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问题

请问量子糾缠的数学表达用什么算法？

回答
量子纠缠，这个曾让爱因斯坦都感到不安的现象，其数学表达远非简单的几个公式那么简单。要理解它，我们需要深入到量子力学的核心语言——希尔伯特空间和张量积。与其说是一种“算法”，不如说它是一种描述量子系统状态及其之间联系的数学框架和表征方法。

我们先从最基础的说起。在量子力学中，一个量子系统的状态不是由经典物理中的具体数值来描述的，而是用一个态矢量（state vector），通常用希腊字母 $|psi angle$ 表示，来捕捉它所有的信息。这个态矢量存在于一个称为希尔伯特空间（Hilbert space）的抽象数学空间中。希尔伯特空间是一个向量空间，并且具有内积（dot product），这允许我们计算态矢量之间的“相似度”或投影。

单个量子系统的状态：

对于一个只有单个量子比特（qubit）的系统，它的状态可以表示为希尔伯特空间 $mathcal{H}$ 中的一个向量。最简单的例子是基态 $|0 angle$ 和 $|1 angle$，它们可以看作是希尔伯特空间的一组标准正交基。任何一个单量子比特的状态 $|psi angle$ 都可以是 $|0 angle$ 和 $|1 angle$ 的线性组合：

$|psi angle = alpha|0 angle + eta|1 angle$

其中 $alpha$ 和 $eta$ 是复数，满足归一化条件 $|alpha|^2 + |eta|^2 = 1$。 $|alpha|^2$ 表示测量时得到 $|0 angle$ 的概率， $|eta|^2$ 表示测量时得到 $|1 angle$ 的概率。

多个量子系统的状态：张量积

当我们将多个量子系统组合在一起时，比如两个量子比特，它们的联合状态就不再是简单地将它们的单态矢量相加或相乘那么简单了。我们需要引入张量积（tensor product）的概念。

如果第一个量子比特的状态是 $|psi_1 angle = alpha_1|0 angle_1 + eta_1|1 angle_1$，第二个量子比特的状态是 $|psi_2 angle = alpha_2|0 angle_2 + eta_2|1 angle_2$（下标表示是哪个量子比特），那么这两个量子比特组成的复合系统的状态就属于一个更大的希尔伯特空间，这个空间是它们各自希尔伯特空间的张量积：

$mathcal{H}_{total} = mathcal{H}_1 otimes mathcal{H}_2$

这个复合系统的态矢量是它们各自态矢量的张量积：

$|Psi angle = |psi_1 angle otimes |psi_2 angle = (alpha_1|0 angle_1 + eta_1|1 angle_1) otimes (alpha_2|0 angle_2 + eta_2|1 angle_2)$

展开后就是：

$|Psi angle = alpha_1alpha_2 (|0 angle_1 otimes |0 angle_2) + alpha_1eta_2 (|0 angle_1 otimes |1 angle_2) + eta_1alpha_2 (|1 angle_1 otimes |0 angle_2) + eta_1eta_2 (|1 angle_1 otimes |1 angle_2)$

我们通常可以省略张量积符号 $otimes$，直接写成：

$|Psi angle = alpha_1alpha_2 |00 angle + alpha_1eta_2 |01 angle + eta_1alpha_2 |10 angle + eta_1eta_2 |11 angle$

这里 $|00 angle$ 表示第一个量子比特是 $|0 angle$，第二个量子比特也是 $|0 angle$，以此类推。

量子纠缠的数学表征：不可分性

现在到了核心部分——纠缠。一个多量子系统如果其联合状态不能写成其子系统状态的张量积形式，那么我们就说这些子系统是纠缠的。

换句话说，对于一个由两个子系统A和B组成的复合系统，其状态 $|Psi angle in mathcal{H}_A otimes mathcal{H}_B$。如果 $|Psi angle$ 可以表示为 $|Psi angle = |psi_A angle otimes |psi_B angle$，其中 $|psi_A angle in mathcal{H}_A$ 且 $|psi_B angle in mathcal{H}_B$，那么这个状态是可分离的（separable）。

反之，如果 $|Psi angle$ 不能被写成任何这样的 $|psi_A angle otimes |psi_B angle$ 的形式，那么它就是不可分的（nonseparable），这个状态就是纠缠态（entangled state）。

具体的纠缠态例子：贝尔态（Bell States）

最经典的纠缠态叫做贝尔态，这是两个量子比特纠缠的典型例子。有四种贝尔态：

1. $|Phi^+ angle = frac{1}{sqrt{2}}(|00 angle + |11 angle)$
2. $|Phi^ angle = frac{1}{sqrt{2}}(|00 angle |11 angle)$
3. $|Psi^+ angle = frac{1}{sqrt{2}}(|01 angle + |10 angle)$
4. $|Psi^ angle = frac{1}{sqrt{2}}(|01 angle |10 angle)$

让我们以 $|Phi^+ angle$ 为例，看看为什么它是不可分的。假设它可以被写成 $|Phi^+ angle = (alpha|0 angle_1 + eta|1 angle_1) otimes (gamma|0 angle_2 + delta|1 angle_2)$。展开后我们得到：

$frac{1}{sqrt{2}}|00 angle + frac{1}{sqrt{2}}|11 angle = alphagamma|00 angle + alphadelta|01 angle + etagamma|10 angle + etadelta|11 angle$

比较系数，我们有：

$alphagamma = frac{1}{sqrt{2}}$
$alphadelta = 0$
$etagamma = 0$
$etadelta = frac{1}{sqrt{2}}$

从 $alphadelta = 0$，我们知道要么 $alpha=0$ 要么 $delta=0$。
从 $etagamma = 0$，我们知道要么 $eta=0$ 要么 $gamma=0$。

