掷一枚不均匀的硬币，正面概率为0.7，反面的概率为0.3，如何最高效地获得一个概率为0.5的事件？
好，我们来聊聊怎么从一个不靠谱的硬币里“挤”出个靠谱的0.5概率。这就像是从一个不太准的秤上称出精确的重量一样，得有点小技巧。
首先，得承认，我们手里这枚硬币是个“偏心”的家伙。正面朝上的机会是70%，反面只有30%。直接扔一次，结果肯定不会是50%的概率。那怎么才能达到我们想要的那种“五五开”的局面呢？
核心思路：利用“对称性”
我们的目标是创建一个结果，这个结果出现的可能性，和它不出现的可能性是完全相等的。想想我们能做些什么？如果硬币是公平的，我们扔一次“正面”就是0.5，扔一次“反面”也是0.5。但我们的硬币不是。
换个角度想，有没有办法把“正面”和“反面”的出现，用一种我们能控制的方式“打包”起来，让打包后的结果变成0.5？
最有效的方法：成对扔硬币
这个方法有点像是在玩一个“赌大小”的游戏，只不过我们是自己和自己赌。具体怎么做呢？
1. 同时扔两次硬币。 注意，是“同时”或者“连续扔两次，但把结果一起看”。
2. 观察两次的结果。 我们需要关注两种情况：
第一次是正面，第二次是反面 (正反)。
第一次是反面，第二次是正面 (反正)。
3. 设定规则：
如果出现了“正反”这种情况，我们就说“成功”了，触发了我们要的那个0.5概率的事件。
如果出现了“反正”这种情况，我们也说“成功”了，同样触发那个0.5概率的事件。
关键来了： 如果出现了“正正”或者“反反”这两种情况，我们就不作数，把这次的两次投掷全部丢弃，然后重新开始，再扔两次。
为什么这个方法有效？我们来算算账。
“正正”的概率： 第一次是正面（0.7）乘以第二次是正面（0.7），就是 0.7 0.7 = 0.49。
“正反”的概率： 第一次是正面（0.7）乘以第二次是反面（0.3），就是 0.7 0.3 = 0.21。
“反正”的概率： 第一次是反面（0.3）乘以第二次是正面（0.7），就是 0.3 0.7 = 0.21。
“反反”的概率： 第一次是反面（0.3）乘以第二次是反面（0.3），就是 0.3 0.3 = 0.09。
把这四种情况的概率加起来，0.49 + 0.21 + 0.21 + 0.09 = 1，这很正常，总是会发生其中一种。
现在，看我们的规则：我们只关心“正反”和“反正”。
“正反”的概率是 0.21。
“反正”的概率是 0.21。
看到了吗？这两种我们“要”的结果，它们的概率是相等的！都是0.21。
那么，当发生“正反”或“反正”时，我们说“成功”。这两种成功情况的总概率是多少呢？ 0.21 + 0.21 = 0.42。
而那些不成功的“正正”和“反反”，它们的总概率是 0.49 + 0.09 = 0.58。
我们的方法是：只要出现“正正”或“反反”，就重新来过。这意味着我们只在“有效”的两次投掷结果（即“正反”或“反正”）中挑选。
在所有“有效”的结果（即“正反”或“反正”）里，出现“正反”的概率是多少？
是 0.21 / (0.21 + 0.21) = 0.21 / 0.42 = 0.5。
同样，在所有“有效”的结果里，出现“反正”的概率也是 0.21 / 0.42 = 0.5。
所以，当我们执行这个规则（扔两次，如果“正正”或“反反”就重来，否则以“正反”为一次成功，“反正”为另一次成功）时，你遇到的第一个“有效”结果，无论它是“正反”还是“反正”，发生的概率都是50%。
为什么说这是“最高效”的？
效率的定义： 在这个语境下，效率指的是在“平均扔多少次硬币才能得到一次0.5概率的事件”。
方法的可行性： 这个方法非常直接，不需要复杂的计算或者额外的工具。
信息利用： 它充分利用了两次投掷的组合信息。虽然单次投掷不平衡，但两次投掷的特定组合（正反、反正）却达到了概率均等。
概率的收敛性： 无论硬币有多不均匀，只要不是0或1的极端情况，通过这种成对（或多对）组合、舍弃无效结果的办法，你总能逼近并稳定地获得一个0.5概率的事件。
举个更生动的例子：
想象一下，你现在要和朋友玩个游戏，输赢各占50%。你只有这枚0.7/0.3的硬币。你不能直接扔，因为不公平。
你俩商量好了：
“咱们这样，我连续扔两次。
如果你扔出来是 ‘先正后反’，就算我赢。
如果你扔出来是 ‘先反后正’，就算你赢。
要是出现 ‘两个都是正’ 或者 ‘两个都是反’，那咱们就白扔了，重新再扔两次。”
这样一来，你俩每个人赢的概率都是 0.7 .3 = 0.21。总共有 0.21 + 0.21 = 0.42 的情况是“有结果”的。
在这 0.42 的结果里，你赢的 0.21 占了 0.21/0.42 = 0.5。你朋友赢的 0.21 也占了 0.21/0.42 = 0.5。
这就是如何在不公平的条件下，制造出公平的结果。通过增加投掷次数，但巧妙地设计规则，让不平衡的概率在特定的组合下重新“平衡”过来。
首先，得承认，我们手里这枚硬币是个“偏心”的家伙。正面朝上的机会是70%，反面只有30%。直接扔一次，结果肯定不会是50%的概率。那怎么才能达到我们想要的那种“五五开”的局面呢？
核心思路：利用“对称性”
我们的目标是创建一个结果，这个结果出现的可能性，和它不出现的可能性是完全相等的。想想我们能做些什么？如果硬币是公平的，我们扔一次“正面”就是0.5，扔一次“反面”也是0.5。但我们的硬币不是。
