如何用量子力学的语言严谨地描述等概率原理？
在深入探讨等概率原理在量子力学中的严谨表述之前，我们不妨先摆脱对“原理”二字惯常的、带有先验色彩的理解。在量子力学的框架下，我们并非要“发现”一个独立于体系存在的“原理”来约束其行为，而是要理解，当我们在描述一个特定的量子系统时，如果对该系统的某些可观测量（Observable）没有任何先验的、能够区分其状态的信息，那么根据我们对系统现状的认识，所有与之兼容的可能状态都应该被同等地“赋予权重”。这并非一个关于“公平”或“选择”的抽象哲学，而是信息论和系统描述的直接体现。
让我们从量子力学最核心的数学工具——希尔伯特空间（Hilbert Space）出发。一个孤立量子系统的状态，无论其演化如何，都可以由一个希尔伯特空间中的向量 $|psi angle$ 来完全描述。这个向量，我们称之为状态向量（State Vector）或波函数（Wave Function），包含了系统的一切可测信息。
当我们考虑一个可观测量 $A$，它在希尔伯特空间中对应一个自伴算符（SelfAdjoint Operator） $hat{A}$。根据量子力学的基本假设，对可观测量 $A$ 的测量结果只能是算符 $hat{A}$ 的本征值（Eigenvalues） $a_i$。与每个本征值 $a_i$ 相对应的是一个或多个本征向量（Eigenvectors） $|a_i angle$。如果算符 $hat{A}$ 的本征谱是离散的，那么我们可以找到一组完备的（Complete）且标准正交的（Orthonormal）本征向量 ${|a_i angle}_{i=1}^N$（或无限个）。这意味着任何系统状态 $|psi angle$ 都可以展开成这些本征向量的线性组合：
$|psi angle = sum_{i=1}^N c_i |a_i angle$
其中 $c_i$ 是复数系数，满足归一化条件 $sum_{i=1}^N |c_i|^2 = 1$。
在这里，“等概率原理”的体现，并不是说 $c_i$ 必然相等。恰恰相反，在大多数情况下，$c_i$ 是不相等的，这直接决定了测量结果的概率分布。我们真正需要理解的是，当我们在描述一个系统时，如果没有任何信息能够让我们倾向于选择某个特定的 $|a_i angle$ 作为系统的真实状态，那么我们所能做的，是对所有“可能的”状态保持一种“无偏见”的描述。
这通常出现在两种情境下：
1. 初始状态的不确定性： 当我们准备一个系统，但对它究竟处于哪个本征态 $|a_i angle$ 毫无所知时。假设系统可以通过某种机制被制备成希尔伯特空间中与可观测量 $A$ 的本征值 $a_i$ 对应的所有本征态 ${|a_i angle}$。如果不存在任何机制上的偏好，使得系统更有可能落在某个 $|a_i angle$ 而非其他，那么我们可以认为，在开始任何测量之前，系统处于这组基态的可能性是相同的。
2. 可观测量本身的对称性： 考虑一个具有高度对称性的可观测量，或者一个系统本身并没有被外界“标记”或“区分”过。例如，一个自由的、不受相互作用影响的粒子，我们对其位置或动量没有任何先验信息。在这种情况下，系统可能处于一系列状态中的任何一个，并且没有任何理由赋予它们不同的“权重”。
严谨地说，当我们在描述一个系统时，如果对某个可观测量 $A$ 的测量结果没有任何先验的偏好性信息，我们实际上是在构建一个概率分布。如果我们知道系统处于某个状态 $|psi angle = sum_{i=1}^N c_i |a_i angle$，那么测量可观测量 $A$ 得到本征值 $a_i$ 的概率由玻恩规则（Born Rule）给出：
$P(A=a_i) = |c_i|^2$
“等概率原理”并非一个独立的公理，而是当我们在特定情境下，根据我们对系统状态的最大无知（Maximum Ignorance）原则来设定这些 $c_i$ 时的一种自然结果。如果我们没有理由相信 $|c_i|^2$ 应该是不相等的，那么我们选择使它们相等，即 $|c_i|^2 = 1/N$ （对于 $N$ 个等可能的状态）。
更进一步，我们可以从密度算符（Density Operator） $ ho$ 的角度来理解。密度算符 $ ho$ 是一个更普遍的描述量子系统状态的工具，它可以描述混合态（Mixed States）以及纯态（Pure States）。对于一个纯态 $|psi angle$，其密度算符为 $ ho = |psi anglelanglepsi|$。
对于一个系统处于可观测量 $A$ 的本征态 ${|a_i angle}$ 的混合态，其密度算符可以表示为：
$ ho = sum_{i=1}^N p_i |a_i anglelangle a_i|$
