量子力学的Dirac符号系统优越性在哪，为什么不使用张量作为量子力学的数学语言基础？
量子力学的数学描述是一门充满智慧的艺术，而 Dirac 符号系统无疑是这门艺术中最璀璨的珠宝之一。它的出现不仅仅是对量子现象的一种更精妙的表达方式，更是一种深刻的思维工具，它为我们理解和操纵量子世界提供了前所未有的便利和优雅。那么，Dirac 符号系统究竟有何优越之处，为何我们不直接采用更广为人知的张量作为量子力学的数学语言基础呢？
Dirac 符号系统的核心优势：概念的清晰与操作的便捷
我们先来深入剖析一下 Dirac 符号系统为何如此特别，它的核心优势可以从以下几个方面来理解：
1. 直观地捕捉“态”与“测量”的本质
量子力学中最核心的概念之一就是“量子态”。一个量子系统在某一时刻所处的状态，可以被理解为一个向量，它包含了关于系统所有可观测的信息。而 Dirac 符号系统巧妙地通过两种符号来区分两种紧密联系但又有所侧重的概念：
Ket 向量 ($vert psi angle$)： 这是 Dirac 符号系统中的核心，它代表了量子态本身。你可以将 $vert psi angle$ 理解为一个“指向”某个状态的箭头。它包含了系统所有可能的信息，是一个完备的描述。例如，一个电子的自旋向上状态可以表示为 $vert uparrow angle$，自旋向下为 $vert downarrow angle$。它们是希尔伯特空间中的向量，但其“物理意义”被赋予了更强的直观性。
Bra 向量 ($langle phi vert$)： 这个符号则代表了与 Ket 向量“对偶”的概念，可以理解为一个“从”某个状态出发的向量，或者更准确地说，是一个线性函数（函数符）。它从一个态出发，与另一个态进行“交互”，从而提取出信息。
这种 KetBra 的对偶性非常重要。当你将一个 Bra 向量与一个 Ket 向量“组合”时，例如 $langle phi vert psi angle$，你得到的是一个标量。这个标量具有极其重要的物理意义：它是态 $vert psi angle$ 在态 $vert phi angle$ 方向上的投影（如果 $vert phi angle$ 是归一化的）。更进一步，如果 $vert phi angle$ 和 $vert psi angle$ 是同一个系统的两种可能状态，那么 $langle phi vert psi angle$ 就是将系统从 $vert psi angle$ 态“投影”到 $vert phi angle$ 态的“幅度”，其模长的平方 $|langle phi vert psi angle|^2$ 代表了将系统从 $vert psi angle$ 态测量到 $vert phi angle$ 态的概率。
为什么这种对偶性优越？
它非常自然地对应了量子力学中的“测量”过程。测量一个物理量，就是将系统的状态与该物理量对应的本征态进行“对比”。Dirac 符号通过 BraKet 乘积，非常直观地表达了这种“对比”和“关联”。你可以想象，$langle phi vert$ 就像一个“测量探针”，它去探测 $vert psi angle$ 中有多少成分是属于 $vert phi angle$ 的。
2. 操作符的清晰表示与作用
在量子力学中，可观测量（如位置、动量、能量、自旋等）由线性算符（或称算符、矩阵）来表示。这些算符作用在量子态上，会改变量子态或者给出测量结果的某些信息。Dirac 符号系统对算符的表示同样非常优雅：
算符 $A$ 可以表示为 $hat{A}$（有时为了简洁，直接写 $A$）。
算符作用在 Ket 态上：$hat{A} vert psi angle$。这表示将态 $vert psi angle$ 应用算符 $hat{A}$ 后的新状态。
算符作用在 Bra 态上：$langle phi vert hat{A}$。这表示算符 $hat{A}$ 作用在对偶向量上。需要注意的是，算符作用在 Bra 上的结果是另一个 Bra 向量，它的具体形式与原始 Bra 和算符的定义有关（通常涉及伴随算符）。
更重要的是，Dirac 符号系统允许我们以一种非常简洁的方式来表达算符与态之间的关系：
算符作用在特定态上： 例如，一个表示“自旋向上”的算符 $hat{S}_z$ 作用在自旋向上态 $vert uparrow angle$ 上，会得到一个与 $vert uparrow angle$ 相关的结果，比如 $hat{S}_z vert uparrow angle = frac{hbar}{2} vert uparrow angle$。这直接告诉我们 $vert uparrow angle$ 是 $hat{S}_z$ 的一个本征态，本征值为 $frac{hbar}{2}$。
