为什么方程 x³－1＝0 的解不是 x＝1，且 x 是 3 重根？
你提出的这个问题很有意思，它涉及到复数域和代数方程的根的性质。让我们一层一层地剥开，看看为什么 $x^3 1 = 0$ 的解不是 $x=1$ 且是三重复根，而是我们熟知的三个不同的复数根。
首先，我们来回忆一下什么叫做“根”以及“重根”。
一个方程的“根”，就是代入方程后能让方程成立的那个值。比如，对于 $x 2 = 0$，它的根就是 $x=2$。
而“重根”呢，指的是一个根在方程的某个因式分解中出现的次数。举个简单的例子，$x^2 2x + 1 = 0$，我们可以把它因式分解成 $(x1)(x1) = (x1)^2 = 0$。这时候，我们说 $x=1$ 是这个方程的二重根，因为它在因式分解中出现了两次。
现在，我们回到你提出的方程：$x^3 1 = 0$。
很多人看到这个方程，第一反应可能就是：“嗯，这是 $x$ 的三次方等于 1，那 $x$ 当然就是 1 了！” 确实，如果我们在实数范围内考虑，并且只寻找实数解的话，$x=1$ 是唯一的解，因为 $1^3 1 = 1 1 = 0$。
但是，数学的魅力在于它允许我们进入更广阔的领域——复数域。在复数域里，我们不仅仅考虑实数，还引入了虚数单位 $i$，它定义为 $i^2 = 1$。复数域中的数通常可以写成 $a + bi$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 是实数。
代数基本定理告诉我们，一个 $n$ 次多项式方程在复数域里有且仅有 $n$ 个根（包括重根）。我们的方程是 $x^3 1 = 0$，这是一个 3 次多项式方程，所以它在复数域里应该有 三个 根。
那么，这三个根具体是什么呢？我们可以通过因式分解来找到它们。
我们知道一个著名的立方差公式：$a^3 b^3 = (a b)(a^2 + ab + b^2)$。
将我们的方程 $x^3 1 = 0$ 套用这个公式，可以得到：
$(x 1)(x^2 + x cdot 1 + 1^2) = 0$
$(x 1)(x^2 + x + 1) = 0$
现在，这个方程就变成了一个乘积等于零的形式。这意味着：
1. $x 1 = 0$
2. $x^2 + x + 1 = 0$
从第一个式子，我们很容易得到一个解：
$x_1 = 1$
这就是我们在实数域里找到的那个解。
接下来，我们看第二个式子：$x^2 + x + 1 = 0$。这是一个二次方程，我们可以用二次方程的求根公式来解决它。求根公式是这样的：对于 $ax^2 + bx + c = 0$，解为 $x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$。
在这个方程 $x^2 + x + 1 = 0$ 中，我们有 $a=1$, $b=1$, $c=1$。代入公式：
$x = frac{1 pm sqrt{1^2 4 cdot 1 cdot 1}}{2 cdot 1}$
$x = frac{1 pm sqrt{1 4}}{2}$
$x = frac{1 pm sqrt{3}}{2}$
在这里，我们遇到了负数在平方根里！这就是复数登场的时候。我们知道 $sqrt{3} = sqrt{3 cdot 1} = sqrt{3} cdot sqrt{1} = sqrt{3}i$。
所以，第二个方程的两个解是：
$x_2 = frac{1 + sqrt{3}i}{2}$
$x_3 = frac{1 sqrt{3}i}{2}$
至此，我们就找到了方程 $x^3 1 = 0$ 的全部三个根：
$x_1 = 1$
$x_2 = frac{1 + sqrt{3}i}{2}$
$x_3 = frac{1 sqrt{3}i}{2}$
我们可以看到，这三个根 不是 $x=1$ 并且是三重复根。它们是 三个不同的复数。
为什么不是三重复根？
一个三重复根意味着方程的因式分解形式是 $(xr)^3 = 0$，其中 $r$ 就是那个三重复根。展开 $(xr)^3$ 会得到 $x^3 3rx^2 + 3r^2x r^3 = 0$。
