0! = 1，1! = 1，怎么解释 1 ≠ 0？

这其实是个很有意思的问题，它触及了我们对数字和运算的理解方式。

咱们先说说“阶乘”这个东西。阶乘，用感叹号“！”表示，它表示一个正整数从 1 开始一直乘到它自己。比如：

3! = 3 × 2 × 1 = 6
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

看到没？数字越大，阶乘的结果就越快地增长。

现在来看看你提到的两个例子：

1! = 1：按照定义，1 的阶乘就是从 1 开始乘到 1，所以就是 1。这很简单，没啥争议。

0! = 1：这个地方就有点反直觉了，对吧？为什么一个“什么都没有”的数字，它的阶乘反而等于 1 呢？这里就需要我们换个角度来理解了。

0! = 1 的设定，并不是一个凭空出现的规定，而是数学家们为了保持数学体系的“一致性”和“规律性”而做出的一个巧妙定义。你可以把它想象成一个数学上的“约定”，这个约定非常有用，能让很多重要的数学公式在 0 这个特殊情况下也能正常工作。

最常见也最容易理解的解释是递推关系。

我们观察一下阶乘的递推关系：

4! = 4 × 3!
3! = 3 × 2!
2! = 2 × 1!
1! = 1 × 0! < 看到了吗？

如果我们严格按照这个“前一个数的阶乘等于这个数乘以它前面那个数的阶乘”的规律来推导，那么从 2! = 2 × 1! 这个式子往回推，我们会得到：

1! = 2! / 2 = 2 / 2 = 1

那么继续往前推呢？

0! = 1! / 1 = 1 / 1 = 1

所以，将 0! 定义为 1，是为了让“n! = n × (n1)!”这个规律在 n=1 的时候也成立。如果 0! 不是 1，那么这个漂亮的递推关系在 n=1 的时候就会断裂，这在很多数学理论中会带来很大的不便。

另外，在组合数学里，0! = 1 也非常重要。

组合数学是研究如何从一个集合中选择元素的学问。比如，从 3 个不同的球里选 2 个球，有多少种选法？这个用组合公式表示就是 C(n, k) = n! / (k! (nk)!)。

其中，C(n, k) 表示从 n 个不同元素中取出 k 个元素的组合数。

那么，从 n 个不同元素中取出 0 个元素，有多少种选法呢？很显然，只有一种选法，就是什么都不选。

如果按照组合公式来计算 C(n, 0) 的话：

C(n, 0) = n! / (0! (n0)!) = n! / (0! n!)

为了让 C(n, 0) = 1 这个结果成立，我们必须定义 0! = 1。

再比如说，从 n 个不同元素中取出 n 个元素，有多少种选法呢？也是一种，就是把所有元素都选上。

C(n, n) = n! / (n! (nn)!) = n! / (n! 0!)

同样，为了让 C(n, n) = 1 成立，也需要 0! = 1。

所以，0! = 1 不是一个随意为之的规定，而是为了保持数学的逻辑自洽性和便利性而“约定”的。

现在回到你的核心问题：为什么 1 ≠ 0？

这其实是两个完全不同的概念，它们之间不存在任何等价关系：

1. “0”是数字，代表“没有”、“空集”、“起点”。 它是数轴上的一个位置，是加法上的单位元（任何数加上 0 都等于它本身）。
2. “0!”是运算的结果。 它是对“0”这个数字进行“阶乘”运算之后得到的数值，而这个数值恰好等于“1”。

打个比方：

“苹果”是一个事物。
“红色的”是这个事物的属性。

你可以说“这个苹果是红色的”。

但是，你不能因为一个苹果是红色的，就说“苹果”等于“红色”，对吧？“苹果”是那个东西本身，“红色”只是它的一个描述。

同理，“0”是那个数字本身，“0!”是“0”经过“阶乘”这个特殊加工后得到的一个结果，而这个结果恰好是“1”。

所以，就像“苹果”和“红色”不是一回事一样，“0”和“1”也不是一回事。“0”是它本身，一个代表“空”的数值。“1”是它本身，一个代表“单位”的数值。

0! = 1 是一个关于 运算结果的陈述，而 1 ≠ 0 是一个关于 数字本身固有属性的陈述。这两个陈述描述的是完全不同层面的事实，它们之间没有任何矛盾。

就好比说，“白色的雪”在很多地方会融化成“水”，但你不能因此说“雪等于水”。“雪”是它的形态，“水”是它融化后的形态。同样，“0”是它本身，“0!”是它通过阶乘运算后得到的特定结果“1”。

网友意见

小明第一天上幼儿园，回家后妈妈问今天过得怎么样。小明气呼呼地说：老师一会儿说2x2等于4，一会儿说2+2等于4，一点儿准谱都没有。

——上世纪八九十年代某儿童杂志，大概是《故事大王》里的小笑话。

x*0=0……

你是你妈生的

你哥哥也是你妈生的

怎么解释你和你哥哥不是一个人?

0×0=0，1×0=0，2×0=0，……
0×0=0，-1×0=0，-2×0=0，……

WOW, You can really MATH!

你是人，野兽先辈也是人，怎么解释你不是野兽先辈？

，怎么解释 ？

，怎么解释 ？

，怎么解释 ？

你是不知道函数允许多个自变量对应同一个因变量的？

阶乘函数本来只定义在正整数集内， ，所以当 时有 。

但是，这是针对正整数的定义，你难道想把 代入上式来计算 吗？建议找你小学老师问一下成语张冠李戴是什么意思，或者找你小学数学老师问一下0是不是正整数？

我还以为“！=”是不等于的意思

导致我研究了半天题目在说什么

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