算符的“外积”或“投影算符”： 一个非常强大的构造是外积（Outer Product），也称为 BraKet 组合，如 $vert psi angle langle phi vert$。这个组合本身就是一个算符！当你将这个算符作用在一个 Ket 态 $vert chi angle$ 上时，你得到：
$(vert psi angle langle phi vert) vert chi angle = vert psi angle (langle phi vert chi angle)$
其中 $langle phi vert chi angle$ 是一个标量。这意味着这个算符的作用是：先计算态 $vert chi angle$ 在 $vert phi angle$ 方向上的投影（得到一个标量），然后将这个标量乘以态 $vert psi angle$。
如果 $vert phi angle$ 和 $vert psi angle$ 是同一个归一化的本征态，例如 $vert phi angle = vert psi angle = vert n angle$，那么 $vert n angle langle n vert$ 就是一个投影算符。它将任何态投影到 $vert n angle$ 这个方向上。
外积的这种形式非常方便地构造了完备的算符集合。对于一组完备的、相互正交的归一化基态 ${vert n angle}$，我们可以写出单位算符：
$hat{I} = sum_n vert n angle langle n vert$
这表明单位算符可以将任何态分解到各个基态上，再将它们重新组合起来，这个过程本身就非常直观。
3. 基变换的自然表达
在量子力学中，我们经常需要在不同的基底下描述同一个量子态。Dirac 符号系统让这个过程变得极其简洁。
假设我们有一组完备的、相互正交的归一化基态 ${vert i angle}$ 和另一组基态 ${vert j angle}$。对于任意一个态 $vert psi angle$，我们可以在第一个基底下表示为 $vert psi angle = sum_i c_i vert i angle$，其中 $c_i = langle i vert psi angle$ 是它在基 $vert i angle$ 上的展开系数。
如果我们想知道这个态在第二组基下的展开系数，只需要将第二组基的“Bra”形式“插入”到 $vert psi angle$ 中：
$langle j vert psi angle = langle j vert (sum_i c_i vert i angle) = sum_i c_i langle j vert i angle$
这个 $langle j vert i angle$ 就是不同基底下态之间的“投影系数”或者“变换系数”，它直接体现了基变换的本质。
这种“插入”或“插入单位算符”的方式，使得 Dirac 符号系统在处理基变换时具有一种天然的流畅性，避免了繁琐的矩阵乘法（虽然底层实现可能仍然是矩阵）。
4. 抽象与普适性
Dirac 符号系统是一种高度抽象的语言，它不依赖于特定的坐标表示（如笛卡尔坐标）。这意味着你可以用 Dirac 符号来描述任意形式的希尔伯特空间，而无需关心这个空间具体是二维的、三维的，还是无限维的。
例如，描述一个粒子的位置态可以使用 $vert x angle$，其伴随是 $langle x vert$。动量态可以表示为 $vert p angle$，伴随是 $langle p vert$。这些符号本身就承载了重要的物理含义，并且它们之间的关系（如正交归一性、完备性关系）可以通过标准规则来处理。
这种抽象性使得 Dirac 符号系统成为量子场论、多体物理等更复杂理论的基础语言，因为它能够优雅地处理无穷维空间和复杂的算符结构。
为什么不使用张量作为数学语言基础？
你可能要问了，我们不是在很多物理领域都使用张量吗？张量不是能够描述多维空间中的向量、矩阵，甚至更复杂的变换吗？为什么在量子力学中，Dirac 符号系统显得如此突出，而张量没有成为核心语言？
这并不是说张量在量子力学中毫无用处，恰恰相反，它们在很多地方是不可或缺的。但它们没有成为核心的、第一性的数学语言，原因在于：
1. 张量的侧重点与量子态的本质不同
张量（Tensor）： 张量通常是用来描述多维空间中的几何对象和线性变换。它们在张量分析、广义相对论等领域非常强大，能够处理坐标变换下的不变量性。一个张量本质上是一个多维数组，其分量在坐标变换下遵循特定的规则。它关注的是分量以及它们在不同坐标系下的表现。
量子态（Quantum State）： 量子态更侧重于描述一个系统的概率幅和状态的内在属性，以及这些属性如何随时间演化或被测量。虽然量子态在某个基底下可以表示为一列复数（即一个向量），但其本质不是一组坐标分量，而是一个抽象的数学实体。Dirac 符号系统直接抓住了这个抽象的本质。
