如何理解50个人中至少两个人生日相同的概率高达97%？
想不明白对吧？五十个人里，竟然有九成多的几率，会出现两个人生日一样的情况？听起来就像是掷骰子，连续好几次都掷出同样的点数一样，小概率事件怎么会这么普遍？这其实就是“生日问题”的魔力所在，它颠覆了我们直观的认知，背后隐藏着一个非常有趣的数学原理。
我们先别一下子就跳到五十个人。咱们先从最简单的说起，两三个人，或者五六个人，生日会重复的概率有多大？
如果只有两个人，比如你和你朋友，你们俩生日相同的概率是多少？假设一年有365天，每个人的生日在365天里都是均匀分布的（这里我们为了简化计算，暂时忽略闰年和出生率的细微差异）。那么，你朋友的生日和你生日相同的概率，就是 1/365。是不是很小？
那三个人呢？如果三个人生日都不相同，第一个人的生日可以随便，第二个人要和他不一样，概率是 364/365。第三个人要和他俩都不一样，概率就是 363/365。所以，三个人生日都不相同的概率是 (364/365) (363/365)。
你看，我们关注的不是“这三个人里，有没有两个人是同一天生日”，而是“这三个人生日都互不相同”的概率。如果“生日都互不相同”的概率很低，那反过来，“至少有两个人同一天生日”的概率就很高了。
这个思路非常关键。我们不去直接计算“至少两个人同一天生日”有多少种组合（比如，A和B一样，A和C一样，B和C一样，A、B、C三人都一样），而是计算最容易的那个情况——“所有人的生日都不同”。
我们来用这个方法算一下50个人。计算50个人生日都互不相同的概率，可不是一件容易的事，就像你说的，要考虑的组合太多了。但是，计算“所有人生日都不同”就变得非常直接：
第一个人的生日，随便，365天都可以。
第二个人要和第一个人不一样，有364天可以选择，概率是 364/365。
第三个人要和前两个人都不一样，有363天可以选择，概率是 363/365。
以此类推，到了第50个人，他要和前面49个人都不一样，就有 365 49 = 316 天可以选择，概率是 316/365。
所以，50个人生日都互不相同的概率就是：
P(所有人生日都不同) = (365/365) (364/365) (363/365) ... (316/365)
这个式子看起来很长，但它其实代表的是一个连续相乘的概率。我们可以把它写成一个更简洁的数学表达式：
P(所有人生日都不同) = P(365, 50) / 365^50
这里的 P(365, 50) 是排列数，意思是365选50个，并且考虑顺序的组合数，也就是 365 364 ... 316。
现在，我们要算的“至少两个人同一天生日”的概率，就是 1 减去“所有人生日都不同”的概率：
P(至少两人生日相同) = 1 P(所有人生日都不同)
你可能觉得，这个概率连乘会非常非常小，但实际计算结果却会让你大吃一惊。当你把 365 364 ... 316 除以 365 的50次方，然后用 1 减去这个结果时，你会发现它确实非常接近 0.97，也就是97%。
为什么会这样？有两个关键因素在起作用：
1. 概率的乘积效应（连锁反应）： 我们直观上更容易想到“两个人同一天生日”的概率，比如你和你朋友。但生日问题考虑的是“任意两个人”。随着人数的增加，可能发生生日相同的“配对”数量呈爆炸式增长。并不是只有你和某个特定的人生日相同才算数，而是任何一对人，只要生日相同，就满足条件。
你可以想象一下，在一个人群里，每个人都在“宣告”自己的生日。第一个人说了个生日，后面的人要不和他一样，可能性就小一点。第二个人说了个生日，第三个人要和他俩都不一样，可能性又小一点。这“小一点”的概率一直在不断地乘以，虽然每次“小一点”的幅度看起来不大，但连续乘很多次后，累积效应就非常惊人了。
想象一下你手里拿着一串项链，每一颗珠子都代表一个人。你想让所有珠子都颜色不一样，这还好说。但如果你想让所有珠子颜色都相同，那就难了。生日问题与之类似，我们要找的是“至少有两个珠子颜色一样”的概率，而“所有珠子颜色都不一样”的概率，随着珠子数量的增多，变得越来越难实现。
2. 配对的数量是关键： 并不是只有两个人有相同生日才算数，而是可以有三个人同天生日，或者两对人同天生日，或者三个人同天，另两个人同天等等。
当你只有几个人时，配对的数量很少，生日相同的概率很低。
2个人：只有1对配对。
3个人：有3对配对（12, 13, 23）。
4个人：有6对配对。
...
