为什么初学量子力学一个矩阵都没有看到，却说线性代数是量子力学的数学语言？
这是一个非常好的问题，也是许多初学量子力学时会遇到的困惑。初学者在接触量子力学时，通常会先接触到波函数、薛定谔方程等概念，这些内容似乎更偏向于微积分和微分方程。然而，线性代数的重要性在量子力学中是无与伦比的，它确实是量子力学的“数学语言”。
要理解这一点，我们需要深入探讨量子力学的本质以及线性代数在其中扮演的角色。
1. 量子力学的核心概念：状态与可观测量
量子态： 在经典力学中，我们描述一个粒子的状态通常用它的位置和动量。但在量子力学中，一个粒子的状态不再是我们直观理解的“在某个地方”或“以某个速度运动”。相反，量子态被描述为一个抽象的数学对象，我们称之为态矢量（state vector）。这个态矢量包含了关于系统所有可能信息。
可观测量： 在量子力学中，我们能够测量到的物理量，比如位置、动量、能量、角动量等，被称为可观测量（observables）。
2. 态矢量和 Hilbert 空间
线性空间： 量子力学中的态矢量存在于一个特殊的数学空间中，称为 Hilbert 空间（Hilbert space）。Hilbert 空间是一种带有内积（dot product）的完备线性空间。简单来说，它是一个向量空间，我们可以对向量进行加法和标量乘法，并且定义了向量之间的“长度”和“角度”的概念。
线性叠加原理： 量子力学的一个核心原理是线性叠加原理。这意味着如果一个系统可以处于状态 $| psi_1 angle$ 和状态 $| psi_2 angle$，那么它也可以处于它们的线性组合 $c_1 | psi_1 angle + c_2 | psi_2 angle$ 状态（其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是复数）。这个叠加性直接体现了向量空间的线性结构。
3. 可观测量如何用线性代数来表示？
算符（Operator）： 可观测量在量子力学中由算符来表示。算符是一种作用在态矢量上，将其映射到另一个态矢量的数学变换。例如，位置算符、动量算符、能量算符（哈密顿算符）等。
线性算符： 由于态矢量存在于一个线性空间中，作用在这些态矢量上的算符也必须是线性算符。这意味着对于任意的态矢量 $| psi_1 angle, | psi_2 angle$ 和任意的复数 $c_1, c_2$，一个线性算符 $A$ 满足：
$A(c_1 |psi_1 angle + c_2 |psi_2 angle) = c_1 A|psi_1 angle + c_2 A|psi_2 angle$
这个性质恰恰是线性代数中线性映射的核心定义。
矩阵的出现： 当我们选择了一个基（basis）来描述 Hilbert 空间中的态矢量时，这些线性算符就可以用矩阵来表示。
基的概念： 就像三维空间有 $(hat{i}, hat{j}, hat{k})$ 三个正交单位向量作为基一样，Hilbert 空间也有一个完备的基。例如，对于一个粒子在无限深势阱中的运动，它的能量本征态可以构成一个完备的基。
态矢量作为列向量： 当我们选定了一个基 ${| e_i angle}$ 后，任何一个态矢量 $|psi angle$ 都可以表示为这些基矢量的线性组合：$|psi angle = sum_i c_i |e_i angle$。在矩阵表示中，这个态矢量可以写成一个列向量，其中 $c_i$ 是向量的分量。
算符的矩阵表示： 一个线性算符 $A$ 在这个基下的矩阵表示，其元素 $A_{ij}$ 可以通过计算 $A|e_j angle$ 在基 $|e_i angle$ 下的投影得到：$A_{ij} = langle e_i | A | e_j angle$。 这个矩阵 $A$ 作用在表示 $|psi angle$ 的列向量上，得到的就是表示 $A|psi angle$ 的列向量。
所以，虽然你一开始没有“看到”矩阵，但矩阵是隐藏在算符背后的、基于特定基的表示。一旦你选择了一个基，量子力学中的态矢量就变成了列向量，可观测量就变成了矩阵，它们之间的运算（如算符作用于态矢量，两个算符的乘积等）就变成了向量和矩阵的运算。
