为什么初学量子力学一个矩阵都没有看到，却说线性代数是量子力学的数学语言？
要理解这一点，我们需要深入探讨量子力学的本质以及线性代数在其中扮演的角色。
1. 量子力学的核心概念：状态与可观测量
量子态： 在经典力学中，我们描述一个粒子的状态通常用它的位置和动量。但在量子力学中，一个粒子的状态不再是我们直观理解的“在某个地方”或“以某个速度运动”。相反，量子态被描述为一个抽象的数学对象，我们称之为态矢量（state vector）。这个态矢量包含了关于系统所有可能信息。
可观测量： 在量子力学中，我们能够测量到的物理量，比如位置、动量、能量、角动量等，被称为可观测量（observables）。
2. 态矢量和 Hilbert 空间
线性空间： 量子力学中的态矢量存在于一个特殊的数学空间中，称为 Hilbert 空间（Hilbert space）。Hilbert 空间是一种带有内积（dot product）的完备线性空间。简单来说，它是一个向量空间，我们可以对向量进行加法和标量乘法，并且定义了向量之间的“长度”和“角度”的概念。
线性叠加原理： 量子力学的一个核心原理是线性叠加原理。这意味着如果一个系统可以处于状态 $| psi_1 angle$ 和状态 $| psi_2 angle$，那么它也可以处于它们的线性组合 $c_1 | psi_1 angle + c_2 | psi_2 angle$ 状态（其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是复数）。这个叠加性直接体现了向量空间的线性结构。
3. 可观测量如何用线性代数来表示？
算符（Operator）： 可观测量在量子力学中由算符来表示。算符是一种作用在态矢量上，将其映射到另一个态矢量的数学变换。例如，位置算符、动量算符、能量算符（哈密顿算符）等。
线性算符： 由于态矢量存在于一个线性空间中，作用在这些态矢量上的算符也必须是线性算符。这意味着对于任意的态矢量 $| psi_1 angle, | psi_2 angle$ 和任意的复数 $c_1, c_2$，一个线性算符 $A$ 满足：
$A(c_1 |psi_1 angle + c_2 |psi_2 angle) = c_1 A|psi_1 angle + c_2 A|psi_2 angle$
这个性质恰恰是线性代数中线性映射的核心定义。
矩阵的出现： 当我们选择了一个基（basis）来描述 Hilbert 空间中的态矢量时，这些线性算符就可以用矩阵来表示。
基的概念： 就像三维空间有 $(hat{i}, hat{j}, hat{k})$ 三个正交单位向量作为基一样，Hilbert 空间也有一个完备的基。例如，对于一个粒子在无限深势阱中的运动，它的能量本征态可以构成一个完备的基。
态矢量作为列向量： 当我们选定了一个基 ${| e_i angle}$ 后，任何一个态矢量 $|psi angle$ 都可以表示为这些基矢量的线性组合：$|psi angle = sum_i c_i |e_i angle$。在矩阵表示中，这个态矢量可以写成一个列向量，其中 $c_i$ 是向量的分量。
算符的矩阵表示： 一个线性算符 $A$ 在这个基下的矩阵表示，其元素 $A_{ij}$ 可以通过计算 $A|e_j angle$ 在基 $|e_i angle$ 下的投影得到：$A_{ij} = langle e_i | A | e_j angle$。 这个矩阵 $A$ 作用在表示 $|psi angle$ 的列向量上，得到的就是表示 $A|psi angle$ 的列向量。
所以，虽然你一开始没有“看到”矩阵，但矩阵是隐藏在算符背后的、基于特定基的表示。一旦你选择了一个基，量子力学中的态矢量就变成了列向量，可观测量就变成了矩阵，它们之间的运算（如算符作用于态矢量，两个算符的乘积等）就变成了向量和矩阵的运算。
4. 为什么线性代数如此重要？
本征值和本征矢量： 量子力学的测量过程与可观测量对应的算符的本征值（eigenvalues）和本征矢量（eigenvectors）密切相关。
本征值： 当我们测量一个可观测量时，得到的结果一定是该可观测量算符的本征值之一。这对应于在矩阵表示中，一个矩阵的本征值。
本征矢量： 如果一个系统处于一个算符的本征矢量状态，那么测量对应的可观测量时，结果就是那个本征值，而且系统仍然处于该本征矢量状态。这对应于矩阵的本征向量。