50个人：可以组成的配对数量是 C(50, 2) = 50 49 / 2 = 1225 对！
你看，才到50个人，就有1225对可能发生生日相同的组合。每对组合都贡献了很小的概率，但数量如此之多，加起来就显得非常可观了。我们前面算的是所有人都不同的概率，但实际上，很多很多种情况都导致了生日的重复。
所以，问题的核心不在于“某一个人”的生日恰好和你一样，而在于“在这群人中，有没有哪一对人的生日碰巧是同一天”。当人数多到一定程度，能够形成的配对就非常多，即使每一对配对生日相同的概率都非常小，但大量的配对组合，使得至少有一对生日相同的概率急剧上升。
这就像玩老虎机，每次拉杆都不中大奖的概率很小，但你连续拉1000次，总有一次会中的可能性就会大很多。生日问题就是把这种“小概率事件”乘以了无数个“小概率”，但这些小概率的事件是“不希望发生”的（生日都不同），所以“希望发生”的（至少两个人生日相同）的概率就变得很高。
所以，下次你去参加一个有十几二十个人的聚会，不妨留意一下，很可能就会有人和你同月同日生。生日问题就是这么一个反直觉，但又充满数学魅力的例子。它告诉我们，在概率的世界里，集合的力量是惊人的，即使个体非常微小，但数量的叠加足以产生巨大的影响。
我们先别一下子就跳到五十个人。咱们先从最简单的说起，两三个人，或者五六个人，生日会重复的概率有多大？
如果只有两个人，比如你和你朋友，你们俩生日相同的概率是多少？假设一年有365天，每个人的生日在365天里都是均匀分布的（这里我们为了简化计算，暂时忽略闰年和出生率的细微差异）。那么，你朋友的生日和你生日相同的概率，就是 1/365。是不是很小？
那三个人呢？如果三个人生日都不相同，第一个人的生日可以随便，第二个人要和他不一样，概率是 364/365。第三个人要和他俩都不一样，概率就是 363/365。所以，三个人生日都不相同的概率是 (364/365) (363/365)。
你看，我们关注的不是“这三个人里，有没有两个人是同一天生日”，而是“这三个人生日都互不相同”的概率。如果“生日都互不相同”的概率很低，那反过来，“至少有两个人同一天生日”的概率就很高了。
这个思路非常关键。我们不去直接计算“至少两个人同一天生日”有多少种组合（比如，A和B一样，A和C一样，B和C一样，A、B、C三人都一样），而是计算最容易的那个情况——“所有人的生日都不同”。
我们来用这个方法算一下50个人。计算50个人生日都互不相同的概率，可不是一件容易的事，就像你说的，要考虑的组合太多了。但是，计算“所有人生日都不同”就变得非常直接：
第一个人的生日，随便，365天都可以。
第二个人要和第一个人不一样，有364天可以选择，概率是 364/365。
第三个人要和前两个人都不一样，有363天可以选择，概率是 363/365。
以此类推，到了第50个人，他要和前面49个人都不一样，就有 365 49 = 316 天可以选择，概率是 316/365。
所以，50个人生日都互不相同的概率就是：
P(所有人生日都不同) = (365/365) (364/365) (363/365) ... (316/365)
这个式子看起来很长，但它其实代表的是一个连续相乘的概率。我们可以把它写成一个更简洁的数学表达式：
P(所有人生日都不同) = P(365, 50) / 365^50
这里的 P(365, 50) 是排列数，意思是365选50个，并且考虑顺序的组合数，也就是 365 364 ... 316。
现在，我们要算的“至少两个人同一天生日”的概率，就是 1 减去“所有人生日都不同”的概率：
P(至少两人生日相同) = 1 P(所有人生日都不同)
你可能觉得，这个概率连乘会非常非常小，但实际计算结果却会让你大吃一惊。当你把 365 364 ... 316 除以 365 的50次方，然后用 1 减去这个结果时，你会发现它确实非常接近 0.97，也就是97%。
为什么会这样？有两个关键因素在起作用：
