有没有反三角函数的「和差角公式」？

反三角函数的“和差角公式”是一个很有趣的话题，因为它们不像三角函数那样直接存在简单的“和差角公式”。原因在于反三角函数是三角函数的反函数，它们的定义域和值域都有限制，这使得直接套用类似三角函数和差角公式的结构会变得复杂，甚至可能不存在普适的简单形式。

但是，我们可以通过利用反三角函数的定义、三角函数的和差角公式以及一些巧妙的恒等关系，来推导和表示反三角函数的和差关系。与其说是“和差角公式”，不如说是“反三角函数求和/或差值的表达式”。

下面我将详细地解释这一点，并给出一些常见的推导和形式。

为什么反三角函数没有直接的“和差角公式”？

让我们回顾一下三角函数和差角公式：
$sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B$
$cos(A + B) = cos A cos B sin A sin B$
$ an(A + B) = frac{ an A + an B}{1 an A an B}$

这些公式的特点是：
1. 输入是角度 (A, B)：公式直接处理两个角度的和或差。
2. 输出是该角度的和或差的正弦、余弦或正切值：结果仍然是三角函数。

现在我们来看反三角函数：
$arcsin x$：输入是值（在[1, 1]之间），输出是角度（通常在 $[frac{pi}{2}, frac{pi}{2}]$ 之间）。
$arccos x$：输入是值（在[1, 1]之间），输出是角度（通常在 $[0, pi]$ 之间）。
$arctan x$：输入是值（任意实数），输出是角度（通常在 $(frac{pi}{2}, frac{pi}{2})$ 之间）。

如果我们尝试直接写出类似的形式，例如 $arcsin x + arcsin y$ 的形式，我们发现直接得到一个关于 $x$ 和 $y$ 的简单反三角函数表达式是很困难的。这是因为反三角函数返回的是角度，而我们希望得到的是某个值的反三角函数。

如何“表达”反三角函数的和差？

我们的目标是找到一个表达式，使得：
$ ext{反三角函数}(x) + ext{反三角函数}(y) = ext{某个反三角函数}(某个关于x和y的表达式)$

为了实现这个目标，我们通常会这样做：

1. 设未知量为角度：这是关键步骤。我们设 $alpha = arcsin x$，$ eta = arcsin y $，等等。
2. 将反三角函数转化为三角函数：根据定义，我们知道 $sin alpha = x$，$cos alpha = sqrt{1 x^2}$（注意符号，取决于 $alpha$ 的范围），等等。
3. 利用三角函数的和差角公式：对我们设定的角度 $alpha$ 和 $eta$ 使用三角函数和差角公式。
4. 将结果转化回反三角函数：最后，如果我们得到了 $sin(alpha + eta) = Z$ 的形式，我们就可以写出 $alpha + eta = arcsin Z$。

下面我们分别推导几个常见的反三角函数和差形式：

1. $arcsin x + arcsin y$

设 $alpha = arcsin x$，$eta = arcsin y$。
根据定义，我们有：
$sin alpha = x$，且 $frac{pi}{2} le alpha le frac{pi}{2}$
$sin eta = y$，且 $frac{pi}{2} le eta le frac{pi}{2}$

我们可以求 $sin(alpha + eta)$：
$sin(alpha + eta) = sin alpha cos eta + cos alpha sin eta$

我们需要 $cos alpha$ 和 $cos eta$。由于 $alpha, eta in [frac{pi}{2}, frac{pi}{2}]$ 和 $[frac{pi}{2}, frac{pi}{2}]$，它们的余弦值都是非负的：
$cos alpha = sqrt{1 sin^2 alpha} = sqrt{1 x^2}$ （当 $frac{pi}{2} le alpha le frac{pi}{2}$ 时，$cos alpha ge 0$）
$cos eta = sqrt{1 sin^2 eta} = sqrt{1 y^2}$ （当 $frac{pi}{2} le eta le frac{pi}{2}$ 时，$cos eta ge 0$）

代入公式：
$sin(alpha + eta) = x sqrt{1 y^2} + sqrt{1 x^2} y$

所以，$alpha + eta = arcsin(x sqrt{1 y^2} + y sqrt{1 x^2})$。

但是，这里有个重要的问题： $arcsin$ 函数的值域是 $[frac{pi}{2}, frac{pi}{2}]$。
$alpha + eta$ 的范围是多少呢？
由于 $frac{pi}{2} le alpha le frac{pi}{2}$ 且 $frac{pi}{2} le eta le frac{pi}{2}$，所以 $pi le alpha + eta le pi$。

如果 $x sqrt{1 y^2} + y sqrt{1 x^2}$ 在 $[1, 1]$ 之间，那么上面的等式是成立的。但是，如果 $alpha + eta$ 的值超出了 $[frac{pi}{2}, frac{pi}{2}]$ 的范围，直接用 $arcsin$ 就会出错。

