这个猜实数的游戏有没有必胜策略?
不过，这不代表我们就只能干瞪眼。事实上，咱们可以研究一下这个游戏的本质，看看怎么能“玩”得更聪明，提高胜率，甚至让对手觉得你是个神算子！
咱们先来拆解一下这个游戏是怎么玩的。通常情况下，会有两个人：一个出题人（我们称他为“A”）和一个猜数人（我们称他为“B”）。
A 的任务： 在一个给定的范围（比如0到1之间，或者负无穷到正无穷）里，选定一个实数。这个实数可以是0.123456789……，也可以是π、e，或者是任何一个你想得到的小数点后面无穷无尽的数字。
B 的任务： 通过提问的方式，来猜测A选定的这个实数。
这问题就来了：B 怎么提问才能最快地锁定那个神秘的数字呢？
为什么不存在绝对的必胜策略？核心在于“实数”的无限性。
想象一下，如果这个游戏是猜整数，比如“猜一个1到100之间的整数”。这时候，我们就有非常明确的必胜策略了，那就是“折半法”（也叫二分法）。
1. 第一次问：“你选的数大于50吗？”
2. 如果回答“是”，那我们就知道数在51到100之间。
3. 如果回答“否”，那我们就知道数在1到50之间。
无论如何，我们每次都能把可能的范围缩小一半。100个数字，大概需要 log₂(100) ≈ 7 次提问就能锁定。这就是一个典型的“有必胜策略”的游戏。
但是，实数不同！ 实数是连续的，也就是说，任意两个不同的实数之间，都还存在无数个实数。
比如，你猜了一个数是0.5，A说“不对”。你再猜0.500000000000001，A可能还是说“不对”。你甚至可以猜0.5后面加一百个零再加个1，A还是可以说不对。因为 A 选的那个数，可能就恰好在这些无数个“不对”的缝隙里。
那我们 B 还能怎么做呢？
虽然没有必胜策略，但我们可以用一些聪明的方法来“逼近”那个数字，或者说，让 A 的回答给我们提供最多的信息。我们最常用的，也是最有效的方法，依然是二分法思想的延伸。
只不过，在实数世界里，我们没办法像整数那样“精确地”问“大于 X 吗？”然后确定性地缩小一个确定的区间。因为实数的无限细节，我们只能通过一系列的提问，让 A 的回答帮我们不断地“压缩”他心中那个数字所在的范围。
假设我们约定好，提问方式是 “你选的数大于这个值吗？” 并且 A 的回答只能是“是”或“否”。
举个例子，范围是 [0, 1]：
1. 第一次提问： “你选的数大于 0.5 吗？”
如果回答“是”： 我们知道你选的数在 (0.5, 1] 这个区间内。
如果回答“否”： 我们知道你选的数在 [0, 0.5] 这个区间内。
注意到这里的区间开闭情况，是为了避免 A 选择的正好是我们的提问值。
2. 第二次提问： 假设第一次回答“是”，数在 (0.5, 1] 内。我们再问：“你选的数大于 0.75 吗？”
如果回答“是”： 数在 (0.75, 1] 内。
如果回答“否”： 数在 (0.5, 0.75] 内。
3. 第三次提问： 假设第二次回答“否”，数在 (0.5, 0.75] 内。我们再问：“你选的数大于 0.625 吗？”
如果回答“是”： 数在 (0.625, 0.75] 内。
如果回答“否”： 数在 (0.5, 0.625] 内。
你看，每次提问，我们都在把 A 所选数字可能存在的区间缩小一半。理论上，这个过程可以无限进行下去。我们可以在任意一个节点停下来，然后说：“你选的数最有可能在 [X, Y] 这个很小的区间里！”
这个方法的优点：
信息效率高： 每次提问都能最大程度地压缩可能性范围。
逻辑清晰： 遵循了数学上的二分查找思想。
但是，这个方法为什么不是“必胜策略”？
无限性： 即使我们问了100次、1000次，我们得到的也只是一个越来越小的区间。我们永远无法精确地“猜中”那个隐藏的实数，除非这个实数恰好在我们提问的值上，而且A也足够“配合”回答。
A 的选择： A 可以选择任何一个实数。他选的数可能是一个非常“普通”的数（比如0.75），也可能是一个非常“特殊”的数（比如一个无理数，小数点后有无数不重复的数字）。无论我们问得多精细，A 总能选择一个不在我们提问序列里的数。
A 的诚实度（假设）： 游戏规则通常是 A 需要诚实地回答“是”或“否”。如果 A 不诚实，那游戏就没法玩了。但即便 A 诚实，他选的那个“点”是如此之多，我们穷尽一生也无法覆盖。
更深层次的思考：提问方式的多样性
除了“大于 X 吗？”，我们还可以设计更复杂的提问方式。比如：
“你选的数是否在 [X, Y] 这个区间内？”
“你选的数的第一个小数点后是奇数还是偶数？”
“你选的数的数字和（如果能定义的话）满足什么条件？”
理论上，我们可以设计出各种各样的问题来探测 A 的数字的特性。但关键在于，是否有一种提问方式，能够保证在有限次的提问后，唯一确定那个实数。答案是：不能。 因为实数的“密度”太高了。