4. 为什么线性代数如此重要？
本征值和本征矢量： 量子力学的测量过程与可观测量对应的算符的本征值（eigenvalues）和本征矢量（eigenvectors）密切相关。
本征值： 当我们测量一个可观测量时，得到的结果一定是该可观测量算符的本征值之一。这对应于在矩阵表示中，一个矩阵的本征值。
本征矢量： 如果一个系统处于一个算符的本征矢量状态，那么测量对应的可观测量时，结果就是那个本征值，而且系统仍然处于该本征矢量状态。这对应于矩阵的本征向量。
薛定谔方程本身也是一种本征值问题。 哈密顿算符 $H$ 作用在态矢量 $|psi angle$ 上等于能量 $E$ 乘以态矢量 $|psi angle$，$H|psi angle = E|psi angle$。这就是一个典型的本征值方程。这里的 $E$ 就是系统的能量本征值，$|psi angle$ 就是对应的能量本征态。
状态的演化： 系统随时间演化遵循薛定谔方程。即使薛定谔方程看起来像微分方程，但它描述的是态矢量在 Hilbert 空间中的演化。例如，非相对论量子力学中，态矢量 $|psi(t) angle$ 的演化由 $ihbar frac{d}{dt}|psi(t) angle = H|psi(t) angle$ 给出，其中 $H$ 是哈密顿算符。这个方程可以通过数学方法（如矩阵指数化）来求解，其核心仍然是算符和向量的运算。
概率解释： 量子力学中的测量结果不是确定的，而是概率性的。一个系统处于态 $|psi angle$ 时，测量一个可观测量 $A$，得到其本征值 $a_n$ 的概率是 $|langle phi_n | psi angle|^2$，其中 $|phi_n angle$ 是对应于本征值 $a_n$ 的归一化本征矢量。这里的 $langle phi_n | psi angle$ 就是内积，这是线性代数中的基本运算。
角动量等量子数： 许多量子系统的性质，如角动量，是由一组对易关系定义的。这些对易关系在代数上决定了系统的量子数，而这些量子数又决定了态矢量的性质和算符的矩阵表示。例如，描述自旋的 Pauli 矩阵就是非常有名的线性代数矩阵。
总结来说：
1. 量子态是 Hilbert 空间中的向量。
2. 可观测量是作用在这些向量上的线性算符。
3. 在选择了一组基后，这些向量和算符就可以用列向量和矩阵来表示。
4. 测量结果对应于算符的本征值，系统状态对应于算符的本征矢量。
5. 所有量子力学的基本定律和计算都归结为这些向量和矩阵（算符）的运算。
因此，虽然你初次接触时可能更关注物理概念本身，但线性代数提供了一个强大而统一的框架来描述和计算量子系统的行为。它不是一个可有可无的工具，而是量子力学内在的数学结构。矩阵只是当我们在某个特定基下展开这些抽象的向量和算符时，我们看到的具体形式。理解了线性代数，就等于掌握了量子力学最核心的数学语言。
要理解这一点，我们需要深入探讨量子力学的本质以及线性代数在其中扮演的角色。
1. 量子力学的核心概念：状态与可观测量
量子态： 在经典力学中，我们描述一个粒子的状态通常用它的位置和动量。但在量子力学中，一个粒子的状态不再是我们直观理解的“在某个地方”或“以某个速度运动”。相反，量子态被描述为一个抽象的数学对象，我们称之为态矢量（state vector）。这个态矢量包含了关于系统所有可能信息。
可观测量： 在量子力学中，我们能够测量到的物理量，比如位置、动量、能量、角动量等，被称为可观测量（observables）。
2. 态矢量和 Hilbert 空间
线性空间： 量子力学中的态矢量存在于一个特殊的数学空间中，称为 Hilbert 空间（Hilbert space）。Hilbert 空间是一种带有内积（dot product）的完备线性空间。简单来说，它是一个向量空间，我们可以对向量进行加法和标量乘法，并且定义了向量之间的“长度”和“角度”的概念。
