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问题

网传清华大学电子系2020春 《概率论与随机过程1》 几乎高达30%的挂科情况，反映出什么现象？

回答
网传清华大学电子系2020年春季《概率论与随机过程1》挂科率高达30%，这无疑是一个令人震惊的数字，尤其是在清华这样的顶尖学府。这个现象如果属实，绝非空穴来风，它可能折射出多方面的问题，值得我们深入剖析。

首先，我们可以从课程本身的难度和教学方式上寻找原因。

课程难度与学生基础的“剪刀差”： 《概率论与随机过程》本身就是一门抽象程度高、数学要求严谨的学科。它涉及集合论、微积分、线性代数等基础数学知识，并且需要学生具备一定的逻辑推理能力和抽象思维能力。对于部分学生来说，即使在高中阶段数学基础扎实，进入大学后面对更深入、更系统化的概率论知识，也可能会感到吃力。2020年正值疫情初期，线上教学成为常态。线上教学模式在信息传递的即时性、师生互动的情感连接以及学生专注度的维持等方面，都可能存在天然的劣势。屏幕前的学生可能更容易走神，缺乏课堂上的那种浸入感和迫使思考的压力。老师通过线上平台难以像线下那样实时捕捉到学生的困惑，也难以进行更具个性化的辅导。

教学方法与时代“脱节”的可能性： 虽然是顶尖学府，但任何课程的教学方法都需要与时俱进。如果课程的讲解方式仍然沿用比较陈旧的、偏重理论推导而忽视直观理解和应用场景的模式，就可能难以吸引和激发学生的学习兴趣。尤其是在信息爆炸的时代，学生接触的知识形式越来越多样化，枯燥的理论讲解很容易让他们产生抵触情绪。电子系的学生未来大多会从事与工程、通信、计算机科学等相关的职业，这些领域对概率论和随机过程的应用非常广泛且重要。如果教学内容未能很好地对接未来的实际应用，或者未能通过生动有趣的案例来展示其重要性，学生就可能觉得这门课“脱离实际”，从而失去学习动力。

其次，我们不得不关注学生群体本身的一些变化。

学习习惯和心态的转变： 随着互联网的发展和信息获取的便捷，一些学生的学习习惯可能发生了变化。他们可能习惯于快速浏览、碎片化学习，对于需要深度思考和长时间钻研的内容，容易失去耐心。此外，大学教育的自由度也意味着学生需要更高的自主学习能力。如果学生在学习方法上存在不足，例如缺乏有效的笔记技巧、不懂得如何梳理知识体系、或者没有养成独立解决问题的习惯，在面对一门“硬骨头”的课程时就容易掉队。

“内卷”与“佛系”并存的现象： 顶尖大学的学生群体内部也存在着复杂的多样性。一方面，确实有大量的学生为了追求卓越而极度努力，但另一方面，也可能存在一部分学生由于各种原因，学习投入度相对较低，或者存在“考前突击”的习惯。当一门课程对基础要求较高，且需要持续积累时，这种“考前突击”往往难以奏效，挂科率自然会攀升。而且，在一些竞争激烈的专业中，学生可能将更多精力投入到那些他们认为“更有分量”或“更能直接影响GPA”的课程上，相对忽视了某些基础性但又需要细致理解的课程。

再者，作为一门核心基础课程，其挂科率的异常升高也可能暗示着更深层次的系统性问题。

课程设置的连贯性与衔接： 《概率论与随机过程1》作为许多后续专业课程的基础，如果大量学生在这门课上失利，可能会对他们后续的学习产生连锁反应，影响整个专业的培养质量。这需要教务部门和课程组反思，是否存在课程设置上与后续课程衔接不畅的问题，或者课程的先修要求是否能得到有效落实。

评价体系的合理性： 30%的挂科率是否也指向了现有的考核方式可能过于单一或者对学生的某些薄弱环节未能有效识别？例如，如果考核方式过于侧重考试分数，而忽视了平时作业、课堂参与、项目实践等多种形式的评估，就可能无法全面反映学生的真实学习情况。

疫情影响下的“特殊情况”： 不能排除2020年春季特殊的疫情背景对教学和学习都带来了前所未有的挑战。线上教学的磨合期、学生居家学习带来的外部干扰、心理状态的变化等，都可能叠加作用，导致部分学生在学习上遇到比以往更大的困难。30%的挂科率，也许是在这种特殊时期下，课程难度和学生接受能力之间失衡的一个极端表现。

总而言之，清华电子系2020春季《概率论与随机过程1》高达30%的挂科率，绝不仅仅是单一因素造成的，而是多方面因素交织作用的结果。它可能反映了课程本身在难度、教学方法上的挑战，也可能折射出学生学习习惯的转变以及大学教育体系内部需要关注的衔接和评估问题。更重要的是，在特殊的疫情年份，这些因素可能被放大，成为一个值得学校、院系和师生共同深思的信号，促使我们去审视和优化教学过程，更好地应对未来的挑战。

网友意见

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从技术角度看，因为考试规则改了，直接导致两小时内计算量偏大，超出预期。此外，感觉电子系在调分制度方面有待商榷。

