如何从数学角度证明魔方复原存在必可解策略？

魔方复原的数学奥秘：为何总有解？

你是否曾被那个色彩斑斓的立方体所困扰？在无数次尝试后，你是否曾怀疑，这小小的魔方，是否真的总有办法回到最初整洁的状态？今天，我们就从数学的角度，深入剖析这个令人着迷的问题，证明魔方复原存在的必可解策略。

首先，我们需要理解魔方是如何工作的。一个标准的3x3x3魔方，由6个面，每个面9个小块（方块）组成。这些小块大致可以分为三类：

中心块 (Center pieces): 共有6块，每个面中心各有一块。它们的位置是固定的，决定了魔方的颜色。例如，白色中心块永远和黄色中心块相对，蓝色中心块永远和绿色中心块相对，红色中心块永远和橙色中心块相对。
棱块 (Edge pieces): 共有12块，位于两个面的交界处。每个棱块有两个颜色。
角块 (Corner pieces): 共有8块，位于三个面的交界处。每个角块有三个颜色。

魔方的每一个“转动”实际上是在改变这些小块的位置和方向。从数学上讲，我们可以将魔方的状态视为一个排列（permutation）和方向（orientation）的组合。

群论：魔方复原的语言

要从数学上严谨地证明魔方复原的必可解性，我们不得不引入一个强大的数学工具——群论 (Group Theory)。

简单来说，群是一个集合，加上一个运算，并满足以下四个性质：

1. 封闭性 (Closure): 集合中任意两个元素的运算结果仍在集合内。
2. 结合律 (Associativity): 运算可以改变结合顺序，结果不变。
3. 单位元 (Identity element): 存在一个特殊元素，与任何其他元素运算，结果都是该元素本身。
4. 逆元 (Inverse element): 集合中的每个元素都存在一个逆元，与它运算的结果是单位元。

在魔方复原的语境下：

集合: 是魔方所有可能的状态。
运算: 是魔方的一个基本转动（例如，顺时针转动一面）。
单位元: 是魔方完全复原的状态。

关键在于，魔方的所有状态，以及所有可能的转动组合，共同构成了一个“魔方群”。

1. 魔方的状态可以被描述为排列

我们可以将魔方复原看作是将打乱的魔方恢复到原始的、已复原的状态。原始状态是那个唯一的“单位元”。

想象一下，如果我们给每个小块（特别是棱块和角块）一个唯一的编号。当魔方被打乱时，这些编号就被重新排列了。例如，一个棱块可能从原来属于“红蓝”位置，移动到了“白绿”位置。

从数学上，我们可以将魔方的状态看作是对这些棱块和角块的排列。排列是指将一组元素按照某种顺序重新组合。我们知道，排列的组合仍然是排列。

2. 转动是作用在排列上的置换

每一个魔方的转动（比如，将顶面顺时针转动90度）都是对魔方所有小块位置的一次置换（permutation）。置换是一种特殊的排列，它不会改变集合中元素的数量，只是改变了它们的位置。

例如，一个顶面顺时针转动，会将四个顶面棱块和四个顶面角块的位置进行一次循环置换。

3. 魔方群的构成：转动的组合

如果我们只允许基本转动（转动一个面90度，180度，270度），那么任何一个打乱的状态，都可以通过一系列基本转动的组合来达到。反之，任何一个打乱的状态，都可以通过一系列“逆向”的基本转动组合来回到原始状态。

这就意味着，魔方的所有可能状态，实际上都是由基本转动经过有限次组合而成的。而所有这些组合操作，也构成了一个由基本转动生成的子群。

4. 必可解性的根本：群的性质

群论的核心在于，任何一个群，都包含一个单位元，并且任何元素都有其逆元。

单位元 (Identity Element): 魔方复原后的状态就是群的单位元。
逆元 (Inverse Element): 任何一个打乱状态（可以看作是通过一系列转动得到的）都有一个“逆操作”组合。比如，如果你顺时针转动了某个面，那么逆时针转动同一个面就是它的逆元。将所有转动操作的逆元组合起来，就可以将任何打乱状态还原。

