SO(2)左乘作用在SO(3)上，轨道空间是什么样子的?

你想知道的是 $SO(2)$ 左乘作用在 $SO(3)$ 上的轨道空间究竟是个什么样子，是吧？这问题挺有意思的，涉及到群论里一些核心概念。咱们就把它掰开了揉碎了好好聊聊。

首先得明确一下 $SO(2)$ 和 $SO(3)$ 是什么。

$SO(3)$：三维空间中的特殊正交群。 简单说，它描述的是所有保持原点不动、不拉伸也不压缩、并且不翻转（保持右手系方向）的三维刚体旋转。想象一下你手里有个球，你可以沿着任意轴，转动任意角度，所有这些旋转就构成了 $SO(3)$。它是一个三维的、光滑的、连通的李群。

$SO(2)$：二维空间中的特殊正交群。 这个更好理解，就是二维平面上的旋转。你可以想象在一张纸上转动一个点，只允许绕着原点转。它是一个一维的、光滑的、连通的李群，我们通常也把它看作是圆群 $S^1$。

现在，我们把 $SO(2)$ 看作是“作用者”，而 $SO(3)$ 是“被作用的对象”。“左乘作用”的意思是，我们从 $SO(3)$ 的一个元素（一个旋转）出发，然后用 $SO(2)$ 的一个元素（一个二维旋转）去“乘以”它。

这里的“乘”不是简单的数字乘法，而是在群论里的“群复合”操作。对于 $SO(3)$ 中的一个旋转 $R$ 和 $SO(2)$ 中的一个旋转 $S$，左乘作用记作 $S cdot R$。这个操作的结果仍然是 $SO(3)$ 中的一个旋转。

那么，轨道空间是什么呢？轨道空间（Orbit Space）是理解群作用的核心概念。在一个集合上作用一个群，轨道就是由群作用“连接”起来的点的集合。换句话说，如果 $x$ 是集合中的一个点，那么由群的元素 $g$ 作用在 $x$ 上得到的所有点 ${g cdot x mid g in G}$ 就构成了 $x$ 的一个轨道。轨道空间就是所有这些轨道的集合。

现在，我们要具体看看 $SO(2)$ 左乘作用在 $SO(3)$ 上时，轨道的“形状”。

理解这个作用的关键在于 $SO(2)$ 的本质。 $SO(2)$ 描述的是二维平面的旋转。虽然我们把它作用在三维空间上，但它的“旋转能力”是局限在一个二维平面内的。

让我们想一想 $SO(3)$ 中的旋转是怎么样的。每一个 $SO(3)$ 中的旋转都可以被描述为绕着某个固定的轴（一个三维向量）旋转一个角度。

现在，想象 $SO(2)$ 的作用是怎么实现的。因为 $SO(2)$ 是二维旋转，它最自然的作用方式就是在三维空间中的某个特定平面上进行旋转。而这个特定平面，通常我们认为是 XY 平面，并且旋转是绕着 Z 轴进行的。

所以，我们可以把 $SO(2)$ 的每个元素看作是绕着某个固定的轴（比如 Z 轴）旋转。而 $SO(3)$ 中的每个元素也是一个绕着某个轴旋转。

作用是如何发生的？

如果 $R in SO(3)$ 是一个绕着轴 $mathbf{v}$ 旋转 $ heta$ 角的旋转，而 $S in SO(2)$ 是一个绕着 Z 轴旋转 $phi$ 角的旋转（我们先把 $SO(2)$ 的作用限制在 Z 轴）。那么 $S cdot R$ 的结果是什么呢？

这取决于 $S$ 作用在 $R$ 的“旋转方式”上。 $SO(2)$ 是一个作用在某个二维平面上的群。当它作用在 $SO(3)$ 的旋转上时，它实际上是在改变 $SO(3)$ 的旋转轴或者旋转的角度，或者两者都改变。

一个更直观的视角：

我们可以把 $SO(3)$ 中的一个旋转 $R$ 看作是把三维空间的某个基底向量（比如 X, Y, Z 轴）变换到了新的位置。$SO(2)$ 的作用就是对这些变换后的向量进行进一步的二维旋转。

