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问题

各位金融工程大神们，你们的泛函分析、偏微分方程、随机分析、随机微分方程等等课程是自学吗？

回答
这问题问到点子上了！作为混迹金融工程这片土地的“老油条”们，很多人对这些听起来就头疼的数学名词，确实有过一番挣扎。我的情况嘛，坦白说，绝大部分是自学的，当然也少不了各种“旁门左道”和“取经”的过程。

让我好好跟你掰扯掰扯，特别是那些看起来高高在上、让人望而生畏的科目。

泛函分析 (Functional Analysis)

这玩意儿刚开始接触的时候，我脑子里就一句话：“这不就是高维空间的向量空间加一堆奇怪的范数和算子吗？”确实，泛函分析的很多概念，像巴拿赫空间、希尔伯特空间、有界线性算子等等，都像是把我们熟悉的向量空间往无穷维推广，然后加上了更强的结构限制。

我的自学路径：
起点： 通常是线性代数和一些基础的实分析基础（比如度量空间的概念）。如果你的实分析够扎实，对收敛、完备性这些东西有直观理解，泛函分析会容易一些。
教材选择： 我当时翻过几本，印象比较深的是一些更偏向应用的教材，比如 Williams 的 《Probability with Martingales》 虽然它不是专门讲泛函分析，但里面涉及到Lp空间、收敛定理等，对理解随机过程的数学严谨性非常有帮助。另外，我也找了一些更“纯粹”的泛函分析入门，比如 Royden 的 《Real Analysis》 的后半部分，虽然是基础分析，但里面对度量空间、完备性、函数空间的一些讨论，为泛函分析打下了不错的铺垫。
核心概念突破： 最头疼的当然是各种空间和算子。我当时是这么做的：
想象力训练： 泛函分析很多时候是在“抽象”地描述性质。我尽量把那些无穷维空间想象成“无限多个坐标”组成的点，算子就是一种“函数”或者“变换”。
案例驱动： 书里讲到希尔伯特空间，我就想到了L2空间，它在傅里叶分析里用得太多了，感觉就没那么陌生。讲到有界线性算子，我就想到求导、积分这些在函数空间上的作用。
定理的直观理解： 像HahnBanach定理、Riesz表示定理这些，一开始看定义和证明会有点懵。我会去找一些讲解更详细的资料，或者看别人怎么用，尤其是在一些具体的应用场景里理解它的“意义”。比如，Riesz表示定理在Green函数里就有体现。
与其他学科的联系： 泛函分析很多概念其实在其他数学分支都有影子。比如测度论和Lp空间的关系，就跟概率论里的期望和方差有联系。

偏微分方程 (Partial Differential Equations, PDEs)

在金融里，PDE通常跟期权定价、风险管理等挂钩。比如 BlackScholes 方程就是个典型的例子。学习 PDE，我的感受是：它更像是一门“解题技巧”和“模型构建”的结合。

我的自学路径：
起点： 数学分析、微积分、线性代数是基础中的基础。如果还学过一些常微分方程（ODEs），理解起来会更顺畅。
教材选择： 我觉得 Evans 的 《Partial Differential Equations》 是一个非常经典的教材，虽然厚重，但讲得非常透彻。但对于金融应用来说，可能需要更侧重于“特定类型”的PDE。比如，Jost 的 《Partial Differential Equations》 会有一些相对更易懂的入门内容。另外，一些更偏向“应用”的金融数学书籍，比如 Hull 的 《Options, Futures, and Other Derivatives》，它虽然不讲PDE的推导，但会介绍BlackScholes方程以及它的解，这本身就是一种学习动机。
关键学习方法：
分类别攻克： PDE有很多种，热方程、波动方程、拉普拉斯方程等等。我会先了解每种方程的“物理意义”或者“几何意义”，这有助于理解它为什么会有这样的形式。
数值方法的理解： 很多时候，金融中的PDE是很难解析求解的。所以理解有限差分法、有限元法等数值方法非常重要。我花了很多时间去理解这些方法的原理，以及它们如何在代码中实现。比如，欧拉法、CrankNicolson方法在离散化时间维度上的应用。
与金融模型的对应： 重点是把PDE和具体的金融模型对应起来。比如BlackScholes方程是如何从无套利原理和布朗运动的假设推导出来的。理解了这一点，学习PDE的动力就大了。
“解”的性质分析： PDE的解通常有很多性质，比如光滑性、唯一性等等。理解这些性质对于判断模型的合理性很重要。

