0.8＞ln2 怎么证明？

这道题挺有意思的，它实际上是想让我们证明一个我们日常生活中不太会直接遇到的数学不等式：$0.8 > ln 2$。要说清楚这个问题，我们可以从几个不同的角度去理解和证明它。

核心概念：理解自然对数 ln 2

首先，我们要明白 $ln 2$ 代表什么。$ln x$ 是自然对数，它实际上是指数函数 $e^x$ 的反函数。换句话说，$ln 2$ 是一个数，当我们把 $e$（约等于 2.71828 的一个无理数）作为底数，用这个数作为指数时，结果正好是 2。写成数学语言就是：

$e^{ln 2} = 2$

所以，我们实际上是在比较 $0.8$ 和一个指数是 $0.8$ 时的 $e$ 的值。也就是，我们想要证明：

$0.8 > ln 2 quad Leftrightarrow quad e^{0.8} > e^{ln 2} quad Leftrightarrow quad e^{0.8} > 2$

所以，问题就转化成了证明 $e^{0.8}$ 是否大于 2。

证明方法一：利用泰勒级数展开 (这是比较严谨的数学方法)

自然对数和指数函数都有很方便的泰勒级数展开式。

$e^x$ 的泰勒级数展开式：
$e^x = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + frac{x^4}{4!} + dots$

当 $x = 0.8$ 时，我们有：
$e^{0.8} = 1 + 0.8 + frac{(0.8)^2}{2!} + frac{(0.8)^3}{3!} + frac{(0.8)^4}{4!} + dots$

我们不需要计算出确切的值，只需要估算它是否大于 2。让我们先计算前面几项：
$1 + 0.8 = 1.8$

接下来计算 $frac{(0.8)^2}{2!} = frac{0.64}{2} = 0.32$。
到目前为止，$e^{0.8} > 1.8 + 0.32 = 2.12$。

关键点： 泰勒级数展开式对于正的 $x$ 来说是严格单调递增的。这意味着，如果我们取了级数的前几项（它们都是正数），并且它们的和已经大于我们想要比较的数，那么整个级数的和肯定也大于那个数。

让我们再算一项，看看结果：
$frac{(0.8)^3}{3!} = frac{0.512}{6} approx 0.0853$

所以，$e^{0.8} > 1.8 + 0.32 + 0.0853 = 2.2053$。

由于我们已经计算出的部分和 $2.12$ (甚至 $2.2053$) 就已经大于 2 了，而且后面还有更多的正数项（$frac{(0.8)^4}{4!}$, $frac{(0.8)^5}{5!}$ 等等），所以 $e^{0.8}$ 一定大于 2。

因此，$e^{0.8} > 2$，也就证明了 $0.8 > ln 2$。

思考：为什么泰勒级数是严谨的？
泰勒级数展开式是函数在某点附近用多项式来逼近的。对于 $e^x$，它的泰勒级数在 $x=0$ 点展开是所有实数都适用的。当 $x$ 是正数时，级数中的每一项 $frac{x^n}{n!}$ 都是正的。所以，我们取一部分正项相加，这个和就比所有项加起来的和要小。但如果我们取出的部分和已经大于某个值，那么整个级数的和自然也大于那个值。

证明方法二：利用函数单调性和一些已知的点 (相对直观一些)

我们可以考虑函数 $f(x) = e^x$。我们知道这个函数是严格单调递增的。

我们想证明 $e^{0.8} > 2$。

我们知道一些指数函数的值，比如 $e^0 = 1$。

尝试寻找一个比 $0.8$ 小但 $e^x$ 大于 $2$ 的点？
这有点难直接找到。不过，我们可以换个角度。

考虑函数 $g(x) = ln x$。 我们知道 $ln x$ 也是一个严格单调递增的函数。我们要证明 $ln 2 < 0.8$。

这等价于要证明 $2 < e^{0.8}$。

我们知道 $ln e = 1$。

我们也可以考虑 $ln x$ 的几何意义：它是曲线 $y = e^x$ 下方从 $x=0$ 到 $x=1$ 的面积。反过来，我们可以看 $y=1/x$ 函数在某个区间下的积分。

$ln 2 = int_1^2 frac{1}{t} dt$

现在我们来比较 $int_1^2 frac{1}{t} dt$ 和 $0.8$。

我们知道函数 $f(t) = frac{1}{t}$ 在 $[1, 2]$ 这个区间上是凸函数（向下凹的）。对于凸函数，我们可以用梯形公式来估计它的积分值。梯形公式通常会高估凸函数的积分。

让我们用一个简单的矩形来估计积分。
在区间 $[1, 2]$ 上，$frac{1}{t}$ 的值从 $1$ 降到 $frac{1}{2}$。
如果我们取左端点高度作为矩形高度，矩形面积是 $(21) imes frac{1}{1} = 1$。这显然大于 $ln 2$（因为 $ln 2 < ln e = 1$）。
如果我们取右端点高度作为矩形高度，矩形面积是 $(21) imes frac{1}{2} = 0.5$。这显然小于 $ln 2$。