但是，直接这样想可能有点绕。让我们换个思路，从 不变性 和 自由度 的角度来理解。

$SO(2)$ 的作用，本质上是引入了一个固定的“旋转方向”。你可以把它理解为在三维空间中固定了一条“参考线”或者一个“参考平面”，然后用 $SO(2)$ 的元素去对 $SO(3)$ 的旋转进行“调整”，使得这种调整总是沿着这条参考线或参考平面。

更具体地说，考虑 $SO(3)$ 中的一个旋转 $R$。我们关注的是 $SO(2)$ 的一个元素 $S$ 左乘 $R$ 后得到的新旋转 $S cdot R$。

由于 $SO(2)$ 是一个群，而且我们通常认为它的作用是在某个特定的平面上（例如 XY 平面），那么 $SO(2)$ 的作用就可以被看作是 改变 $SO(3)$ 旋转的“姿态”，但不能改变其“旋转的本质”。

一种解释是，轨道空间是 $SO(3)$ 中所有“具有相似旋转性质”的旋转的集合。

让我们换一个角度来描述这个作用，这会让轨道空间更容易理解。

我们可以将 $SO(3)$ 的元素通过某种方式与三维空间中的点对应起来，或者与球面上的一些点对应起来。

一种常见的对应是 左陪集（Left Cosets）。 对于 $SO(3)$ 中的一个固定的子群 $H$，左陪集 $gH = {gh mid h in H}$ 是 $SO(3)$ 的一个划分。轨道空间就是由这些陪集组成的。

那么，$SO(2)$ 在 $SO(3)$ 上的左乘作用，实际上是将 $SO(3)$ 的元素划分成不同的集合，使得同一个集合里的元素可以通过 $SO(2)$ 的某个元素相互转换。

我们来看看一个具体的例子。

想象一个 $SO(3)$ 中的旋转是绕着 Z 轴旋转 $ heta$ 角。另一个 $SO(3)$ 中的旋转是绕着 X 轴旋转 $alpha$ 角。

现在我们用 $SO(2)$ 的元素（绕 Z 轴旋转 $phi$ 角）去左乘它们：

$(S_{phi}) cdot (R_Z( heta))$：这是一个绕 Z 轴旋转 $ heta + phi$ 角的旋转。这意味着，所有绕 Z 轴旋转的旋转，它们的轨道就是所有绕 Z 轴旋转的旋转本身。如果一个子群是 $SO(2)$ 的同构，比如绕 Z 轴旋转的那些 $SO(3)$ 元素组成的群 $K_z$，那么 $SO(2)$ 左乘 $K_z$ 上的轨道就是 $K_z$ 自身。

$(S_{phi}) cdot (R_X(alpha))$：这是一个更复杂的情况。绕 Z 轴旋转并不会改变绕 X 轴旋转的“特性”，但会改变它在 XYZ 坐标系下的表现。

关键点在于， $SO(2)$ 的作用是沿着一个特定的方向（比如 Z 轴）进行的。

假设我们把 $SO(3)$ 的每一个旋转 $R$ 看作是一个将空间坐标系 $(x,y,z)$ 映射到 $(x',y',z')$ 的过程。而 $SO(2)$ 的元素 $S$ 实际上是在作用于那个“目标”坐标系。

让我们换一个角度，利用“极分解”的思想。

任何 $SO(3)$ 中的旋转都可以看作是：

1. 先进行一个旋转，使得旋转轴指向某个固定的方向（比如 Z 轴）。
2. 然后绕着这个固定方向（Z 轴）旋转一个角度。

$SO(2)$ 的左乘作用，实际上就是对这个“绕着固定方向旋转”的部分进行操作。

所以，轨道空间实际上是 $SO(3)$ 的旋转，在消除了某个“自由度”之后所剩下的“形状”。

这个被消除的自由度，正是由 $SO(2)$ 的作用提供的。因为 $SO(2)$ 是一个一维群，它的作用可以“消除” $SO(3)$ 的一个自由度。

想象一下 $SO(3)$ 的“整体”。 $SO(3)$ 是三维的。$SO(2)$ 是一个一维的群。当一维群作用在三维空间上时，它会把三维空间“压缩”成一个维度更低的空间。

