量子力学老师提出了一个问题：为什么 Schrödinger 方程里有虚数 i ？
好的，我们来详细探讨一下为什么薛定谔方程中会出现虚数 $i$ 这个看似“不属于”实数世界的问题。这背后蕴含着量子力学的深刻内涵和数学结构的必要性。
核心观点：虚数 $i$ 在薛定谔方程中，是描述波函数演化规律和概率幅的关键，它与量子系统的时间演化、能量的量子化以及波的性质紧密相连。
让我们一步步来理解：
1. 薛定谔方程长什么样？
首先，我们要知道薛定谔方程（时间依赖性薛定谔方程）是这样的形式：
$$ ihbar frac{partial}{partial t} Psi(mathbf{r}, t) = hat{H} Psi(mathbf{r}, t) $$
其中：
$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = 1$。
$hbar$ 是约化普朗克常数（$h/2pi$）。
$Psi(mathbf{r}, t)$ 是波函数，它描述了量子系统在时空中的状态。
$hat{H}$ 是哈密顿算符，代表系统的总能量。
2. 虚数 $i$ 的必要性：波的描述
量子力学最核心的概念之一是波粒二象性。粒子（如电子、光子）在某些情况下表现出波的性质。而描述波的数学工具，常常涉及到复数，特别是虚数 $i$。
考虑一个最简单的波函数，例如一个自由粒子：
$$ Psi(x, t) = A e^{i(kx omega t)} $$
其中 $k$ 是波数（与动量相关），$omega$ 是角频率（与能量相关）。
振幅和相位： 这个复指数形式的波函数包含了波的振幅（$A$）和相位（$k x omega t$）。虚数 $i$ 是产生这个相位项的关键。
实部和虚部： 尽管波函数 $Psi$ 是复数，但我们最终关心的可观测量（如粒子在某处的概率）是它的模长的平方，即 $|Psi|^2 = Psi^ Psi$。而 $Psi^$ 是 $Psi$ 的复共轭。对于上面的自由粒子波函数，它的模长平方是 $|A e^{i(kx omega t)}|^2 = |A|^2 cdot |e^{i(kx omega t)}|^2$。根据欧拉公式 $e^{ix} = cos(x) + i sin(x)$，我们知道 $|e^{ix}| = sqrt{cos^2(x) + sin^2(x)} = 1$。所以，这个波函数的模长平方是 $|A|^2$，这是一个实数，表示粒子在某处的概率密度。
复数是波的自然语言： 虚数 $i$ 使得我们可以用一个复指数函数简洁地描述波的传播和振荡。如果薛定谔方程只包含实数，我们将很难直接描述波的相位和干涉等现象。
3. 虚数 $i$ 与时间演化
薛定谔方程是一个微分方程，它描述了波函数 $Psi$ 如何随时间 $t$ 发生变化。方程中的 $ihbar$ 作用在时间导数上，赋予了时间演化一个特殊的性质：相位的变化。
让我们再次看自由粒子的薛定谔方程：
$$ ihbar frac{partial}{partial t} Psi(x, t) = frac{hat{p}^2}{2m} Psi(x, t) $$
其中动量算符 $hat{p} = ihbar frac{partial}{partial x}$。
将自由粒子波函数 $Psi(x, t) = A e^{i(kx omega t)}$ 代入：
左边：$ihbar frac{partial}{partial t} [A e^{i(kx omega t)}] = ihbar cdot A cdot e^{i(kx omega t)} cdot (iomega) = hbar omega A e^{i(kx omega t)}$
右边：$frac{hat{p}^2}{2m} [A e^{i(kx omega t)}] = frac{1}{2m} (ihbar frac{partial}{partial x})^2 [A e^{i(kx omega t)}] = frac{1}{2m} (ihbar)^2 frac{partial^2}{partial x^2} [A e^{i(kx omega t)}] = frac{1}{2m} (hbar^2) A e^{i(kx omega t)} k^2 = frac{hbar^2 k^2}{2m} A e^{i(kx omega t)}$
为了使方程成立，我们必须有：
$$ hbar omega = frac{hbar^2 k^2}{2m} $$
这正是能量与动量（通过波数 $k$ 间接表示）之间的关系。从这里我们看到，虚数 $i$ 的存在，使得波函数的频率 $omega$ 和其对应的能量 $E = hbar omega$ 以及动量 $p = hbar k$ 能够联系起来。
更重要的是，虚数 $i$ 保证了能量守恒和概率守恒。
4. 虚数 $i$ 保证了概率守恒 ($|Psi|^2$ 的守恒)