这告诉我们 $ln 2$ 在 $0.5$ 和 $1$ 之间，但是我们想和 $0.8$ 比。

让我们使用切线法来近似 $ln x$ 或 $e^x$。
考虑函数 $f(x) = ln x$。它的导数是 $f'(x) = frac{1}{x}$。
在点 $x=1$ 处，$ln 1 = 0$，导数 $f'(1) = 1$。
所以，在 $x=1$ 处的切线方程是 $y ln 1 = 1 imes (x 1)$，即 $y = x 1$。
因为 $ln x$ 是凹函数（向上凹的），所以曲线 $y = ln x$ 在切线 $y=x1$ 的下方。
所以，对于 $x > 1$，$ln x > x 1$。

这个信息似乎对我们不利，因为我们想证明 $ln 2 < 0.8$。

让我们换个角度，考虑 $e^x$。
函数 $f(x) = e^x$ 在 $x=0$ 处的切线是 $y e^0 = e^0 (x 0)$，即 $y 1 = 1 imes x$，所以切线方程是 $y = x + 1$。
因为 $e^x$ 是凸函数（向下凸的），所以曲线 $y=e^x$ 在切线 $y=x+1$ 的上方。
所以，对于所有的 $x$，都有 $e^x ge x + 1$（当 $x=0$ 时等号成立）。

现在，我们用这个不等式来估计 $e^{0.8}$：
$e^{0.8} ge 0.8 + 1 = 1.8$

这个不等式告诉我们 $e^{0.8}$ 至少是 $1.8$，但我们想知道它是否大于 2。这个不等式还不够强。

我们可以使用更精细的切线，或者考虑二阶导数。
$e^x$ 的二阶导数是 $e^x$ 本身，它是正的，这 подтверждает (确认) 了它的凸性。

回到泰勒级数，我们可以看 $e^x$ 在 $x=0$ 附近。
$e^x = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + dots$
我们想比较 $e^{0.8}$ 和 $2$。
$e^{0.8} = 1 + 0.8 + frac{(0.8)^2}{2} + frac{(0.8)^3}{6} + dots$
$e^{0.8} = 1.8 + frac{0.64}{2} + frac{0.512}{6} + dots$
$e^{0.8} = 1.8 + 0.32 + 0.08533dots + dots$
$e^{0.8} = 2.12 + 0.08533dots + dots$

关键在于如何严谨地说明后面的项也不会让总和小于2。
我们已经计算出 $e^{0.8} = 1 + 0.8 + frac{0.64}{2} + frac{0.512}{6} + dots = 1.8 + 0.32 + 0.0853dots = 2.2053dots$
从这里我们可以直接得出 $e^{0.8} > 2$。

如果有人问，我怎么知道 $0.8$ 这个数字是怎么来的，以及它与 $ln 2$ 的关系？
这通常是数学研究中，通过分析函数性质，或者使用数值方法找到的一些有趣的比较点。例如，我们可以通过数值计算器知道 $ln 2 approx 0.693147$。而 $0.8$ 明显大于这个值。但题目要求的是证明，而不是直接引用计算结果。

证明方法三：利用积分不等式 (更直观地理解 $ln 2$)

我们知道 $ln 2 = int_1^2 frac{1}{x} dx$。

我们需要比较 $int_1^2 frac{1}{x} dx$ 和 $0.8$。

我们知道函数 $f(x) = frac{1}{x}$ 在区间 $[1, 2]$ 上是递减的。
我们可以用几个梯形来近似这个积分。

考虑区间 $[1, 2]$ 被分成两段：$[1, 1.5]$ 和 $[1.5, 2]$。

在 $[1, 1.5]$ 上：
用左边高（$f(1)=1$）和右边高（$f(1.5)=1/1.5 = 2/3 approx 0.667$）。
梯形面积 = $frac{1}{2} imes (1.5 1) imes (1 + frac{2}{3}) = frac{1}{2} imes 0.5 imes frac{5}{3} = 0.25 imes frac{5}{3} = frac{1.25}{3} approx 0.4167$。
这个面积会大于该区间上的积分值 $int_1^{1.5} frac{1}{x} dx$。

在 $[1.5, 2]$ 上：
用左边高（$f(1.5)=2/3$）和右边高（$f(2)=1/2=0.5$）。
梯形面积 = $frac{1}{2} imes (2 1.5) imes (frac{2}{3} + frac{1}{2}) = frac{1}{2} imes 0.5 imes (frac{4+3}{6}) = 0.25 imes frac{7}{6} = frac{1.75}{6} approx 0.2917$。
这个面积会大于该区间上的积分值 $int_{1.5}^2 frac{1}{x} dx$。

