高中概率题：地区明天下雨的概率是0.8，天气预报准确性为0.8，天气预报说明天会下雨。求明天下雨概率？
这道题考的是条件概率，有点烧脑，但弄明白了就很有意思。咱们一步步来分析。
先来梳理一下题目给的关键信息：
P(下雨) = 0.8 （地区明天实际会下雨的概率）
P(预报下雨 | 实际下雨) = 0.8 （如果明天实际下雨，预报说下雨的准确率）
P(预报不下雨 | 实际不下雨) = 0.8 （如果明天实际不下雨，预报说不下降的准确率） 这一点很重要，虽然题目没直接说，但“天气预报准确性为0.8”通常是双向的，意味着它在预测会发生的情况和预测不会发生的情况上都有0.8的准确率。
我们要计算的是：
P(实际下雨 | 预报下雨) （在预报说会下雨的情况下，明天实际真的会下雨的概率）
理解“天气预报准确性”：
“天气预报准确性为0.8”这句话，我们可以拆解成两个方面：
1. 当实际发生某事时，预报能准确预测它发生的概率。 比如，如果明天实际会下雨，那么预报说“会下雨”的概率是0.8。
2. 当实际不发生某事时，预报能准确预测它不发生的概率。 比如，如果明天实际不下雨，那么预报说“不下雨”的概率是0.8。
为了更清晰，我们给这些事件起个名字：
设 A = “明天实际会下雨”
设 B = “天气预报说明天会下雨”
那么题目给的信息可以写成：
P(A) = 0.8 （明天实际下雨的概率）
P(B | A) = 0.8 （实际下雨，预报下雨的概率）
我们还需要一些“反向”的信息，这些也包含在“准确性0.8”里：
P(A') = 1 P(A) = 1 0.8 = 0.2 （明天实际不下雨的概率）
P(B' | A') = 0.8 （实际不下雨，预报不下雨的概率）
同样，预报不准确的情况也有：
P(B' | A) = 1 P(B | A) = 1 0.8 = 0.2 （实际下雨，但预报说不下雨的概率）
P(B | A') = 1 P(B' | A') = 1 0.8 = 0.2 （实际不下雨，但预报说下雨的概率）
现在，我们要计算的是 P(A | B) —— 在预报说下雨的情况下，明天实际会下雨的概率。
用到的公式是贝叶斯定理：
P(A | B) = [ P(B | A) P(A) ] / P(B)
我们已经有了 P(B | A) 和 P(A)，现在需要计算 P(B) —— “预报说明天会下雨”这个事件发生的总概率。
“预报说明天会下雨”这个事件，可以通过两种情况来实现：
1. 明天实际会下雨，并且预报说会下雨。 (A 且 B)
2. 明天实际不下雨，但预报却说会下雨（预报不准）。 (A' 且 B)
所以，P(B) = P(B 且 A) + P(B 且 A')
根据概率的乘法公式：
P(B 且 A) = P(B | A) P(A)
P(B 且 A') = P(B | A') P(A')
带入我们已知的数值：
P(B 且 A) = 0.8 0.8 = 0.64 （明天实际下雨，预报也说下雨的概率）
P(B 且 A') = 0.2 0.2 = 0.04 （明天实际不下雨，但预报说下雨的概率）
现在我们就可以计算 P(B) 了：
P(B) = 0.64 + 0.04 = 0.68 （预报说明天会下雨的总概率）
最后，我们就可以套用贝叶斯定理来计算最终结果了：
P(A | B) = [ P(B | A) P(A) ] / P(B)
P(A | B) = [ 0.8 0.8 ] / 0.68
P(A | B) = 0.64 / 0.68
化简一下：
0.64 / 0.68 = 64 / 68 = 16 / 17
所以，明天下雨的概率是 16/17。
我们再来回顾一下这个过程，为什么预报说下雨，但实际下雨的概率不是0.8，而是16/17呢？
这是因为我们还需要考虑预报不准确的情况。虽然预报说会下雨，但也有可能是预报“看错了”——也就是实际没下雨，但它偏偏报了会下雨。
实际下雨并且预报正确的情况： P(A) P(B|A) = 0.8 0.8 = 0.64
实际不下雨但预报错误的情况： P(A') P(B|A') = 0.2 0.2 = 0.04
预报说下雨，就包含了这两种可能性。而我们关心的，是第一种（实际下雨）的可能性占了这两种可能性的比例。
0.64 / (0.64 + 0.04) = 0.64 / 0.68 = 16/17。
这个结果比单纯的0.8要高，说明“预报说会下雨”这个信息，确实增加了我们认为明天会下雨的信心。
先来梳理一下题目给的关键信息：
P(下雨) = 0.8 （地区明天实际会下雨的概率）
P(预报下雨 | 实际下雨) = 0.8 （如果明天实际下雨，预报说下雨的准确率）
P(预报不下雨 | 实际不下雨) = 0.8 （如果明天实际不下雨，预报说不下降的准确率） 这一点很重要，虽然题目没直接说，但“天气预报准确性为0.8”通常是双向的，意味着它在预测会发生的情况和预测不会发生的情况上都有0.8的准确率。