量子力学的基本假设之一是概率解释，即 $|Psi(mathbf{r}, t)|^2$ 表示在时刻 $t$ 在位置 $mathbf{r}$ 附近发现粒子的概率密度。概率的总和（或积分）必须始终为 1，这意味着概率必须守恒。
我们可以从薛定谔方程推导出概率守恒方程：
$$ frac{partial |Psi|^2}{partial t} = frac{partial (Psi^ Psi)}{partial t} = left(frac{partial Psi^}{partial t} ight) Psi + Psi^ left(frac{partial Psi}{partial t} ight) $$
从薛定谔方程 $ihbar frac{partial Psi}{partial t} = hat{H} Psi$，我们可以得到：
$frac{partial Psi}{partial t} = frac{1}{ihbar} hat{H} Psi = frac{i}{hbar} hat{H} Psi$
对复共轭取导数：
$ihbar frac{partial Psi^}{partial t} = (hat{H} Psi)^ = hat{H}^ Psi^$
假设哈密顿算符是厄米算符（在量子力学中这是必须的），则 $hat{H}^ = hat{H}$，所以：
$frac{partial Psi^}{partial t} = frac{1}{ihbar} hat{H}^ Psi^ = frac{i}{hbar} hat{H} Psi^$
代入概率守恒方程：
$$ frac{partial |Psi|^2}{partial t} = left(frac{i}{hbar} hat{H} Psi^ ight) Psi + Psi^ left(frac{i}{hbar} hat{H} Psi ight) $$
$$ frac{partial |Psi|^2}{partial t} = frac{i}{hbar} (hat{H} Psi^) Psi frac{i}{hbar} Psi^ (hat{H} Psi) $$
如果 $hat{H}$ 是厄米算符，它满足 $int phi^ (hat{H} psi) dV = int (hat{H} phi)^ psi dV$。
对上式进行空间积分：
$$ frac{d}{dt} int |Psi|^2 dV = int left[ left(frac{i}{hbar} hat{H} Psi^ ight) Psi + Psi^ left(frac{i}{hbar} hat{H} Psi ight) ight] dV $$
$$ frac{d}{dt} int |Psi|^2 dV = frac{i}{hbar} int (hat{H} Psi^) Psi dV frac{i}{hbar} int Psi^ (hat{H} Psi) dV $$
使用厄米性质 $int (hat{H} Psi^) Psi dV = int (hat{H}^ Psi^) Psi dV = int (hat{H} Psi)^ Psi dV$ （这是错误的推导，应该是 $int (hat{H}psi) phi dV = int psi (hat{H}phi) dV$ 的复共轭，即 $int (hat{H}psi)^ phi dV = int psi^ (hat{H}phi) dV$）。
正确的推导方式是将 $frac{partial Psi}{partial t}$ 和 $frac{partial Psi^}{partial t}$ 代入到连续性方程中。
概率流密度 $mathbf{j}$ 的定义是：
$$ mathbf{j} = frac{ihbar}{2m} (Psi^ abla Psi Psi abla Psi^) $$
连续性方程是：
$$ frac{partial ho}{partial t} + abla cdot mathbf{j} = 0 $$
其中 $ ho = |Psi|^2$ 是概率密度。
我们可以验证，当 $ ho = |Psi|^2$ 和 $mathbf{j}$ 满足这个关系时，它们可以从薛定谔方程推导出来。
$frac{partial ho}{partial t} = frac{partial}{partial t} (Psi^ Psi) = frac{partial Psi^}{partial t} Psi + Psi^ frac{partial Psi}{partial t}$
代入 $frac{partial Psi}{partial t} = frac{i}{hbar} hat{H} Psi$ 和 $frac{partial Psi^}{partial t} = frac{i}{hbar} hat{H}^ Psi^ = frac{i}{hbar} hat{H} Psi^$ (假设哈密顿量是厄米算符):