因此，只要魔方能够被“打乱”（即通过有限次基本转动改变状态），那么就必然存在一个“还原”操作序列（也是通过有限次基本转动组合），能够将其恢复到原始的、复原的状态。

更深入的思考：魔方状态的约束

虽然群论保证了任何打乱状态都可以被复原，但魔方还有一些特殊的“约束”，这使得魔方群的规模比所有可能的排列要小得多。

1. 中心块的固定性

如前所述，中心块的位置是固定的。它们决定了魔方的整体颜色。

2. 棱块和角块的“合法性”

并不是所有随机的棱块和角块的排列都是合法的。例如：

棱块的奇偶性 (Permutation Parity): 12个棱块的排列，其“奇偶性”必须与8个角块的排列“奇偶性”相同。换句话说，如果你将所有棱块打乱成一个奇排列，那么所有角块也必须被打乱成一个奇排列（或者都是偶排列）。你不能只对棱块进行一个奇排列，而让角块保持偶排列。
棱块的方向性 (Edge Orientation): 每个棱块有两个面，当棱块在特定位置时，它的两个颜色可能面向不同的方向。所有棱块的方向性有一个约束：所有棱块的总“翻转”次数必须是偶数。
角块的方向性 (Corner Orientation): 类似地，所有角块的总“扭转”次数必须是3的倍数。

这些约束是由于魔方基本转动的性质决定的。任何一个基本转动，都会以一种固定的、可预测的方式改变棱块和角块的方向。

这些约束并不是说魔方“不可解”，而是说魔方的“可达状态空间”比所有可能的棱块和角块的排列要小。 任何一个合法的打乱状态，都是从复原状态通过一系列合法转动达到的，因此它自身也是合法的，并且必然可以通过逆向操作回到复原状态。

总结：为什么总有解？

从数学上证明魔方复原存在必可解策略，核心在于群论的框架：

1. 魔方打乱与复原可以被建模为群论中的元素和运算。
2. 魔方所有可能的打乱状态，以及所有可能的转动操作，构成了一个群。
3. 群的定义保证了单位元（复原状态）的存在，并且每个元素（打乱状态）都有其逆元（复原操作）。
4. 魔方特定的结构（中心块固定、棱块角块的排列和方向约束）限制了可达状态空间，但并未破坏群的基本性质。 任何一个合法的打乱状态，都是从单位元出发经过合法操作达到的，自然可以通过逆向操作回到单位元。

所以，下次当你拿起魔方，无论它被打乱得多么“离谱”，请相信，在数学的严谨逻辑下，总有一条清晰的路径，能将它带回最初的秩序。这正是数学之美，它揭示了隐藏在看似混乱背后的深刻规律。

网友意见

目录

• 符号
• 变换群
• 分析
• 2 阶魔方公式列举
• R语言程序
• 效果展示

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为了简便，以 2 阶魔方为例。

符号

我们将正方体的六个面展开如下：

其中俯视图、正视图、右侧视图分别为 我们称之为主面，它们的对面分别是 ，称之为次面。每个面都分成四个小方块：

例如，当 时，则此面为

变换群

当我们将 面逆时针旋转 ，我们只需要观察上层魔方的变化：

同理，关于侧视图、正视图也有类似的旋转。如果在复平面中，这种旋转的变换表示十分简洁：

所以不妨以 分别表示 的逆时针旋转（同时也可以看做是这三个面的外法向量）。另外，我们不需要考虑次面的旋转：若我们对 面进行旋转 ，再对 进行旋转 （ 的外法向量），则魔方恢复原状，从代数上也是很符合的：