如果我们的方程 $x^3 1 = 0$ 是一个三重复根的方程，那么它必须是 $(x1)^3 = 0$（因为 $x=1$ 是一个可能的根）。但是 $(x1)^3$ 展开后是 $x^3 3x^2 + 3x 1 = 0$，这和我们的方程 $x^3 1 = 0$ 是完全不同的，因为它们在 $x^2$ 和 $x$ 的系数上不一样。
更根本的原因是，我们通过因式分解得到的三个根是 互不相同 的。一个根是实数 1，另外两个是共轭复数。只要根是不同的，它就不是重根。
总结一下：
1. 复数域的存在： 在数学中，我们通常在复数域内考虑多项式方程的解，因为这样可以保证所有代数方程都有解。
2. 代数基本定理： 一个 $n$ 次多项式方程在复数域中有 $n$ 个根（计入重数）。$x^3 1 = 0$ 是一个 3 次方程，所以它有 3 个根。
3. 因式分解的结果： $x^3 1$ 可以被因式分解为 $(x1)(x^2+x+1)$。
4. 解的计算： 其中一个因式 $x1$ 给了实数解 $x=1$。另一个因式 $x^2+x+1$ 是一个二次方程，它在复数域中有两个 不同 的复数解。
5. 重根的定义： 重根意味着同一个根在因式分解中出现多次。因为我们找到了三个 不同 的根，所以 $x=1$ 不是三重复根，整个方程也没有重根。
所以，方程 $x^3 1 = 0$ 的三个解分别是 $1$、$frac{1 + sqrt{3}i}{2}$ 和 $frac{1 sqrt{3}i}{2}$，它们是三个不同的复数。这三个根也常常被称为“单位的立方根”，它们在复平面上会构成一个正三角形的顶点，其中一个顶点是实轴上的 1。
首先，我们来回忆一下什么叫做“根”以及“重根”。
一个方程的“根”，就是代入方程后能让方程成立的那个值。比如，对于 $x 2 = 0$，它的根就是 $x=2$。
而“重根”呢，指的是一个根在方程的某个因式分解中出现的次数。举个简单的例子，$x^2 2x + 1 = 0$，我们可以把它因式分解成 $(x1)(x1) = (x1)^2 = 0$。这时候，我们说 $x=1$ 是这个方程的二重根，因为它在因式分解中出现了两次。
现在，我们回到你提出的方程：$x^3 1 = 0$。
很多人看到这个方程，第一反应可能就是：“嗯，这是 $x$ 的三次方等于 1，那 $x$ 当然就是 1 了！” 确实，如果我们在实数范围内考虑，并且只寻找实数解的话，$x=1$ 是唯一的解，因为 $1^3 1 = 1 1 = 0$。
但是，数学的魅力在于它允许我们进入更广阔的领域——复数域。在复数域里，我们不仅仅考虑实数，还引入了虚数单位 $i$，它定义为 $i^2 = 1$。复数域中的数通常可以写成 $a + bi$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 是实数。
代数基本定理告诉我们，一个 $n$ 次多项式方程在复数域里有且仅有 $n$ 个根（包括重根）。我们的方程是 $x^3 1 = 0$，这是一个 3 次多项式方程，所以它在复数域里应该有 三个 根。
那么，这三个根具体是什么呢？我们可以通过因式分解来找到它们。
我们知道一个著名的立方差公式：$a^3 b^3 = (a b)(a^2 + ab + b^2)$。
将我们的方程 $x^3 1 = 0$ 套用这个公式，可以得到：
$(x 1)(x^2 + x cdot 1 + 1^2) = 0$
$(x 1)(x^2 + x + 1) = 0$
现在，这个方程就变成了一个乘积等于零的形式。这意味着：
1. $x 1 = 0$
2. $x^2 + x + 1 = 0$
从第一个式子，我们很容易得到一个解：
$x_1 = 1$
这就是我们在实数域里找到的那个解。
接下来，我们看第二个式子：$x^2 + x + 1 = 0$。这是一个二次方程，我们可以用二次方程的求根公式来解决它。求根公式是这样的：对于 $ax^2 + bx + c = 0$，解为 $x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$。
在这个方程 $x^2 + x + 1 = 0$ 中，我们有 $a=1$, $b=1$, $c=1$。代入公式：
$x = frac{1 pm sqrt{1^2 4 cdot 1 cdot 1}}{2 cdot 1}$
$x = frac{1 pm sqrt{1 4}}{2}$
$x = frac{1 pm sqrt{3}}{2}$