我们要计算的是：
P(实际下雨 | 预报下雨) （在预报说会下雨的情况下，明天实际真的会下雨的概率）
理解“天气预报准确性”：
“天气预报准确性为0.8”这句话，我们可以拆解成两个方面：
1. 当实际发生某事时，预报能准确预测它发生的概率。 比如，如果明天实际会下雨，那么预报说“会下雨”的概率是0.8。
2. 当实际不发生某事时，预报能准确预测它不发生的概率。 比如，如果明天实际不下雨，那么预报说“不下雨”的概率是0.8。
为了更清晰，我们给这些事件起个名字：
设 A = “明天实际会下雨”
设 B = “天气预报说明天会下雨”
那么题目给的信息可以写成：
P(A) = 0.8 （明天实际下雨的概率）
P(B | A) = 0.8 （实际下雨，预报下雨的概率）
我们还需要一些“反向”的信息，这些也包含在“准确性0.8”里：
P(A') = 1 P(A) = 1 0.8 = 0.2 （明天实际不下雨的概率）
P(B' | A') = 0.8 （实际不下雨，预报不下雨的概率）
同样，预报不准确的情况也有：
P(B' | A) = 1 P(B | A) = 1 0.8 = 0.2 （实际下雨，但预报说不下雨的概率）
P(B | A') = 1 P(B' | A') = 1 0.8 = 0.2 （实际不下雨，但预报说下雨的概率）
现在，我们要计算的是 P(A | B) —— 在预报说下雨的情况下，明天实际会下雨的概率。
用到的公式是贝叶斯定理：
P(A | B) = [ P(B | A) P(A) ] / P(B)
我们已经有了 P(B | A) 和 P(A)，现在需要计算 P(B) —— “预报说明天会下雨”这个事件发生的总概率。
“预报说明天会下雨”这个事件，可以通过两种情况来实现：
1. 明天实际会下雨，并且预报说会下雨。 (A 且 B)
2. 明天实际不下雨，但预报却说会下雨（预报不准）。 (A' 且 B)
所以，P(B) = P(B 且 A) + P(B 且 A')
根据概率的乘法公式：
P(B 且 A) = P(B | A) P(A)
P(B 且 A') = P(B | A') P(A')
带入我们已知的数值：
P(B 且 A) = 0.8 0.8 = 0.64 （明天实际下雨，预报也说下雨的概率）
P(B 且 A') = 0.2 0.2 = 0.04 （明天实际不下雨，但预报说下雨的概率）
现在我们就可以计算 P(B) 了：
P(B) = 0.64 + 0.04 = 0.68 （预报说明天会下雨的总概率）
最后，我们就可以套用贝叶斯定理来计算最终结果了：
P(A | B) = [ P(B | A) P(A) ] / P(B)
P(A | B) = [ 0.8 0.8 ] / 0.68
P(A | B) = 0.64 / 0.68
化简一下：
0.64 / 0.68 = 64 / 68 = 16 / 17
所以，明天下雨的概率是 16/17。
我们再来回顾一下这个过程，为什么预报说下雨，但实际下雨的概率不是0.8，而是16/17呢？
这是因为我们还需要考虑预报不准确的情况。虽然预报说会下雨，但也有可能是预报“看错了”——也就是实际没下雨，但它偏偏报了会下雨。
实际下雨并且预报正确的情况： P(A) P(B|A) = 0.8 0.8 = 0.64
实际不下雨但预报错误的情况： P(A') P(B|A') = 0.2 0.2 = 0.04
预报说下雨，就包含了这两种可能性。而我们关心的，是第一种（实际下雨）的可能性占了这两种可能性的比例。
0.64 / (0.64 + 0.04) = 0.64 / 0.68 = 16/17。
这个结果比单纯的0.8要高，说明“预报说会下雨”这个信息，确实增加了我们认为明天会下雨的信心。
网友意见
你们应该要求换一个热学老师，他概率怎么学的？他有思辨能力吗？
你不看天气预报，也知道明天下雨的概率是0.8，天气预报给再给一个倾向于要下雨的提示，他居然会觉得明天下雨的概率降低到0.64了？
这个问题根本不是两个概率相乘好不好。两个概率相乘的前提是相容独立事件。题设中俩0.8概率都指向一件事情，这能是俩独立事件？
解决这个问题，需要用到信息论。因为这个问题本质上是你预测明天的天气。如果没有天气预报信息加入，你的预测是0.8下雨，0.2不下雨。这个组合视为熵最高的态。然后看看天气预报输入了多少信息？可惜这里题设太简单，没有说明天气预报到底是怎么做的，细节如何。比方说如果天气预报员和你一样盲猜，于是每天都预报下雨（所以准确率也是0.8），那么天气预报就不带任何的新信息，你看了天气预报得不到任何负熵。于是我只好说，最终答案是0.8
如果知道天气预报的细节，可能天气预报有非零信息，那么你对明天的预测会变，可能就不是（0.8，0.2）这个组合了。
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