0.23571113•••（小数点后面由全体素数组成）是有理数还是无理数 怎么证明？
这串数字，0.23571113•••，小数点后面依次是质数。我们来好好研究一下它到底是哪个“大家族”的成员：有理数还是无理数。
首先，我们得明确一下什么是“有理数”和“无理数”。
有理数 就像它的名字一样，是可以“说得清楚”的数。它们都能表示成两个整数的比，也就是分数的形式，$p/q$，其中$p$和$q$都是整数，而且$q$不能是零。比如，1/2，3，5/7，0.75（可以写成3/4）都是有理数。有理数的小数表示，要么是有限小数（比如0.75），要么是无限循环小数（比如1/3 = 0.333...）。
无理数 则是那些无论如何也无法写成两个整数的比的数。它们的特点是，小数表示是无限不循环的。最出名的无理数莫过于$pi$（圆周率）和$sqrt{2}$（根号2）。
现在我们来看看这串数字：0.23571113•••
小数点后的数字是这样排列的：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ...
这些数字，顾名思义，都是质数（也叫素数）。质数是指大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数。
那么，这串数字有理还是无理呢？
要判断一个无限小数是不是有理数，关键在于它的小数部分是否会“循环”。如果小数部分能够以一个或一组数字不断重复出现，那它就是有理数（可以写成分数）。反之，如果小数部分永远不会重复，无限地变化下去，那就是无理数。
我们来看看这串质数序列：
2
3
5
7
11
13
17
19
23
...
这些质数本身在不断增长，而且它们之间的间隔也在变化。随着数字越来越大，质数的分布虽然有规律可循（比如质数定理描述了它们的大致密度），但它们本身并没有一个固定的、重复出现的“模式”。
证明它的无理性
要严格证明一个无限小数是无理数，通常需要一些数学工具和证明技巧。对于这串“由全体素数组成的”小数，我们可以从“是否存在循环”这个角度来思考。
假设这串数字 0.23571113••• 是一个有理数。那么，根据有理数的定义，它的小数部分必须是循环的。这意味着，从小数点后的某个位置开始，会有一个有限的数字块无限地重复出现。
例如，如果它是有理数，它可能看起来像这样：0.123451234512345...（循环节是12345）或者0.123123123...（循环节是123）。
但是，我们知道小数点后的数字是严格按照质数序列来生成的。质数序列的特点是什么？
1. 质数无限多：这是欧几里得几千年前就证明过的基本定理。这意味着我们总能找到下一个质数。
2. 质数之间的间隔不固定且增长：虽然质数看起来“密集”时间隔小（比如2和3之间只差1），但随着数字增大，质数之间的间隔会越来越大，而且没有一个固定的上限。比如，两个连续质数之间可以间隔很多合数。
如果这串小数的小数部分是循环的，就意味着质数序列会进入一个无限重复的模式。但我们知道，质数的生成是基于数论的深刻性质，它并不是简单地重复。例如，我们不可能找到一个固定的数$k$和某个质数$p$，使得从$p$开始，接下来的所有质数都遵循“加上某个值就得到下一个质数”的规律。
更直接地说，假设存在一个循环节。比如，某个循环节是$N$位数字。那么，小数点后第$m$位开始，第$m$位到第$m+N1$位的数字会无限重复。
这意味着，如果我们写出质数序列：$p_1, p_2, p_3, dots$
那么，在小数点后 $p_1$（2位），$p_2$（3位），$p_3$（5位），直到某个质数$p_k$的表示，它们会构成一个序列，然后这个序列的一部分会重复。
这会导致一个荒谬的结论：质数序列在某个时刻会“用尽”或“循环”。但我们知道质数是无限的，并且它们的分布是“随机”而又“有规律”地分散在数轴上，而不是集中在一个固定的模式里。
举个不太严谨但易于理解的例子：
想象一下，如果一个小数是0.121212...。它的循环节是“12”。
现在，我们把这个小数的每一位数字看作是一个“项”。那么这个序列是1, 2, 1, 2, 1, 2...
如果我们的“数字生成器”是“写出质数”，那么这个序列就变成了2, 3, 5, 7, 11, 13...