线性叠加原理： 量子力学的一个核心原理是线性叠加原理。这意味着如果一个系统可以处于状态 $| psi_1 angle$ 和状态 $| psi_2 angle$，那么它也可以处于它们的线性组合 $c_1 | psi_1 angle + c_2 | psi_2 angle$ 状态（其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是复数）。这个叠加性直接体现了向量空间的线性结构。
3. 可观测量如何用线性代数来表示？
算符（Operator）： 可观测量在量子力学中由算符来表示。算符是一种作用在态矢量上，将其映射到另一个态矢量的数学变换。例如，位置算符、动量算符、能量算符（哈密顿算符）等。
线性算符： 由于态矢量存在于一个线性空间中，作用在这些态矢量上的算符也必须是线性算符。这意味着对于任意的态矢量 $| psi_1 angle, | psi_2 angle$ 和任意的复数 $c_1, c_2$，一个线性算符 $A$ 满足：
$A(c_1 |psi_1 angle + c_2 |psi_2 angle) = c_1 A|psi_1 angle + c_2 A|psi_2 angle$
这个性质恰恰是线性代数中线性映射的核心定义。
矩阵的出现： 当我们选择了一个基（basis）来描述 Hilbert 空间中的态矢量时，这些线性算符就可以用矩阵来表示。
基的概念： 就像三维空间有 $(hat{i}, hat{j}, hat{k})$ 三个正交单位向量作为基一样，Hilbert 空间也有一个完备的基。例如，对于一个粒子在无限深势阱中的运动，它的能量本征态可以构成一个完备的基。
态矢量作为列向量： 当我们选定了一个基 ${| e_i angle}$ 后，任何一个态矢量 $|psi angle$ 都可以表示为这些基矢量的线性组合：$|psi angle = sum_i c_i |e_i angle$。在矩阵表示中，这个态矢量可以写成一个列向量，其中 $c_i$ 是向量的分量。
算符的矩阵表示： 一个线性算符 $A$ 在这个基下的矩阵表示，其元素 $A_{ij}$ 可以通过计算 $A|e_j angle$ 在基 $|e_i angle$ 下的投影得到：$A_{ij} = langle e_i | A | e_j angle$。 这个矩阵 $A$ 作用在表示 $|psi angle$ 的列向量上，得到的就是表示 $A|psi angle$ 的列向量。
所以，虽然你一开始没有“看到”矩阵，但矩阵是隐藏在算符背后的、基于特定基的表示。一旦你选择了一个基，量子力学中的态矢量就变成了列向量，可观测量就变成了矩阵，它们之间的运算（如算符作用于态矢量，两个算符的乘积等）就变成了向量和矩阵的运算。
4. 为什么线性代数如此重要？
本征值和本征矢量： 量子力学的测量过程与可观测量对应的算符的本征值（eigenvalues）和本征矢量（eigenvectors）密切相关。
本征值： 当我们测量一个可观测量时，得到的结果一定是该可观测量算符的本征值之一。这对应于在矩阵表示中，一个矩阵的本征值。
本征矢量： 如果一个系统处于一个算符的本征矢量状态，那么测量对应的可观测量时，结果就是那个本征值，而且系统仍然处于该本征矢量状态。这对应于矩阵的本征向量。
薛定谔方程本身也是一种本征值问题。 哈密顿算符 $H$ 作用在态矢量 $|psi angle$ 上等于能量 $E$ 乘以态矢量 $|psi angle$，$H|psi angle = E|psi angle$。这就是一个典型的本征值方程。这里的 $E$ 就是系统的能量本征值，$|psi angle$ 就是对应的能量本征态。
状态的演化： 系统随时间演化遵循薛定谔方程。即使薛定谔方程看起来像微分方程，但它描述的是态矢量在 Hilbert 空间中的演化。例如，非相对论量子力学中，态矢量 $|psi(t) angle$ 的演化由 $ihbar frac{d}{dt}|psi(t) angle = H|psi(t) angle$ 给出，其中 $H$ 是哈密顿算符。这个方程可以通过数学方法（如矩阵指数化）来求解，其核心仍然是算符和向量的运算。