补充：某著名大学有门著名的课程叫《应用随机过程》，原始分惨烈度更高。但似乎调分上比较灵活。下面是这门课的任课教师，院长陈XX的一段原文：

考试之后

111人参加期末考试，其中本科生103人，最高分83分，第二高分80，平均33.33分。我向这次考试最高分(83分)获得者，期中考试最高分(79分)获得者, 总分最高分(140分)获得者三位同学表示祝贺。

同时也遗憾地披露，某某某同学交卷晚于规定时间，被我扣除卷面分5分，相当于半道题目的损失。 出乎我的意料，同学们试卷前半部分(跳过程)的表现不如后半部分(布朗运动)，难道几个星期不打交道，同学们就淡忘了? 做作业有好处吗？11位同学交了全部13次作业，其中9人获得90分或90分以上。另有11位同学交了12次作业，获得90分或90分以上仅有4人。

少一次作业有这么大差别吗？前者更是完美主义者，对自己要求更高，这有助于他/她自己发挥个人潜力。16位不及格/缓考同学中有9位一次也没有交过作业，两位只交过1次，一位交过3次。


考试说明：

我的考卷一般由10个题目组成，每题都是10分， 题目一般是从其他书上抄来的。临考之前我抱一堆书回家，从中找一些用课上讲过知识可以解决的问题，所以题型会与平时习题不尽相同，但用学过的知识是可以做的。题量可能大一些，最好的同学是能够得八九十分的，而平时还算优秀的同学可能就只有六七十分，这可能使一些同学不爽。你们没考好，我作为任课教员也很失落。但考试的目的就是检查我教的如何同学们学的如何，用不同的尺子去量，得出的刻度就不一样，并不因为卷面成绩高咱们就学得好了。我理解同学们出于现实的考虑非常在意分数，但我们对掌握知识应当抱要更浓厚的兴趣。学然后知不足，真正学到一些有用的知识而不仅仅是成绩单上一个虚高的记录。

判卷者希望看到什么样的答卷？尽管我会认真判卷，但用于评判一道题目的时间不会无穷长，你可以在以下几个方面帮助我避免犯错。首先要段落分明，每一道题目解答的左上方写上清晰的题号，前后有足够的留白，不至于我没看到。你可以不按顺序解题，但一道题目不能在分写两个地方，也不能给出两个（不同）解答。如果要废弃已写的答案，应当清楚标识。在解答题目时，不仅要清楚地交代最终解答，而且要写下关键节点。我在改题时就在找中间几个关键步骤，否则我会怀疑这答案是抄来的或是蒙对的。在各个关键节点之间要用逻辑联系起来，把自己的想法准确扼要地写下来。你写的东西，应当被多数接受过同等训练的人所接受所认可才行。不要认为自己有好想法就可以了，要让改卷者（就是我）认为你有好想法才算可以。

老师有权出难题么？根据同学们回答正确的比率，题目可以有容易、适中和超难三类。我的考卷上有些难题，用于增加区分度，让大家知道学无止境，也使擅长的同学有更好的表现机会。这些难题，对于备受打击的学习成绩居下游的同学，倒也无所谓；反而是那些平时学习成绩名列前茅而一时没有做出来的同学，很受刺激。到了大学，好学生不可能是全能的，而是有侧重的，有人擅长抽象思维，代数学的好，但并不意味同样的努力也可以学好概率。同学们可以从自己的学习和考试中看清自己的秉性。
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“我从他的利爪，认出了这头狮子”。张真人偏爱奇技灵巧的题目，喜好降维秒杀的解法。题目确有难度，我在CMU当助教时可不敢这么出题。闲话少叙，我来做几道有趣的题目。


1. 客车有n个座位，第一个乘客车票丢失任选一个座位坐下，后面的乘客持票上车后，如果自己的座位空着，则坐在自己的座位上，否则也任选一个空位坐下。计算最后一个乘客坐在自己座位上的概率。

这是一道动态规划题。记最后一个乘客坐对概率为，我们来找递推式。记第i个乘客的对号座位为i号座位。考虑n≥2时，按照第1个乘客的座位分类：如果他坐在1号座位，则最后一个乘客坐对概率为1；如果他坐在n号座位，则最后一个乘客坐对概率为0；如果他坐在i号座位，i=2,...,n-1，则第2至i-1个乘客都坐对，第i个乘客发现座位被占，他任选一个座位，这样就变成了n-(i-1)个乘客的子问题（可以把1号座位看成他的对号座位），此时最后一个乘客坐对概率为。从而得到递推式：，初始值，可解得，n≥2。

很多评论提到本题有秒杀解法，这里补充一个@家飞猫 提供的精妙解法：让乘客强硬起来，第2至n-1个乘客上车后，如果发现自己的座位被占，不再自己任选一个空座，而是赶走占座者让他重选一个空座，而他俩谁去选座这对于后面的乘客来说是等价的。在这个版本中，第2至n-1个乘客均坐在对号座位，仅有第1个乘客被驱来赶去，最后一个乘客上车时，第1个乘客等概率地坐在1号或n号座位（在第1个乘客眼里两个座位没差别，根据对称性概率各为1/2），从而最后一个乘客坐对概率为1/2。