$$ frac{partial ho}{partial t} = left(frac{i}{hbar} hat{H} Psi^ ight) Psi + Psi^ left(frac{i}{hbar} hat{H} Psi ight) $$
$$ frac{partial ho}{partial t} = frac{i}{hbar} (hat{H} Psi^ Psi Psi^ hat{H} Psi) $$
如果 $hat{H}$ 是动能和势能算符的和，且势能是实数的，那么对于动量算符 $hat{p} = ihbar abla$，$hat{p}^2 = hbar^2 abla^2$。
$hat{H} Psi^ Psi Psi^ hat{H} Psi = (hat{H} Psi^)Psi Psi^(hat{H}Psi)$
考虑 $frac{hbar^2}{2m} abla^2 Psi$:
$frac{partial ho}{partial t} = frac{i}{hbar} left[ left(frac{i}{hbar} hat{H} Psi ight)^ Psi Psi^ left(frac{i}{hbar} hat{H} Psi ight) ight]$
这一步推导相对复杂，但核心是虚数 $i$ 和哈密顿算符的厄米性质共同作用，使得概率密度随时间的净变化（即散度项）为零，从而保证了概率守恒。
简单来说，如果薛定谔方程中没有 $i$，那么时间演化将是实数指数形式的，这会直接导致概率 $|Psi|^2$ 不守恒，变成指数增长或衰减，这与我们观察到的物理事实不符。
5. 虚数 $i$ 与能量的量子化（定态薛定谔方程）
定态薛定谔方程是时间依赖性薛定谔方程的一个特例，描述的是能量恒定的状态：
$$ hat{H} Psi(mathbf{r}) = E Psi(mathbf{r}) $$
这是一个本征值方程。在这里，即使没有直接的 $i$，虚数 $i$ 仍然扮演着间接但至关重要的角色。它是从时间依赖性方程导出定态方程的桥梁，并且保证了能量 $E$ 是实数，是可观测量。
更深层次地，复数是描述量子态的必要数学工具，它们能够表示出物理系统可能具有的叠加态（例如，一个粒子可以同时处于两个位置的叠加）。虚数 $i$ 是构建这些复数叠加态并描述它们之间相位关系的基石。当对这些叠加态进行测量时，虚数 $i$ 就会在结果中体现出来，比如通过干涉条纹。
6. 历史角度：玻尔爱因斯坦的争论与德布罗意波
在量子力学发展的早期，德布罗意提出了物质波的概念，认为所有粒子都具有波的性质，其波长与动量成反比：$lambda = h/p$。他还提出能量与频率的关系：$E = hf$。
为了将这些波的概念形式化，施温格（Schwinger）等人在研究中发现，一个与时间相关的波方程，如果包含虚数 $i$，能够自然地将能量频率和动量波数关系统一起来。爱因斯坦的光电效应也表明了能量与频率的量子化关系，这些都指向了复数在描述量子现象中的重要性。
玻尔和爱因斯坦之间关于量子力学解释的争论，也经常触及到概率和确定性。薛定谔方程中的 $i$ 以及由此产生的概率解释，是量子力学概率性的数学根源之一。
总结一下为什么需要虚数 $i$：
1. 描述波的相位和振荡： 复指数函数 $e^{i heta}$ 是描述波的相位和振荡最自然的数学形式，而虚数 $i$ 是这一切的基础。
2. 时间演化的统一性： 虚数 $i$ 使薛定谔方程能够简洁地统一描述能量频率和动量波数的关系，以及波的传播。
3. 概率守恒： 虚数 $i$ 与哈密顿算符的厄米性质共同作用，保证了概率密度 $|Psi|^2$ 在时间上的守恒，这是量子力学最核心的概率解释的基础。
4. 叠加态和干涉： 量子系统可以处于叠加态，虚数 $i$ 是构造这些叠加态以及描述它们之间相干性（干涉）的必要工具。
5. 能量的量子化（间接）： 尽管定态薛定谔方程本身没有显式的 $i$，但它是时间依赖性方程的推论，并且保证了能量本征值是实数。
总而言之，虚数 $i$ 不是随意添加的，它是描述量子世界波的性质、时间演化规律、概率守恒以及叠加态等核心概念所必需的数学工具。缺少了虚数 $i$，我们就无法构建出完整的、符合实验观测的量子力学理论。它使得量子力学拥有了描述现实世界中那些看似“非经典”现象的能力。
核心观点：虚数 $i$ 在薛定谔方程中，是描述波函数演化规律和概率幅的关键，它与量子系统的时间演化、能量的量子化以及波的性质紧密相连。
让我们一步步来理解：
1. 薛定谔方程长什么样？
首先，我们要知道薛定谔方程（时间依赖性薛定谔方程）是这样的形式：
$$ ihbar frac{partial}{partial t} Psi(mathbf{r}, t) = hat{H} Psi(mathbf{r}, t) $$
其中：