概率解释： 量子力学中的测量结果不是确定的，而是概率性的。一个系统处于态 $|psi angle$ 时，测量一个可观测量 $A$，得到其本征值 $a_n$ 的概率是 $|langle phi_n | psi angle|^2$，其中 $|phi_n angle$ 是对应于本征值 $a_n$ 的归一化本征矢量。这里的 $langle phi_n | psi angle$ 就是内积，这是线性代数中的基本运算。
角动量等量子数： 许多量子系统的性质，如角动量，是由一组对易关系定义的。这些对易关系在代数上决定了系统的量子数，而这些量子数又决定了态矢量的性质和算符的矩阵表示。例如，描述自旋的 Pauli 矩阵就是非常有名的线性代数矩阵。
总结来说：
1. 量子态是 Hilbert 空间中的向量。
2. 可观测量是作用在这些向量上的线性算符。
3. 在选择了一组基后，这些向量和算符就可以用列向量和矩阵来表示。
4. 测量结果对应于算符的本征值，系统状态对应于算符的本征矢量。
5. 所有量子力学的基本定律和计算都归结为这些向量和矩阵（算符）的运算。
因此，虽然你初次接触时可能更关注物理概念本身，但线性代数提供了一个强大而统一的框架来描述和计算量子系统的行为。它不是一个可有可无的工具，而是量子力学内在的数学结构。矩阵只是当我们在某个特定基下展开这些抽象的向量和算符时，我们看到的具体形式。理解了线性代数，就等于掌握了量子力学最核心的数学语言。
网友意见
量子力学的语言之所以是线性代数，是因为量子力学里对于物理系统的状态描述，是用一个希尔伯特空间中的态矢量来描述的，希尔伯特空间本身的数学结构是个完备平方可积的线性空间。而且量子力学里对于可观测的物理量，都是用一个算符来描述，算符本身是一个线性映射。
所以，量子力学里描述系统状态用希尔伯特空间中的矢量，描述可观测的物理量用线性映射，自然量子力学的数学语言就是线性代数。
薛定谔方程本身是，这个方程描述的是态矢量如何随时间演化。在坐标表象下才是题主看到的薛定谔方程。（其实题主看到的微分方程和波函数，不仅仅是坐标表象下，而且是具体到了坐标表象的函数形式。）
以及你经常用到的，把态矢量以本征态为基展开，具体到坐标表象下对于波函数来说就是波函数在本征函数下展开，不也就是线性代数里把矢量在基下展开吗。
看到这个问题我感觉题主初学量子可能用的教材是曾谨言。。。如果真的是这本书的话，建议题主立刻换一本书来入门量子力学。
题主应该是被坐标表象下的薛定谔方程搞晕了，主要是因为入门的教材应该上来就是讲坐标表象下的薛定谔方程和波函数，而不是从量子力学的基本的形式理论和基本公理开始。导致对量子力学最重要的数学结构和公理没有感觉，所以建议题主不要用曾谨言入门量子力学。个人认为入门量子力学最好的教材是Griffiths的Introduction to quantum mechanics（这本书有中文翻译版），或者Cohen Tannoudji 的量子力学第一卷（也有中文版）（难度比Griffiths大了一点）。Griffith对基本公理强调不够，但也能保证你不迷失在坐标表象下了。
对于量子力学的基本公理解释的最清楚，干练，简洁的，个人认为是喀兴林的《高等量子力学》，在第二章开头就有，第一章是介绍量子力学里用到的线性代数的，如果题主代数功底还可以，看完这本书的第一章和第二章前面的几小节应该就会非常清楚了。
感觉问题出在你的线性代数教材上，你是不是没有学酉变换、对角化那些东西。。。
类似的话题
-
这是一个非常好的问题，也是许多初学量子力学时会遇到的困惑。初学者在接触量子力学时，通常会先接触到波函数、薛定谔方程等概念，这些内容似乎更偏向于微积分和微分方程。然而，线性代数的重要性在量子力学中是无与伦比的，它确实是量子力学的“数学语言”。要理解这一点，我们需要深入探讨量子力学的本质以及线性代数在其............. -
你这个问题非常有意思，也触及了许多物理学爱好者心中的疑惑。为什么自20世纪初，爱因斯坦的相对论和量子力学这两座宏伟的基石建立起来之后，近一百年里，现代物理似乎进入了一个“高原期”，再没有出现那种颠覆性的、如同“旧约”到“新约”般的巨大飞跃呢？首先，我们需要理解，“没有突破性进展”这个说法，其实并不完.............