1. 概率的乘积效应（连锁反应）： 我们直观上更容易想到“两个人同一天生日”的概率，比如你和你朋友。但生日问题考虑的是“任意两个人”。随着人数的增加，可能发生生日相同的“配对”数量呈爆炸式增长。并不是只有你和某个特定的人生日相同才算数，而是任何一对人，只要生日相同，就满足条件。
你可以想象一下，在一个人群里，每个人都在“宣告”自己的生日。第一个人说了个生日，后面的人要不和他一样，可能性就小一点。第二个人说了个生日，第三个人要和他俩都不一样，可能性又小一点。这“小一点”的概率一直在不断地乘以，虽然每次“小一点”的幅度看起来不大，但连续乘很多次后，累积效应就非常惊人了。
想象一下你手里拿着一串项链，每一颗珠子都代表一个人。你想让所有珠子都颜色不一样，这还好说。但如果你想让所有珠子颜色都相同，那就难了。生日问题与之类似，我们要找的是“至少有两个珠子颜色一样”的概率，而“所有珠子颜色都不一样”的概率，随着珠子数量的增多，变得越来越难实现。
2. 配对的数量是关键： 并不是只有两个人有相同生日才算数，而是可以有三个人同天生日，或者两对人同天生日，或者三个人同天，另两个人同天等等。
当你只有几个人时，配对的数量很少，生日相同的概率很低。
2个人：只有1对配对。
3个人：有3对配对（12, 13, 23）。
4个人：有6对配对。
...
50个人：可以组成的配对数量是 C(50, 2) = 50 49 / 2 = 1225 对！
你看，才到50个人，就有1225对可能发生生日相同的组合。每对组合都贡献了很小的概率，但数量如此之多，加起来就显得非常可观了。我们前面算的是所有人都不同的概率，但实际上，很多很多种情况都导致了生日的重复。
所以，问题的核心不在于“某一个人”的生日恰好和你一样，而在于“在这群人中，有没有哪一对人的生日碰巧是同一天”。当人数多到一定程度，能够形成的配对就非常多，即使每一对配对生日相同的概率都非常小，但大量的配对组合，使得至少有一对生日相同的概率急剧上升。
这就像玩老虎机，每次拉杆都不中大奖的概率很小，但你连续拉1000次，总有一次会中的可能性就会大很多。生日问题就是把这种“小概率事件”乘以了无数个“小概率”，但这些小概率的事件是“不希望发生”的（生日都不同），所以“希望发生”的（至少两个人生日相同）的概率就变得很高。
所以，下次你去参加一个有十几二十个人的聚会，不妨留意一下，很可能就会有人和你同月同日生。生日问题就是这么一个反直觉，但又充满数学魅力的例子。它告诉我们，在概率的世界里，集合的力量是惊人的，即使个体非常微小，但数量的叠加足以产生巨大的影响。
网友意见
把函数图像画出来就直观了。
但是为什么大多数人会对这个概率的感觉发生偏差呢？
大多数人对生日问题的概率感觉发生偏差，并不是因为对这个问题的理解发生错误。本质上是因为我们日常理解的“生日相同问题”，与概率学里的生日问题是不同的，我们的直觉压根理解的就是另外一种问题描述。
概率学中的生日问题是在问n个同学中至少任意两人生日相同的概率。
而我们在生活中对“生日相同问题”的直觉理解其实是这样的：n个同学中，除我之外的人中至少有1个和我生日相同的概率。
我们来算算这种概率。
假设除你之外有n个同学，那么算上你总共有n+1个人。于是
除你之外的人中至少有1个和你生日相同的概率＝1-他们所有人都和你不同的几率＝
区别就在这里，因为你是指定的特定人选，所以其他任何一个人和你生日不同的几率都是364/365，都是相同的，连乘即可。
但是如果是概率学里的任意两人生日相同问题，就不是这么算的了，由于没有特定人选，每核算一个人就得排除掉他，结果就变成了这样
我们来对比一下这两种结果的函数图像：
你看是不是一目了然，我们总觉得50个人中任意至少两人生日相同的概率没有那么高，其实是因为我们下意识理解的是“那两个人里一定有我！50个人中至少有1个人和我生日相同的概率”，这个几率当然不高。
综上可以得出这么个结论：大多数人对数学概率的直观认识都是以“我”为中心的。这很哲学。
欢迎精神小伙们入驻圈子！
这说明天太热或者太冷大家都不想干活。
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