表示恒等变换。所以旋转 的逆向操作即逆元，有两种等价的操作：或者将 顺时针旋转，或者将 进行逆时针旋转，我们都将此记成 。关于侧视图、正视图的旋转同理。

于是，我们考虑一个变换群：

这个群的乘法是变换的复合， 为生成元，词群（）的关系() 比较复杂，比较显然的有： 将一个面朝同一方向旋转 4 次就会恢复原状。这个群我们称之为 阶魔方群。

至于逆元，由前文易得知。这个群显然是有限的，从置换群的角度看，魔方的状态是有限的，于是它是某置换群的子群。

分析

回到题主的问题，魔方复原总是可解吗？已知当前魔方的状态，我们只要构造出它的逆元即可。求一个元素的逆元在群论中是非常容易的事情，例如 的逆元就是 。至于用某些公式（即特殊的关系），总可以使得魔方的状态进入一个轨道，这个轨道经过初始状态，于是只要按照公式机械重复操作，则其结果始终在此轨道上，并且最终到达目的地。理论上，我们可以把这个有限群以图论的方式表示：每个状态记为一个节点，如果存在一个变换，可以从此状态得到彼状态，那么这两个节点必有一条边相连接。于是，我们可以求任意节点到初始状态所代表节点的（最短）路径，这是图论中最基本的问题。

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2 阶魔方公式列举

我再补充一下魔方群的关系：我们观察部分词（）的阶，这些词我们按照代数式的次数进行分类。

声明：

1. 下面的映射的复合结果都是 ，往后不在特别声明；
2. 群论一般的记法 表示先执行映射 ，再执行映射 ；
3. 如果在个别式子满足乘法交换性，则我只列出其中一个。
4. 构成右手系，由魔方的对称性可知，关于这三者的轮换式只需列出其中之一即可。