-
知乎用户 vczh 曾在一系列回答和文章中，明确表达了不推荐初学者将 C 语言作为第一门编程语言的观点。他论证的核心在于 C 语言的低级特性和由此带来的学习曲线陡峭，这对于没有编程基础的初学者来说，很容易造成挫败感，甚至误导他们对编程的认知。首先，vczh 指出 C 语言最显著的特点是其内存管理直接.............
-
初恋时，男生对于另一半的选择，确实会受到很多因素的影响，其中外貌往往是第一个敲响心门的。而在这个“外貌”的范畴里，头发的长短，就成了一个很有趣的讨论点。为什么很多男生在初恋时，会不自觉地偏爱长发女生呢？这背后其实藏着一些心理学、社会文化以及个人成长层面的原因，咱们一样一样来捋捋。首先，从生物本能和进.............
-
初恋，那段青涩而又炽热的情感，往往让人难以忘怀，但同时，它也是大多数人生命中一段以“分手”告终的经历。为什么大多数初恋都走向了分离？这并非偶然，而是多种因素交织作用下的必然结果。我们可以从几个方面来细致地剖析。1. 情感的纯粹与稚嫩：理想化与现实的碰撞初恋之所以美好，很大程度上源于它的纯粹。我们往往.............
-
你这个问题问得非常好，也触及到了很多吉他初学者学习初期的一个小困惑。简单来说，你说的“C调的大三和弦”其实就是指C大调的各个组成和弦，但并非所有和弦都是必须从C大调的组成和弦开始学。更何况，初学者最开始接触的这几个和弦（C、Dm、Em、F、G、Am）恰恰是这几个调性里非常核心、非常常用的几个和弦，而.............
-
确实，在初高中物理课本里，讲到摩擦起电，最常见的“明星组合”就是丝绸和毛皮了。为什么是它们呢？这背后其实有着相当直接和实用的原因，而且也和我们对静电的理解有很深的联系。首先，我们得明白摩擦起电的基本原理是什么。简单来说，就是当两种不同的物质相互摩擦时，它们的表面会发生电子的得失。这种电子的转移并不是.............
-
.......
-
.......
-
初学者念佛时出现胸闷难受的感觉，这并非什么神秘现象，而是可以从多个科学角度来解读的。这通常与生理、心理以及念佛的实践方式都有关。下面我们来详细分析一下：1. 生理层面的影响：呼吸模式的改变念佛，特别是出声念佛或默念时，往往需要调动呼吸。许多初学者在刚开始接触时，对这种有意识的呼吸控制可能并不熟悉，容.............
-
这个问题嘛，得从头说起。虚竹和西夏公主，也就是梦姑，初次见面就“洞房花烛夜”，这事儿说来也够曲折离奇的。首先，咱们得明确一个前提：虚竹这个人，向来是古板又老实，出家人讲究清心寡欲，他平日里连女人手都没怎么碰过。就是这么一个“白纸一张”，怎么就稀里糊涂地和西夏公主睡到一起了呢？这背后，是一连串的巧合和.............