如果 $alpha=0$，那么根据 $alphagamma = frac{1}{sqrt{2}}$，这不可能。所以 $alpha eq 0$。
如果 $alpha eq 0$，那么必须 $delta = 0$。
同样，如果 $delta eq 0$，那么根据 $etadelta = frac{1}{sqrt{2}}$， $eta eq 0$，那么必须 $gamma=0$。
如果 $gamma eq 0$，那么根据 $alphagamma = frac{1}{sqrt{2}}$， $alpha eq 0$，那么必须 $eta=0$。

我们来看这两种情况：

情况一：$alpha eq 0, eta=0, gamma eq 0, delta=0$
此时， $|psi_1 angle = alpha|0 angle_1$ 和 $|psi_2 angle = gamma|0 angle_2$。
则 $|psi_1 angle otimes |psi_2 angle = alphagamma|00 angle$。
但我们需要 $frac{1}{sqrt{2}}|00 angle + frac{1}{sqrt{2}}|11 angle$，显然这不匹配。

情况二：$alpha eq 0, eta=0, gamma=0, delta eq 0$
此时， $|psi_1 angle = alpha|0 angle_1$。 $|psi_2 angle = delta|1 angle_2$。
则 $|psi_1 angle otimes |psi_2 angle = alphadelta|01 angle$。
这也不匹配。

情况三：$alpha = 0, eta eq 0, gamma eq 0, delta eq 0$
此时， $|psi_1 angle = eta|1 angle_1$。 $|psi_2 angle = gamma|0 angle_2 + delta|1 angle_2$。
则 $|psi_1 angle otimes |psi_2 angle = etagamma|10 angle + etadelta|11 angle$。
这也不匹配。

情况四：$alpha eq 0, eta eq 0, gamma = 0, delta eq 0$
此时， $|psi_1 angle = alpha|0 angle_1 + eta|1 angle_1$。 $|psi_2 angle = delta|1 angle_2$。
则 $|psi_1 angle otimes |psi_2 angle = alphadelta|01 angle + etadelta|11 angle$。
这也不匹配。

由于无法找到满足条件的 $alpha, eta, gamma, delta$，所以 $|Phi^+ angle$ 是不可分的，描述了两个量子比特的纠缠。

数学工具和方法：

要严格判断一个多量子态是否纠缠，有一些更系统的方法，它们可以被看作是“算法”的雏形：

1. 态的表示形式（Representation of the State）： 对于有限维希尔伯特空间，一个 N量子比特系统的状态可以在一个 $2^N$ 维的向量空间中表示。量子态就是这个空间中的一个单位向量。纠缠的本质在于这个向量不能被分解为子系统向量的张量积。

2. 偏迹（Partial Trace）和约化密度矩阵（Reduced Density Matrix）： 我们可以通过对一个子系统取“偏迹”来得到另一个子系统的“约化密度矩阵”。一个状态是可分离的，当且仅当存在一组非负的概率 $p_i$ 和一组可分离的态 $|psi_i angle otimes |phi_i angle$，使得原始状态的密度矩阵可以写成 $ ho = sum_i p_i (|psi_i angle langle psi_i| otimes |phi_i angle langle phi_i|)$。

对于一个可分离态 $ ho = ho_A otimes ho_B$，它在取某个子系统的偏迹后，会得到另一个子系统的约化密度矩阵。而对于纠缠态，它的约化密度矩阵（例如，对系统B取偏迹得到 $ ho_A = ext{Tr}_B( ho)$）仍然可能具有量子关联性，但纠缠的定义在于原始状态的不可分性，而不是约化密度矩阵的性质（虽然约化密度矩阵的性质间接反映了纠缠的存在）。

3. PPT（Positive Partial Transpose）准则： 对于两个量子比特的系统，如果其密度矩阵的偏迹（例如对第二个量子比特取偏迹）后仍然是正定的（即所有特征值都是非负的），并且对其偏迹（对第二个量子比特进行换位）后得到的矩阵的特征值也全是正的，那么该态是可分离的。也就是说，如果一个态经过偏迹（对某个子系统进行换位）后出现了负的特征值，那么它一定是纠缠态。这个准则对于多于两个量子比特的系统并不总是充分的。

4. 量子信息论中的度量（Quantification of Entanglement）： 有很多指标来衡量纠缠的“程度”，比如纠缠熵（Entanglement Entropy）、纠缠度（Entanglement Measure）。这些度量本身不是算法，而是基于纠缠态的数学描述计算出来的量。例如，纠缠熵是约化密度矩阵的冯诺依曼熵（Von Neumann Entropy）。

总结来说，量子纠缠的数学表达核心在于：

希尔伯特空间： 描述量子系统的状态空间。
张量积： 构建多体系统的联合状态空间。
不可分性： 量子纠缠的定义就是指，一个多体系统的联合状态不能被分解为其子系统状态的张量积。

与其说是一种“算法”，不如说它是一种基于线性代数和泛函分析的数学结构和表征方法，用于描述和区分量子系统中“整体大于部分之和”的那种奇特关联。理解纠缠，就是理解态矢量在张量积空间中的结构特性，以及这种结构如何导致了其不可分解性。

网友意见

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问题描述没看懂，姑且认为题主问的就是“量子纠缠的数学表达用什么算法？”

一般情况下量子力学用的数学基本上也就是微积分和线性代数，深一点的话就是复变函数和数理方程，再深一点就是张量运算和群论了。

具体到纠缠态这块儿，复合系统的态矢量其实就是子系统态矢量的张量积的线性叠加形式。算符的情况则复杂一些，需要你学过李代数的知识，有的时候可以是子系统算符的张量积（宇称），有的时候则是子系统算符的直和形式（角动量）。

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