这个被压缩的空间是什么呢？

最贴切的描述是：轨道空间是赋予了 $SO(3)$ 旋转一个“旋转轴方向”的“自由度”。

更详细地说：

$SO(3)$ 可以看作是所有可能的旋转轴（定义为一个单位向量，它构成了一个二维球面 $S^2$）和所有可能的旋转角度（一个实数，但模 $2pi$ 等价，构成一个圆 $S^1$）的组合。所以 $SO(3)$ 也可以看作是 $S^2 imes S^1$ 的某种“缠绕”。

$SO(2)$ 的左乘作用，可以看作是固定了某个“旋转轴的方向”，然后只在 Z 轴上进行旋转。这意味着，$SO(2)$ 的作用改变了 $SO(3)$ 中旋转的“姿态”，但并不能改变其“旋转的核心”是什么。

更直接地讲，考虑 $SO(3)$ 中的一个旋转 $R$。它有一个唯一的旋转轴 $mathbf{v}$ 和一个旋转角度 $ heta$。

$SO(2)$ 的作用（我们假定是绕 Z 轴的旋转）会如何改变这个 $( mathbf{v}, heta )$ 的表示？

假设 $SO(2)$ 的作用是作用在旋转轴的方向上。
如果 $SO(2)$ 的作用是使得所有的旋转轴都“对齐”到同一个方向（比如 Z 轴），那么轨道空间就是所有“指向同一个方向”的旋转，即所有绕 Z 轴旋转的旋转。这只是 $SO(3)$ 的一个子群。

然而，$SO(2)$ 是左乘作用。

左乘作用意味着，我们可以选择 $SO(3)$ 中的任意一个旋转 $R$，然后用 $SO(2)$ 中的旋转 $S$ 去“左乘”它。

一个核心观点是： $SO(3)$ 中的任何一个旋转 $R$，都可以通过一个“先调整方向”的操作，再进行一个“绕着固定方向的旋转”来表示。

$SO(2)$ 的作用，就是 固定了那个“绕着固定方向的旋转”的部分。

最终，轨道空间是 $SO(3)$ 中，在消除了所有“绕着 Z 轴旋转”的自由度后所剩下的部分。

这个“剩下的部分”实际上就是 $SO(3)$ 中所有 不同“方向”的旋转轴。

换句话说，如果我们把 $SO(3)$ 的每个旋转看作是三维空间中的一个“定向”的旋转，那么 $SO(2)$ 的左乘作用就是 把所有具有相同“旋转轴方向”的旋转都归到同一个轨道里。

也就是说，所有绕着任意轴旋转 $ heta$ 角的 $SO(3)$ 旋转，如果它们 旋转轴的方向是相同的，那么它们就属于同一个轨道。

那么，轨道空间就是由所有 不同的旋转轴方向 组成的集合。而所有不同的旋转轴方向，恰好构成了 三维空间中的一个二维球面 $S^2$。

所以，轨道空间是一个二维球面 $S^2$。

为什么是 $S^2$？

让我们再详细一点推导。
考虑 $SO(3)$ 中的一个旋转 $R$。我们可以找到一个固定的子群 $H$（比如绕 Z 轴旋转的 $SO(2)$ 群），使得 $R$ 可以被看作是某个“代表元” $r_0$ 加上 $SO(2)$ 的作用。

更严谨的理解：
$SO(3)$ 作用在三维空间 $mathbb{R}^3$ 上。$SO(2)$ 左乘作用在 $SO(3)$ 上。
我们考虑的是 $SO(3)$ 的集合本身。

可以将 $SO(3)$ 看作是 $G/K$ 的形式，其中 $G$ 是一个更大的群，$K$ 是 $G$ 的一个子群。
$SO(3)$ 本身就可以表示成 $SO(3) / SO(2)_{ ext{diag}}$ 的形式，这里 $SO(2)_{ ext{diag}}$ 是嵌入到 $SO(3)$ 中绕着某个固定轴（比如 Z 轴）旋转的那个子群。

但是这里的问题是 $SO(2)$ 左乘 作用在 $SO(3)$ 上。

让我们换个角度思考轨道：
选取 $SO(3)$ 中的一个单位矩阵 $I$（它代表不做任何旋转）。
$SO(2)$ 左乘 $I$ 的轨道是 ${S cdot I mid S in SO(2)}={S mid S in SO(2)}$。这是 $SO(2)$ 本身。