$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = 1$。
$hbar$ 是约化普朗克常数（$h/2pi$）。
$Psi(mathbf{r}, t)$ 是波函数，它描述了量子系统在时空中的状态。
$hat{H}$ 是哈密顿算符，代表系统的总能量。
2. 虚数 $i$ 的必要性：波的描述
量子力学最核心的概念之一是波粒二象性。粒子（如电子、光子）在某些情况下表现出波的性质。而描述波的数学工具，常常涉及到复数，特别是虚数 $i$。
考虑一个最简单的波函数，例如一个自由粒子：
$$ Psi(x, t) = A e^{i(kx omega t)} $$
其中 $k$ 是波数（与动量相关），$omega$ 是角频率（与能量相关）。
振幅和相位： 这个复指数形式的波函数包含了波的振幅（$A$）和相位（$k x omega t$）。虚数 $i$ 是产生这个相位项的关键。
实部和虚部： 尽管波函数 $Psi$ 是复数，但我们最终关心的可观测量（如粒子在某处的概率）是它的模长的平方，即 $|Psi|^2 = Psi^ Psi$。而 $Psi^$ 是 $Psi$ 的复共轭。对于上面的自由粒子波函数，它的模长平方是 $|A e^{i(kx omega t)}|^2 = |A|^2 cdot |e^{i(kx omega t)}|^2$。根据欧拉公式 $e^{ix} = cos(x) + i sin(x)$，我们知道 $|e^{ix}| = sqrt{cos^2(x) + sin^2(x)} = 1$。所以，这个波函数的模长平方是 $|A|^2$，这是一个实数，表示粒子在某处的概率密度。
复数是波的自然语言： 虚数 $i$ 使得我们可以用一个复指数函数简洁地描述波的传播和振荡。如果薛定谔方程只包含实数，我们将很难直接描述波的相位和干涉等现象。
3. 虚数 $i$ 与时间演化
薛定谔方程是一个微分方程，它描述了波函数 $Psi$ 如何随时间 $t$ 发生变化。方程中的 $ihbar$ 作用在时间导数上，赋予了时间演化一个特殊的性质：相位的变化。
让我们再次看自由粒子的薛定谔方程：
$$ ihbar frac{partial}{partial t} Psi(x, t) = frac{hat{p}^2}{2m} Psi(x, t) $$
其中动量算符 $hat{p} = ihbar frac{partial}{partial x}$。
将自由粒子波函数 $Psi(x, t) = A e^{i(kx omega t)}$ 代入：
左边：$ihbar frac{partial}{partial t} [A e^{i(kx omega t)}] = ihbar cdot A cdot e^{i(kx omega t)} cdot (iomega) = hbar omega A e^{i(kx omega t)}$
右边：$frac{hat{p}^2}{2m} [A e^{i(kx omega t)}] = frac{1}{2m} (ihbar frac{partial}{partial x})^2 [A e^{i(kx omega t)}] = frac{1}{2m} (ihbar)^2 frac{partial^2}{partial x^2} [A e^{i(kx omega t)}] = frac{1}{2m} (hbar^2) A e^{i(kx omega t)} k^2 = frac{hbar^2 k^2}{2m} A e^{i(kx omega t)}$
为了使方程成立，我们必须有：
$$ hbar omega = frac{hbar^2 k^2}{2m} $$
这正是能量与动量（通过波数 $k$ 间接表示）之间的关系。从这里我们看到，虚数 $i$ 的存在，使得波函数的频率 $omega$ 和其对应的能量 $E = hbar omega$ 以及动量 $p = hbar k$ 能够联系起来。
更重要的是，虚数 $i$ 保证了能量守恒和概率守恒。
4. 虚数 $i$ 保证了概率守恒 ($|Psi|^2$ 的守恒)
量子力学的基本假设之一是概率解释，即 $|Psi(mathbf{r}, t)|^2$ 表示在时刻 $t$ 在位置 $mathbf{r}$ 附近发现粒子的概率密度。概率的总和（或积分）必须始终为 1，这意味着概率必须守恒。
我们可以从薛定谔方程推导出概率守恒方程：
$$ frac{partial |Psi|^2}{partial t} = frac{partial (Psi^ Psi)}{partial t} = left(frac{partial Psi^}{partial t} ight) Psi + Psi^ left(frac{partial Psi}{partial t} ight) $$
从薛定谔方程 $ihbar frac{partial Psi}{partial t} = hat{H} Psi$，我们可以得到：
