【量子力学】一维有限深势阱或势垒，明明是一个静态的问题，为什么会有入射波反射波这种动态的概念？

在量子力学的世界里，一个看似静态的“一维有限深势阱”或“势垒”，之所以会引入“入射波”、“反射波”这样动态的概念，这实际上是理解粒子行为的关键，也是它与经典物理最根本的不同之处。

首先，我们要明白，量子力学中的粒子，不是我们日常生活中那个有确定轨迹的小球。 在量子层面，粒子本质上是“波粒二象性”的。也就是说，它既有粒子的特性，比如质量、能量，又表现出波的特性，比如衍射、干涉，以及最重要的——“概率波”。

“概率波”是理解这一切的核心。 量子力学用一个叫做“波函数”（通常用希腊字母 $psi$ 表示）的数学工具来描述粒子的状态。这个波函数本身并没有直接的物理意义，但它的模的平方（$|psi|^2$）代表了在某个位置找到粒子的概率密度。

想象一下，我们向一个一维有限深势阱（或者势垒）发射一个粒子。

在经典物理里： 如果粒子的能量低于势垒的高度，它就会被反射回来；如果能量高于势垒，它就能穿过去。这个过程是确定性的，粒子要么在这边，要么在那边，有一个清晰的“边界”。

在量子力学里： 我们不是发射一个“小球”，而是发射一个“概率波”。这个概率波从一个方向（比如从左边）向势阱或势垒传播。

“入射波”： 这个传播过来的概率波，我们就称之为“入射波”。它携带了粒子准备与势阱/势垒相互作用的信息。它不是一个点状粒子，而是一个在空间中弥散的概率分布。

“相互作用”： 当这个“入射波”遇到势阱或势垒时，会发生什么？势阱/势垒的“深度”或“高度”，在波函数描述中，就体现在它对波函数本身的数学行为（比如求解薛定谔方程时，波函数在势垒区域的性质）施加的约束。

“反射波”： 想象一下，当水波遇到一个障碍物时，一部分水波会被反射回来，另一部分可能会衍射或者传播过去。同样的道理，当粒子的概率波遇到势阱/势垒时，根据薛定谔方程的描述，这个波会发生散射。散射的结果是，一部分概率波会被“推回”来，就像是从障碍物上反弹回来一样。这个从势阱/势垒“反弹”回来的概率波，我们就称之为“反射波”。

“透射波”（也存在）： 同样，也可能有一部分概率波能够“穿过”势垒（即使其能量低于经典阈值，这就是量子隧穿效应），这部分传播到另一侧的概率波就叫做“透射波”。

为什么我们说“动态”？

虽然势阱/势垒本身是静态的（它的形状和高度是不变的），但是粒子的状态（由波函数描述）在与势阱/势垒发生作用的过程中，是在演化的。

1. 演化是过程： 从波函数传播到势垒前，与势垒发生作用，到产生反射波和透射波，这是一个过程。波函数不再是简单的平面波，而是叠加态——由入射波、反射波（以及透射波）叠加而成。
2. 能量的分配（概率）： 能量也不是“全部被反射”或“全部被透射”了。而是概率上分配了。反射波和透射波的强度（波函数模方）决定了粒子以多大的概率被反射或被透射。
3. “结果”是动态的： 即使我们最终测量粒子，我们可能发现它在左边（被反射），也可能在右边（被透射）。这种不确定性和概率性的结果，正是由这个“动态”的相互作用过程产生的。

类比：

你可以想象一个乐器。乐器本身（琴弦、共鸣箱）是静态的。但你拨动琴弦，产生的声音（声音的波形）却是动态的。这个声音的产生，就是琴弦与空气、与乐器结构的“相互作用”的结果。量子力学中的入射波、反射波，就是粒子与势阱/势垒相互作用时，其概率波的“声音”和“回声”。

总结来说， “入射波”和“反射波”不是说粒子真的在来回跑动，而是描述了粒子概率波在遇到势阱或势垒这种“障碍”时，其数学上的行为。这是一个散射过程，概率波的一部分被“反弹”，这在波函数的描述上就表现为产生了与入射波方向相反、相位可能变化的“反射波”。虽然势垒是静态的，但粒子与势垒的“相互作用”及其“结果”是动态的，体现在概率波的叠加和演化上。这正是量子力学描述粒子行为的独特方式。

网友意见

有限深势阱问题如果是讨论大于零的总能量，或者讨论势垒贯穿，都是所谓的散射态问题。散射态不是束缚态，不存在“静态”问题。

但是散射问题有两大派解决思路，一派是所谓的“非含时方法”，计算散射矩阵（细节见Jos Thijssen, Computational Physics, 第二章；另一派用“含时方法”，计算随时间变化的波函数的时间关联函数）这时候求解其实没有用到时间。

据我所知（精确到学习的逻辑顺序）散射问题的起源是卢瑟福散射实验。读一下这个实验的细节有好处。在此推荐杨福家，《原子物理学》，第一章。

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