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问题

弹性常数和杨氏模量有什么关系，可以换算吗？

回答
好的，咱们来聊聊弹性常数和杨氏模量。

首先，得明确一个概念：弹性常数（Elastic Constants）是一个更广泛的说法，它包含了描述材料在弹性形变时，应力与应变之间关系的各种参数。而杨氏模量（Young's Modulus），又称拉伸模量，是弹性常数中的一个具体体现，而且是最常用、最直观的一个。

可以把弹性常数想象成一个“家族”，而杨氏模量就是这个家族里一个非常重要且常见的成员。

为什么会有“弹性常数”这个更广泛的概念？

材料的弹性行为，也就是在受力后能恢复原状的特性，并不总是像拉伸一样简单。在实际情况中，材料会受到各种形式的力，比如：

拉伸或压缩：这是我们最容易想到的，就像把橡皮筋拉长或把海绵压扁。
剪切：就像你用剪刀剪纸，或者拧毛巾，物体在平行于受力面的方向发生变形。
体积变化：当一个物体受到均匀的压力时，它的体积会发生变化，比如潜水艇在深海里受到的压力。

不同的受力方式，会导致材料产生不同的应力（单位面积上的力）和应变（相对的形变）。弹性常数就是用来量化这些不同应力应变关系的参数。

杨氏模量是怎么来的？

杨氏模量专门描述的是材料在受拉或受压时的弹性行为。

想象一下，你拿一根金属杆，一头固定，另一头施加一个向下的拉力。

应力 (Stress)：就是你施加的这个力，除以金属杆的横截面积（σ = F/A）。力越大，或者杆越细，应力就越大。
应变 (Strain)：就是杆子被拉长了多少，除以它原来的长度（ε = ΔL/L₀）。拉得越长，或者原来越短，应变就越大。

胡克定律 (Hooke's Law) 是描述这种关系的基础。在弹性范围内，应力与应变成正比。杨氏模量就是这个比例系数：

σ = E ε

其中：

σ 是正应力（normal stress），单位通常是帕斯卡 (Pa) 或兆帕 (MPa)。
ε 是正应变（normal strain），是一个无量纲的量（长度变化量/原始长度）。
E 就是杨氏模量，单位和应力一样，也是帕斯卡 (Pa) 或兆帕 (MPa)。

所以，杨氏模量是描述材料在拉伸或压缩时，抵抗变形能力的一个量。E 越大，材料越“硬”，越难被拉伸或压缩。

那么，其他弹性常数是什么？

除了杨氏模量，还有一些其他的弹性常数，它们描述的是不同形式的弹性行为：

1. 剪切模量 (Shear Modulus, G)：
描述材料在剪切作用下的抵抗变形能力。
想象用一个力平行于物体的一个表面，让它相对于另一个表面滑动。
应力是剪应力 (τ)，应变是剪应变 (γ)。
关系是：τ = G γ
G 的单位也是帕斯卡 (Pa)。

2. 泊松比 (Poisson's Ratio, ν)：
这是一个比较特殊的常数，它描述的是材料在单向拉伸或压缩时，横向尺寸变化与纵向尺寸变化之间的比例。
当你拉伸一根橡皮筋时，它不仅会变长，还会变细。当你压缩它时，它不仅会变短，还会变粗。
泊松比就是（横向应变 / 纵向应变）的负值（因为一个增大时，另一个通常减小）。
ν 是一个无量纲的量。

3. 体积模量 (Bulk Modulus, K)：
描述材料在均匀压力作用下，抵抗体积变化的能力。
当一个物体受到来自四面八方的压力时，它的体积会缩小。
应力是体积应力（压强 P），应变是体积应变 (ΔV/V₀)。
关系是：P = K (ΔV/V₀) （负号表示压强增大时，体积减小）
K 的单位也是帕斯卡 (Pa)。

弹性常数和杨氏模量可以换算吗？

答案是：可以，但前提是材料必须是各向同性的。

各向同性材料 (Isotropic Materials)：这类材料的弹性性质在所有方向上都相同。很多常见的金属（如铝、铜、铁）在宏观上都可以近似看作是各向同性的。

各向异性材料 (Anisotropic Materials)：这类材料的弹性性质在不同方向上是不同的。比如木材（沿木纹方向和垂直木纹方向强度和弹性差异很大）、晶体（某些晶体结构）、复合材料等。

对于各向同性材料，只要知道其中任意两个独立的弹性常数，就可以计算出其他的。

杨氏模量 (E)、剪切模量 (G) 和泊松比 (ν) 之间，以及它们与体积模量 (K) 之间，存在着以下相互关联的公式：

E = 2G(1 + ν) （杨氏模量与剪切模量和泊松比的关系）
E = 3K(1 2ν) （杨氏模量与体积模量和泊松比的关系）
G = E / [2(1 + ν)] （剪切模量可以通过 E 和 ν 计算）
K = E / [3(1 2ν)] （体积模量可以通过 E 和 ν 计算）
ν = (E / 2G) 1 （泊松比可以通过 E 和 G 计算）