$frac{partial Psi}{partial t} = frac{1}{ihbar} hat{H} Psi = frac{i}{hbar} hat{H} Psi$
对复共轭取导数：
$ihbar frac{partial Psi^}{partial t} = (hat{H} Psi)^ = hat{H}^ Psi^$
假设哈密顿算符是厄米算符（在量子力学中这是必须的），则 $hat{H}^ = hat{H}$，所以：
$frac{partial Psi^}{partial t} = frac{1}{ihbar} hat{H}^ Psi^ = frac{i}{hbar} hat{H} Psi^$
代入概率守恒方程：
$$ frac{partial |Psi|^2}{partial t} = left(frac{i}{hbar} hat{H} Psi^ ight) Psi + Psi^ left(frac{i}{hbar} hat{H} Psi ight) $$
$$ frac{partial |Psi|^2}{partial t} = frac{i}{hbar} (hat{H} Psi^) Psi frac{i}{hbar} Psi^ (hat{H} Psi) $$
如果 $hat{H}$ 是厄米算符，它满足 $int phi^ (hat{H} psi) dV = int (hat{H} phi)^ psi dV$。
对上式进行空间积分：
$$ frac{d}{dt} int |Psi|^2 dV = int left[ left(frac{i}{hbar} hat{H} Psi^ ight) Psi + Psi^ left(frac{i}{hbar} hat{H} Psi ight) ight] dV $$
$$ frac{d}{dt} int |Psi|^2 dV = frac{i}{hbar} int (hat{H} Psi^) Psi dV frac{i}{hbar} int Psi^ (hat{H} Psi) dV $$
使用厄米性质 $int (hat{H} Psi^) Psi dV = int (hat{H}^ Psi^) Psi dV = int (hat{H} Psi)^ Psi dV$ （这是错误的推导，应该是 $int (hat{H}psi) phi dV = int psi (hat{H}phi) dV$ 的复共轭，即 $int (hat{H}psi)^ phi dV = int psi^ (hat{H}phi) dV$）。
正确的推导方式是将 $frac{partial Psi}{partial t}$ 和 $frac{partial Psi^}{partial t}$ 代入到连续性方程中。
概率流密度 $mathbf{j}$ 的定义是：
$$ mathbf{j} = frac{ihbar}{2m} (Psi^ abla Psi Psi abla Psi^) $$
连续性方程是：
$$ frac{partial ho}{partial t} + abla cdot mathbf{j} = 0 $$
其中 $ ho = |Psi|^2$ 是概率密度。
我们可以验证，当 $ ho = |Psi|^2$ 和 $mathbf{j}$ 满足这个关系时，它们可以从薛定谔方程推导出来。
$frac{partial ho}{partial t} = frac{partial}{partial t} (Psi^ Psi) = frac{partial Psi^}{partial t} Psi + Psi^ frac{partial Psi}{partial t}$
代入 $frac{partial Psi}{partial t} = frac{i}{hbar} hat{H} Psi$ 和 $frac{partial Psi^}{partial t} = frac{i}{hbar} hat{H}^ Psi^ = frac{i}{hbar} hat{H} Psi^$ (假设哈密顿量是厄米算符):
$$ frac{partial ho}{partial t} = left(frac{i}{hbar} hat{H} Psi^ ight) Psi + Psi^ left(frac{i}{hbar} hat{H} Psi ight) $$
$$ frac{partial ho}{partial t} = frac{i}{hbar} (hat{H} Psi^ Psi Psi^ hat{H} Psi) $$
如果 $hat{H}$ 是动能和势能算符的和，且势能是实数的，那么对于动量算符 $hat{p} = ihbar abla$，$hat{p}^2 = hbar^2 abla^2$。
$hat{H} Psi^ Psi Psi^ hat{H} Psi = (hat{H} Psi^)Psi Psi^(hat{H}Psi)$