其中 $p_i$ 是系统处于本征态 $|a_i angle$ 的概率，且 $sum_{i=1}^N p_i = 1$。
“等概率原理”在这种框架下，就意味着我们设定 $p_i = 1/N$ for all $i$。换句话说，如果我们对系统在 ${|a_i angle}$ 这组基中的状态没有任何鉴别信息，我们就用一个最大熵（Maximum Entropy）的密度算符来描述它，该密度算符在所有可能的基态上具有均匀的概率分布。
例如，考虑一个有 $N$ 个简并（Degenerate）能级（对应于同一个能量本征值）的量子系统，并且我们对系统处于哪个能级没有任何信息。我们可以用一个密度算符来描述这种状态：
$ ho = frac{1}{N} sum_{i=1}^N |E_i anglelangle E_i|$
其中 $|E_i angle$ 是该简并能级对应的 $N$ 个正交的本征态。在这个描述中，系统处于每个能态的可能性是均等的，即 $1/N$。
所以，量子力学中的“等概率原理”并非一个独立于体系描述的先验规则，而是当我们对一个系统处于某个集合的可能状态（例如，某个可观测量的一组完备的本征态）没有任何偏好性信息时，根据最大似然（Maximum Likelihood）或最大熵（Maximum Entropy）的原则，对这些状态赋予相同的概率权重的自然结果。它反映的是我们知识的局限性，而不是系统本身的某种固有的“公平性”。当我们拥有了更多关于系统处于特定本征态的信息时，这个“等概率”的描述就会被修正，例如通过测量某个算符得到一个特定的本征值，从而将系统“坍缩”到一个新的、概率不再均匀的状态。
让我们从量子力学最核心的数学工具——希尔伯特空间（Hilbert Space）出发。一个孤立量子系统的状态，无论其演化如何，都可以由一个希尔伯特空间中的向量 $|psi angle$ 来完全描述。这个向量，我们称之为状态向量（State Vector）或波函数（Wave Function），包含了系统的一切可测信息。
当我们考虑一个可观测量 $A$，它在希尔伯特空间中对应一个自伴算符（SelfAdjoint Operator） $hat{A}$。根据量子力学的基本假设，对可观测量 $A$ 的测量结果只能是算符 $hat{A}$ 的本征值（Eigenvalues） $a_i$。与每个本征值 $a_i$ 相对应的是一个或多个本征向量（Eigenvectors） $|a_i angle$。如果算符 $hat{A}$ 的本征谱是离散的，那么我们可以找到一组完备的（Complete）且标准正交的（Orthonormal）本征向量 ${|a_i angle}_{i=1}^N$（或无限个）。这意味着任何系统状态 $|psi angle$ 都可以展开成这些本征向量的线性组合：
$|psi angle = sum_{i=1}^N c_i |a_i angle$
其中 $c_i$ 是复数系数，满足归一化条件 $sum_{i=1}^N |c_i|^2 = 1$。
在这里，“等概率原理”的体现，并不是说 $c_i$ 必然相等。恰恰相反，在大多数情况下，$c_i$ 是不相等的，这直接决定了测量结果的概率分布。我们真正需要理解的是，当我们在描述一个系统时，如果没有任何信息能够让我们倾向于选择某个特定的 $|a_i angle$ 作为系统的真实状态，那么我们所能做的，是对所有“可能的”状态保持一种“无偏见”的描述。
这通常出现在两种情境下：
1. 初始状态的不确定性： 当我们准备一个系统，但对它究竟处于哪个本征态 $|a_i angle$ 毫无所知时。假设系统可以通过某种机制被制备成希尔伯特空间中与可观测量 $A$ 的本征值 $a_i$ 对应的所有本征态 ${|a_i angle}$。如果不存在任何机制上的偏好，使得系统更有可能落在某个 $|a_i angle$ 而非其他，那么我们可以认为，在开始任何测量之前，系统处于这组基态的可能性是相同的。
2. 可观测量本身的对称性： 考虑一个具有高度对称性的可观测量，或者一个系统本身并没有被外界“标记”或“区分”过。例如，一个自由的、不受相互作用影响的粒子，我们对其位置或动量没有任何先验信息。在这种情况下，系统可能处于一系列状态中的任何一个，并且没有任何理由赋予它们不同的“权重”。
严谨地说，当我们在描述一个系统时，如果对某个可观测量 $A$ 的测量结果没有任何先验的偏好性信息，我们实际上是在构建一个概率分布。如果我们知道系统处于某个状态 $|psi angle = sum_{i=1}^N c_i |a_i angle$，那么测量可观测量 $A$ 得到本征值 $a_i$ 的概率由玻恩规则（Born Rule）给出：
$P(A=a_i) = |c_i|^2$
