捷连惯性导航系统SINS/全球导航卫星系统GNSS组合导航中，为什么用状态误差传递方程建立状态方程？
在捷联惯性导航系统（SINS）与全球导航卫星系统（GNSS）的组合导航中，我们之所以选用状态误差传递方程来构建状态方程，其根本原因在于我们希望精确地描述和预测系统在时间和外界干扰下的不确定性变化，并在此基础上进行最优的状态估计。这就像是在描述一个人的成长过程，我们不会直接描述他“长大”了多少，而是描述他的身高、体重、认知能力等各个方面的“变化量”，以及这些变化量是如何受到遗传、营养、学习等因素影响的。
要理解这一点，我们首先要明白SINS和GNSS各自的特点。SINS，顾名思义，依靠惯性测量单元（IMU）来测量载体的加速度和角速度，通过积分计算出载体的姿态、速度和位置。这个过程是连续的，而且理论上可以提供高频率、不受外部信号限制的导航信息。然而，SINS有一个致命的弱点：误差的累积。加速度计和陀螺仪的微小测量误差，经过一次积分变成速度误差，再经过一次积分就变成了位置误差。而且，这些误差会随着时间呈指数级增长，尤其是在没有外部校正的情况下，SINS的精度会迅速下降。
GNSS则是一种绝对导航系统。它通过接收卫星信号来确定载体的三维位置。GNSS的优点是精度高，且不存在累积误差。但是，GNSS也存在其固有的缺点：信号易受遮挡、多径效应影响，且更新频率相对较低。在隧道、城市峡谷等环境中，GNSS信号可能丢失，导致导航中断。
现在，我们来看组合导航的目标：充分发挥SINS的高频和连续性，同时利用GNSS的精度来抑制SINS误差的累积，最终获得比单一系统更优、更可靠的导航结果。为了实现这个目标，我们需要一个数学模型来描述整个组合系统的状态，并且能够有效地估计和修正这些状态。
直接将SINS和GNSS的状态（比如SINS输出的位置、速度、姿态，以及GNSS输出的位置）放在一个状态方程中，会遇到一些挑战。SINS的状态是随时间连续变化的，而GNSS的状态则是在获得可用信号时才给出。更关键的是，SINS的误差特性是我们最需要管理的部分。
这就是状态误差传递方程发挥作用的地方。我们不再直接描述导航系统的“真实”状态（因为我们无法完全知道），而是转而描述导航系统的估计状态与真实状态之间的“误差”。这个误差可以包括：
SINS的误差： 这是最重要的部分。它包含了IMU本身的系统误差（如零偏、尺度因子误差、轴不对准等）、随机误差（如噪声）、以及这些误差经过积分后累积到速度和位置上的误差。
GNSS的误差： 虽然GNSS误差累积性小，但它也有其自身的测量噪声和可能的偏差。
系统模型的不确定性： 即使我们对SINS的工作原理有了很好的理解，总会有一些模型参数我们无法精确知晓，这些不确定性也会反映在误差中。
将状态方程建立在“误差”的基础上，有几个核心优势：
1. 聚焦于需要修正的部分： 组合导航的核心任务是利用GNSS来校正SINS的误差。通过状态误差传递方程，我们直接关注这些误差是如何随着时间演化和传播的。这使得我们可以更清晰地设计出如何用GNSS的测量来“拉回”这些误差，从而提高整体导航精度。
2. 处理误差的动态特性： SINS的误差，尤其是那些随时间增长的误差（如陀螺仪零偏），它们本身也具有动态特性。例如，陀螺仪零偏可能不会恒定不变，而会缓慢漂移。状态误差传递方程能够清晰地描述这些误差项是如何被测量噪声、模型参数不确定性等影响而变化的。
3. 线性化处理的便利性： 惯性导航的真实状态方程是非线性的。在设计滤波器（如扩展卡尔曼滤波器）时，我们通常需要对非线性方程进行线性化。而如果我们将状态定义为“误差”，在很多情况下，这个误差的动态方程会比真实状态的动态方程更容易线性化，或者其非线性程度会大大降低。这样可以简化滤波器的设计和计算复杂度。
4. 状态空间的统一描述： 无论是SINS的误差，还是GNSS的误差，都可以被归结为对导航参数（姿态、速度、位置）的偏差。状态误差传递方程提供了一个统一的框架，将这些不同来源的误差项都放在一个状态向量中进行描述和管理。