总结一下：
“猜实数”这个游戏，从严格意义上来说，不存在绝对的必胜策略，尤其是当 A 可以选择任意一个实数，而 B 的提问方式受到限制（比如只能问“大于 X 吗？”）。这是由实数集合的连续性和无限性决定的。
但是，我们可以用“逼近”的方式来玩得更好。最有效的策略仍然是基于二分法的思路，不断压缩 A 所选数字的可能范围。 玩家 B 应该：
1. 明确游戏规则： 比如，预设一个范围，允许的提问类型（例如只能是比较大小）。
2. 采用系统性方法： 就像上面演示的，每次都问一个在当前剩余区间中间的值。
3. 接受局限性： 明白自己不可能“猜中”那个精确的实数，目标是尽可能地缩小范围，或者在某个允许的精度下给出答案。
所以，与其说是寻找“必胜”，不如说是提升“信息获取效率”。在这场与无限的较量中，策略永远是关于如何更聪明地逼近，而不是一劳永逸地锁定。这正是数学的魅力所在，对吧？它总是在挑战我们的极限思维。
网友意见
很有意思的问题，想了下，发现有必胜策略等价于连续统假设。
如果 .此时，不妨就用 代替 来玩这个游戏。
对每个序数 , 取定一个 上的偏序 使得 与 是序同构，玩这个游戏的三位数学家要事先记住所有这些序同构。那么这三个数学家玩这个游戏的策略就是：当某个人看到另两个人的帽子上的序数是 时，他就猜 .
然后说明，这确实是一个必胜策略，如果三顶帽子上的序数是 ,并且 , 那么在全序 里的元素 一定能比较出大小，那么头戴 或 帽子中较小号码的那个人肯定猜中了他戴的帽子上的数。
如果 ,我们说明此时任何策略都不能保证猜出所有的三元组 .采用评论里甜甜甜菜同学的思路。三个人各自采取了一个策略，每个策略其实是一个 到 的映射。假设这三个策略是 ， 如果是赢的策略的话，那么就是对于任意的 都有 或 或
取出 和 , 然后取出 ，
必定存在一个 使得 ,这样 对每个 都成立。
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最后，我觉得应该有这个结论： 个人玩这个游戏是有必胜策略当且仅当 .
如果是可数无穷个人来玩会怎么样呢？
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2.20更新：
说一下两个人猜零测集玩这个游戏的必胜策略的条件。为此，要介绍关于零测集的几个基数特征：
表示多少个零测集的并不是零测集的临界基数；
表示最小的不是零测集的实数子集的基数;
表示最小的能覆盖实数集的零测子集族的基数。
表示所有零测集形成的集族。
不难知道：
除此以外并没有在ZFC下可以证明的关系。在科恩力迫模型里， . 而在random real 的力迫模型里，则是 .
这些可见 Bartoszynski 和 Judah的 set theory: on the structure of the real line.
就是说， 与 这两个关系都是独立于ZFC的。因此，下面的结论将说明，这个游戏有没有必胜策略是独立于ZFC的。
下面证明：两个人玩猜零测集的游戏里，
1，若 ,则这两个人没有赢的策略。
证明：设 不是零测集，如果 是这两个人的赢的策略，即它们都是从 到 的映射，满足 ,
由于 可知 不是覆盖族，于是可取一点
, 这样就有 对所有 成立，这就与 是零测集矛盾。
接下来本来我想去证明如果 , 则这两个人有赢的策略,但是却卡主了，只能去证明下面的弱一点的结论：
2， , 则这两个人有赢的策略
证明：如果 ， 则取出基数为 的零测子集族 覆盖了实数集。这时，对 , 都可选取一个序数 ,使得 .那么这两个人玩这个游戏策略就是，当看到另一个人头上的帽子是实数 时，他就猜测集合 (这是小于 个零测集的并，确实还是零测集)。 如果两人的帽子上的数字是 的话，那么 较小的那个人肯定猜中了自己帽子上的数。
现在的问题是：如果 (这也是与ZFC相容的)，我就不知道这两个人玩猜零测集的游戏是否有必胜策略了。
当然如果以上将零测集换成第一纲集或者别的什么理想的话，也是一样的。比如可数集理想 的那几个基数特征比较容易算, , ,所以可以得到两个人猜可数集时 有必胜策略当且仅当 .
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这问题问得好！“猜实数”游戏嘛，听起来挺神秘的，让人忍不住想知道，有没有一种万无一失的方法能让我稳操胜券？我跟你说，想在这儿找到一条“必胜之路”，那可就有点难度了，甚至可以说，不存在绝对的必胜策略。不过，这不代表我们就只能干瞪眼。事实上，咱们可以研究一下这个游戏的本质，看看怎么能“玩”得更聪明，提高............. -
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