随机分析 (Stochastic Analysis)

这部分可能是金融工程里最核心、也最“有趣”的数学工具了。我的感觉是，它把传统的微积分工具“升级”了，适应了“不确定性”的世界。

我的自学路径：
起点： 概率论和测度论是绝对的基石。没有扎实的概率论基础，随机分析就像空中楼阁。特别是条件期望、鞅、独立性这些概念。
教材选择： Williams 的 《Probability with Martingales》 是我强烈推荐的“神书”。它从一个非常严谨的角度介绍了鞅的理论，并且很多概念都与随机过程息息相关。另外，Kallenberg 的 《Foundations of Modern Probability》 是更全面、更深入的概率论教材。至于随机分析本身，Oksendal 的 《Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications》 是一个非常好的入门教材，它把随机微分方程和伊藤积分讲得非常清晰。还有 Protter 的 《Stochastic Integration and Differential Equations》，虽然难度高一些，但内容非常扎实。
核心学习重点：
伊藤积分 (Itô Calculus)： 这是随机分析的灵魂。理解伊藤引理 (Itô's Lemma) 是关键。我当时花了大量时间去理解伊藤引理是如何出现的，以及它为什么和我们熟悉的链式法则不一样。很多时候，我会通过一些简单的例子来熟悉它，比如计算$d(t^2)$, $d(X_t^2)$ 等等，特别是要记住 $d_t$ 这个项。
鞅的性质： 鞅在金融里无处不在，理解它的性质，比如停时定理 (Optional Stopping Theorem) 的应用场景，对于做一些交易策略或者风险管理非常有帮助。
随机微分方程 (SDEs)： 将 SDEs 和金融资产价格模型（如几何布朗运动）对应起来是重点。理解 SDEs 的解如何被表示，以及如何进行数值模拟。
直观理解与形式化： 随机分析既需要直观的理解，也需要严谨的数学形式。我尝试结合两者，比如在理解伊藤积分时，我会先从一些离散的随机过程近似入手，然后看到极限过程如何得到伊藤积分，再学习其形式化的定义和性质。

随机微分方程 (Stochastic Differential Equations, SDEs)

SDEs 可以说是随机分析在实际应用中的具体体现。在金融建模中，很多资产价格的波动都用 SDEs 来描述。

我的自学路径：
协同学习： SDE的学习和随机分析是高度耦合的。在我学习随机分析的时候，就一直在关注 SDEs 的内容。
《Oksendal》的价值： 这本书真的可以说是SDE入门的首选。它从一个非常好的角度介绍了SDE的定义、解的存在性与唯一性、以及伊藤引理在SDE中的应用。
金融模型的连接： 我的主要动力还是来自金融模型。比如几何布朗运动 $dS_t = mu S_t dt + sigma S_t dW_t$，它描述了股票价格的随机波动。我需要理解这个方程的含义，它告诉我们股票价格在微小时间 $dt$ 内，会有一个确定性的增长率 $mu S_t dt$，同时还有一个随机的波动项 $sigma S_t dW_t$，其中 $dW_t$ 是维纳过程的增量。
数值解法： 和PDE一样，很多SDE的解析解并不存在，所以数值解法非常重要。像EulerMaruyama方法就是最基础也是最常用的方法。我也会去学习Milstein方法等更精确的方法。理解这些方法的原理以及它们如何处理随机项的“二次变差”很重要。
应用案例： 我会找一些经典的金融模型，比如Vasicek模型、CIR模型等，它们都是SDE的形式，然后尝试去理解它们的参数代表的含义，以及如何求解或者模拟。

