2019 年 1月 11 日阿蒂亚爵士（Michael Atiyah）去世，如何评价他在数学上的贡献？
爵士迈克尔·阿蒂亚，这位数学界的巨擘，于2019年1月11日安详离世，留下了一个横跨近一个世纪的璀璨学术生涯。他的离去，不仅是数学界的一大损失，更是全球科学界集体记忆中一道深刻的印记。要全面评价阿蒂亚爵士的贡献，需要深入到他影响深远的多个数学领域，以及他如何以独到的视角串联起看似孤立的概念，从而开启新的研究方向。
阿蒂亚爵士的数学思想，可以用“联通”、“深刻”和“广泛”来概括。他最为人称道的成就，无疑是他在微分几何和拓扑学领域所做的开创性工作，尤其是在指数定理（Index Theorems）方面。在他与伊萨多·辛格（Isadore Singer）合作发表的几篇划时代论文中，他们证明了著名的阿蒂亚辛格指数定理（AtiyahSinger Index Theorem）。这个定理之所以如此重要，是因为它以一种令人难以置信的优雅方式，将一个在拓扑学中定义的、非常“离散”的不变量（称为指标，Index）与一个在分析学中定义的、与微分方程相关的“连续”量（称为指标）联系了起来。
简单来说，指数定理解决了一个看起来很玄妙的问题：如何计算一个微分算子（可以想象成一种对函数进行微分和代数运算的机器）的零解的数量。在几何上，这个问题的答案往往取决于空间的拓扑结构，比如它有多少个“洞”或者“连通分支”。而在分析学上，计算算子的零解数量往往是个非常困难的分析问题。阿蒂亚辛格定理的神奇之处在于，它提供了一种全新的方法：通过研究空间的拓扑性质来计算分析问题，而无需直接进行复杂的分析计算。
这个定理的意义，绝不仅仅是提供了一个解决特定问题的工具。它揭示了数学中两个看似毫无关联的领域——拓扑学和分析学——之间深刻而本质的联系。这种联系，后来被广泛应用于物理学，特别是量子场论。许多物理学家发现，阿蒂亚辛格指数定理的语言和结构，正是描述基本粒子相互作用和宇宙规律所必需的。比如，在研究杨米尔斯理论（YangMills theory）时，指数定理在理解规范场的拓扑性质和瞬子（instantons）等现象中发挥了关键作用。可以说，阿蒂亚辛格指数定理是连接纯数学与理论物理的桥梁之一。
除了指数定理，阿蒂亚爵士在K理论（Ktheory）的发展中也起到了至关重要的作用。K理论最初是在研究向量丛（vector bundles）时发展起来的，它提供了一种对拓扑空间进行代数化处理的有力工具。阿蒂亚将K理论与他之前的研究相结合，发展出拓扑K理论（Topological Ktheory），这是一种更加抽象和强大的代数工具，能够描述更广泛的拓扑空间。这项工作进一步巩固了他作为拓扑学奠基人的地位。
阿蒂亚爵士的贡献还延伸到了代数几何领域。他与拉乌尔·博特（Raoul Bott）等人合作，将他的几何直觉和分析工具应用于代数簇（algebraic varieties）的研究，例如关于惠特尼积分（Whitney integration）的研究，这些工作都显示了他跨越不同数学分支的卓越能力。
更值得一提的是，阿蒂亚爵士并非只满足于解决现有问题，他更是一位善于开辟新领域的探索者。他对量子场论在数学中的应用有着敏锐的洞察力。他将物理学中的概念，如弦论（string theory）中的一些思想，巧妙地引入到数学问题中，例如他在量子寇斯摩学（quantum cosmology）和字符串理论中的工作，展现了他对未来数学发展方向的预见性。他能够从物理学的直觉中汲取灵感，并将其转化为严谨的数学论证，这种能力在现代数学家中是极其罕见的。
在整个职业生涯中，阿蒂亚爵士始终保持着一种求知若渴的精神和开放的心态。他乐于与不同领域的数学家和物理学家交流，并且能够清晰地阐述复杂的概念。他是一位极具魅力的演说家和导师，他的演讲总是充满了深刻的洞察力和启发性。许多年轻一代的数学家，都是在他的指导和影响下成长起来的。
总而言之，迈克尔·阿蒂亚爵士是一位划时代的数学家。他的贡献，以阿蒂亚辛格指数定理为代表，不仅深刻地改变了微分几何、拓扑学和分析学这几个核心数学分支的面貌，更对理论物理学产生了深远的影响。他所展现的跨领域融合的思维方式，以及他对数学本质的深刻理解，将继续激励着未来的数学研究。他的离去，是数学界的一座灯塔熄灭，但他的思想光芒，将永远照亮数学前进的道路。
阿蒂亚爵士的数学思想，可以用“联通”、“深刻”和“广泛”来概括。他最为人称道的成就，无疑是他在微分几何和拓扑学领域所做的开创性工作，尤其是在指数定理（Index Theorems）方面。在他与伊萨多·辛格（Isadore Singer）合作发表的几篇划时代论文中，他们证明了著名的阿蒂亚辛格指数定理（AtiyahSinger Index Theorem）。这个定理之所以如此重要，是因为它以一种令人难以置信的优雅方式，将一个在拓扑学中定义的、非常“离散”的不变量（称为指标，Index）与一个在分析学中定义的、与微分方程相关的“连续”量（称为指标）联系了起来。