• 次

• 次

• 次

• 次（注意到 ）

• 次

• 次

• 次

• 次

• 次

于是我们任意给定一个 幂次乘积的有限序列，通过上面公式的可以化简为更简洁的序列。

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R语言程序

       ####2阶魔方 #矩阵中心对称 o <- function(A) {     t = A[1,1]     A[1,1] = A[2,2]     A[2,2] = t     t = A[1,2]     A[1,2] = A[2,1]     A[2,1] = t     A } #矩阵元素逆时针旋转 r <- function(A) {     t = A[1,1]     A[1,1] = A[1,2]     A[1,2] = A[2,2]     A[2,2] = A[2,1]     A[2,1] = t     A }  #矩阵元素顺时针旋转 v <- function(A) {     t = A[1,1]     A[1,1] = A[2,1]     A[2,1] = A[2,2]     A[2,2] = A[1,2]     A[1,2] = t     A }  #魔方的六个面 A = matrix(rep(1,4),2) B = matrix(rep(2,4),2) C = matrix(rep(3,4),2) a = matrix(rep(4,4),2) b = matrix(rep(5,4),2) c = matrix(rep(6,4),2)  #A为俯视图，B为正视图，C为右侧视图，X=A,B,C;结果为矩阵形式，方便绘图。 Xup <- function(A,a,B,b,C,c) {     Aup = matrix(rep(0,48),6)     Aup[3:4,5:6] = A     Aup[3:4,1:2] = a     Aup[1:2,5:6] = B     Aup[5:6,5:6] = b     Aup[3:4,3:4] = C     Aup[3:4,7:8] = c     Aup }  cube = list(A,a,B,b,C,c) cube[[7]] = Xup(A,a,B,b,C,c)   #B朝上的十字架展开图（A --> B），输入输出皆为列表   ABup <- function(Aup)     {     Bup = list()     Bup[[1]] = Aup[[1]]     Bup[[2]] = o(Aup[[2]])     Bup[[3]] = Aup[[3]]     Bup[[4]] = o(Aup[[4]])     Bup[[5]] = v(Aup[[5]])     Bup[[6]] = r(Aup[[6]])     Bup[[7]] = Xup(Bup[[3]],Bup[[4]],Bup[[2]],                    Bup[[1]],Bup[[5]],Bup[[6]])     Bup }  #（B --> A） BAup <- function(Bup)     {     Aup = list()     Aup[[1]] = Bup[[1]]     Aup[[2]] = o(Bup[[2]])     Aup[[3]] = Bup[[3]]     Aup[[4]] = o(Bup[[4]])     Aup[[5]] = r(Bup[[5]])     Aup[[6]] = v(Bup[[6]])     Aup[[7]] = Xup(Aup[[1]],Aup[[2]],Aup[[3]],                    Aup[[4]],Aup[[5]],Aup[[6]])     Aup }  #C朝上的十字架展开图（A --> C） ACup <- function(Aup)     {     Cup = list()     Cup[[1]] = Aup[[1]]     Cup[[2]] = Aup[[2]]     Cup[[3]] = r(Aup[[3]])     Cup[[4]] = v(Aup[[4]])     Cup[[5]] = Aup[[5]]     Cup[[6]] = Aup[[6]]     Cup[[7]] = Xup(Cup[[5]],Cup[[6]],Cup[[3]],                    Cup[[4]],Cup[[2]],Cup[[1]])     Cup }  #（C --> A） CAup <- function(Cup)     {     Aup = list()     Aup[[1]] = Cup[[1]]     Aup[[2]] = Cup[[2]]     Aup[[3]] = v(Cup[[3]])     Aup[[4]] = r(Cup[[4]])     Aup[[5]] = Cup[[5]]     Aup[[6]] = Cup[[6]]     Aup[[7]] = Xup(Aup[[1]],Aup[[2]],Aup[[3]],                    Aup[[4]],Aup[[5]],Aup[[6]])     Aup }    #画出魔方展开图 color = c("white","red","orange","yellow","green","blue","purple") par(mai=rep(0,4),oma=rep(0,4)) plot(0,0, type = "n", xlim = c(0,7), ylim = c(0,9)) draw <- function(Cube)    #输入矩阵 {     for(i in 1:6)for(j in 1:8)points(i, j, pch = 15, cex = 4, col = color[Cube[i,j]+1]) } draw(Xup(A,a,B,b,C,c))    #魔方初始状态  ##三大变换 #对A（红色面）逆时针旋转90度；此时List应该是A面为俯视面的形式 U <- function(List) {     unfold = Xup(List[[1]],List[[2]],List[[3]],                  List[[4]],List[[5]],List[[6]])     A = matrix(rep(0,48),6)     for(i in 2:5)for(j in 4:7) A[9-j,2+i] = unfold[i,j]    #坐标旋转由复数推导     unfold[2:5,4:7] = A[2:5,4:7]     A = unfold[3:4,5:6]     a = unfold[3:4,1:2]     B = unfold[1:2,5:6]     b = unfold[5:6,5:6]     C = unfold[3:4,3:4]     c = unfold[3:4,7:8]     List = list(A,a,B,b,C,c,unfold)     List    }  #U的逆变换，此时List应该是A面为俯视面的形式 V <- function(List) {     unfold = Xup(List[[1]],List[[2]],List[[3]],                  List[[4]],List[[5]],List[[6]])     A = matrix(rep(0,48),6)     for(i in 2:5)for(j in 4:7) A[j-2,9-i] = unfold[i,j]    #坐标旋转由复数推导     unfold[2:5,4:7] = A[2:5,4:7]     A = unfold[3:4,5:6]     a = unfold[3:4,1:2]     B = unfold[1:2,5:6]     b = unfold[5:6,5:6]     C = unfold[3:4,3:4]     c = unfold[3:4,7:8]     List = list(A,a,B,b,C,c,unfold)     List    }  #对B（橙色面）逆时针旋转90度；此时List应该是B面为俯视面的形式 F <- function(List) {     unfold = Xup(List[[3]],List[[4]],List[[2]],                  List[[1]],List[[5]],List[[6]])     A = matrix(rep(0,48),6)     for(i in 2:5)for(j in 4:7)A[9-j,2+i] = unfold[i,j]    #坐标旋转由复数推导     unfold[2:5,4:7] = A[2:5,4:7]     B = unfold[3:4,5:6]     b = unfold[3:4,1:2]     a = unfold[1:2,5:6]     A = unfold[5:6,5:6]     C = unfold[3:4,3:4]     c = unfold[3:4,7:8]     List = list(A,a,B,b,C,c,unfold)     List    }  #F的逆变换,此时List应该是B面为俯视面的形式 E <- function(List) {     unfold = Xup(List[[3]],List[[4]],List[[2]],                  List[[1]],List[[5]],List[[6]])     A = matrix(rep(0,48),6)     for(i in 2:5)for(j in 4:7)A[j-2,9-i] = unfold[i,j]    #坐标旋转由复数推导     unfold[2:5,4:7] = A[2:5,4:7]     B = unfold[3:4,5:6]     b = unfold[3:4,1:2]     a = unfold[1:2,5:6]     A = unfold[5:6,5:6]     C = unfold[3:4,3:4]     c = unfold[3:4,7:8]     List = list(A,a,B,b,C,c,unfold)     List    }  #对C（黄色面）逆时针旋转90度;此时List应该是C面为俯视面的形式 R <- function(List) {     unfold = Xup(List[[5]],List[[6]],List[[3]],                  List[[4]],List[[2]],List[[1]])     A = matrix(rep(0,48),6)     for(i in 2:5)for(j in 4:7)A[9-j,2+i] = unfold[i,j]    #坐标旋转由复数推导     unfold[2:5,4:7] = A[2:5,4:7]     C = unfold[3:4,5:6]     c = unfold[3:4,1:2]     B = unfold[1:2,5:6]     b = unfold[5:6,5:6]     A = unfold[3:4,7:8]     a = unfold[3:4,3:4]     List = list(A,a,B,b,C,c,unfold)     List    } #R的逆变换,此时List应该是C面为俯视面的形式 K <- function(List) {     unfold = Xup(List[[5]],List[[6]],List[[3]],                  List[[4]],List[[2]],List[[1]])     A = matrix(rep(0,48),6)     for(i in 2:5)for(j in 4:7)A[j-2,9-i] = unfold[i,j]    #坐标旋转由复数推导     unfold[2:5,4:7] = A[2:5,4:7]     C = unfold[3:4,5:6]     c = unfold[3:4,1:2]     B = unfold[1:2,5:6]     b = unfold[5:6,5:6]     a = unfold[3:4,3:4]     A = unfold[3:4,7:8]     List = list(A,a,B,b,C,c,unfold)     List    }   #魔方的变换 Transform <- function(Cha)  #输入由U/V/F/E/R/K构成的字符串 {     Cha = unlist(strsplit(Cha,split=""))    #将字符串的字母逐个拆开     for(i in Cha)     {         if(i=="U"){cube = U(cube)}         if(i=="V"){cube = V(cube)}         if(i=="F"){cube = F(ABup(cube)); cube = BAup(cube)}         if(i=="E"){cube = E(ABup(cube)); cube = BAup(cube)}         if(i=="R"){cube = R(ACup(cube)); cube = CAup(cube)}         if(i=="K"){cube = K(ACup(cube)); cube = CAup(cube)}         draw(cube[[7]])         Sys.sleep(0.2)     }     cube[[7]] }  Transform(rep("RVE",30))     