5. 最优估计的基础： 卡尔曼滤波及其变种（如EKF、UKF）是组合导航中最常用的状态估计算法。这些算法的核心就是利用系统的动态模型（即状态方程）和测量模型来估计系统的真实状态。通过使用状态误差传递方程作为状态方程，我们实际上是在提供一个关于“误差如何演化”的精确模型，这使得卡尔曼滤波器能够更有效地估计出这些误差，并进行补偿。
举个例子来说明。假设我们关注的是姿态误差，即我们估计的姿态与真实姿态之间的差异。SINS的陀螺仪存在零偏，这个零偏会随时间漂移。如果我们将姿态误差作为状态变量，那么陀螺仪零偏的漂移就会直接影响姿态误差的传递率。状态误差传递方程就能描述这种“误差如何产生新的误差”的过程。而GNSS测量，虽然不能直接测量姿态，但它可以提供高精度的位置信息。通过比较GNSS测量到的位置和SINS积分出的位置之间的差异，我们可以反推出SINS在位置上的误差，进而推断出姿态误差和速度误差。
因此，使用状态误差传递方程来建立状态方程，不是因为我们要放弃对真实状态的描述，而是因为我们发现，更有效地管理和估计那些导致导航系统性能下降的不确定性——也就是误差——是实现高精度组合导航的关键。通过直接对误差的动态进行建模，我们能够更精确地预测误差的传播，更有效地利用GNSS等辅助信息来校正这些误差，从而实现SINS和GNSS的优势互补，获得稳定可靠的高精度导航能力。这是一种“对症下药”的策略，直接解决SINS误差累积这一核心问题。
要理解这一点，我们首先要明白SINS和GNSS各自的特点。SINS，顾名思义，依靠惯性测量单元（IMU）来测量载体的加速度和角速度，通过积分计算出载体的姿态、速度和位置。这个过程是连续的，而且理论上可以提供高频率、不受外部信号限制的导航信息。然而，SINS有一个致命的弱点：误差的累积。加速度计和陀螺仪的微小测量误差，经过一次积分变成速度误差，再经过一次积分就变成了位置误差。而且，这些误差会随着时间呈指数级增长，尤其是在没有外部校正的情况下，SINS的精度会迅速下降。
GNSS则是一种绝对导航系统。它通过接收卫星信号来确定载体的三维位置。GNSS的优点是精度高，且不存在累积误差。但是，GNSS也存在其固有的缺点：信号易受遮挡、多径效应影响，且更新频率相对较低。在隧道、城市峡谷等环境中，GNSS信号可能丢失，导致导航中断。
现在，我们来看组合导航的目标：充分发挥SINS的高频和连续性，同时利用GNSS的精度来抑制SINS误差的累积，最终获得比单一系统更优、更可靠的导航结果。为了实现这个目标，我们需要一个数学模型来描述整个组合系统的状态，并且能够有效地估计和修正这些状态。
直接将SINS和GNSS的状态（比如SINS输出的位置、速度、姿态，以及GNSS输出的位置）放在一个状态方程中，会遇到一些挑战。SINS的状态是随时间连续变化的，而GNSS的状态则是在获得可用信号时才给出。更关键的是，SINS的误差特性是我们最需要管理的部分。
这就是状态误差传递方程发挥作用的地方。我们不再直接描述导航系统的“真实”状态（因为我们无法完全知道），而是转而描述导航系统的估计状态与真实状态之间的“误差”。这个误差可以包括：
SINS的误差： 这是最重要的部分。它包含了IMU本身的系统误差（如零偏、尺度因子误差、轴不对准等）、随机误差（如噪声）、以及这些误差经过积分后累积到速度和位置上的误差。
GNSS的误差： 虽然GNSS误差累积性小，但它也有其自身的测量噪声和可能的偏差。
系统模型的不确定性： 即使我们对SINS的工作原理有了很好的理解，总会有一些模型参数我们无法精确知晓，这些不确定性也会反映在误差中。
将状态方程建立在“误差”的基础上，有几个核心优势：
1. 聚焦于需要修正的部分： 组合导航的核心任务是利用GNSS来校正SINS的误差。通过状态误差传递方程，我们直接关注这些误差是如何随着时间演化和传播的。这使得我们可以更清晰地设计出如何用GNSS的测量来“拉回”这些误差，从而提高整体导航精度。