6. X,Y独立，且均服从标准高斯分布N(0,1)，求Z=cos(X+Y)的均值和方差。

这道题涉及高斯分布的求和、特征函数。X+Y服从高斯分布N(0,2)。这里插一句，高斯分布经过线性变换保持高斯分布，只需计算变换后的均值和方差即可。高斯分布的特征函数是，两侧取实部并代入w=1得到 。从而得到均值。方差写成，用二倍角公式化简得到。


最后2道题隐含了随机过程中泊松过程和鞅的思想。题目取材于高等的知识，却有初等的解法，颇有苏联数学题的风味。

7. X,Y独立，且均服从参数为λ的指数分布，计算E[X²|X+Y]。

这道题涉及指数分布的物理意义。指数分布X~Exp(λ)可以理解为：任意时间微元dt出事概率为λdt且相互独立，X为首次出事的时刻，亦是两次事故的间隔时间。给定X+Y时第2次出事，则第1次出事时刻X均匀分布于[0,X+Y]，即X|X+Y~Unif[0,X+Y]。E[X²|X+Y]是均匀分布的二阶矩，可得到。

顺便说一句，类似的结论可以推广为：X~Gamma(m, λ), Y~Gamma(n, λ)，则X+Y~Gamma(m+n, λ)，X/(X+Y)~Beta(m, n)，且二者独立。Gamma(m, λ)可以理解为第m次出事的时刻。Beta(m, n)可以理解为[0,1]内随机取m+n-1个数其中第m小的数（顺序统计量）。给定X+Y时第m+n次出事，则前面m+n-1次出事时刻均匀分布于[0,X+Y]，第m次出事的时刻X除以时间长度X+Y，正是Beta(m, n)。这类思路常见于泊松过程的计算。


8. U₁, U₂...是一列独立、同在[0,1]上均匀分布的随机变量，试求E[N]，其中是部分和首次超过1的项数。

这又是一道动态规划题。记N(x)是部分和首次超过x的期望项数，0≤x≤1，我们来找递推式。按照U₁的取值分类：如果U₁>x，则N(x)=1；否则还需要部分和首次超过x-U₁这么多项数，即N(x)=1+N(x-U₁)。从而得到递推式。改写成，解微分方程得到，0≤x≤1。从而E[N]=N(1)=e。

另有一种解法，首先将期望改写成，N>n可以等价地理解为前n项部分和≤1，即。后者是n维立方体中单纯形的体积，可以通过对称性或积分计算出，从而得到。

以上两种思路均常见于鞅的停时、更新方程的计算。
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反映出什么现象我不好说，评论一下卷子吧。刚看了一遍，其实不能算是非常难，也有些题出得还是不错的。但是另一些题则是我不太喜欢的类型。

最突出的是第一题。这种题我出卷子的话肯定是没有的。为什么呢？不是因为它难，而是因为它难得不是地方。高赞给出了一种解法，我之前在知乎上也回答过这道题，用的是另一种思路。

无论是动态规划还是构造一一映射，我们看到，想到正确的思路都不容易。但是，问题来了--动态规划/构造一一映射的技巧是概率论的核心内容吗？不是。严格意义上说，它们甚至连“边缘内容”都算不上--它们就不是概率论。一个概率论的考试，理应考察学生对概率论的理解。现在难度全加在了和概率论没多大关系的技巧上，这难度点歪了啊。学生做对了，不代表他概率论学得就好；做错了，八成也是因为没想出特定的技巧，那考它有什么用呢？

古典概型的问题可以很有意思，平时锻炼思维是很好的，但是我一直觉得它们不应该在考试里出现，就是这个原因：古典概形的问题的难度是没办法加在概率论本身上面的，一难就难到组合和特殊技巧上面了，考核的重点不对。

第七题和第八题是不错的。特别是第七题，无论是知道指数分布的特殊性质还是临时推一下，考察的都是学生对概率分布和基本推导的理解，计算量则很小，所谓会者不难。这样的题是我最喜欢的。它具有几个特征：1. 一个对概率论有较好理解的学生，从基本的原理和性质出发，用常规技巧可以轻松解决；2. 计算量小，这样可以避免考试变成计算能力测试 ；3. 在找到正确思路或者得到正确结果的瞬间，学生就可以知道自己做对了。

另外要吐槽一下，我一直觉得一门概率课，即使再入门，大数律和中心极限定理是必须提的。这份卷子里完全没有涉及，像马尔可夫不等式和切比雪夫不等式这样的概率不等式也没有出现。不知道是课程里确实没有，还是课上讲了但是没有反映在卷子上？前者我想吐槽课程，后者我想吐槽出题...
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来自树洞。

如果数据真实，应该算是教学事故了吧。

自己也当过助教，所以有点疑虑，觉得后期应该会通过调分公式，把挂科率控制在合理范围吧。

假如是真实的，我觉得大概率是老师出题和判分的问题。清华是顶级学府，电子系也不是劝退专业，这么好的生源，搞30%的不达标实在有违常理。

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