薛定谔方程本身也是一种本征值问题。 哈密顿算符 $H$ 作用在态矢量 $|psi angle$ 上等于能量 $E$ 乘以态矢量 $|psi angle$，$H|psi angle = E|psi angle$。这就是一个典型的本征值方程。这里的 $E$ 就是系统的能量本征值，$|psi angle$ 就是对应的能量本征态。
状态的演化： 系统随时间演化遵循薛定谔方程。即使薛定谔方程看起来像微分方程，但它描述的是态矢量在 Hilbert 空间中的演化。例如，非相对论量子力学中，态矢量 $|psi(t) angle$ 的演化由 $ihbar frac{d}{dt}|psi(t) angle = H|psi(t) angle$ 给出，其中 $H$ 是哈密顿算符。这个方程可以通过数学方法（如矩阵指数化）来求解，其核心仍然是算符和向量的运算。
概率解释： 量子力学中的测量结果不是确定的，而是概率性的。一个系统处于态 $|psi angle$ 时，测量一个可观测量 $A$，得到其本征值 $a_n$ 的概率是 $|langle phi_n | psi angle|^2$，其中 $|phi_n angle$ 是对应于本征值 $a_n$ 的归一化本征矢量。这里的 $langle phi_n | psi angle$ 就是内积，这是线性代数中的基本运算。
角动量等量子数： 许多量子系统的性质，如角动量，是由一组对易关系定义的。这些对易关系在代数上决定了系统的量子数，而这些量子数又决定了态矢量的性质和算符的矩阵表示。例如，描述自旋的 Pauli 矩阵就是非常有名的线性代数矩阵。
总结来说：
1. 量子态是 Hilbert 空间中的向量。
2. 可观测量是作用在这些向量上的线性算符。
3. 在选择了一组基后，这些向量和算符就可以用列向量和矩阵来表示。
4. 测量结果对应于算符的本征值，系统状态对应于算符的本征矢量。
5. 所有量子力学的基本定律和计算都归结为这些向量和矩阵（算符）的运算。
因此，虽然你初次接触时可能更关注物理概念本身，但线性代数提供了一个强大而统一的框架来描述和计算量子系统的行为。它不是一个可有可无的工具，而是量子力学内在的数学结构。矩阵只是当我们在某个特定基下展开这些抽象的向量和算符时，我们看到的具体形式。理解了线性代数，就等于掌握了量子力学最核心的数学语言。
网友意见
量子力学的语言之所以是线性代数，是因为量子力学里对于物理系统的状态描述，是用一个希尔伯特空间中的态矢量来描述的，希尔伯特空间本身的数学结构是个完备平方可积的线性空间。而且量子力学里对于可观测的物理量，都是用一个算符来描述，算符本身是一个线性映射。
所以，量子力学里描述系统状态用希尔伯特空间中的矢量，描述可观测的物理量用线性映射，自然量子力学的数学语言就是线性代数。
薛定谔方程本身是，这个方程描述的是态矢量如何随时间演化。在坐标表象下才是题主看到的薛定谔方程。（其实题主看到的微分方程和波函数，不仅仅是坐标表象下，而且是具体到了坐标表象的函数形式。）
以及你经常用到的，把态矢量以本征态为基展开，具体到坐标表象下对于波函数来说就是波函数在本征函数下展开，不也就是线性代数里把矢量在基下展开吗。
看到这个问题我感觉题主初学量子可能用的教材是曾谨言。。。如果真的是这本书的话，建议题主立刻换一本书来入门量子力学。
题主应该是被坐标表象下的薛定谔方程搞晕了，主要是因为入门的教材应该上来就是讲坐标表象下的薛定谔方程和波函数，而不是从量子力学的基本的形式理论和基本公理开始。导致对量子力学最重要的数学结构和公理没有感觉，所以建议题主不要用曾谨言入门量子力学。个人认为入门量子力学最好的教材是Griffiths的Introduction to quantum mechanics（这本书有中文翻译版），或者Cohen Tannoudji 的量子力学第一卷（也有中文版）（难度比Griffiths大了一点）。Griffith对基本公理强调不够，但也能保证你不迷失在坐标表象下了。
对于量子力学的基本公理解释的最清楚，干练，简洁的，个人认为是喀兴林的《高等量子力学》，在第二章开头就有，第一章是介绍量子力学里用到的线性代数的，如果题主代数功底还可以，看完这本书的第一章和第二章前面的几小节应该就会非常清楚了。
感觉问题出在你的线性代数教材上，你是不是没有学酉变换、对角化那些东西。。。
类似的话题
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有