2. 处理误差的动态特性： SINS的误差，尤其是那些随时间增长的误差（如陀螺仪零偏），它们本身也具有动态特性。例如，陀螺仪零偏可能不会恒定不变，而会缓慢漂移。状态误差传递方程能够清晰地描述这些误差项是如何被测量噪声、模型参数不确定性等影响而变化的。
3. 线性化处理的便利性： 惯性导航的真实状态方程是非线性的。在设计滤波器（如扩展卡尔曼滤波器）时，我们通常需要对非线性方程进行线性化。而如果我们将状态定义为“误差”，在很多情况下，这个误差的动态方程会比真实状态的动态方程更容易线性化，或者其非线性程度会大大降低。这样可以简化滤波器的设计和计算复杂度。
4. 状态空间的统一描述： 无论是SINS的误差，还是GNSS的误差，都可以被归结为对导航参数（姿态、速度、位置）的偏差。状态误差传递方程提供了一个统一的框架，将这些不同来源的误差项都放在一个状态向量中进行描述和管理。
5. 最优估计的基础： 卡尔曼滤波及其变种（如EKF、UKF）是组合导航中最常用的状态估计算法。这些算法的核心就是利用系统的动态模型（即状态方程）和测量模型来估计系统的真实状态。通过使用状态误差传递方程作为状态方程，我们实际上是在提供一个关于“误差如何演化”的精确模型，这使得卡尔曼滤波器能够更有效地估计出这些误差，并进行补偿。
举个例子来说明。假设我们关注的是姿态误差，即我们估计的姿态与真实姿态之间的差异。SINS的陀螺仪存在零偏，这个零偏会随时间漂移。如果我们将姿态误差作为状态变量，那么陀螺仪零偏的漂移就会直接影响姿态误差的传递率。状态误差传递方程就能描述这种“误差如何产生新的误差”的过程。而GNSS测量，虽然不能直接测量姿态，但它可以提供高精度的位置信息。通过比较GNSS测量到的位置和SINS积分出的位置之间的差异，我们可以反推出SINS在位置上的误差，进而推断出姿态误差和速度误差。
因此，使用状态误差传递方程来建立状态方程，不是因为我们要放弃对真实状态的描述，而是因为我们发现，更有效地管理和估计那些导致导航系统性能下降的不确定性——也就是误差——是实现高精度组合导航的关键。通过直接对误差的动态进行建模，我们能够更精确地预测误差的传播，更有效地利用GNSS等辅助信息来校正这些误差，从而实现SINS和GNSS的优势互补，获得稳定可靠的高精度导航能力。这是一种“对症下药”的策略，直接解决SINS误差累积这一核心问题。
网友意见
谢邀。
这里我说说我的看法
首先题主提到的这个方式，我理解的是间接反馈形式的扩展卡尔曼滤波的SIN/GNSS的组合方式，这里就以最简单松组合形式为例子。在这种形式下，观测量为SINS和GNSS对速度位置的差值，估计的状态量包含对IMU的误差建模，利用扩充状态量维度的扩展方法，组合滤波后都可以反馈给IMU的原始输出进行补偿。那么在这种情况，理想状态下，IMU的误差都得到了一定量的补偿，保证了在积分时间（一般采用离散时间积分）间隔内，IMU的误差在小量范围，进一步保证了泰勒展开下观测方程的线性化有据可依，也就是另一位答主Leastsq提到的卡尔曼的线性要求。
还有一个点，就是为什么要用SIN的运动方程（误差方程）作为状态方程描述载体的运动情况。一般认为，SINS具有更直接的对载体运动状态的估计。简单地说，在GNSS和INS组合，那么INS可以输出对速度位置和姿态的全方位估计，对载体的线运动和角运动都有涉及，而GNSS如果需要估计姿态还是有些麻烦。同时，在一般的应用场合，SINS具有更高的输出频率。
当然，除了间接反馈的卡尔曼形式，还有直接估计的卡尔曼形式，就是SINS的机械编排做状态方程，GNSS的位置速度估计做观测量的方法。这种方法相比之下结构简单，但SINS的误差没有得到补偿，在长时间应用场合下还是会存在一定的问题。
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