现代量子力学是如何理解氢原子的核外电子运动规律的？
理解氢原子核外电子的运动规律，是量子力学最经典、也是最 foundational 的课题之一。如果想把它讲透彻，咱们得一点点掰开了说，尽量贴近实际的思考过程，而不是直接抛出一堆高深的公式。
首先，咱们得认识到，经典力学在这里是完全失效的。按照经典理论，电子绕着原子核转，就像行星绕着太阳转一样。但这么一来，会立刻遇到几个无法解释的问题：
1. 电子为什么不掉进原子核？ 如果电子在绕着原子核转，它肯定在加速。根据电磁学，加速的带电粒子会向外辐射电磁波，能量会不断损失。最终，电子就会螺旋式地坠入原子核，原子也就瞬间崩溃了。但这显然不是我们观察到的事实，原子是稳定的。
2. 原子光谱为什么是线状的？ 如果电子的能量可以连续变化，那么它辐射出的电磁波也应该是连续的，形成连续光谱。但氢原子发出的光却是离散的一条条谱线，这说明电子的能量也不是连续的，而是只能取某些特定的值。
正是为了解决这些问题，量子力学应运而生。它提供了一个全新的视角来描述微观粒子的行为。
核心思想一：粒子的波粒二象性
这是量子力学最颠覆性的概念之一。电子不再仅仅是一个小小的粒子，它同时也表现出波动性。这怎么理解呢？你可以想象一下，电子不像一个小钢珠那样，在某个确定的轨迹上运动。相反，它的位置和动量都是不确定的，它更像是一团“概率云”。
德布罗意波： 路易·德布罗意提出，所有运动的粒子都具有波动性，其波长（λ）与动量（p）成反比，公式是 λ = h/p，其中 h 是普朗克常数。对于电子来说，它的质量很小，动量一旦不是零，这个波长就变得很有意义了。
概率波： 这个波不是我们通常理解的声波或光波那种能在介质中传播的物理波，而是一种描述粒子“出现可能性”的数学波，叫做概率波。电子在空间中的分布，不是一个确定的点，而是由一个叫做波函数（用希腊字母 ψ 表示）来描述的。波函数本身不是概率，但它的模平方（|ψ|²）代表了在某个位置找到这个电子的概率密度。
核心思想二：量子化
粒子的能量、角动量等物理量不再是连续的，只能取一系列离散的、特定的值。这就像一个楼梯，你只能站在某一级台阶上，而不能停留在两级台阶之间。
薛定谔方程： 这是量子力学中的核心方程，它描述了波函数 ψ 如何随时间和空间变化。就像牛顿第二定律描述经典物体的运动一样，薛定谔方程是量子世界里的运动定律。对于一个固定的系统（比如氢原子），我们可以求解薛定谔方程，得到系统的所有可能状态以及对应的能量。
应用到氢原子：
现在我们把这些思想用在氢原子上。氢原子就是一个质子（带正电）和一个电子（带负电）组成的系统。质子相对电子来说质量大得多，我们可以近似认为质子静止不动，电子绕着质子运动。
1. 势能： 电子受到质子库仑力的吸引，这个力随距离的平方衰减，形成一个势能 V(r) = e²/ (4πε₀r)，其中 e 是电子的电荷，ε₀ 是真空介电常数，r 是电子到质子的距离。
2. 求解薛定谔方程： 我们需要将这个势能代入薛定谔方程，并求解它。氢原子是一个球对称的系统，所以我们通常使用球坐标系 (r, θ, φ) 来表示波函数 ψ(r, θ, φ)。
3. 能量本征态和本征值： 求解薛定谔方程的结果是，电子的能量不是连续的，只能取一系列离散的值，这些值被称为能量本征值。对应的波函数则称为能量本征态。
这些能量本征值可以用一个简单的公式表示：
$E_n = frac{me^4}{8epsilon_0^2 h^2} frac{1}{n^2}$
其中：
m 是电子的质量
e 是电子的电荷
ε₀ 是真空介电常数
h 是普朗克常数
n 是一个主量子数，只能取正整数 1, 2, 3, ...