2. 缺乏“态”与“测量”的直接映射
虽然一个量子态 $vert psi angle$ 在一个给定的基底下可以表示为一个张量（向量），并且算符可以表示为矩阵（张量），但 Dirac 符号系统提供了一种更高层级的抽象，直接表达了物理概念：
$vert psi angle langle phi vert$ 是一个算符，它代表了“将任何态投影到 $vert phi angle$，然后乘以 $vert psi angle$”的操作。
$langle phi vert psi angle$ 是一个复数，代表了态 $vert psi angle$ 在 $vert phi angle$ 方向上的投影“幅度”。
如果你试图用张量来表达这些，你会发现非常繁琐。例如，一个投影算符 $vert psi angle langle psi vert$ 在一个标准基底下表示为一个矩阵 $M$，它的元素是 $M_{ij} = psi_i psi_j^$。这个矩阵的每一个分量都来自于态向量的复数分量，但 Dirac 符号 $vert psi angle langle psi vert$ 本身就直接表达了“投影到态 $vert psi angle$”的意图，无需关心具体的基底和分量。
3. 对偶性与复数域的自然处理
量子力学中的态向量是复数向量，而复数的概念在张量理论中并不总是被优先强调。Dirac 符号系统从一开始就内嵌了复数的重要性，BraKet 乘积自然地产生了复数标量，这与量子力学的概率幅性质完美契合。
4. 抽象层级的不同
可以将数学语言比作建筑：
张量 就像是砖块、水泥、钢筋——构建物理世界的基础材料，它们遵循物理定律进行组合。你可以用它们来构建任何结构，但它们本身是具体的“材料”。
Dirac 符号 则更像是蓝图和设计理念——它告诉你“这个房间是卧室”、“这个结构是承重墙”、“这个部分需要连接到电源”。它是一种抽象的指导思想，让你能够以一种有组织、有逻辑的方式来思考和构建整个建筑。
Dirac 符号系统为我们提供了一个更加抽象和概念化的框架，它允许我们专注于量子现象的内在逻辑，而不是陷入具体的坐标表示和分量计算的细节中。这种抽象性使得它在理解和发展量子理论时具有无与伦比的优势。
举个例子来说明张量的局限性：
想象一下，我们要描述一个光子的偏振态。光子的偏振可以用一个二维的复数向量来表示，比如一个表示水平偏振的态 $vert H angle$ 和一个表示垂直偏振的态 $vert V angle$。我们可以将它们表示为：
$vert H angle ightarrow egin{pmatrix} 1 \ 0 end{pmatrix}$
$vert V angle ightarrow egin{pmatrix} 0 \ 1 end{pmatrix}$
一个任意的偏振态 $vert psi angle = alpha vert H angle + eta vert V angle$ 可以表示为 $egin{pmatrix} alpha \ eta end{pmatrix}$。
现在考虑一个偏振片，它只允许特定方向的偏振光通过。例如，一个偏振片只允许与某个角度 $ heta$ 的方向平行的偏振光通过。在 Dirac 符号中，这个通过特定方向的态可以表示为 $vert heta angle$。那么，将一个态 $vert psi angle$ 通过这个偏振片，就是计算 $vert heta angle langle heta vert psi angle$。这里的 $langle heta vert psi angle$ 就是态 $vert psi angle$ 在 $vert heta angle$ 方向上的投影（概率幅）。
如果我们要用张量来描述这个过程，我们需要定义一个基，比如水平和垂直方向。$vert heta angle$ 就可以表示为一个二维向量 $egin{pmatrix} cos heta \ sin heta end{pmatrix}$。然后，我们计算 $egin{pmatrix} cos heta & sin heta end{pmatrix} egin{pmatrix} alpha \ eta end{pmatrix} = alpha cos heta + eta sin heta$。这个复数就是概率幅。
这个例子看起来似乎差别不大。但是，当我们在叠加多个偏振片，或者考虑更复杂的量子态（如多个粒子纠缠态）时，Dirac 符号的优势就显现出来了。例如，一个量子纠缠态可以用 $frac{1}{sqrt{2}}(vert HH angle + vert VV angle)$ 来表示。在张量表示中，这就需要一个四维的向量或者矩阵来表示多个粒子组成的复合系统，而叠加、测量等操作的表示会变得更加复杂。