代码说明：

• 代码中两个变换的乘法 表示先执行 再执行 ，这与映射复合的乘法规则相反。其实修改代码也不是难事，但是我太懒了。
• 表示对二阶魔方做变换 ，利用这个代码，可以验证上面的公式。
• 倒数第三行（括号不算）的代码 ，我为了做演示视频，有意设置了延迟效果。如果网友想要快速得到结果，可以删掉这行代码。
• 最近知乎没办法插入图片，所以没有办法展示效果，大家自行在电脑上演示吧。

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  河南一幼儿园教「拼音数学」被查，有必要在大班阶段学习拼音数学吗？如何帮助孩子更好地从幼儿园过渡到小学？

  

  河南一家幼儿园因为教“拼音数学”被查处，这件事确实引发了不少讨论。很多家长都在思考，大班的孩子到底有没有必要提前学习这些所谓的“拼音数学”？我个人认为，在幼儿园大班阶段，强制性、系统性地学习“拼音数学”并不是很有必要，甚至可能弊大于利。咱们一步步来聊聊这个事。为什么大班阶段强制学习“拼音数学”不是很.............
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  用生成模型做数据增强data augmentation时，如何从合成数据中筛选出质量较好的样本？

  

  精雕细琢：从生成模型合成数据中“淘金”高质量样本在数据驱动的机器学习时代，数据的数量和质量直接影响着模型的性能。当真实数据稀缺或成本高昂时，利用生成模型进行数据增强便成为了一个极具吸引力的策略。然而，生成模型并非“点石成金”的神器，它们产生的合成数据质量参差不齐，直接使用可能会引入噪声，反而损害模型.............
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  如果炸弹每秒钟爆炸概率提高一点，从数学期望上来看最有可能在哪一秒爆炸？

  

  这是一个很有意思的问题，它触及了概率和期望值的核心。我们不妨一步一步来拆解它，看看这位“定时炸弹”究竟会在哪个时间节点上更“活跃”。假设炸弹在任何给定的一秒内爆炸的概率是 $p$，而我们说“每秒钟爆炸概率提高一点”，这意思是我们不能简单地假设每秒的爆炸概率都是恒定的。更确切地说，我们应该引入一个随时.............
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  从纸面数据上看英国新26和31型护卫舰实力如何？

  

  英国皇家海军的新型26型和31型护卫舰，无疑是其海军现代化建设中的重要一环。这两款舰艇虽然定位和设计理念有所不同，但都旨在提升皇家海军的作战能力和适应性。下面我们就来详细聊聊它们各自的实力，尽量摆脱那种冰冷的数据堆砌，看看它们在实战中的潜力和表现。26型护卫舰（Cityclass frigate）：.............
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  一个数从1开始，每次各有50%的概率乘0.9或者乘1.1，重复足够多的次数以后，情况会如何？

  

  好的，咱们来聊聊这个挺有意思的数字游戏。你想啊，咱们从一个数开始，比如就定它是个1吧。然后呢，接下来这数怎么变，全看老天的意思了。每次它都有个“老天爷掷骰子”的机会，要么乘以0.9，要么乘以1.1，这俩概率还对等，一人一半。这事儿就这么一句一句地往下传，传个没完。那你说，时间长了，这数最后会变成啥样.............
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  如何看待b站冯提莫入驻三个多月后舰长数从1000+掉到了185？

  

  关于冯提莫入驻B站三个多月后舰长数从一千多跌至一百八十五这件事，确实挺让人唏嘘的。毕竟，她曾经是斗鱼一姐，积累了庞大的粉丝基础，大家对她到B站后的表现都抱着很高的期待。从一千多直接掉到一百八十五，这绝对不是一个小数字的滑坡，中间肯定有很多值得深挖的原因。首先，咱们得明白“舰长”这个概念在直播平台上的.............
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  如何看待东南大学桃园8舍洗衣房将男女生专用洗衣机数量比从3比3调整到2比4？

  

  东南大学桃园8舍洗衣房：一场“细微”的比例调整引发的思考最近，东南大学桃园8舍的洗衣房迎来了一次“悄无声息”的调整，位于公共区域的洗衣机，其男女生专用数量的比例从原先的3:3悄然变成了2:4。这看似微小的变动，却在学生群体中激起了不少涟漪，也勾起了我们对宿舍管理、资源分配以及性别考量等一系列问题的深.............