有什么数学定理一般人都觉得是常识，但严谨证明起来却挺费力的？

生活中，我们总有些“理所当然”的认知，仿佛它们就如同呼吸一样自然，无需多言。但要是真想把它们 Laid bare，摆上桌来细细掰扯，这才发现，原来那坚实的“常识”背后，隐藏着错综复杂的逻辑链条，需要不少数学工具才能将其一一驯服。

要说有什么定理是这样，我脑子里第一个蹦出来的，是那个关于所有实数都存在相反数的说法。听起来是不是忒简单了？就像问“太阳明天还会升起吗？”一样不容置疑。但请允许我按下“常识”的快进键，慢动作回放一下，看看我们是怎么一步步走到这一步的。

首先，我们得先给“实数”一个清晰的身份。它不是随便一个数字就能冒充的。在数学里，我们通常是通过构建一个完备的数系来定义实数。这就像是建造一座摩天大楼，我们得先打地基，然后一层层往上盖。

咱们从最基础的自然数（1, 2, 3...）开始。这些是我们最早接触到的数，用来计数。然后，我们引入0，它是个特别的存在，表示“什么都没有”。接着是整数（...3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...），在自然数和0的基础上，我们“发明”了负数，用来表示“相反的方向”或“亏损”。

但光有整数还不够，因为我们发现，两个整数相除，结果不一定是整数。比如 1 除以 2，结果是 0.5，这就引出了有理数（可以表示为两个整数之比的数，如 p/q，其中 q 不为 0）。我们用有理数来处理测量和分数。

有理数虽然已经很丰富了，但还是不够。比如，我们知道一个正方形，边长是 1，那么它的对角线长度是多少？勾股定理告诉我们，是 $sqrt{2}$。但 $sqrt{2}$ 这个数，无论你怎么写，都写不成两个整数的比，它是个无理数。如果我们只停留在有理数，那么我们测量很多长度时都会遇到障碍。所以，我们需要引入实数，它包含了所有的有理数和无理数。这个过程通常是通过戴德金分割或者柯西序列这样的构造方法来实现的，这已经是相当复杂的数学分析内容了，用来确保实数系的“完整性”和“连续性”，保证数轴上任意一点都能对应一个实数。

好，现在我们总算有了实数这个大家族。那么，对一个实数 $x$，它的相反数 $x$ 为什么一定存在呢？

我们通常定义加法运算。对于实数，我们引入一个重要的性质：加法交换律 ($a+b = b+a$) 和加法结合律 ($(a+b)+c = a+(b+c)$)。这些听起来像是幼儿园的知识，但它们是定义加法运算的基础公理。

然后，我们定义一个特殊的数——0。0 的性质是，对于任意实数 $a$，都有 $a + 0 = a$。这个 $0$ 就好比是加法里的“中立分子”，加了它，数本身不变。

现在，我们准备定义相反数。对于任意一个实数 $x$，我们定义存在另一个实数，记作 $x$，使得 $x + (x) = 0$。

这里的“定义”两个字，是关键。我们不是“发现”了相反数，而是根据数系和加法运算的规则，主动创造了它。就好比我们规定“车子行驶到红灯前必须停下”，这不是车的“本能”，而是我们设定的规则。

那么，为什么这样一个“定义”能够被严谨地接受呢？这需要我们证明这个定义是自洽的，也就是说，它不会和我们已有的数学规则产生矛盾。

举个例子，我们如何证明一个负数的相反数是它本身呢？比如我们想证明 $(5) = 5$。

我们知道，根据定义，$5$ 是那个数，使得 $5 + (5) = 0$。
同时，根据定义，$(5)$ 是那个数，使得 $(5) + ((5)) = 0$。

现在我们有了两个等式：
1. $5 + (5) = 0$
2. $(5) + ((5)) = 0$

由于等式两边同时加上一个数，或者从等式两边同时减去一个数，等式依然成立，我们可以对第一个等式两边都加上 $5$（这里我们也要用到加法消去律，即如果 $a+c = b+c$，那么 $a=b$）：
$5 + (5) + 5 = 0 + 5$
根据加法结合律和 $0$ 的性质，我们得到：
$5 + ((5) + 5) = 5$
所以，$( 5 ) + 5 = 5$