Dirac 符号的魔力在于，无论系统有多复杂，无论基底如何变化，我们都可以通过其优雅的符号规则来直接推导和理解物理过程，就像在进行一种“符号演算”一样。这种能力是张量系统本身所不具备的，因为它更侧重于坐标表示下的代数操作。
总结
Dirac 符号系统之所以成为量子力学的优越数学语言基础，在于它：
1. 概念的直观映射： Ket 和 Bra 符号清晰地表达了量子态和测量过程。
2. 操作的简洁性： BraKet 乘积自然地表达了投影、概率幅和算符作用。
3. 基变换的流畅性： 允许通过“插入”单位算符等方式轻松处理基变换。
4. 高度的抽象性： 摆脱了对具体坐标系的依赖，适用于各种维度的希尔伯特空间，是发展更高级量子理论的基石。
而张量虽然在描述多维几何和物理场方面非常强大，但在捕捉量子态的概率性本质、测量过程的内在逻辑以及实现概念层面的抽象时，不如 Dirac 符号系统那样直接和高效。因此，Dirac 符号系统并非排斥张量，而是在量子力学这个特定领域，提供了一种更适合表达其核心概念的“更高级语言”。
Dirac 符号系统的核心优势：概念的清晰与操作的便捷
我们先来深入剖析一下 Dirac 符号系统为何如此特别，它的核心优势可以从以下几个方面来理解：
1. 直观地捕捉“态”与“测量”的本质
量子力学中最核心的概念之一就是“量子态”。一个量子系统在某一时刻所处的状态，可以被理解为一个向量，它包含了关于系统所有可观测的信息。而 Dirac 符号系统巧妙地通过两种符号来区分两种紧密联系但又有所侧重的概念：
Ket 向量 ($vert psi angle$)： 这是 Dirac 符号系统中的核心，它代表了量子态本身。你可以将 $vert psi angle$ 理解为一个“指向”某个状态的箭头。它包含了系统所有可能的信息，是一个完备的描述。例如，一个电子的自旋向上状态可以表示为 $vert uparrow angle$，自旋向下为 $vert downarrow angle$。它们是希尔伯特空间中的向量，但其“物理意义”被赋予了更强的直观性。
Bra 向量 ($langle phi vert$)： 这个符号则代表了与 Ket 向量“对偶”的概念，可以理解为一个“从”某个状态出发的向量，或者更准确地说，是一个线性函数（函数符）。它从一个态出发，与另一个态进行“交互”，从而提取出信息。
这种 KetBra 的对偶性非常重要。当你将一个 Bra 向量与一个 Ket 向量“组合”时，例如 $langle phi vert psi angle$，你得到的是一个标量。这个标量具有极其重要的物理意义：它是态 $vert psi angle$ 在态 $vert phi angle$ 方向上的投影（如果 $vert phi angle$ 是归一化的）。更进一步，如果 $vert phi angle$ 和 $vert psi angle$ 是同一个系统的两种可能状态，那么 $langle phi vert psi angle$ 就是将系统从 $vert psi angle$ 态“投影”到 $vert phi angle$ 态的“幅度”，其模长的平方 $|langle phi vert psi angle|^2$ 代表了将系统从 $vert psi angle$ 态测量到 $vert phi angle$ 态的概率。
为什么这种对偶性优越？
它非常自然地对应了量子力学中的“测量”过程。测量一个物理量，就是将系统的状态与该物理量对应的本征态进行“对比”。Dirac 符号通过 BraKet 乘积，非常直观地表达了这种“对比”和“关联”。你可以想象，$langle phi vert$ 就像一个“测量探针”，它去探测 $vert psi angle$ 中有多少成分是属于 $vert phi angle$ 的。
2. 操作符的清晰表示与作用
在量子力学中，可观测量（如位置、动量、能量、自旋等）由线性算符（或称算符、矩阵）来表示。这些算符作用在量子态上，会改变量子态或者给出测量结果的某些信息。Dirac 符号系统对算符的表示同样非常优雅：
算符 $A$ 可以表示为 $hat{A}$（有时为了简洁，直接写 $A$）。
算符作用在 Ket 态上：$hat{A} vert psi angle$。这表示将态 $vert psi angle$ 应用算符 $hat{A}$ 后的新状态。
算符作用在 Bra 态上：$langle phi vert hat{A}$。这表示算符 $hat{A}$ 作用在对偶向量上。需要注意的是，算符作用在 Bra 上的结果是另一个 Bra 向量，它的具体形式与原始 Bra 和算符的定义有关（通常涉及伴随算符）。
更重要的是，Dirac 符号系统允许我们以一种非常简洁的方式来表达算符与态之间的关系：