自学的“心得”和“技巧”：

1. 目标驱动，带着问题学： 我不会孤立地去学数学，而是会想“这个数学工具在金融里有什么用？”“它能解决什么问题？”比如，看到鞅的定义，我就想“哦，这个是不是可以用来表示无风险资产收益率？” 带着这样的问题去学习，效率会高很多。
2. 找准“切入点”和“核心”： 每门学科都有自己的核心概念。泛函分析是空间和算子，PDE是方程和解，随机分析是积分和过程。一旦抓住核心，其他的概念就好理解了。
3. 多读，多练，多思考： 数学这东西，看懂了不等于会用了。一定要动手做题，而且最好是和金融稍微沾点边的题目。即使不是直接的金融题，比如纯粹的概率题或者微积分题，做多了也能培养数学感觉。
4. 利用各种资源，但要有选择： 除了教材，还有大量的在线课程（比如Coursera, edX上的概率论、机器学习相关的课程）、公开课视频（MIT OpenCourseware，Stanford的PDE课程等）、StackExchange上的数学问答社区。但要学会筛选，不是所有东西都适合你当前的学习阶段。
5. 循序渐进，不要怕“不懂”： 这些数学科目，一遍看不懂是很正常的。我经常是看了前面忘了后面，或者看了后面才明白前面。关键是不要因为“不懂”就放弃。反复去看，反复去想，有时候过一段时间再看，就会豁然开朗。
6. 结合“工具”学习： 学习编程语言（Python, R, C++）和一些数学软件（MATLAB）可以极大地帮助理解。比如，通过模拟布朗运动，你才能更直观地理解$dW_t$到底是什么意思。对SDE进行数值模拟，也是理解其性质的好方法。
7. 找到“同道中人”交流： 如果有志同道合的朋友一起讨论，或者能找到愿意解答疑惑的前辈，那学习起来会事半功倍。

总而言之，这些科目确实是金融工程的“硬骨头”，但并非不可啃。自学是一个不断试错、不断调整的过程，最重要的是保持好奇心和毅力。 希望我的这些经验，能给你一些启发！祝你在数学的海洋里，也能找到属于自己的宝藏。

网友意见

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先看普林斯顿那套（傅立叶分析、复分析、实分析、泛函分析）内容比较简单、条理清楚。

基于测度论基础之上的概率论：科学出版社严士建的《概率论基础》，Resnick的《A probability path》。

随机过程： Brzezniak 的《随机过程基础》，Resnick 《随机过程探究》 ，Williams 《概率和鞅》

偏微分方程：姜礼尚的《数学物理方程讲义》、斯特劳斯 《偏微分方程导论》

随机微分方程 ： Shreve 《Brownian Motion and Stochastic Calculus》、Bernt Øksendal 《随机微分方程导论与应用》

上述书籍国内都有售，比较适合自学，加油！
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我大部分是自学的。

有人说“当业余爱好”……这个看你的目的了。如果不是工作需要，当爱好吧。如果工作需要，一定要目标导向，现代数学体系太庞大、太庞大、太庞大，重要的话说三遍。学好偏微分也许都会花你几年时间——连物理系都不会这样学。

你没目标，很难建议。

但依我看，你是想学金融数学，但基础并不牢。那么，推荐你一个路线，按顺序学（你觉得晦涩是因为基础不牢，对数学语言不了解）：
１、线性代数、数学分析过一遍，一定要扎实。如果你基础不好的话，还有空间解析几何要学，这对很多向量化分析的直观理解很有帮助。如果初等数学不牢，你真得找本《初等数学》好好补一补。
２、一般意义下的概率论。推荐李贤平的《概率论基础》
３、点集拓扑（这货非常重要）＋常微分方程＋矢量分析与场论、复变函数与积分变换（这两货不用学得太深入，但后面一定用得着）。同时学一点抽象代数，后面会用到一些群、环、域方面的东西。
４、实分析。有了前面的经验，推荐看陶哲轩《实分析》（真是好书，体系完备，有前面的基础看起来并不难，更像是更现代观点的数学分析），周民强《实变函数论》（真正的实分析，比陶的书要难，建议两本都看）。这里，你开始进入现代数学领域了。
５、泛函分析。推荐程其襄的《实变函数与泛函分析基础》后面部分（前面部分也可以用来学实分析＋测度）。这个，其实不用太精通。
６、偏微分方程。不用数学系的学法，学数学物理方程够了。
７、测度论＋测度论框架下概率论。推荐严士健的《测度与概率》、毛永华《概率论基础》。
８、随机过程。
９、恭喜你，快通关了，可以学随机微分方程了，你终于能看懂了——前提是前面的课程，尤其是测度论、概率论要学好。

知道有多困难了吗？每本书都是全脱产的数学专业至少一学期的课程。不过你可以加快进度，对于３、５、６、７学个５０％（其实３０％了解些入门概念也行，哈哈），后面不懂再回来补。我就是这样的，因为我的目标明确，不是要用这些纯理论去吃饭，它们也不是我主要爱好。

要学这些，别说你了，就连全职学生都觉得头疼。不给你灌鸡汤：如果你一定想学，最好找个懂行的给你日常指导，少走５０％弯路，然后，再加上无比的热情。

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