举例说明问题：
考虑 $arcsin(1) + arcsin(1)$。
$arcsin(1) = frac{pi}{2}$。
所以 $arcsin(1) + arcsin(1) = frac{pi}{2} + frac{pi}{2} = pi$。

按照我们推导的公式：
$x=1, y=1$
$arcsin(1) + arcsin(1) = arcsin(1 sqrt{1 1^2} + 1 sqrt{1 1^2}) = arcsin(0) = 0$。
这是错误的！因为 $arcsin(0) = 0$，而我们期望得到 $pi$。

如何修正？
我们需要考虑 $alpha + eta$ 的实际范围。
如果 $alpha + eta > frac{pi}{2}$，那么 $sin(alpha + eta)$ 的值我们会计算出来，但它的反 $arcsin$ 值会落在 $[0, frac{pi}{2}]$。我们需要加上或减去 $pi$ 来修正。
如果 $alpha + eta < frac{pi}{2}$，同理。

具体来说：
令 $S = x sqrt{1 y^2} + y sqrt{1 x^2}$。
我们有 $sin(alpha + eta) = S$。

1. 当 $frac{pi}{2} le alpha + eta le frac{pi}{2}$ 时： $alpha + eta = arcsin S$。
这通常发生在 $x, y$ 都比较小的时候。

2. 当 $frac{pi}{2} < alpha + eta le pi$ 时：
此时 $alpha + eta = pi arcsin S$。
这种情况发生在 $alpha$ 和 $eta$ 都比较大（接近 $frac{pi}{2}$），导致它们的和超过了 $frac{pi}{2}$。
什么时候 $alpha + eta > frac{pi}{2}$ 呢？
考虑 $cos(alpha + eta) = cos alpha cos eta sin alpha sin eta = sqrt{1x^2}sqrt{1y^2} xy$。
如果 $cos(alpha + eta) < 0$，那么 $alpha + eta$ 大于 $frac{pi}{2}$。
因此，当 $sqrt{1x^2}sqrt{1y^2} xy < 0$ 时，我们可能需要修正。
等价于 $sqrt{(1x^2)(1y^2)} < xy$。由于 $x, y$ 在 $[1, 1]$ 之间，如果它们是正数，可以平方：$1 x^2 y^2 + x^2y^2 < x^2y^2 implies 1 x^2 y^2 < 0 implies x^2 + y^2 > 1$。
所以，当 $x > 0, y > 0$ 且 $x^2 + y^2 > 1$ 时，$alpha + eta > frac{pi}{2}$。

3. 当 $pi le alpha + eta < frac{pi}{2}$ 时：
此时 $alpha + eta = pi arcsin S$。
这种情况发生在 $alpha$ 和 $eta$ 都比较小（接近 $frac{pi}{2}$），导致它们的和小于 $frac{pi}{2}$。
当 $x < 0, y < 0$ 且 $x^2 + y^2 > 1$ 时，$alpha + eta < frac{pi}{2}$。

总结 $arcsin x + arcsin y$ 的表达式：

令 $alpha = arcsin x$, $eta = arcsin y$。
$arcsin x + arcsin y = egin{cases} arcsin(xsqrt{1y^2} + ysqrt{1x^2}) & ext{if } |x| le 1, |y| le 1, x^2+y^2 le 1 \ pi arcsin(xsqrt{1y^2} + ysqrt{1x^2}) & ext{if } x>0, y>0, x^2+y^2 > 1 \ pi arcsin(xsqrt{1y^2} + ysqrt{1x^2}) & ext{if } x<0, y<0, x^2+y^2 > 1 end{cases}$

注意： 以上公式是针对 $alpha, eta$ 的范围定义在 $[frac{pi}{2}, frac{pi}{2}]$ 的情况。如果使用不同的反正弦函数定义域，公式会有所不同。此外，还可以进一步使用余弦公式来更精确地判断象限。

2. $arccos x + arccos y$

设 $alpha = arccos x$，$eta = arccos y$。
根据定义，我们有：
$cos alpha = x$，且 $0 le alpha le pi$
$cos eta = y$，且 $0 le eta le pi$

我们可以求 $cos(alpha + eta)$：
$cos(alpha + eta) = cos alpha cos eta sin alpha sin eta$

我们需要 $sin alpha$ 和 $sin eta$。由于 $alpha, eta in [0, pi]$，它们的正弦值都是非负的：
$sin alpha = sqrt{1 cos^2 alpha} = sqrt{1 x^2}$ （当 $0 le alpha le pi$ 时，$sin alpha ge 0$）
$sin eta = sqrt{1 cos^2 eta} = sqrt{1 y^2}$ （当 $0 le eta le pi$ 时，$sin eta ge 0$）