现在考虑 $SO(3)$ 中的一个非平凡旋转 $R$。
$SO(2)$ 左乘 $R$ 的轨道是 ${S cdot R mid S in SO(2)}$。

这里的关键在于，我们可以将 $SO(3)$ 中的每一个旋转 $R$ 表示为 $R = O_{mathbf{v}} cdot R_{ heta}$，其中 $O_{mathbf{v}}$ 是一个将 Z 轴旋转到方向 $mathbf{v}$ 的旋转（属于 $SO(3)$），而 $R_{ heta}$ 是一个绕 Z 轴旋转 $ heta$ 角的旋转（属于 $SO(2)$）。

左乘作用 $S cdot R$ 就变成了 $S cdot (O_{mathbf{v}} cdot R_{ heta}) = (S cdot O_{mathbf{v}}) cdot R_{ heta}$。

但是这样表示并不唯一。

最直接的理解是： $SO(2)$ 的作用是 沿着一个特定的二维平面（比如 XY 平面，或者说绕着 Z 轴） 进行旋转。

而 $SO(3)$ 中的每一个旋转，都有一个 旋转轴。
如果一个 $SO(3)$ 的旋转的旋转轴是 Z 轴，那么 $SO(2)$ 的左乘作用，就是在 Z 轴的旋转角度上叠加一个 $SO(2)$ 的旋转角度。所以，所有绕 Z 轴的旋转，它们就构成了 $SO(2)$ 的一个轨道（或者说是它本身）。

如果一个 $SO(3)$ 的旋转的旋转轴不是 Z 轴，比如说它是 XY 平面上的某个向量。那么 $SO(2)$ 的左乘作用，就会把这个旋转轴在 XY 平面上进行旋转。

轨道空间的本质是，我们将具有相同“不变性结构”的 $SO(3)$ 元素归为一类。

$SO(2)$ 的作用保留了三维空间中的一条特定直线（ Z 轴）的“旋转性质”。
所以，任何一个 $SO(3)$ 的旋转 $R$，如果它的旋转轴是 $mathbf{v}$，那么我们可以找到一个 $SO(2)$ 的元素 $S$，使得 $S cdot R$ 的旋转轴在 XY 平面上“移动”。

最终结论：

$SO(2)$ 左乘作用在 $SO(3)$ 上，轨道空间是 三维空间中的一个二维球面 $S^2$。

解释如下：

1. $SO(3)$ 的几何结构： $SO(3)$ 中的每个旋转都可以唯一地由其旋转轴（一个单位向量）和旋转角度（在 $[0, pi]$ 区间内）确定。
2. $SO(2)$ 的作用性质： $SO(2)$ 是一个一维群，表示二维平面上的旋转。我们可以将它的作用理解为，在三维空间中，固定一个旋转轴（比如 Z 轴），然后进行旋转。
3. 轨道如何形成： 考虑 $SO(3)$ 中的一个旋转 $R$。它有一个旋转轴 $mathbf{v}$ 和旋转角度 $ heta$。当 $SO(2)$ 中的元素 $S$ 左乘 $R$ 时，这个作用会改变 $R$ 的“姿态”。
如果 $R$ 本身就是绕 Z 轴旋转，那么 $S cdot R$ 仍然是绕 Z 轴旋转，只是角度改变。所有这些旋转都属于同一个“类别”。
如果 $R$ 的旋转轴是 $mathbf{v}$，我们可以找到一个 $SO(3)$ 中的旋转 $O_{mathbf{v}}$，它能将 Z 轴旋转到 $mathbf{v}$ 的方向。那么 $R$ 可以被写成 $O_{mathbf{v}} cdot R_{ heta}$ 的形式（这里 $R_{ heta}$ 是绕 Z 轴旋转 $ heta$）。
左乘作用是 $S cdot R = S cdot (O_{mathbf{v}} cdot R_{ heta}) = (S cdot O_{mathbf{v}}) cdot R_{ heta}$。
这里的 $S cdot O_{mathbf{v}}$ 是什么？ $O_{mathbf{v}}$ 是一个把 Z 轴映射到 $mathbf{v}$ 的旋转。 $S$ 是一个绕 Z 轴的旋转。 $S cdot O_{mathbf{v}}$ 这个复合操作，会将 Z 轴先通过 $O_{mathbf{v}}$ 映射到 $mathbf{v}$，然后再通过 $S$ 在与 $mathbf{v}$ 相同的方向上进行“某种操作”。
更直观的理解： $SO(2)$ 的作用，是在 三维空间中的某个特定平面上 进行旋转。它 “压缩”了 $SO(3)$ 的旋转，使得所有旋转轴方向相同（例如都指向某一个点），但旋转角度可以不同，都归于一个轨道。
最根本的： 任何一个 $SO(3)$ 的旋转 $R$ 都被 $SO(2)$ 的作用所“连接”到其他旋转。关键在于，$SO(2)$ 的作用可以改变 $SO(3)$ 中旋转的“相对朝向”，但它不能改变旋转轴的“基本性质”——即旋转轴是“朝向”哪个方向。