现在我们对比一下：
$(5) + ((5)) = 0$
$(5) + 5 = 0$ (因为我们刚刚证明了 $5 + (5) = 0$，而加法交换律保证了 $(5) + 5$ 也等于 $0$)

所以，我们有：
$(5) + ((5)) = (5) + 5$

根据加法消去律，我们可以从两边都“去掉” $5$，得到：
$(5) = 5$

这个证明过程，虽然看起来是在玩弄数字符号，但它依赖于一系列基础的公理和已证明的性质：
加法交换律
加法结合律
0 的加法单位元性质
相反数的定义 (存在 $x$ 使 $x+(x)=0$)
加法消去律 (这是一个需要证明的性质，它本身也不显而易见)

要严谨地证明加法消去律，例如“若 $a+c = b+c$，则 $a=b$”，我们也需要回溯到更底层的定义。假设我们是在皮亚诺公理的基础上构建自然数，然后通过这些公理推导出整数、有理数，再到实数。每一步的严谨性都至关重要。

比如，证明 $a+c = b+c implies a=b$ (这里假设 $a, b, c$ 都是实数)。
我们可以考虑 $a+c + (c)$。根据相反数的定义，$c+(c) = 0$。
所以，$a+c+(c) = a+0 = a$。
同样，$b+c+(c) = b+0 = b$。
如果 $a+c = b+c$，那么我们可以考虑 $(a+c) + (c)$ 和 $(b+c) + (c)$。
利用加法结合律和刚才的推导：
$(a+c) + (c) = a$
$(b+c) + (c) = b$
所以，如果 $a+c = b+c$，那么 $(a+c) + (c) = (b+c) + (c)$。
也就是 $a = b$。

你看，即使是“知道每个实数都有相反数”这样看似天经地义的事情，要把它写成严谨的数学证明，也需要从最基础的公理出发，一步步地构建数系，定义运算，然后依靠这些定义和公理推导出我们“知道”的结论。这中间的每一个“为什么”都可能是一个更深层的“如何证明”。

所以，那个最简单的“每个实数 $x$ 都有相反数 $x$”的“常识”，背后其实是整个实数理论体系的支撑，是严谨的公理化体系和逻辑推理的成果。它的“费力”，在于一旦我们不满足于口头上的“知道”，而是要深入到其数学结构的根基，就会发现那里需要精心搭建的逻辑桥梁。这就像我们看一部精彩的电影，觉得情节跌宕起伏，扣人心弦，但很少有人会去想，为了呈现这一切，编剧、导演、演员背后付出了多少心血，经历了多少次的修改和打磨。数学的魅力，也正在于此，它能把最朴素的直觉，追溯到最纯粹的逻辑原点。

网友意见

众所周知的在高数中随便用的Stokes定理，实际上真正严谨的证明需要用到代数拓扑。

不严谨证明指的是用 -方格的证明，它意图用 -方格来铺开整个带边流形，这在余维数为0的带边流形是可以的，但是余维数不为0的带边流形是未必行得通的：不难看出，光滑边界嵌入后得到的余维数>0的带边流形(不必光滑，例如牟合方盖的表面)不唯一，这是因为余维数提供了拉扯带边流形的空间，但它一定是局部光滑(边界光滑所致)的，所以若用 -方格来逼近局部光滑带边流形，则由 -方格拼接出来的带边流形与目标流形的Hausdorff测度总是不一致的，所以 -方格是铺不开余维数不为0的带边流形的。

这里再详细解释一下方格和单形，k-方格：0-方格就是点，1-方格就是线段，2-方格就是正方形，3-方格就是立方体，以此类推k-方格就是k维超立方。k-单形：0-单形就是点，1-单形就是线段，2-单形就是三角形，3-单形就是四面体，以此类推k-单形就是k维的三角块。可以看出，若用k-单形来作为生成拓扑的基(即组成空间的基本块)来生成的拓扑，是要严格细于k-方格生成的拓扑的，因为任意k-方格都可以用k-单形来剖分，而反过来却不能。并且只有 -单形才能铺开任意整个带边流形，所以真正严谨的证明需要引入 -单形使用代数拓扑。