算符作用在特定态上： 例如，一个表示“自旋向上”的算符 $hat{S}_z$ 作用在自旋向上态 $vert uparrow angle$ 上，会得到一个与 $vert uparrow angle$ 相关的结果，比如 $hat{S}_z vert uparrow angle = frac{hbar}{2} vert uparrow angle$。这直接告诉我们 $vert uparrow angle$ 是 $hat{S}_z$ 的一个本征态，本征值为 $frac{hbar}{2}$。
算符的“外积”或“投影算符”： 一个非常强大的构造是外积（Outer Product），也称为 BraKet 组合，如 $vert psi angle langle phi vert$。这个组合本身就是一个算符！当你将这个算符作用在一个 Ket 态 $vert chi angle$ 上时，你得到：
$(vert psi angle langle phi vert) vert chi angle = vert psi angle (langle phi vert chi angle)$
其中 $langle phi vert chi angle$ 是一个标量。这意味着这个算符的作用是：先计算态 $vert chi angle$ 在 $vert phi angle$ 方向上的投影（得到一个标量），然后将这个标量乘以态 $vert psi angle$。
如果 $vert phi angle$ 和 $vert psi angle$ 是同一个归一化的本征态，例如 $vert phi angle = vert psi angle = vert n angle$，那么 $vert n angle langle n vert$ 就是一个投影算符。它将任何态投影到 $vert n angle$ 这个方向上。
外积的这种形式非常方便地构造了完备的算符集合。对于一组完备的、相互正交的归一化基态 ${vert n angle}$，我们可以写出单位算符：
$hat{I} = sum_n vert n angle langle n vert$
这表明单位算符可以将任何态分解到各个基态上，再将它们重新组合起来，这个过程本身就非常直观。
3. 基变换的自然表达
在量子力学中，我们经常需要在不同的基底下描述同一个量子态。Dirac 符号系统让这个过程变得极其简洁。
假设我们有一组完备的、相互正交的归一化基态 ${vert i angle}$ 和另一组基态 ${vert j angle}$。对于任意一个态 $vert psi angle$，我们可以在第一个基底下表示为 $vert psi angle = sum_i c_i vert i angle$，其中 $c_i = langle i vert psi angle$ 是它在基 $vert i angle$ 上的展开系数。
如果我们想知道这个态在第二组基下的展开系数，只需要将第二组基的“Bra”形式“插入”到 $vert psi angle$ 中：
$langle j vert psi angle = langle j vert (sum_i c_i vert i angle) = sum_i c_i langle j vert i angle$
这个 $langle j vert i angle$ 就是不同基底下态之间的“投影系数”或者“变换系数”，它直接体现了基变换的本质。
这种“插入”或“插入单位算符”的方式，使得 Dirac 符号系统在处理基变换时具有一种天然的流畅性，避免了繁琐的矩阵乘法（虽然底层实现可能仍然是矩阵）。
4. 抽象与普适性
Dirac 符号系统是一种高度抽象的语言，它不依赖于特定的坐标表示（如笛卡尔坐标）。这意味着你可以用 Dirac 符号来描述任意形式的希尔伯特空间，而无需关心这个空间具体是二维的、三维的，还是无限维的。
例如，描述一个粒子的位置态可以使用 $vert x angle$，其伴随是 $langle x vert$。动量态可以表示为 $vert p angle$，伴随是 $langle p vert$。这些符号本身就承载了重要的物理含义，并且它们之间的关系（如正交归一性、完备性关系）可以通过标准规则来处理。
这种抽象性使得 Dirac 符号系统成为量子场论、多体物理等更复杂理论的基础语言，因为它能够优雅地处理无穷维空间和复杂的算符结构。
为什么不使用张量作为数学语言基础？
你可能要问了，我们不是在很多物理领域都使用张量吗？张量不是能够描述多维空间中的向量、矩阵，甚至更复杂的变换吗？为什么在量子力学中，Dirac 符号系统显得如此突出，而张量没有成为核心语言？
这并不是说张量在量子力学中毫无用处，恰恰相反，它们在很多地方是不可或缺的。但它们没有成为核心的、第一性的数学语言，原因在于：
1. 张量的侧重点与量子态的本质不同