代入公式：
$cos(alpha + eta) = xy sqrt{1 x^2} sqrt{1 y^2}$

所以，$alpha + eta = arccos(xy sqrt{1 x^2} sqrt{1 y^2})$。

但是，同样存在值域问题：
$alpha, eta in [0, pi]$，所以 $alpha + eta in [0, 2pi]$。
$arccos$ 的值域是 $[0, pi]$。

1. 当 $0 le alpha + eta le pi$ 时： $alpha + eta = arccos(xy sqrt{1 x^2} sqrt{1 y^2})$。
这通常发生在 $x, y$ 都比较大的时候（接近 1）。

2. 当 $pi < alpha + eta le 2pi$ 时：
此时 $cos(alpha + eta) = cos(2pi (alpha + eta))$。
如果我们用 $arccos$ 计算得到的值是 $ heta = arccos(xy sqrt{1 x^2} sqrt{1 y^2})$，那么 $alpha + eta$ 的实际值应该是 $2pi heta$。
什么时候 $alpha + eta > pi$ 呢？
考虑 $sin(alpha + eta) = sqrt{1x^2}sqrt{1y^2} xy$。
如果 $sin(alpha + eta) < 0$，并且我们计算出的 $alpha + eta$ 的余弦值 $xy sqrt{1 x^2} sqrt{1 y^2}$ 是正的，那么 $alpha + eta$ 在第三或第四象限，由于 $alpha + eta ge 0$, 所以在第三象限，即大于 $pi$。
实际上，当 $x$ 和 $y$ 都比较小（接近 1）时，$alpha$ 和 $eta$ 都接近 $pi$，它们的和会大于 $pi$。
当 $cos(alpha+eta) < 0$ 时，即 $xy < sqrt{1x^2}sqrt{1y^2}$。由于 $x, y in [1, 1]$，且此时通常是负数，两边平方需要小心符号。
更直接地，当 $x, y in [1, 0)$ 时，$alpha, eta in (frac{pi}{2}, pi]$。它们的和自然会大于 $pi$。
在这种情况下，当 $alpha + eta > pi$，我们有 $alpha + eta = 2pi arccos(xy sqrt{1 x^2} sqrt{1 y^2})$。

总结 $arccos x + arccos y$ 的表达式：

令 $alpha = arccos x$, $eta = arccos y$。
$arccos x + arccos y = egin{cases} arccos(xy sqrt{1x^2}sqrt{1y^2}) & ext{if } |x| le 1, |y| le 1, x+y ge 0 \ 2pi arccos(xy sqrt{1x^2}sqrt{1y^2}) & ext{if } |x| le 1, |y| le 1, x+y < 0 end{cases}$
这里的条件 $x+y ge 0$ 是一个简化的判断，更严谨的判断是看 $alpha+eta$ 的范围。当 $x,y$ 均为负数时，$alpha, eta in (frac{pi}{2}, pi]$，所以 $alpha+eta in (pi, 2pi]$。
所以更准确的条件是：
$arccos x + arccos y = egin{cases} arccos(xy sqrt{1x^2}sqrt{1y^2}) & ext{if } xy sqrt{1x^2}sqrt{1y^2} ge 1 ext{ and } alpha + eta le pi \ 2pi arccos(xy sqrt{1x^2}sqrt{1y^2}) & ext{if } xy sqrt{1x^2}sqrt{1y^2} < 1 ext{ or } alpha + eta > pi end{cases}$
（这里的判断条件会变得复杂，通常会简化为检查 $x$ 和 $y$ 的符号。）

3. $arctan x + arctan y$

设 $alpha = arctan x$，$eta = arctan y$。
根据定义，我们有：
$ an alpha = x$，且 $frac{pi}{2} < alpha < frac{pi}{2}$
$ an eta = y$，且 $frac{pi}{2} < eta < frac{pi}{2}$

我们可以求 $ an(alpha + eta)$：
$ an(alpha + eta) = frac{ an alpha + an eta}{1 an alpha an eta} = frac{x + y}{1 xy}$

所以，$alpha + eta = arctanleft(frac{x + y}{1 xy} ight)$。

值域问题：
$alpha, eta in (frac{pi}{2}, frac{pi}{2})$，所以 $alpha + eta in (pi, pi)$。
$arctan$ 的值域是 $(frac{pi}{2}, frac{pi}{2})$。

1. 当 $frac{pi}{2} < alpha + eta < frac{pi}{2}$ 时： $alpha + eta = arctanleft(frac{x + y}{1 xy} ight)$。
这通常发生在 $1xy > 0$ (即 $xy < 1$) 的情况下。