“等概率原理”并非一个独立的公理，而是当我们在特定情境下，根据我们对系统状态的最大无知（Maximum Ignorance）原则来设定这些 $c_i$ 时的一种自然结果。如果我们没有理由相信 $|c_i|^2$ 应该是不相等的，那么我们选择使它们相等，即 $|c_i|^2 = 1/N$ （对于 $N$ 个等可能的状态）。
更进一步，我们可以从密度算符（Density Operator） $ ho$ 的角度来理解。密度算符 $ ho$ 是一个更普遍的描述量子系统状态的工具，它可以描述混合态（Mixed States）以及纯态（Pure States）。对于一个纯态 $|psi angle$，其密度算符为 $ ho = |psi anglelanglepsi|$。
对于一个系统处于可观测量 $A$ 的本征态 ${|a_i angle}$ 的混合态，其密度算符可以表示为：
$ ho = sum_{i=1}^N p_i |a_i anglelangle a_i|$
其中 $p_i$ 是系统处于本征态 $|a_i angle$ 的概率，且 $sum_{i=1}^N p_i = 1$。
“等概率原理”在这种框架下，就意味着我们设定 $p_i = 1/N$ for all $i$。换句话说，如果我们对系统在 ${|a_i angle}$ 这组基中的状态没有任何鉴别信息，我们就用一个最大熵（Maximum Entropy）的密度算符来描述它，该密度算符在所有可能的基态上具有均匀的概率分布。
例如，考虑一个有 $N$ 个简并（Degenerate）能级（对应于同一个能量本征值）的量子系统，并且我们对系统处于哪个能级没有任何信息。我们可以用一个密度算符来描述这种状态：
$ ho = frac{1}{N} sum_{i=1}^N |E_i anglelangle E_i|$
其中 $|E_i angle$ 是该简并能级对应的 $N$ 个正交的本征态。在这个描述中，系统处于每个能态的可能性是均等的，即 $1/N$。
所以，量子力学中的“等概率原理”并非一个独立于体系描述的先验规则，而是当我们对一个系统处于某个集合的可能状态（例如，某个可观测量的一组完备的本征态）没有任何偏好性信息时，根据最大似然（Maximum Likelihood）或最大熵（Maximum Entropy）的原则，对这些状态赋予相同的概率权重的自然结果。它反映的是我们知识的局限性，而不是系统本身的某种固有的“公平性”。当我们拥有了更多关于系统处于特定本征态的信息时，这个“等概率”的描述就会被修正，例如通过测量某个算符得到一个特定的本征值，从而将系统“坍缩”到一个新的、概率不再均匀的状态。
网友意见
楼主的这个问题大致可以分成两个部分来回答：
（1） 对于经典系统以及量子系统，如何来表示系统的一个微观状态；
（2）在什么情况下，系统的微观状态是等几率分布的。
首先回答第一部分。
对于经典系统，根据哈密顿力学，具有个自由度的系统满足组正则运动方程，于是由微分方程解的存在性和唯一性，我们只需知道个广义动量和个广义坐标的初始值，即可确定系统的一个解，亦即确定了系统的一个微观状态。因此，我们可以用广义动量和广义坐标的笛卡尔积来标记系统的微观状态，此即统计物理中所谓的“相空间”。
对于量子系统，系统的广义动量和广义坐标不再是数而是算符，根据正则量子化条件，它们不具有共同的本征态，因此这时如果仍然使用广义动量和广义坐标的笛卡尔积来表征相空间，相空间中的点将会失去物理意义。很多教材中使用了一种argument，即这时可以认为相空间中一个大小为的体积元表征了系统的一个微观状态，其中为普朗克常量，为系统的自由度数。这显然只是一种argument罢了。其实，对于如何标记量子系统微观状态的问题，量子力学本身就给出了回答。量子力学用希尔伯特空间中的一个矢量来描述系统的状态，相应的相空间可由一组完备的量子数的笛卡尔积来描述。
以一个无自旋的自由粒子为例，经典力学中，需要知道该粒子的初始位置（广义坐标）和初始动量（广义动量）才能确定其状态，而量子力学中，只需知道该粒子的动量就可以确定其状态了。
然后是第二部分。
有了第一部分做基础，这一部分的回答其实就很简单了，即微正则系综的所有微观状态等几率分布。物理上，微正则系综描述的是一个孤立系统，具有确定的能量、粒子数和体积。不论是经典系统还是量子系统，只要它是一个孤立的体系，由微正则系综来描述，其微观状态的分布就满足等概率原理。
PS1. 密度矩阵是描述系综的数学工具，采用何种表象，或者说采用哪一组完备的基矢来表示它，并不影响最后的结果。不同的表象之间只是相差一个幺正变换。
PS2. 从实用主义角度而不是数学严谨性来看，连续谱主要影响的是密度矩阵的归一化问题。分立谱采用概率，统计平均用求和，连续谱采用概率分布，统计平均用积分即可。
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