举个例子：

假设你知道某种金属的杨氏模量 E = 200 GPa (吉帕斯卡)，泊松比 ν = 0.3。

那么，你可以计算出：

剪切模量 G = 200 GPa / [2(1 + 0.3)] = 200 GPa / 2.6 ≈ 76.9 GPa
体积模量 K = 200 GPa / [3(1 20.3)] = 200 GPa / [3(0.4)] = 200 GPa / 1.2 ≈ 166.7 GPa

所以，总结一下：

弹性常数 是一个总称，用来描述材料在弹性变形时应力与应变的关系，包含杨氏模量、剪切模量、泊松比、体积模量等。
杨氏模量 是一个具体的弹性常数，专门描述材料在拉伸或压缩时的刚度。
对于各向同性材料，它们是相互关联的，可以通过特定的公式进行换算。知道其中两个独立的常数，就能算出其他的。
对于各向异性材料，情况要复杂得多，需要更多的独立弹性常数才能完全描述其弹性行为，而且它们之间的直接简单换算关系就不适用了。

在实际工程应用中，杨氏模量是最常被提及和使用的，因为它直接关联了我们最容易感受到的“拉伸/压缩强度”。但如果涉及到剪切、扭转或高压体积变化等情况，我们就需要用到剪切模量、泊松比或体积模量了。

网友意见

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本期推文所讲述内容，在一本叫做PHYSICAL PROPERTIES OF CRYSTALS的书中被详细说明，该书可以说是做晶体物理性质计算的圣经。该书在1990年由西安交大的孟中岩教授组织翻译过中文版，并于1994年出版，名为《晶体的物理性质》，很可惜该书没有再版，很多高校也没有藏书，网上也难寻中文版的踪影。我们特意将该书的中文版和英文版作为本期的附件内容，希望能够对做计算的你有所帮助

弹性常数

弹性常数描述了晶体对外加应变的响应的刚度。在材料的线性变形范围内（应变较小的情况下），体系的应力与应变满足胡克定律。也就是说，对于足够的小的变形，应力与应变成正比，即应力分量(S)是应变分量(E)的线性函数，三维材料的弹性刚度常数矩阵是6×6的：

公式中Cij就是我们通常所说的弹性常数。因为刚度矩阵是对称矩阵，因此，弹性常数的独立张量元数目至多只有21个。对不同的晶系的晶体，因为对称性的关系，其独立的弹性常数是确定的。因此，晶系的对称性越高，独立的张量元数目越少。


注意：弹性常数的数量只和晶系有关，和晶系中具体的对称类型无关。


VASP5.2以上版本计算弹性常数：


在INCAR中添加IBRION=6,NFREE=4,ISIF=3。计算结束后会产生刚度矩阵，即得到了弹性常数(Cij)。FCC结构的刚度矩阵如下图所示：

FCC结构只有3个独立矩阵，得到弹性常数C11，C12，C44。

下面具体展示了不同晶系的刚度矩阵：


01立方晶系——只有3个独立矩阵元（C11，C12，C44）

02六角晶系——有5个独立矩阵元（C11，C12，C13，C33，C44）

03三角晶系


a) 32，3m，-32/m——有6个独立矩阵元（C11，C12，C13，C14，C33，C44）

b) 3，-3,——有8个独立矩阵元（C11，C12，C13，C14，C15，C33，C44，C45）


04四方晶系


a) 422，4mm，-42m，4/mmm——有6个独立矩阵元（C11，C12，C13，C33，C44，C66）

b) 4，-4，4/m——有7个独立矩阵元（C11，C12，C13，C16，C33，C44，C66）

05正交晶系——有9个独立矩阵元（C11，C12，C13，C22，C23，C33，C44，C55，C66）


06单斜晶系——有13个独立矩阵元

07三斜晶系——有21个独立矩阵元

弹性模量和泊松比


以上VASP计算得到弹性常数，根据Voigt-Reuss-Hill [1-3]近似模型，可以得到剪切模量(G)和体模量(B)。以立方晶系为例：

Voigt average：



Reuss average：

Hill average：

由G和B，可以得到杨氏模量(E)和泊松比(v)：


参考文献：

[1] D. W. Voigt, Lehrbuch der Kristallphysik, Taubner, Leipzig, 1928.

[2] A. Reuss, Z. Angew, Math. Mech 9 (1929) 55.

[3] R. Hill, Proc. Phys. Soc. London A 65 (1952) 349.


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