张量（Tensor）： 张量通常是用来描述多维空间中的几何对象和线性变换。它们在张量分析、广义相对论等领域非常强大，能够处理坐标变换下的不变量性。一个张量本质上是一个多维数组，其分量在坐标变换下遵循特定的规则。它关注的是分量以及它们在不同坐标系下的表现。
量子态（Quantum State）： 量子态更侧重于描述一个系统的概率幅和状态的内在属性，以及这些属性如何随时间演化或被测量。虽然量子态在某个基底下可以表示为一列复数（即一个向量），但其本质不是一组坐标分量，而是一个抽象的数学实体。Dirac 符号系统直接抓住了这个抽象的本质。
2. 缺乏“态”与“测量”的直接映射
虽然一个量子态 $vert psi angle$ 在一个给定的基底下可以表示为一个张量（向量），并且算符可以表示为矩阵（张量），但 Dirac 符号系统提供了一种更高层级的抽象，直接表达了物理概念：
$vert psi angle langle phi vert$ 是一个算符，它代表了“将任何态投影到 $vert phi angle$，然后乘以 $vert psi angle$”的操作。
$langle phi vert psi angle$ 是一个复数，代表了态 $vert psi angle$ 在 $vert phi angle$ 方向上的投影“幅度”。
如果你试图用张量来表达这些，你会发现非常繁琐。例如，一个投影算符 $vert psi angle langle psi vert$ 在一个标准基底下表示为一个矩阵 $M$，它的元素是 $M_{ij} = psi_i psi_j^$。这个矩阵的每一个分量都来自于态向量的复数分量，但 Dirac 符号 $vert psi angle langle psi vert$ 本身就直接表达了“投影到态 $vert psi angle$”的意图，无需关心具体的基底和分量。
3. 对偶性与复数域的自然处理
量子力学中的态向量是复数向量，而复数的概念在张量理论中并不总是被优先强调。Dirac 符号系统从一开始就内嵌了复数的重要性，BraKet 乘积自然地产生了复数标量，这与量子力学的概率幅性质完美契合。
4. 抽象层级的不同
可以将数学语言比作建筑：
张量 就像是砖块、水泥、钢筋——构建物理世界的基础材料，它们遵循物理定律进行组合。你可以用它们来构建任何结构，但它们本身是具体的“材料”。
Dirac 符号 则更像是蓝图和设计理念——它告诉你“这个房间是卧室”、“这个结构是承重墙”、“这个部分需要连接到电源”。它是一种抽象的指导思想，让你能够以一种有组织、有逻辑的方式来思考和构建整个建筑。
Dirac 符号系统为我们提供了一个更加抽象和概念化的框架，它允许我们专注于量子现象的内在逻辑，而不是陷入具体的坐标表示和分量计算的细节中。这种抽象性使得它在理解和发展量子理论时具有无与伦比的优势。
举个例子来说明张量的局限性：
想象一下，我们要描述一个光子的偏振态。光子的偏振可以用一个二维的复数向量来表示，比如一个表示水平偏振的态 $vert H angle$ 和一个表示垂直偏振的态 $vert V angle$。我们可以将它们表示为：
$vert H angle ightarrow egin{pmatrix} 1 \ 0 end{pmatrix}$
$vert V angle ightarrow egin{pmatrix} 0 \ 1 end{pmatrix}$
一个任意的偏振态 $vert psi angle = alpha vert H angle + eta vert V angle$ 可以表示为 $egin{pmatrix} alpha \ eta end{pmatrix}$。
现在考虑一个偏振片，它只允许特定方向的偏振光通过。例如，一个偏振片只允许与某个角度 $ heta$ 的方向平行的偏振光通过。在 Dirac 符号中，这个通过特定方向的态可以表示为 $vert heta angle$。那么，将一个态 $vert psi angle$ 通过这个偏振片，就是计算 $vert heta angle langle heta vert psi angle$。这里的 $langle heta vert psi angle$ 就是态 $vert psi angle$ 在 $vert heta angle$ 方向上的投影（概率幅）。
如果我们要用张量来描述这个过程，我们需要定义一个基，比如水平和垂直方向。$vert heta angle$ 就可以表示为一个二维向量 $egin{pmatrix} cos heta \ sin heta end{pmatrix}$。然后，我们计算 $egin{pmatrix} cos heta & sin heta end{pmatrix} egin{pmatrix} alpha \ eta end{pmatrix} = alpha cos heta + eta sin heta$。这个复数就是概率幅。