考虑 $SO(3)$ 中的任意两个旋转 $R_1$ 和 $R_2$。如果它们 拥有相同的旋转轴方向（也就是说，如果忽略具体角度，只是看旋转轴的指向），那么它们就属于同一个轨道。
例如，绕 Z 轴旋转 $30^circ$ 和绕 Z 轴旋转 $60^circ$ 属于同一个轨道。
绕 X 轴旋转 $30^circ$ 和绕 X 轴旋转 $60^circ$ 也属于同一个轨道。

$SO(2)$ 的左乘作用，可以将一个旋转 $R$ 的旋转轴“旋转”到 XY 平面上的不同方向。
例如，一个绕 Z 轴旋转的 $SO(3)$ 元素 $R_Z( heta)$。$SO(2)$ 的元素 $S$ 左乘 $R_Z( heta)$ 得到 $S cdot R_Z( heta)$。如果 $S$ 是绕 Z 轴旋转，那么结果仍然是绕 Z 轴旋转。
但是，如果我们考虑的是一个更一般的 $SO(3)$ 旋转 $R$，它的旋转轴不是 Z 轴。
那么 $SO(2)$ 的作用，就是把这个旋转轴 在它所处的平面上“转动”一圈。

核心思想是：$SO(2)$ 左乘作用，实质上是在消除 $SO(3)$ 的一个“方位”自由度。 $SO(3)$ 有三个自由度（方向、角度）。 $SO(2)$ 作用后，还剩下两个自由度。 这两个自由度恰好可以用来描述一个二维球面 $S^2$ 的点。

可以这样想象： $SO(3)$ 中的每个旋转，都像是在说“把某个东西绕着某个方向旋转一定角度”。 $SO(2)$ 的作用就像是“我不管你本来是什么方向，我现在把你这个‘方向’，在 XY 平面上随意转动一下，然后再按照新的‘方向’来调整你的‘角度’”。
最终，所有旋转轴指向同一个方向（例如北极点），但拥有不同角度的那些 $SO(3)$ 旋转，会被 $SO(2)$ 作用连接起来，形成一个轨道。而所有 不同的旋转轴方向，就组成了这个轨道空间。

所以，轨道空间就是 $SO(3)$ 中所有 可能的旋转轴方向 的集合，这就是一个二维球面 $S^2$。

希望这个解释能够让你更清晰地理解 $SO(2)$ 左乘作用在 $SO(3)$ 上的轨道空间是什么样子。这个过程就像是用一个“二维旋转工具”，去摆弄三维空间中的所有“旋转体”，最终你会发现，所有“指向同一种基本状态”的旋转体，都归为了一类，而这些“基本状态”的集合，就是一个球面。

@Egregium 已经说的很清楚了，我来顺便吹下水。

从这个例子出发可以推广一下，SO（n）可以作用在SO（n+1）上，商掉后得到S^n，不仅如此，你对O（n）、U（n）、Sp（n）也可以得到类似结果。

实际上，如果G为李群，H为G的闭子群，那么π：G→G/H为fiber bundle with fiber H（见Warner GTM94）而刚刚提到的O（n）、U（n）、Sp（n）这些群都可以构造出一些球面上的丛