这个公式非常重要，因为它完美地解释了氢原子光谱的线状结构。不同 n 值对应着不同的能量，当电子从一个能级跃迁到另一个能级时，就会吸收或辐射出具有特定能量（也就特定频率）的光子，形成谱线。
4. 波函数的性质： 每个能量本征态都对应一个特定的波函数 ψ(r, θ, φ)。这些波函数描述了电子在原子核周围的概率分布。
原子轨道（Orbital）： 每一个能量本征态（由 n 确定）以及其他几个量子数（角量子数 l 和磁量子数 m_l）共同确定一个特定的原子轨道。原子轨道不是电子运动的轨迹，而是电子在某个区域内出现的概率密度分布。
量子数：
主量子数 (n)： 决定了电子的能量和平均离核距离。n 越大，能量越高，电子的平均距离也越远。n=1 对应基态（能量最低的状态），n=2, 3, ... 对应激发态。
角量子数 (l)： 决定了电子轨道的形状和角动量的大小。l 的取值范围是从 0 到 n1。
l=0 对应 s 轨道，是球对称的。
l=1 对应 p 轨道，呈哑铃状。
l=2 对应 d 轨道，有更复杂的形状，比如四个花瓣状的。
磁量子数 (m_l)： 决定了轨道在空间中的取向。m_l 的取值范围是从 l 到 +l，包含 0。对于同一个 l 值，有 2l+1 个不同的 m_l 值，这意味着存在 2l+1 个在空间中取向不同的轨道（例如，p 轨道有 px, py, pz 三个）。
自旋量子数 (m_s)： 电子除了绕核运动，本身还具有一种内在的角动量，叫做自旋，可以看作是电子在“自转”。自旋量子数 m_s 只有两个可能的取值：+1/2 和 1/2，通常称为“上”和“下”自旋。这解释了泡利不相容原理，即在一个原子中，不可能有两个电子拥有完全相同的四个量子数。
总结一下氢原子核外电子运动规律的量子力学理解：
电子不再沿着固定的轨道运动，而是以一种概率波的形式存在于原子核周围。
电子的能量、角动量等物理量是量子化的，只能取离散的值，这些值由一组量子数 (n, l, m_l, m_s) 来描述。
每个量子数组合对应着一个原子轨道，这个轨道描述了电子在空间中的概率分布，决定了它的能量、形状和空间取向。
电子从一个能量状态（轨道）跃迁到另一个状态时，会吸收或辐射出特定频率的光子，这完美解释了氢原子光谱的线状特征。
主量子数 n 决定了能级，角量子数 l 决定了轨道的形状，磁量子数 m_l 决定了轨道的空间取向，自旋量子数 m_s 描述了电子的内禀属性。
所以，量子力学并不是说电子在绕着原子核跑一个确定的圈，而是说电子“存在”在某个区域，这个区域的形状和大小（即原子轨道）以及电子在该区域出现的概率分布，都是由一套量子规则确定的。它的运动不是经典意义上的“运动”，而是“状态”的改变和跃迁。这种描述虽然反直觉，但它极其精确地预测了氢原子的许多实验现象，是现代物理学基石中的基石。
首先，咱们得认识到，经典力学在这里是完全失效的。按照经典理论，电子绕着原子核转，就像行星绕着太阳转一样。但这么一来，会立刻遇到几个无法解释的问题：
1. 电子为什么不掉进原子核？ 如果电子在绕着原子核转，它肯定在加速。根据电磁学，加速的带电粒子会向外辐射电磁波，能量会不断损失。最终，电子就会螺旋式地坠入原子核，原子也就瞬间崩溃了。但这显然不是我们观察到的事实，原子是稳定的。
2. 原子光谱为什么是线状的？ 如果电子的能量可以连续变化，那么它辐射出的电磁波也应该是连续的，形成连续光谱。但氢原子发出的光却是离散的一条条谱线，这说明电子的能量也不是连续的，而是只能取某些特定的值。
正是为了解决这些问题，量子力学应运而生。它提供了一个全新的视角来描述微观粒子的行为。
核心思想一：粒子的波粒二象性
这是量子力学最颠覆性的概念之一。电子不再仅仅是一个小小的粒子，它同时也表现出波动性。这怎么理解呢？你可以想象一下，电子不像一个小钢珠那样，在某个确定的轨迹上运动。相反，它的位置和动量都是不确定的，它更像是一团“概率云”。
德布罗意波： 路易·德布罗意提出，所有运动的粒子都具有波动性，其波长（λ）与动量（p）成反比，公式是 λ = h/p，其中 h 是普朗克常数。对于电子来说，它的质量很小，动量一旦不是零，这个波长就变得很有意义了。
概率波： 这个波不是我们通常理解的声波或光波那种能在介质中传播的物理波，而是一种描述粒子“出现可能性”的数学波，叫做概率波。电子在空间中的分布，不是一个确定的点，而是由一个叫做波函数（用希腊字母 ψ 表示）来描述的。波函数本身不是概率，但它的模平方（|ψ|²）代表了在某个位置找到这个电子的概率密度。
核心思想二：量子化
粒子的能量、角动量等物理量不再是连续的，只能取一系列离散的、特定的值。这就像一个楼梯，你只能站在某一级台阶上，而不能停留在两级台阶之间。
薛定谔方程： 这是量子力学中的核心方程，它描述了波函数 ψ 如何随时间和空间变化。就像牛顿第二定律描述经典物体的运动一样，薛定谔方程是量子世界里的运动定律。对于一个固定的系统（比如氢原子），我们可以求解薛定谔方程，得到系统的所有可能状态以及对应的能量。
应用到氢原子：
现在我们把这些思想用在氢原子上。氢原子就是一个质子（带正电）和一个电子（带负电）组成的系统。质子相对电子来说质量大得多，我们可以近似认为质子静止不动，电子绕着质子运动。
1. 势能： 电子受到质子库仑力的吸引，这个力随距离的平方衰减，形成一个势能 V(r) = e²/ (4πε₀r)，其中 e 是电子的电荷，ε₀ 是真空介电常数，r 是电子到质子的距离。
2. 求解薛定谔方程： 我们需要将这个势能代入薛定谔方程，并求解它。氢原子是一个球对称的系统，所以我们通常使用球坐标系 (r, θ, φ) 来表示波函数 ψ(r, θ, φ)。
3. 能量本征态和本征值： 求解薛定谔方程的结果是，电子的能量不是连续的，只能取一系列离散的值，这些值被称为能量本征值。对应的波函数则称为能量本征态。
这些能量本征值可以用一个简单的公式表示：
$E_n = frac{me^4}{8epsilon_0^2 h^2} frac{1}{n^2}$
其中：
m 是电子的质量
e 是电子的电荷
ε₀ 是真空介电常数
h 是普朗克常数
n 是一个主量子数，只能取正整数 1, 2, 3, ...