这个例子看起来似乎差别不大。但是，当我们在叠加多个偏振片，或者考虑更复杂的量子态（如多个粒子纠缠态）时，Dirac 符号的优势就显现出来了。例如，一个量子纠缠态可以用 $frac{1}{sqrt{2}}(vert HH angle + vert VV angle)$ 来表示。在张量表示中，这就需要一个四维的向量或者矩阵来表示多个粒子组成的复合系统，而叠加、测量等操作的表示会变得更加复杂。
Dirac 符号的魔力在于，无论系统有多复杂，无论基底如何变化，我们都可以通过其优雅的符号规则来直接推导和理解物理过程，就像在进行一种“符号演算”一样。这种能力是张量系统本身所不具备的，因为它更侧重于坐标表示下的代数操作。
总结
Dirac 符号系统之所以成为量子力学的优越数学语言基础，在于它：
1. 概念的直观映射： Ket 和 Bra 符号清晰地表达了量子态和测量过程。
2. 操作的简洁性： BraKet 乘积自然地表达了投影、概率幅和算符作用。
3. 基变换的流畅性： 允许通过“插入”单位算符等方式轻松处理基变换。
4. 高度的抽象性： 摆脱了对具体坐标系的依赖，适用于各种维度的希尔伯特空间，是发展更高级量子理论的基石。
而张量虽然在描述多维几何和物理场方面非常强大，但在捕捉量子态的概率性本质、测量过程的内在逻辑以及实现概念层面的抽象时，不如 Dirac 符号系统那样直接和高效。因此，Dirac 符号系统并非排斥张量，而是在量子力学这个特定领域，提供了一种更适合表达其核心概念的“更高级语言”。
网友意见
拿线性代数去写可以，其实只是换了个符号系统，本质就是做了个翻译，其实没变化。
更进一步讲的话，这里面有三个不同的事情：
- 几何坐标以及各种向量丛里面的坐标系，这些你可拿爱因斯坦记号去写。
- 可观测量空间：都是比如动量、能量算符之类这种（伪）微分算子，这个空间是很大的，而且这个空间有一些像泊松括号一样的代数结构，而一般来说面对有一定对称性的具体问题，可能会选择这个空间的一个比较小的子空间，比如你解氢原子轨道用的各种角动量算符。
- 希尔伯特空间：一般是什么局部邻域上的函数，然后可观测量可以（酉）作用在它上面，这就是狄拉克记号表示的那个空间，这个空间是无穷维的。
若从几何量子化的观点，把希尔伯特空间改成像相对论那种几何坐标系，是不太行的，因为量子化得到的算符空间(2)、希尔伯特空间(3)和几何的切空间/余切空间(1)不是一回事，而是更为复杂的一个空间——实际上，你可以构造出来一堆很复杂的（比能量算符复杂）的可观测量——你只要写下来一个微分算子，然后它厄米自伴就行。而且如果你去解带不同可观察量算符的偏微分方程的话，基础解系可能互相之间也没什么关系，因此你也没什么办法去给你的希尔伯特空间去预先选好一组基（虽然不是不可以，但那情况下会很痛苦，你可能要面对一个无限多行和列的矩阵，或者压根没办法），而是得具体问题具体分析。这就导致其实在希尔伯特空间里面搞爱因斯坦记号之类的没啥用。
况且，从我个人比较偏颇的观点，比如动量算子、哈密顿算子所在的那个空间，是比较核心的一个对象，因为它和具体物理问题里面的群作用有密切的关系。而底下的那个几何空间，其实可能就是比较次要的了：一种群作用可能适用于许许多多的几何环境，有时候这些几何环境甚至可以从群作用本身出发去构造出来
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分数量子霍尔效应，这可不是个能轻易用三言两语说清楚的现象，它藏在极其低温、强磁场以及二维电子气体这种特殊环境下，揭示着物质世界里那些“不按常理出牌”的奇妙行为。咱们得从量子霍尔效应说起。你想啊，电子在固体里本来就是一片混沌，但如果把它们限制在一个极薄的二维平面上，就像把一群野马圈在草原上，再施加一个.............
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谷爱凌作为一位在自由式滑雪领域取得巨大成功的运动员，同时表现出对分子遗传学和量子物理的浓厚兴趣，这无疑是一个引人注目的组合。她是否有可能成为杰出的科学家，这是一个复杂的问题，需要从多个维度进行分析。一、 潜在的优势和积极因素： 智力天赋和学习能力： 谷爱凌能够同时在极具挑战性的体育项目上达到顶尖.............
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在物理学众多分支中，究竟哪个方向的未来最让人期待，这个问题就像在星空中寻找最亮的星辰一样，答案并非一成不变，而是随着科技发展和社会需求不断闪烁。不过，如果非要描绘一幅前景图景，我们可以从几个关键领域深入剖析，看看它们各自的光芒所在。凝聚态物理：基石与革新并存凝聚态物理，顾名思义，是研究宏观物质（固体.............