考虑 $frac{hbar^2}{2m} abla^2 Psi$:
$frac{partial ho}{partial t} = frac{i}{hbar} left[ left(frac{i}{hbar} hat{H} Psi ight)^ Psi Psi^ left(frac{i}{hbar} hat{H} Psi ight) ight]$
这一步推导相对复杂，但核心是虚数 $i$ 和哈密顿算符的厄米性质共同作用，使得概率密度随时间的净变化（即散度项）为零，从而保证了概率守恒。
简单来说，如果薛定谔方程中没有 $i$，那么时间演化将是实数指数形式的，这会直接导致概率 $|Psi|^2$ 不守恒，变成指数增长或衰减，这与我们观察到的物理事实不符。
5. 虚数 $i$ 与能量的量子化（定态薛定谔方程）
定态薛定谔方程是时间依赖性薛定谔方程的一个特例，描述的是能量恒定的状态：
$$ hat{H} Psi(mathbf{r}) = E Psi(mathbf{r}) $$
这是一个本征值方程。在这里，即使没有直接的 $i$，虚数 $i$ 仍然扮演着间接但至关重要的角色。它是从时间依赖性方程导出定态方程的桥梁，并且保证了能量 $E$ 是实数，是可观测量。
更深层次地，复数是描述量子态的必要数学工具，它们能够表示出物理系统可能具有的叠加态（例如，一个粒子可以同时处于两个位置的叠加）。虚数 $i$ 是构建这些复数叠加态并描述它们之间相位关系的基石。当对这些叠加态进行测量时，虚数 $i$ 就会在结果中体现出来，比如通过干涉条纹。
6. 历史角度：玻尔爱因斯坦的争论与德布罗意波
在量子力学发展的早期，德布罗意提出了物质波的概念，认为所有粒子都具有波的性质，其波长与动量成反比：$lambda = h/p$。他还提出能量与频率的关系：$E = hf$。
为了将这些波的概念形式化，施温格（Schwinger）等人在研究中发现，一个与时间相关的波方程，如果包含虚数 $i$，能够自然地将能量频率和动量波数关系统一起来。爱因斯坦的光电效应也表明了能量与频率的量子化关系，这些都指向了复数在描述量子现象中的重要性。
玻尔和爱因斯坦之间关于量子力学解释的争论，也经常触及到概率和确定性。薛定谔方程中的 $i$ 以及由此产生的概率解释，是量子力学概率性的数学根源之一。
总结一下为什么需要虚数 $i$：
1. 描述波的相位和振荡： 复指数函数 $e^{i heta}$ 是描述波的相位和振荡最自然的数学形式，而虚数 $i$ 是这一切的基础。
2. 时间演化的统一性： 虚数 $i$ 使薛定谔方程能够简洁地统一描述能量频率和动量波数的关系，以及波的传播。
3. 概率守恒： 虚数 $i$ 与哈密顿算符的厄米性质共同作用，保证了概率密度 $|Psi|^2$ 在时间上的守恒，这是量子力学最核心的概率解释的基础。
4. 叠加态和干涉： 量子系统可以处于叠加态，虚数 $i$ 是构造这些叠加态以及描述它们之间相干性（干涉）的必要工具。
5. 能量的量子化（间接）： 尽管定态薛定谔方程本身没有显式的 $i$，但它是时间依赖性方程的推论，并且保证了能量本征值是实数。
总而言之，虚数 $i$ 不是随意添加的，它是描述量子世界波的性质、时间演化规律、概率守恒以及叠加态等核心概念所必需的数学工具。缺少了虚数 $i$，我们就无法构建出完整的、符合实验观测的量子力学理论。它使得量子力学拥有了描述现实世界中那些看似“非经典”现象的能力。
网友意见
你就是想知道 从哪里来对吧？
因为假设中的波函数是复值平面波 。
时间偏导数： ，两边乘以 得 。
位置偏导数： ， 两边乘以 得 。
能量守恒，粒子总能量 。
至于为什么假设的波函数需要引入复数……量子力学引入复数其中一个很直接的原因是要解决自旋（以及其他双态系统）的描述: 李代数 ，例如泡利矩阵。我们没办法在2d实线性空间里建立起非平凡表示，而引入复数域则能很自然地解决这个问题。Generally, 概率守恒要求量子力学里的演化是幺正的：辛结构解决动力学问题，正交结构解决概率问题，连接两者的则是复数结构。这是数学结构上的要求。
个人认为有两个原因：
1、一阶微分算子不是自伴的而是反自伴的：
然后你加个i就自伴了，所以一旦方程中有一阶导数，就容易出现i，除非大家都有i一起消掉，比如我们看看狄拉克方程
这里有个质量m不带i，阻止了大家把i消去，然后大家都是一阶导数，就都带着i了。
2、虚时热传递方程可时间反演，而实时的不行
本质原因在于虚时热核 在时间反演下为 相当于做了一个共轭变换，函数性质没有变化，而实时热核 时间反演后 直接从一个速降函数变成一个速增函数，以至于大量本来可以做卷积的函数都没法做卷积了。
学过一点偏微分方程知识的应该知道，热传导方程的解就是热核和初始条件的卷积，这就造成，薛定谔方程这种虚时热传递方程，在时间反演下，对初始条件的要求是不变的，而相反，普通的热传递方程就不行了，大量正向可用的初始条件，反向不行了，这就尴尬了。