我们不可能从这个质数序列里找到一个固定的“12”不断重复出现。
严谨证明（思路）
严谨的证明通常会采用反证法。
1. 假设它是某个有理数 $r$。
2. 将 $r$ 写成分数 $a/b$，其中 $a, b$ 是整数，$b eq 0$。
3. 那么，十进制表示下 $r$ 的小数部分是循环的。 这意味着存在一个整数 $N$ 和一个正整数 $k$，使得小数点后第 $n$ 位等于小数点后第 $n+k$ 位，对于所有大于等于 $N$ 的 $n$ 都成立。
4. 然而，我们的小数是由质数序列组成的。 质数序列的特点是，它是一个上升的序列，而且质数之间的间隔不是固定的。
5. 我们知道，存在无限多的质数。 我们可以找到越来越大的质数。如果一个小数是循环的，那么它的数字序列是受限的（它只能使用循环节中的数字）。
6. 关键在于，质数序列的“增长性”和“不可重复性”与循环小数的“固定性”和“重复性”是矛盾的。
例如，考虑构成这个小数的质数 $p_i$。如果小数有循环节，那么当质数变得非常大时（比如一个有几十位、几百位的质数），它后面的质数也必须按照循环的模式出现。但是，质数定理告诉我们，大的质数之间会间隔越来越大。如果循环节的长度是固定的$k$，那么当质数的位数远大于$k$时，我们就会遇到麻烦。比如，一个非常大的质数可能是100位数，下一个质数可能是102位数，它们的表示会很长，而且不是简单地重复前面的数字。
一个更直观的论证（非严格证明）：
如果我们有一个循环小数，比如 0.123123123...，那么它的小数部分就是由“123”这个字符串无限重复组成的。
现在，我们的数列是“2” “3” “5” “7” “11” “13” “17” ...
你可以看到，数字本身在不断变化，而且位数也在变化。从两位数变成了三位数。
如果它要循环，那么比如到某个地方，它可能会循环“123456789101112...”。但这个“123456789101112...”本身就是一个递增的序列，它怎么可能无限循环呢？
最终结论：
这串数字 0.23571113•••，由于小数点后的数字是由无限递增且无固定重复模式的质数组成的，因此它的 小数部分是无限不循环的。
根据有理数的定义，能够表示成两个整数之比的数，其小数表示要么是有限的，要么是无限循环的。
而我们的这串数字，小数部分是无限不循环的。因此，它 不是有理数。
所以，0.23571113••• 是无理数。
它的无理性，本质上源于质数集合的数学性质——无限性、递增性和非周期性——与有理数循环小数的性质根本不兼容。即使没有一个现成的、针对“所有质数组成的小数”的简洁证明定理可以直接套用，但我们可以清晰地看到，它不满足有理数小数部分的任何一个特征。
首先，我们得明确一下什么是“有理数”和“无理数”。
有理数 就像它的名字一样，是可以“说得清楚”的数。它们都能表示成两个整数的比，也就是分数的形式，$p/q$，其中$p$和$q$都是整数，而且$q$不能是零。比如，1/2，3，5/7，0.75（可以写成3/4）都是有理数。有理数的小数表示，要么是有限小数（比如0.75），要么是无限循环小数（比如1/3 = 0.333...）。
无理数 则是那些无论如何也无法写成两个整数的比的数。它们的特点是，小数表示是无限不循环的。最出名的无理数莫过于$pi$（圆周率）和$sqrt{2}$（根号2）。
现在我们来看看这串数字：0.23571113•••
小数点后的数字是这样排列的：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ...
这些数字，顾名思义，都是质数（也叫素数）。质数是指大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数。
那么，这串数字有理还是无理呢？
要判断一个无限小数是不是有理数，关键在于它的小数部分是否会“循环”。如果小数部分能够以一个或一组数字不断重复出现，那它就是有理数（可以写成分数）。反之，如果小数部分永远不会重复，无限地变化下去，那就是无理数。
我们来看看这串质数序列：
2
3
5
7
11
13
17
19
23
...