这个公式非常重要，因为它完美地解释了氢原子光谱的线状结构。不同 n 值对应着不同的能量，当电子从一个能级跃迁到另一个能级时，就会吸收或辐射出具有特定能量（也就特定频率）的光子，形成谱线。
4. 波函数的性质： 每个能量本征态都对应一个特定的波函数 ψ(r, θ, φ)。这些波函数描述了电子在原子核周围的概率分布。
原子轨道（Orbital）： 每一个能量本征态（由 n 确定）以及其他几个量子数（角量子数 l 和磁量子数 m_l）共同确定一个特定的原子轨道。原子轨道不是电子运动的轨迹，而是电子在某个区域内出现的概率密度分布。
量子数：
主量子数 (n)： 决定了电子的能量和平均离核距离。n 越大，能量越高，电子的平均距离也越远。n=1 对应基态（能量最低的状态），n=2, 3, ... 对应激发态。
角量子数 (l)： 决定了电子轨道的形状和角动量的大小。l 的取值范围是从 0 到 n1。
l=0 对应 s 轨道，是球对称的。
l=1 对应 p 轨道，呈哑铃状。
l=2 对应 d 轨道，有更复杂的形状，比如四个花瓣状的。
磁量子数 (m_l)： 决定了轨道在空间中的取向。m_l 的取值范围是从 l 到 +l，包含 0。对于同一个 l 值，有 2l+1 个不同的 m_l 值，这意味着存在 2l+1 个在空间中取向不同的轨道（例如，p 轨道有 px, py, pz 三个）。
自旋量子数 (m_s)： 电子除了绕核运动，本身还具有一种内在的角动量，叫做自旋，可以看作是电子在“自转”。自旋量子数 m_s 只有两个可能的取值：+1/2 和 1/2，通常称为“上”和“下”自旋。这解释了泡利不相容原理，即在一个原子中，不可能有两个电子拥有完全相同的四个量子数。
总结一下氢原子核外电子运动规律的量子力学理解：
电子不再沿着固定的轨道运动，而是以一种概率波的形式存在于原子核周围。
电子的能量、角动量等物理量是量子化的，只能取离散的值，这些值由一组量子数 (n, l, m_l, m_s) 来描述。
每个量子数组合对应着一个原子轨道，这个轨道描述了电子在空间中的概率分布，决定了它的能量、形状和空间取向。
电子从一个能量状态（轨道）跃迁到另一个状态时，会吸收或辐射出特定频率的光子，这完美解释了氢原子光谱的线状特征。
主量子数 n 决定了能级，角量子数 l 决定了轨道的形状，磁量子数 m_l 决定了轨道的空间取向，自旋量子数 m_s 描述了电子的内禀属性。
所以，量子力学并不是说电子在绕着原子核跑一个确定的圈，而是说电子“存在”在某个区域，这个区域的形状和大小（即原子轨道）以及电子在该区域出现的概率分布，都是由一套量子规则确定的。它的运动不是经典意义上的“运动”，而是“状态”的改变和跃迁。这种描述虽然反直觉，但它极其精确地预测了氢原子的许多实验现象，是现代物理学基石中的基石。
网友意见
理论上你有五种方法去解氢原子，嗯，五种。
第一种，玻尔的轨道量子化方法，也就是俗称的“旧量子论”；
第二种，用薛定谔方程去解氢原子，这也是通行的方法。如果想要提升精度的话可以利用微扰论的方法加入各种高阶微扰项（非相对论量子力学+微扰论法）。此外，与谐振子类似，氢原子还有代数解法，不过那个代数解法我到现在也没学会；
第三种，用 克莱因-戈登方程解氢原子（相对论量子力学法）；
第四种，用狄拉克方程去解氢原子（相对论量子力学法）；
第五种，用Bethe-Salpeter方程解氢原子（量子场论法），理论上讲这个方法应该是最先进的，但这个方法有一个蛋疼的问题：它没法算出解析解，只能用计算机计算出数值解，由此可见先进的方法有时也未必好用。
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根据评论，我发现很多人似乎不知道氢原子还有超对称代数解法，这方面内容请参考曾瑾言的《量子力学》第二卷或者Franz Schwabl的《量子力学》。下面贴上Schwabl一书中关于超对称代数解法的相关章节：
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