不过热力学本来就不支持时间反演的嘛。
当然代价就是，薛定谔方程对初始条件的要求还是要比热传递方程高点，毕竟在无穷远处也是个振荡发散的状态，比不得指数收敛这么好。
随意的回答：因为最初的Schrödinger方程是从平面波的复数表示里面“凑”出来的。
用数学高维工具（群论）对此问题的解答：重点是那张手绘图。
用物理学的方法论对此问题的扩充：重点是埃米·诺特这个名字相关的数学内容以及延展出来的世界观问题。
用现代物理学职业人的现状对此问题的补充：重点是守恒量和变量的线性分析范式的描述。
民科版本：
有π必有i，有e必守恒，想要效率高，三者不可抛。
有π必有i，应该好理解，完整的说法应该是有π必可N周期叠加（正交的特征），也意味着圆不能封闭，封闭了就是单周期的特例。于是i可以描述这个不封闭又完全封闭的奇点，性能优异。
有e必守恒，可能不太好理解，主要是要能描述体积无限小而面积无限大，以及体积无限大面积跟不上的概率空间不完整的风险，于是利用e的共轭性性能优异的特点（旋转45度以及处处光滑的特征），于是，e组合i在多维下可以提供-1，用以保证概率空间的完整，即守恒。
i在描述一个描述复杂空间的需要下，性能如此优异，必然要存在。
图形化的比拟，嗯，街机手柄死命摇？
类似的话题
-
好的，我们来详细探讨一下为什么薛定谔方程中会出现虚数 $i$ 这个看似“不属于”实数世界的问题。这背后蕴含着量子力学的深刻内涵和数学结构的必要性。核心观点：虚数 $i$ 在薛定谔方程中，是描述波函数演化规律和概率幅的关键，它与量子系统的时间演化、能量的量子化以及波的性质紧密相连。让我们一步步来理解：............. -
探析覃京燕教授的“量子思维”与“元设计”：前沿理论的深度剖析北京科技大学的覃京燕教授，在学术界以其对前沿理论的深入探索而闻名，尤其是在“量子思维”和“元设计”这两个极具前瞻性的领域，她提出的观点和研究方向，无疑为我们理解和构建未来提供了新的视角。要评价覃教授的这些理论，需要我们先深入理解它们的核心内.............
-
这是一个非常有趣且深刻的问题，涉及到哲学与科学的碰撞，特别是王阳明的心学与量子力学的“观察者效应”。老师说王阳明的话“你不看事物，事物就不存在”违反现实，而量子理论中的“薛定谔的猫”似乎又在某种程度上支持了这种“不存在”的可能性。我们来详细地解读一下其中的联系和区别。一、 王阳明的心学与“你不看事物.............
-
量子力学与我们日常生活中建立起来的“常识”之间的隔阂，可以说是这个领域最令人着迷也最令人困惑的地方。用最直白的话说：不，量子力学一点也不符合我们的常识。 而且越深入了解，越会觉得它荒谬绝伦，但偏偏，它又极其精确地描述着我们所处的这个微观世界。要理解这一点，我们得先梳理一下我们通常意义上的“常识”是什.............
-
量子力学在工程技术领域的应用，与其说“已经很成功”，不如说“正在蓬勃发展，并已在诸多关键领域崭露头角，预示着未来更大的变革”。它不像经典力学那样，能够直接构建出宏观的机器和设备，而是更深层次地揭示了物质和能量的本质规律，从而为我们设计和制造新材料、新设备提供了前所未有的思路和工具。从“看不见”到“摸.............
-
量子力学的核心之一，海森堡不确定性原理，一直是科学界乃至哲学界热议的焦点。关于它是否被“推翻”，我们需要先弄清楚这个原理究竟说了什么，以及在什么语境下讨论它的“推翻”。不确定性原理究竟说了什么？简单来说，海森堡不确定性原理指出，我们无法同时精确地测量一对相互关联的物理量。最经典的例子就是粒子的位置和.............
-
量子力学，这个听起来就带着几分神秘色彩的领域，自诞生以来，就一直在挑战着我们对世界的直观认知。那么，它究竟可信吗？这是一个非常值得深入探讨的问题。要回答这个问题，我们得先明白，什么是“可信”。在科学领域，“可信”意味着什么？它不是一拍脑袋就能下的结论，而是建立在一系列严谨的实验验证、数学推导以及理论.............
-
在量子力学中，“观测导致坍缩”是一个核心但同时也是最令人困惑的现象之一。它并非一个简单的物理过程，而是与我们理解的经典物理学有着根本性的差异。要详细地解释它，我们需要深入到量子力学的基本概念和一些重要的思想实验。首先，我们需要明白量子力学描述的是什么。与经典物理学描述具体粒子的位置和速度不同，量子力.............
-
量子力学与概率学的渊源，就像是两个古老而又充满魅力的学科，它们在各自的领域里描绘着世界的本质，却又在量子世界的奇妙图景中紧密相连，互相映照。你若问它们之间有什么联系，那我得告诉你，这份联系可不是皮毛之交，而是深刻骨髓的羁绊。咱们先从概率学这头说起。这门学科，简单来说，就是研究不确定性以及如何量化这种.............