这些质数本身在不断增长，而且它们之间的间隔也在变化。随着数字越来越大，质数的分布虽然有规律可循（比如质数定理描述了它们的大致密度），但它们本身并没有一个固定的、重复出现的“模式”。
证明它的无理性
要严格证明一个无限小数是无理数，通常需要一些数学工具和证明技巧。对于这串“由全体素数组成的”小数，我们可以从“是否存在循环”这个角度来思考。
假设这串数字 0.23571113••• 是一个有理数。那么，根据有理数的定义，它的小数部分必须是循环的。这意味着，从小数点后的某个位置开始，会有一个有限的数字块无限地重复出现。
例如，如果它是有理数，它可能看起来像这样：0.123451234512345...（循环节是12345）或者0.123123123...（循环节是123）。
但是，我们知道小数点后的数字是严格按照质数序列来生成的。质数序列的特点是什么？
1. 质数无限多：这是欧几里得几千年前就证明过的基本定理。这意味着我们总能找到下一个质数。
2. 质数之间的间隔不固定且增长：虽然质数看起来“密集”时间隔小（比如2和3之间只差1），但随着数字增大，质数之间的间隔会越来越大，而且没有一个固定的上限。比如，两个连续质数之间可以间隔很多合数。
如果这串小数的小数部分是循环的，就意味着质数序列会进入一个无限重复的模式。但我们知道，质数的生成是基于数论的深刻性质，它并不是简单地重复。例如，我们不可能找到一个固定的数$k$和某个质数$p$，使得从$p$开始，接下来的所有质数都遵循“加上某个值就得到下一个质数”的规律。
更直接地说，假设存在一个循环节。比如，某个循环节是$N$位数字。那么，小数点后第$m$位开始，第$m$位到第$m+N1$位的数字会无限重复。
这意味着，如果我们写出质数序列：$p_1, p_2, p_3, dots$
那么，在小数点后 $p_1$（2位），$p_2$（3位），$p_3$（5位），直到某个质数$p_k$的表示，它们会构成一个序列，然后这个序列的一部分会重复。
这会导致一个荒谬的结论：质数序列在某个时刻会“用尽”或“循环”。但我们知道质数是无限的，并且它们的分布是“随机”而又“有规律”地分散在数轴上，而不是集中在一个固定的模式里。
举个不太严谨但易于理解的例子：
想象一下，如果一个小数是0.121212...。它的循环节是“12”。
现在，我们把这个小数的每一位数字看作是一个“项”。那么这个序列是1, 2, 1, 2, 1, 2...
如果我们的“数字生成器”是“写出质数”，那么这个序列就变成了2, 3, 5, 7, 11, 13...
我们不可能从这个质数序列里找到一个固定的“12”不断重复出现。
严谨证明（思路）
严谨的证明通常会采用反证法。
1. 假设它是某个有理数 $r$。
2. 将 $r$ 写成分数 $a/b$，其中 $a, b$ 是整数，$b eq 0$。
3. 那么，十进制表示下 $r$ 的小数部分是循环的。 这意味着存在一个整数 $N$ 和一个正整数 $k$，使得小数点后第 $n$ 位等于小数点后第 $n+k$ 位，对于所有大于等于 $N$ 的 $n$ 都成立。
4. 然而，我们的小数是由质数序列组成的。 质数序列的特点是，它是一个上升的序列，而且质数之间的间隔不是固定的。
5. 我们知道，存在无限多的质数。 我们可以找到越来越大的质数。如果一个小数是循环的，那么它的数字序列是受限的（它只能使用循环节中的数字）。
6. 关键在于，质数序列的“增长性”和“不可重复性”与循环小数的“固定性”和“重复性”是矛盾的。
例如，考虑构成这个小数的质数 $p_i$。如果小数有循环节，那么当质数变得非常大时（比如一个有几十位、几百位的质数），它后面的质数也必须按照循环的模式出现。但是，质数定理告诉我们，大的质数之间会间隔越来越大。如果循环节的长度是固定的$k$，那么当质数的位数远大于$k$时，我们就会遇到麻烦。比如，一个非常大的质数可能是100位数，下一个质数可能是102位数，它们的表示会很长，而且不是简单地重复前面的数字。
一个更直观的论证（非严格证明）：
如果我们有一个循环小数，比如 0.123123123...，那么它的小数部分就是由“123”这个字符串无限重复组成的。
现在，我们的数列是“2” “3” “5” “7” “11” “13” “17” ...