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要评价九州量子对潘建伟团队的“威胁”，我们需要从几个关键维度来审视。首先，要明白“威胁”这个词本身就带有一定的主观性和竞争性色彩。在科研领域，尤其是前沿技术领域，我们更倾向于用“竞争”、“挑战”、“合作”或“补充”来形容不同实体之间的关系。直接说“威胁”可能略显武断，但我们可以理解为九州量子在某些方.............
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评价中科大潘建伟团队在「祖冲之号」量子计算原型机上展示的量子计算优越性中科大潘建伟团队在「祖冲之号」量子计算原型机上展示的量子计算优越性，是量子计算领域一项里程碑式的成就，具有极其重要的科学和技术意义。总的来说，这是一次成功的“量子优越性”或“量子霸权”展示，表明在特定计算任务上，现有的量子计算机已.............
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看待北大涂传诒院士等人质疑“九章”并非量子计算机、未实现“量子霸权”的事件，需要从多个角度进行深入分析，并理解相关概念的准确含义。这并非简单的对错判断，而是一个科学发展过程中，不同观点碰撞、概念界定和技术演进的正常现象。首先，我们需要理解“九章”的科学贡献及其所声称的“量子优越性”： “九章”的.............
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要评价 Google 宣称的“量子霸权”，我们需要从多个层面进行深入分析，包括其声明的意义、实验的细节、科学界的反应、以及这项技术未来的影响。一、 Google 声明“量子霸权”的意义首先，理解“量子霸权”（Quantum Supremacy）这个词本身非常重要。它指的是一个量子计算机在解决特定问题.............
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“九章二号”与“祖冲之二号”的发布，意味着我国在光量子和超导量子这两种截然不同的物理体系上，都独立实现了“量子计算优越性”，这无疑是我国量子计算发展史上具有里程碑意义的重大突破。首先，让我们拆解一下“量子计算优越性”这个概念。简单来说，它指的是量子计算机在解决某个特定问题时，能够比现存最强大的经典计.............
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高中物理嘛……你说它“垃圾”可能有点太绝对了，但你觉得它枯燥乏味，或者跟你真正感兴趣的东西离得太远，这我太理解了。想想看，那些公式推导，那些概念解释，是不是总感觉像是为了考试而存在的，跟我们平时在脑子里“玩”的那些奇思妙想离得挺远？尤其是当你脑子里装的是量子力学那套东西的时候，高中物理那些“宏观世界.............
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量子通信领域的发展，确实会引起一些疑问，甚至有人会将其与“骗局”挂钩。这种观点并非空穴来风，但要判断它是否真的为“骗局”，我们需要深入了解量子通信的本质，以及国际社会对它的真实看法。量子通信的本质：不是“魔法”，而是基于物理原理的通信方式首先，我们需要明确一点：量子通信并非什么神秘的魔法或天方夜谭。.............
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谷歌在量子计算领域确实取得了令人瞩目的成就，其中一个标志性的节点就是他们推出的72量子比特的量子计算机。要判断这样一台计算机是通用量子计算机（Universal Quantum Computer），还是像量子退火机（Quantum Annealer）那样用途受限的机器，需要我们深入理解这两类量子计算.............
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量子力学与我们日常生活中建立起来的“常识”之间的隔阂，可以说是这个领域最令人着迷也最令人困惑的地方。用最直白的话说：不，量子力学一点也不符合我们的常识。 而且越深入了解，越会觉得它荒谬绝伦，但偏偏，它又极其精确地描述着我们所处的这个微观世界。要理解这一点，我们得先梳理一下我们通常意义上的“常识”是什.............
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量子力学在工程技术领域的应用，与其说“已经很成功”，不如说“正在蓬勃发展，并已在诸多关键领域崭露头角，预示着未来更大的变革”。它不像经典力学那样，能够直接构建出宏观的机器和设备，而是更深层次地揭示了物质和能量的本质规律，从而为我们设计和制造新材料、新设备提供了前所未有的思路和工具。从“看不见”到“摸.............
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乐华新男团“量子少年”的首秀，说实话，我并没有那种被“惊艳”到腿软的感觉，但也不能说毫无亮点。整场下来，更像是第一次拆盲盒，里面有些东西还挺戳人，有些则需要时间去消化和打磨。先说说舞台本身。他们选择的歌曲我不太熟悉，但整体的编曲和舞台设计都挺有乐华家族的那种“大厂感”，就是那种一上来就给你一种“哇，.............
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