量的不同表示。所以，量子力学的复数概率空间也是一种希尔伯特空间。
量子力学还要预测概率幅分布怎样随时间变化，方法是利运系统的哈密顿算符。
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