将两个梯形的面积加起来：$0.4167 + 0.2917 approx 0.7084$。
这个结果小于 $0.8$，而且我们使用的是梯形公式，梯形面积总是小于积分值（因为 $frac{1}{x}$ 是凸函数，我前面说错了，它是凹函数，切线在上方，所以梯形面积会大于积分值）。

修正： 对于凹函数，梯形公式 高估 积分值。
所以，$ln 2 = int_1^2 frac{1}{x} dx < ext{梯形面积之和} approx 0.7084$。
这说明 $ln 2 < 0.7084$。
而 $0.7084$ 仍然小于 $0.8$。所以我们又一次得到了 $ln 2 < 0.8$ 的结论。

更简单的积分估计：

考虑在区间 $[1, 2]$ 上，用一个矩形来估算。
取区间中点 $x=1.5$ 的函数值作为矩形高度。
矩形面积 = $(21) imes frac{1}{1.5} = 1 imes frac{2}{3} approx 0.667$。
由于 $frac{1}{x}$ 是凹函数，中点矩形会低估积分值。所以 $ln 2 > 0.667$。

我们想要证明 $0.8 > ln 2$。

可以考虑使用一个 上界 来证明。
我们在 $[1, 2]$ 区间上用几个简单的直线段来近似 $frac{1}{x}$，使其保持在 $frac{1}{x}$ 的下方。

比如，我们可以找到一条直线，它在 $x=1$ 和 $x=2$ 的函数值都比 $frac{1}{x}$ 大。
考虑直线 $L(x)$，它通过 $(1, 1)$ 和 $(2, 0.5)$。
这条直线的斜率是 $frac{0.5 1}{2 1} = frac{0.5}{1} = 0.5$。
所以直线方程是 $y 1 = 0.5 (x 1)$，即 $y = 0.5x + 0.5 + 1 = 1.5 0.5x$。

现在我们来比较 $frac{1}{x}$ 和 $1.5 0.5x$ 在 $[1, 2]$ 上的关系。
我们可以证明 $frac{1}{x} > 1.5 0.5x$ 在 $(1, 2)$ 上。
这等价于 $1 > x(1.5 0.5x) = 1.5x 0.5x^2$。
即 $0.5x^2 1.5x + 1 > 0$。
或者 $x^2 3x + 2 > 0$。
分解因式得到 $(x1)(x2) > 0$。
这个不等式在 $x in (1, 2)$ 的时候是 不成立 的，它是负的。
所以 $frac{1}{x} < 1.5 0.5x$ 在 $(1, 2)$ 上。

那么，$ln 2 = int_1^2 frac{1}{x} dx < int_1^2 (1.5 0.5x) dx$。
计算这个积分：
$int_1^2 (1.5 0.5x) dx = [1.5x 0.25x^2]_1^2$
$= (1.5 imes 2 0.25 imes 2^2) (1.5 imes 1 0.25 imes 1^2)$
$= (3 0.25 imes 4) (1.5 0.25)$
$= (3 1) (1.25)$
$= 2 1.25 = 0.75$。

所以，我们得到了 $ln 2 < 0.75$。
由于 $0.75 < 0.8$，所以 $0.8 > ln 2$ 得到了证明！

总结一下这个积分方法的思路：
1. 将 $ln 2$ 表示为积分 $int_1^2 frac{1}{x} dx$。
2. 找一条直线 $L(x)$，它在区间 $[1, 2]$ 的端点处的值 大于等于 $frac{1}{x}$ 的值（在端点处相等）。
3. 证明 $frac{1}{x} le L(x)$ 在 $[1, 2]$ 上。
4. 计算 $int_1^2 L(x) dx$ 的值。
5. 如果 $int_1^2 L(x) dx$ 小于 $0.8$，并且 $frac{1}{x} < L(x)$ 在 $(1, 2)$ 上是严格成立的，那么 $ln 2 < int_1^2 L(x) dx < 0.8$ 就证明了我们要证的不等式。

在这个例子里，我们选择的直线 $L(x) = 1.5 0.5x$ 恰好在端点 $x=1$ 和 $x=2$ 时分别等于 $1$ 和 $0.5$，而 $frac{1}{1}=1$ 和 $frac{1}{2}=0.5$。我们发现 $frac{1}{x} < L(x)$ 在 $(1, 2)$ 上，并且 $int_1^2 L(x) dx = 0.75$。因为 $0.75 < 0.8$，所以 $ln 2 < 0.75 < 0.8$ 成立。

这几种方法都殊途同归，都是在证明 $e^{0.8} > 2$ 这个等价命题。泰勒级数展开是数学上最直接的、计算量最小的严谨方法；积分方法则能更直观地理解 $ln 2$ 的大小。希望这些解释足够详细，并且能帮你理解这个数学证明的过程。

即证e^4>2^5

e^4>2.5^4>36>32

结束