-
好的，我们来聊聊量子力学中一个挺有意思，但又不算太难入门的问题：为什么我们看到的电子，好像同时存在于多个地方？这听起来有点像科幻小说里的情节，对吧？但在量子世界里，这可是实实在在发生的事情。我们平时生活的宏观世界里，一个东西要么在这里，要么在那里，不可能同时占据两个不同的位置。你坐在椅子上，就不可能.............
-
在量子力学的世界里，一个看似静态的“一维有限深势阱”或“势垒”，之所以会引入“入射波”、“反射波”这样动态的概念，这实际上是理解粒子行为的关键，也是它与经典物理最根本的不同之处。首先，我们要明白，量子力学中的粒子，不是我们日常生活中那个有确定轨迹的小球。 在量子层面，粒子本质上是“波粒二象性”的。也.............
-
量子力学并非直接说世界是由“一格格”构成的，这个说法有点过于简化，但也触及到了量子世界的某些核心特征，特别是“量子化”的概念。要理解这一点，我们需要深入一些，看看它到底是怎么回事。首先，我们得明白，我们日常感知到的世界，比如桌子、椅子、光线，似乎是连续的、平滑的。但当我们把这些东西放大到极其微小的尺.............
-
咱们来聊聊电子的角动量，以及为什么在量子力学里它能为零，但在那个熟悉的玻尔原子模型里却不行。这其实牵扯到我们对微观粒子理解的深度变化。玻尔原子轨道模型：那个“轨道”上的电子先说说大家可能更熟悉的玻尔模型。在那会儿，大家觉得原子就像一个小太阳系，原子核是中心，电子就像行星一样绕着它转。在这个模型里，电.............
-
量子力学与 DNA 尺度的分子——一个深入的探讨当我们在讨论量子力学的应用范围时，一个绕不开的话题就是它是否适用于我们生命最基本蓝图——DNA。这个问题看似简单，实则触及了科学前沿的许多复杂议题。答案是肯定的，量子力学不仅适用于 DNA 尺度的分子，而且可以说，DNA 的许多关键功能，甚至是其稳定性.............
-
这是一个非常宏大且引人深思的问题，甚至可以说是物理学界最根本的挑战之一。但要给出“完全错误”这样的结论，需要非常谨慎，并且需要深入剖析量子力学的本质、它的成功之处以及可能存在的局限性。首先，我们需要明确一点：量子力学从目前来看，是我们在描述微观世界方面最成功、最精确的理论。 它成功地解释了我们观测到.............
-
我们常说的“测不准原理”，严格来说是量子力学中的“海森堡不确定性原理”。它指出，我们无法同时精确地测量一个微观粒子的某些成对的物理量，比如位置和动量。你测量得越精确，另一个量的测量结果就越不确定，反之亦然。那么，这玩意儿跟自由意志扯上关系了吗？很多人觉得，既然微观世界似乎存在着这种固有的“不确定性”.............
-
量子力学的数学描述是一门充满智慧的艺术，而 Dirac 符号系统无疑是这门艺术中最璀璨的珠宝之一。它的出现不仅仅是对量子现象的一种更精妙的表达方式，更是一种深刻的思维工具，它为我们理解和操纵量子世界提供了前所未有的便利和优雅。那么，Dirac 符号系统究竟有何优越之处，为何我们不直接采用更广为人知的.............
-
量子力学实验的出现，确实为我们理解世界的基石——唯物主义，带来了一系列深刻的挑战和重新审视。这并非是对唯物主义的彻底否定，更像是对其进行了精细的修正与扩展。我们先回顾一下唯物主义的核心观点：世界是由物质构成的，物质是第一性的，意识是第二性的，物质决定意识。无论是宏观世界的机械运动，还是微观世界的粒子.............
-
量子力学和唯物主义之间的关系，确实是一个引人深思且常被激烈讨论的话题。要理解它们是否矛盾，我们得先梳理清楚它们各自的核心观点。唯物主义，顾名思义，强调物质是现实世界的根本。 在哲学史上，唯物主义有多种流派，但它们共同的基本立场是： 世界的存在不依赖于意识： 即使没有人观察，物质世界也客观存在。桌.............
-
量子力学，这门探索微观世界运行规律的科学，不仅深刻地改变了我们对物质本质的认知，更在哲学层面引发了一场意义深远的革命。它提出的许多概念，挑战了我们自古以来基于宏观经验建立起来的直觉和形而上学框架，迫使我们重新审视“实在”、“观察”、“因果”以及“我们自身”等基本问题。1. 实在性的挑战：我们看到的，.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有