在这里，我们遇到了负数在平方根里！这就是复数登场的时候。我们知道 $sqrt{3} = sqrt{3 cdot 1} = sqrt{3} cdot sqrt{1} = sqrt{3}i$。
所以，第二个方程的两个解是：
$x_2 = frac{1 + sqrt{3}i}{2}$
$x_3 = frac{1 sqrt{3}i}{2}$
至此，我们就找到了方程 $x^3 1 = 0$ 的全部三个根：
$x_1 = 1$
$x_2 = frac{1 + sqrt{3}i}{2}$
$x_3 = frac{1 sqrt{3}i}{2}$
我们可以看到，这三个根 不是 $x=1$ 并且是三重复根。它们是 三个不同的复数。
为什么不是三重复根？
一个三重复根意味着方程的因式分解形式是 $(xr)^3 = 0$，其中 $r$ 就是那个三重复根。展开 $(xr)^3$ 会得到 $x^3 3rx^2 + 3r^2x r^3 = 0$。
如果我们的方程 $x^3 1 = 0$ 是一个三重复根的方程，那么它必须是 $(x1)^3 = 0$（因为 $x=1$ 是一个可能的根）。但是 $(x1)^3$ 展开后是 $x^3 3x^2 + 3x 1 = 0$，这和我们的方程 $x^3 1 = 0$ 是完全不同的，因为它们在 $x^2$ 和 $x$ 的系数上不一样。
更根本的原因是，我们通过因式分解得到的三个根是 互不相同 的。一个根是实数 1，另外两个是共轭复数。只要根是不同的，它就不是重根。
总结一下：
1. 复数域的存在： 在数学中，我们通常在复数域内考虑多项式方程的解，因为这样可以保证所有代数方程都有解。
2. 代数基本定理： 一个 $n$ 次多项式方程在复数域中有 $n$ 个根（计入重数）。$x^3 1 = 0$ 是一个 3 次方程，所以它有 3 个根。
3. 因式分解的结果： $x^3 1$ 可以被因式分解为 $(x1)(x^2+x+1)$。
4. 解的计算： 其中一个因式 $x1$ 给了实数解 $x=1$。另一个因式 $x^2+x+1$ 是一个二次方程，它在复数域中有两个 不同 的复数解。
5. 重根的定义： 重根意味着同一个根在因式分解中出现多次。因为我们找到了三个 不同 的根，所以 $x=1$ 不是三重复根，整个方程也没有重根。
所以，方程 $x^3 1 = 0$ 的三个解分别是 $1$、$frac{1 + sqrt{3}i}{2}$ 和 $frac{1 sqrt{3}i}{2}$，它们是三个不同的复数。这三个根也常常被称为“单位的立方根”，它们在复平面上会构成一个正三角形的顶点，其中一个顶点是实轴上的 1。
网友意见
目前的教学不强调多项式的根与方程的解有什么区别，这样做的后果被这个问题暴露出来。而这仅仅是在数学教学中不强调基本概念的严格定义，从而引起误解的一个例子。
初中数学将实系数一元二次方程分成三类：有两个不等实根的，有两个相等实根的，无实根的。我想一定会有不少学生疑惑，为什么要把只有一个解的一元二次方程说成是有两个相等实根的。这样的疑惑本质上是因为教学中没有说清楚到底什么是根。
到了高中数学，方程不再局限于代数方程，所以这样的疑惑被放大了。方程 有几个解？方程 有几个解？
对于第一个例子，我们知道它有一个解，并且通过引入对数，将它表示为显式形式。而对于第二个例子，虽然可以在理论上证明它有一个解，但是无法将这个解表示为显式形式。
在这些例子中，为什么不像 那样，说它有“两个相等的解”？要回答这样的问题，必须对方程的解和多项式的根做明确的区分。
设 是一个变元， 则称 是一个关于 的 次实多项式。
特别地，认为非零常数是零次多项式，零是零多项式，但不是零次多项式（为什么？）。
设 是一个关于 的非零实多项式， 存在关于 的实多项式 使得
且对于任意关于 的实多项式 成立
则称 是 的一个 重实根。
我们通常说方程有几个解，指的是有几个两两不等的解，而我们通常说多项式有几个根，指的将每个根按重数累加得到的数量。
对于那些“有两个相等实根”的二次方程，化成标准形式后，左侧可以表示为 所以称左侧有两个相等实根。
至于多项式 可以将它表示为 而 无实根，所以 有实根 却是一重的。
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