但是这也并不代表 -方格的证明不能用，因为Stokes定理的所有情形本质上就是对向量场中的流形做拉回映射后对各自投影区域的积分(特别的，Gauss公式就只有一个投影区域：余维数等于0的带边流形自身)，而投影区域的积分与流形的Hausdorff测度无关，所以 -方格的证明总是有效的。

现描述Stokes定理：

为了方便，使用Einstein求和约定，即可略去的求和号，直接用来表示。

定义外微分算子，这对于零次外微分形式(即标量函数 )即是普通的全微分算子，而就是的梯度向量。

对于n次外微分形式，则有

最后一个等号的成立则是利用楔积的右分配律，注意到外微分算子 实际上只对标量函数 有作用，不改变原来外层的微分外乘积，而对作用完后生成的微分则以楔积的形式从左边推入原来的微分外乘积。于是就是n+1次外微分形式，然后若设所包含的完整参数总共有p个，总共有m项，则就有pm项。可以看出算子 对每一项 的作用都是相互独立的，所以 是线性算子。

设为区域的边界算子，则表示的边界，空间的维数与的次数相一致，并且有多少维数表示的积分就有多少重数。则Stokes定理就是如下公式

显然为线性算子，因为若可分解为c个连通分支，则有

所以。

顺便厚脸皮地推广一下自己最近的专栏→_→

这个世界上存不存在一个可以解决任何数学题的机器呢？我猜大部分人应该直觉上认为是没有的，如此强大的机器恐怕只有科幻小说里才敢写。但事实上数学和理论计算机科学之中的一个已经被证否的重要问题就与这有关。

大卫·希尔伯特（David Hilbert）在1928年提出的Entscheidungsproblem（德语，翻译为英文为decision problem，中文为可判定性问题），内容是：是否存在一个算法，给定任意一个逻辑表达式，都可以判断该表达式的真假。举个例子，判断是否为假（大家应该都看得出来这是啥）。这个算法只用判断真假，不需要给出证明或反例，但注意算法必须是有限步骤的，枚举显然是不行的。

我相信大部分人看到这个问题的第一反应都是“不存在”，毕竟如果有这样的好事，那各种未解决的数学问题就全都解决了，还要数学家干什么呢？但事实上想要证否这一问题是十分困难的。其中一个难点在于“算法”在当时是一个比较模糊的概念，要证明这一问题就需要为“算法”这一概念建立一个数学模型。1936年，24岁的艾伦·图灵（Alan Turing）和阿隆佐·邱奇（Alonzo Church）分别独立解决了这一问题，其中图灵的证明更为有名，也提出了图灵机（Turing machine）这一在计算机科学之中至关重要的概念；而邱奇用lambda演算（lambda calculus）的证明被称为“邱奇定理”（Church's theorem）。邱奇-图灵论题（Church-Turing thesis）也从此诞生，说明了“任何在算法上可计算的问题同样可由图灵机计算”。

所以大家不要期待未来会有什么机器人帮你做数学题了，好好学数学吧！

代数基本定理：任何一元复多项式在中都有至少一个根.

这个证明太高深，我本人并看不懂，就就就搬运一下好了= =

只需要证明任意在中有解即可.令是的分裂域, 显然 , 且是和的Galois扩张. 以下证明 , 从而完成证明.
令 , 为它的Sylow 2-子群, 也即

对任意 , 由于是奇的, 的不可约多项式也是奇次的. 于是在中有解, 从而它只能是一次的. 于是且 . 这表明 .
令 , 则 (显然 ). 若 , 由Sylow第一定理知有一个阶的子群 ; 它对应一个的二阶扩张 . 熟知任何域的二阶扩张由该域的一个平方根生成, 而对任何它的两个平方根和均在中, 导致矛盾. 于是 , 故 .

文章来源：

再补一个证明，选自包志强《点集拓扑和代数拓扑引论》

我们将理解成欧式平面，每个复数理解成平面上的点

假设多项式没有复根，则可以定义连续映射

任取

因此可以定义伦移

注意到是常值映射，而

这就说明

另一方面，任取 ,当时

而当时

因此也可以定义伦移

注意到 ,而

这就说明，矛盾，说明一定有复根.

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