换个角度想，有没有办法把“正面”和“反面”的出现，用一种我们能控制的方式“打包”起来，让打包后的结果变成0.5？
最有效的方法：成对扔硬币
这个方法有点像是在玩一个“赌大小”的游戏，只不过我们是自己和自己赌。具体怎么做呢？
1. 同时扔两次硬币。 注意，是“同时”或者“连续扔两次，但把结果一起看”。
2. 观察两次的结果。 我们需要关注两种情况：
第一次是正面，第二次是反面 (正反)。
第一次是反面，第二次是正面 (反正)。
3. 设定规则：
如果出现了“正反”这种情况，我们就说“成功”了，触发了我们要的那个0.5概率的事件。
如果出现了“反正”这种情况，我们也说“成功”了，同样触发那个0.5概率的事件。
关键来了： 如果出现了“正正”或者“反反”这两种情况，我们就不作数，把这次的两次投掷全部丢弃，然后重新开始，再扔两次。
为什么这个方法有效？我们来算算账。
“正正”的概率： 第一次是正面（0.7）乘以第二次是正面（0.7），就是 0.7 0.7 = 0.49。
“正反”的概率： 第一次是正面（0.7）乘以第二次是反面（0.3），就是 0.7 0.3 = 0.21。
“反正”的概率： 第一次是反面（0.3）乘以第二次是正面（0.7），就是 0.3 0.7 = 0.21。
“反反”的概率： 第一次是反面（0.3）乘以第二次是反面（0.3），就是 0.3 0.3 = 0.09。
把这四种情况的概率加起来，0.49 + 0.21 + 0.21 + 0.09 = 1，这很正常，总是会发生其中一种。
现在，看我们的规则：我们只关心“正反”和“反正”。
“正反”的概率是 0.21。
“反正”的概率是 0.21。
看到了吗？这两种我们“要”的结果，它们的概率是相等的！都是0.21。
那么，当发生“正反”或“反正”时，我们说“成功”。这两种成功情况的总概率是多少呢？ 0.21 + 0.21 = 0.42。
而那些不成功的“正正”和“反反”，它们的总概率是 0.49 + 0.09 = 0.58。
我们的方法是：只要出现“正正”或“反反”，就重新来过。这意味着我们只在“有效”的两次投掷结果（即“正反”或“反正”）中挑选。
在所有“有效”的结果（即“正反”或“反正”）里，出现“正反”的概率是多少？
是 0.21 / (0.21 + 0.21) = 0.21 / 0.42 = 0.5。
同样，在所有“有效”的结果里，出现“反正”的概率也是 0.21 / 0.42 = 0.5。
所以，当我们执行这个规则（扔两次，如果“正正”或“反反”就重来，否则以“正反”为一次成功，“反正”为另一次成功）时，你遇到的第一个“有效”结果，无论它是“正反”还是“反正”，发生的概率都是50%。
为什么说这是“最高效”的？
效率的定义： 在这个语境下，效率指的是在“平均扔多少次硬币才能得到一次0.5概率的事件”。
方法的可行性： 这个方法非常直接，不需要复杂的计算或者额外的工具。
信息利用： 它充分利用了两次投掷的组合信息。虽然单次投掷不平衡，但两次投掷的特定组合（正反、反正）却达到了概率均等。
概率的收敛性： 无论硬币有多不均匀，只要不是0或1的极端情况，通过这种成对（或多对）组合、舍弃无效结果的办法，你总能逼近并稳定地获得一个0.5概率的事件。
举个更生动的例子：
想象一下，你现在要和朋友玩个游戏，输赢各占50%。你只有这枚0.7/0.3的硬币。你不能直接扔，因为不公平。
你俩商量好了：
“咱们这样，我连续扔两次。
如果你扔出来是 ‘先正后反’，就算我赢。
如果你扔出来是 ‘先反后正’，就算你赢。
要是出现 ‘两个都是正’ 或者 ‘两个都是反’，那咱们就白扔了，重新再扔两次。”
这样一来，你俩每个人赢的概率都是 0.7 .3 = 0.21。总共有 0.21 + 0.21 = 0.42 的情况是“有结果”的。
在这 0.42 的结果里，你赢的 0.21 占了 0.21/0.42 = 0.5。你朋友赢的 0.21 也占了 0.21/0.42 = 0.5。
这就是如何在不公平的条件下，制造出公平的结果。通过增加投掷次数，但巧妙地设计规则，让不平衡的概率在特定的组合下重新“平衡”过来。
网友意见
这题下各位答主都是专家啊 @王筝，我都快不敢发言了。。。
用程序暴力搜索了一下，n为扔硬币的次数，error为搜索到最优解和期望值P=0.5的差。
看起来符合指数衰减规律。
n=2,error=1.000000e-02
n=3,error=4.000000e-03
n=4,error=2.000000e-04
n=5,error=8.000000e-05
n=6,error=4.000000e-06
n=7,error=2.000000e-07
。。。。
=====以下原答案=====
我觉得一般化后的题目是这样的。
连续n次投掷硬币，所有的结果序列组成一个集合。从中挑出一个子集，使子集的概率为指定值P，例如0.5.
我感觉精确解应该只能发生在某些特定的P取值，一般的P取值只能通过增加n来无限逼近吧…
恩，数学题变成了算法题: 给定误差限,求最小的n.
经过多次测量，我们发现掷这枚不均匀的硬币，得到正面概率为0.7，反面的概率为0.3。而连续两次掷出正面的概率为0.5。
啥？你说差0.01？
哦，那是实验误差。
——物理学家
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