2. 当 $frac{pi}{2} < alpha + eta < pi$ 时：
此时 $ an(alpha + eta) = frac{x+y}{1xy}$。如果我们直接用 $arctan$ 计算得到的值是 $ heta = arctanleft(frac{x + y}{1 xy} ight)$，那么 $alpha + eta$ 的实际值应该是 $pi + heta$。
这种情况发生在 $1xy < 0$ (即 $xy > 1$) 并且 $x > 0, y > 0$ 时。这时 $alpha$ 和 $eta$ 都是正的，它们的和可能超过 $frac{pi}{2}$。
如果 $x>0, y>0$ 且 $xy > 1$，则 $alpha, eta in (0, frac{pi}{2})$。此时 $alpha + eta in (0, pi)$。如果 $ an(alpha+eta) > 0$ 且 $alpha+eta > pi/2$，则 $alpha+eta$ 在第二象限。
此时 $alpha + eta = pi + arctanleft(frac{x + y}{1 xy} ight)$。

3. 当 $pi < alpha + eta < frac{pi}{2}$ 时：
此时 $ an(alpha + eta) = frac{x+y}{1xy}$。直接用 $arctan$ 计算得到的值是 $ heta = arctanleft(frac{x + y}{1 xy} ight)$，那么 $alpha + eta$ 的实际值应该是 $pi + heta$。
这种情况发生在 $1xy < 0$ (即 $xy > 1$) 并且 $x < 0, y < 0$ 时。这时 $alpha$ 和 $eta$ 都是负的，它们的和可能小于 $frac{pi}{2}$。
此时 $alpha + eta = pi + arctanleft(frac{x + y}{1 xy} ight)$。

总结 $arctan x + arctan y$ 的表达式：

令 $alpha = arctan x$, $eta = arctan y$。
$arctan x + arctan y = egin{cases} arctanleft(frac{x+y}{1xy} ight) & ext{if } xy < 1 \ pi + arctanleft(frac{x+y}{1xy} ight) & ext{if } xy > 1, x>0, y>0 \ pi + arctanleft(frac{x+y}{1xy} ight) & ext{if } xy > 1, x<0, y<0 \ frac{pi}{2} & ext{if } xy = 1, x>0, y>0 \ frac{pi}{2} & ext{if } xy = 1, x<0, y<0 end{cases}$

这个公式是反三角函数和差公式中最常见和实用的一个。

4. 反三角函数的差

反三角函数的差也可以类似地推导。例如，$arcsin x arcsin y$：
设 $alpha = arcsin x$, $eta = arcsin y$。
$sin(alpha eta) = sin alpha cos eta cos alpha sin eta = xsqrt{1y^2} ysqrt{1x^2}$
$alpha eta = arcsin(xsqrt{1y^2} ysqrt{1x^2})$
同样需要考虑值域修正。

为什么这些被称为“公式”？

尽管它们不像三角函数那样简洁，但它们确实提供了一种将两个反三角函数运算的结果表示为另一个反三角函数形式的方法。这些公式在解方程、积分计算（特别是使用三角替换进行积分时）等方面非常有用。

总结

虽然反三角函数没有直接意义上的“和差角公式”，但我们可以通过一系列推导，将两个反三角函数的和或差表示为另一个反三角函数的形式。关键在于：

1. 设定角度变量：将反三角函数的值设为角度。
2. 利用三角函数性质：将角度的三角函数值（如正弦、余弦、正切）用原反三角函数的参数表示出来。
3. 应用三角函数和差角公式：对这些角度的和差应用标准的三角函数和差角公式。
4. 处理值域问题：由于反三角函数的值域有限制，需要根据参数的范围对计算出的结果进行修正（通常是加上或减去 $pi$ 或 $2pi$），以确保最终结果在正确范围内。

这些推导过程虽然略显繁琐，但它们是数学中处理反三角函数关系的重要工具。

有这样一个基本公式：

，

或者

为了变成题主所说的形式，令

，

这需要我们用 、 反解出 、 ：

我们假设 ，由上面两个关系式，解得：

，

，

我们根据 来选择恰当的表达式.

事实上， 关于 、 对称：

并且

将文中第一个公式中的 与 全部代换为 与 的表达式，于是就能得到反正弦的和角公式，但是它并不是 与 的某种组合的形式.

那么，题主所说的那种形式究竟存在吗？我目前还不确定，但是我觉得可能性很低，即使有，表达式可能会非常复杂.

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我补充一下第一个公式的证明：

令 ，

则原等式右边为

而当满足时，上式即等于原等式左边.

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关于反余弦、反正切也有类似公式，根据上面的推导过程，相信不难理解，补充如下：

• ，

• ，

---

我最后补充一下反正切的和角公式.

令 ，

反解出 、 （ ）：