你可以看到，数字本身在不断变化，而且位数也在变化。从两位数变成了三位数。
如果它要循环，那么比如到某个地方，它可能会循环“123456789101112...”。但这个“123456789101112...”本身就是一个递增的序列，它怎么可能无限循环呢？
最终结论：
这串数字 0.23571113•••，由于小数点后的数字是由无限递增且无固定重复模式的质数组成的，因此它的 小数部分是无限不循环的。
根据有理数的定义，能够表示成两个整数之比的数，其小数表示要么是有限的，要么是无限循环的。
而我们的这串数字，小数部分是无限不循环的。因此，它 不是有理数。
所以，0.23571113••• 是无理数。
它的无理性，本质上源于质数集合的数学性质——无限性、递增性和非周期性——与有理数循环小数的性质根本不兼容。即使没有一个现成的、针对“所有质数组成的小数”的简洁证明定理可以直接套用，但我们可以清晰地看到，它不满足有理数小数部分的任何一个特征。
网友意见
无理数。
我们先证明调和级数中由缺少n个1的自然数级数是收敛的。
首先对于所有n位数的和，倒数和都小于1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9<3
所以所有1位数到n位数，倒数和小于3n。
而我们只要计算每n位数看，缺少n个1的调和级数是收敛的。(其实这只是一部分)。
首先10^n中，缺少n个1有10^n-1种选择。
那么10^2n中，缺少n个1有(10^n-1)^2种选择。…
然后每n位数为一区间。
1+1/2+1/3+…+1/10^n<3n
同样的，得1/10^n到1/2*10^n和小于(10^n-1)/10^n，同理1/2*10^n加到1/3*10^n小于(10^n-1)/2*10^n。
所以1/10^n加到1/10^2n和小于3n*(10^n-1)/10^n，再看1/10^2n到1/2*10^2n，和小于(10^n-1)^2/2*10^2n。故而1/10^2n加到1/10^3n和小于3n*(10^n-1)^2/10^2n。
同理推得1/10^3n到1/10^4n中缺少n个1的级数之和小于3n*(10^n-1)^3/10^3n…
所以缺少n个1的调和级数和小于
3n((10^n-1)/10^n+(10^n-1)^2/10^2n+(10^n-1)^3/10^3n+…)=3n*10^n。是收敛的。
而质数倒数和是发散的，故而质数可以连续任意多个1。假设0.23571113…里面存在循环节，循环节为n位，那么由于质数可以连续任意多个1，所以循环节不存在，故而矛盾，所以0.23571113…是无理数。
无理数。
有个更简单的办法：设循环节长度为n，则存在m，对任意k大于m， k位的素数都包含在循环部分中。
（设第u位开始为循环节，取m为从第u位之后第一个写下的素数的位数）
取k=2rn>m（r为一充分大的正整数），则某个k位的素数（存在性： 中必有素数，这是伯特兰-切比雪夫定理，感谢可爱的 @FrauEuler 大佬指正）形如
，其中循环节出现2r次。
而
不是素数，矛盾！
这个数是Copeland-Erdős常数：
这个数是无理数：
The constant is irrational; this can be proven with Dirichlet's theorem on arithmetic progressions or Bertrand's postulate (Hardy and Wright, p. 113) or Ramare's theorem that every even integer is a sum of at most six primes. It also follows directly from its normality (see below).
进一步地，Copeland和Erdős证明了这个数在10进制下是正规数：
In base 10, the constant is a normal number, a fact proven by Arthur Herbert Copeland and Paul Erdős in 1946 (hence the name of the constant).
其实我知道这个完全是因为20年Robert Wilson拿诺贝尔奖的时候我写的这个（无聊的）专栏文章：
Wilson的博士生导师的博士生导师就是这个Copeland。
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