简单来说，指数定理解决了一个看起来很玄妙的问题：如何计算一个微分算子（可以想象成一种对函数进行微分和代数运算的机器）的零解的数量。在几何上，这个问题的答案往往取决于空间的拓扑结构，比如它有多少个“洞”或者“连通分支”。而在分析学上，计算算子的零解数量往往是个非常困难的分析问题。阿蒂亚辛格定理的神奇之处在于，它提供了一种全新的方法：通过研究空间的拓扑性质来计算分析问题，而无需直接进行复杂的分析计算。
这个定理的意义，绝不仅仅是提供了一个解决特定问题的工具。它揭示了数学中两个看似毫无关联的领域——拓扑学和分析学——之间深刻而本质的联系。这种联系，后来被广泛应用于物理学，特别是量子场论。许多物理学家发现，阿蒂亚辛格指数定理的语言和结构，正是描述基本粒子相互作用和宇宙规律所必需的。比如，在研究杨米尔斯理论（YangMills theory）时，指数定理在理解规范场的拓扑性质和瞬子（instantons）等现象中发挥了关键作用。可以说，阿蒂亚辛格指数定理是连接纯数学与理论物理的桥梁之一。
除了指数定理，阿蒂亚爵士在K理论（Ktheory）的发展中也起到了至关重要的作用。K理论最初是在研究向量丛（vector bundles）时发展起来的，它提供了一种对拓扑空间进行代数化处理的有力工具。阿蒂亚将K理论与他之前的研究相结合，发展出拓扑K理论（Topological Ktheory），这是一种更加抽象和强大的代数工具，能够描述更广泛的拓扑空间。这项工作进一步巩固了他作为拓扑学奠基人的地位。
阿蒂亚爵士的贡献还延伸到了代数几何领域。他与拉乌尔·博特（Raoul Bott）等人合作，将他的几何直觉和分析工具应用于代数簇（algebraic varieties）的研究，例如关于惠特尼积分（Whitney integration）的研究，这些工作都显示了他跨越不同数学分支的卓越能力。
更值得一提的是，阿蒂亚爵士并非只满足于解决现有问题，他更是一位善于开辟新领域的探索者。他对量子场论在数学中的应用有着敏锐的洞察力。他将物理学中的概念，如弦论（string theory）中的一些思想，巧妙地引入到数学问题中，例如他在量子寇斯摩学（quantum cosmology）和字符串理论中的工作，展现了他对未来数学发展方向的预见性。他能够从物理学的直觉中汲取灵感，并将其转化为严谨的数学论证，这种能力在现代数学家中是极其罕见的。
在整个职业生涯中，阿蒂亚爵士始终保持着一种求知若渴的精神和开放的心态。他乐于与不同领域的数学家和物理学家交流，并且能够清晰地阐述复杂的概念。他是一位极具魅力的演说家和导师，他的演讲总是充满了深刻的洞察力和启发性。许多年轻一代的数学家，都是在他的指导和影响下成长起来的。
总而言之，迈克尔·阿蒂亚爵士是一位划时代的数学家。他的贡献，以阿蒂亚辛格指数定理为代表，不仅深刻地改变了微分几何、拓扑学和分析学这几个核心数学分支的面貌，更对理论物理学产生了深远的影响。他所展现的跨领域融合的思维方式，以及他对数学本质的深刻理解，将继续激励着未来的数学研究。他的离去，是数学界的一座灯塔熄灭，但他的思想光芒，将永远照亮数学前进的道路。
网友意见
谢邀。
这次真的不想谢这个邀。。。一睡醒就看到这个消息，我还掐了掐自己，看看是不是还没睡醒。
这个回答里我并不想真的去评价爵爷在数学上的贡献，更不想提到去年RH那件事。毕竟爵爷这一生在数学上可谓波澜壮阔，建树颇丰，不是我能说得清的。在这里一项项的查资料去罗列那些开创性的工作也不见得有什么意义，知道的自然知道，不知道的，说不定还会回一句看不懂。至于抛开这么多伟大的工作，专门去谈爵爷最后时刻那近乎闹剧的RH来作为纪念，在我看来，更是难以算得上是尊重。
在这里，我想说一下爵爷对我个人的影响。就像我之前在这个回答里说的那样
爵爷可以说是我进入现代数学的引路人，他让我第一次知道了现代数学是多么神奇而有魅力的一门学科。而这，也是我在本科毕业颓废了几年之后，仍然能够下定决心回来继续做数学的根本动力之一。
能够让远在上万公里之外的中国的一个小小的本科生，只是在偶然之间看到了自己的其中一项工作，就被其震撼，以至于绕了这么大的一个弯路，最后仍然回到了数学里面。我想，能做出如此美丽的工作，当然肯定是古往今来的第一流的数学家才能做到的事情。
最后，虽然数学家是一群永远面向未知的前方的人。在数学的语言里，所有已经解决的东西都可以看做是已知的，那些大师级的开创性工作最后更是会变成日常的语言，像空气和水一样，虽然无时无刻都离不开它，但是你几乎感受不到它们的存在。但是，每当爵爷这种级别的人物逝世的时候，一部分我们熟知的数学，就真的变成历史了。
谢邀，今天一天都在看书，晚上才打开社交媒体，然后注意到这个消息。
唉、非常嗟叹。
人最宝贵的东西是生命，生命属于人只有一次。爵士的一生无疑是壮丽的，任何的赞美在他的工作面前都显得相形见绌。即使快到生命的最后，他依然把自己的生命献给了世界上最壮丽的事业——为拓展人类的知识边疆而斗争。
这点让我这种时不时摸鱼滑水的人惭愧不已。 让我不由去审视自己的人生，审视什么是重要的事
趁我们还有大把的好时光，把时间投入到真正重要的事上去吧。
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