-
网警查处全国首例PUA案件：是警钟，也是一个时代的缩影网警查处全国首例PUA案件，这无疑是一则振奋人心的消息，它标志着国家对于这种利用心理操纵进行侵害的恶劣行为有了明确的态度和行动。这不仅仅是一起案件的侦破，更像是一声响彻社会的警钟，提醒着我们，在信息爆炸的时代，有些人利用人性的弱点，编织着名为“P.............
-
明朝初年远征蒙古和明末驻守辽东，虽然都是军事行动，但其财政系统的表现却截然不同，这背后涉及了复杂的政治、经济、军事和历史因素。简单来说，明初远征成功地运用了当时相对健全的财政制度和有效的资源调动，而明末则面临着财政枯竭、制度腐败和多重危机叠加的困境。下面我将从几个主要方面详细阐述其中的原因： 一、 .............
-
霍去病初次带兵就展现出惊人的军事才能，这并非偶然，而是多种因素共同作用的结果。他之所以能在短短的几年内就成为西汉帝国的一代名将，其“厉害”之处体现在多个层面，我们可以从以下几个方面详细剖析：一、 卓越的个人天赋与强烈的使命感： 少年天才的军事嗅觉： 霍去病并非科班出身的职业军人，他出身于汉武帝的.............
-
明朝初期“靖难之役”没有演变成“八王之乱”或“七国之乱”式的全国性大动荡，这背后有着多重复杂且相互关联的原因。与其说是“没有出现”，不如说是朱元璋和朱棣两人在此之前已经通过制度设计和实际操作，极大地削弱了地方藩王问鼎中原的可能性，并最终将这场权力斗争限制在了相对可控的范围内。要理解这一点，我们得从明.............
-
明初读书人怀念蒙元？朱元璋为何奉元为正统？明朝建立，朱元璋以“驱逐胡虏，恢复中华”的口号席卷天下，推翻了蒙元统治，建立了汉家王朝。然而，令人费解的是，在明初，不少读书人似乎对那个被推翻的蒙元王朝怀有一种复杂的情感，甚至表现出“怀念”的迹象。更令人不解的是，这位以推翻蒙元为己任的开国皇帝，却在事后将元.............
-
二战初期德国之所以显得重型坦克匮乏，并非偶然，而是多种因素交织作用下的结果。这背后牵扯到经济、技术、战略思想，乃至政治上的考量。简单来说，不是德国完全没有能力制造重型坦克，而是当时他们的优先顺序、资源分配以及对未来战争模式的判断，都将重心放在了其他类型的装备上。首先，我们得回顾一下德国的国情和战前的.............
-
战国初期，魏国的崛起确实一度盖过了其前身晋国的风采，这背后有着复杂而深刻的原因。我们不能简单地认为魏国“超过”了晋国，而是说在特定的历史时期，魏国在综合国力、军事实力以及政治影响力上，展现出了比春秋末期晋国更强的势头，并且成功地开启了战国争霸的序幕。一、 晋国末年的衰落：内部分裂与权力真空要理解魏国.............
-
汉初三杰，刘邦麾下最得力的三位谋臣战将，分别是韩信、萧何和张良。他们为大汉王朝的建立立下了汗马功劳，堪称开国元勋。然而，在这三位杰出人物中，唯有张良被后世尊为“谋圣”，并且得以善始善终，安享晚年。这其中的缘由，远不止是运气二字，而是他一系列深思熟虑的选择和行为所致。韩信：功高盖主，悲剧收场先说说韩信.............
-
二十世纪初音乐的剧变，从浪漫主义的余晖转向无调性乃至十二音体系，绝非一日之功，而是数代音乐家在思想、技术、情感表达上不断探索、突破的必然结果。这背后，是社会思潮的变革、技术的发展以及对音乐本体更深层次的追问。浪漫主义晚期的“挤压”与“饱和”：要理解为何会出现颠覆性的变革，首先要审视浪漫主义晚期的音乐.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有