为什么样本方差（sample variance）的分母是 n-1？
想象一下，你手里有一堆数据，比如你测量了班里 10 个同学的身高。你想要知道这 10 个同学的身高有多“散开”，也就是他们的身高是差不多，还是差异很大。这个“散开”程度，我们通常用方差（variance）来衡量。
方差是个啥？
方差的直观理解就是，数据点到平均值的“平均距离”的平方。为啥要平方呢？主要是为了避免正负抵消，让散开程度都变成正数，而且平方也能更强调那些离平均值很远的点。
那么，计算方差的步骤大概是这样的：
1. 算出平均值： 把所有数据加起来，然后除以数据的个数（咱们假设有 n 个数据）。
2. 计算每个数据点与平均值的差： 拿每个同学的身高减去全班身高的平均值。
3. 将这些差值平方： 把上一步算出来的差值都乘以自己。
4. 求这些平方差的平均值： 把所有平方差加起来，然后除以数据的个数 n。
理论上，如果咱们知道全班（总人口）的身高数据，然后从中随机抽了 n 个人来计算方差，用 n 做分母是没问题的。这个叫做“总体方差”（population variance）。 咱们会用 $sigma^2$ 来表示它。公式大概是这样：
$sigma^2 = frac{sum_{i=1}^{n} (x_i mu)^2}{n}$
其中，$x_i$ 是第 i 个数据点，$n$ 是数据的总个数，$mu$ 是总体的平均值。
但现实往往是，我们手里没有全班所有人的数据！ 我们只有从全班里“抽出来”的那一部分数据，也就是 样本（sample）。
用样本去估计总体，是个“技术活”。
问题就出在这儿：我们手里只有样本，而我们想知道的是 总体 的散布情况。样本是总体的“代表”，但它毕竟不是总体本身。
当你从总体中抽取一个样本时，这个样本的平均值（我们称之为样本均值，用 $ar{x}$ 表示）不一定会恰好等于总体的真实平均值 $mu$。这很正常，因为抽样本身就带有随机性。
如果我们用样本自己的平均值 ($ar{x}$) 来计算样本的方差，就像这样：
$s^2_{wrong} = frac{sum_{i=1}^{n} (x_i ar{x})^2}{n}$
会发生什么呢？
一个“系统性”的偏差出现了。
你想想，样本的平均值 $ar{x}$ 是根据你手里的这 n 个样本数据算出来的。这意味着 $ar{x}$ 已经“照顾”到这 n 个数据了。换句话说，这 n 个数据点到它们自己的平均值 $ar{x}$ 的距离，总是会比到总体真实平均值 $mu$ 的距离要小。
因为 $ar{x}$ 是从这 n 个样本点里面算出来的，它会“贴近”这 n 个点。即使你手里的样本正好抽到了一个“偏低”的平均值，使得 $mu$ 比 $ar{x}$ 更高，那么 $(x_i ar{x})^2$ 的总和也会比 $(x_i mu)^2$ 的总和要小一些。
简单来说，用 $ar{x}$ 作为“中心”，计算出来的平方差之和会比用真实的 $mu$ 作为“中心”要小。而如果我们还是用 n 来除，那么计算出来的样本方差就会 低估 真实的总体方差。
所以，为了纠正这个低估，统计学家们想了个办法：把分母从 n 变成 n1。
这就是 贝塞尔校正（Bessel's correction）。
当分母变成 n1 时：
$s^2 = frac{sum_{i=1}^{n} (x_i ar{x})^2}{n1}$
为什么是 n1 呢？
想想看，当我们计算样本平均值 $ar{x}$ 时，我们实际上“使用”了一个数据点的信息来计算它。具体来说，在计算 $ar{x}$ 的过程中，我们“锁定”了样本的均值，这使得我们的样本在计算离散度时，实际上只有 n1 个独立的“自由度”了。
“自由度”这个概念有点像你数数。如果你有 5 个数字要加起来，这 5 个数字都可以随意选（有 5 个自由度）。但如果你被要求这 5 个数的和必须是 10，那么你前 4 个数可以随意选，但第 5 个数就被固定住了，因为它必须是 10 减去前 4 个数的和。所以这时只有 4 个自由度。
在计算样本方差时，我们计算了 n 个 $(x_i ar{x})$。然而，这 n 个差值的和一定是零（不信你试试，$sum_{i=1}^{n} (x_i ar{x}) = sum x_i sum ar{x} = nar{x} nar{x} = 0$）。这意味着，如果你知道其中 n1 个差值，最后一个差值也就自动确定了。所以，只有 n1 个差值是可以“自由变动”的，剩下的 1 个是由它们决定的。因此，我们说样本方差有 n1 个自由度。
通过将分母除以 n1，而不是 n，我们就“扩大”了计算出来的方差。这个“扩大”的比例刚好能够补偿因为使用样本均值 $ar{x}$ 而带来的低估，使得 $s^2$ 成为对总体方差 $sigma^2$ 的一个 无偏估计（unbiased estimator）。
无偏估计是什么意思？
无偏估计意味着，如果你重复做很多次抽样，每次都用 n1 做分母计算样本方差，然后把这些样本方差的平均值算出来，这个平均值会非常接近总体的真实方差 $sigma^2$。它不会系统性地偏高，也不会系统性地偏低。
总结一下：
我们计算样本方差是为了估计总体的方差。
当使用样本的平均值 ($ar{x}$) 来计算数据离散程度时，会比使用总体的真实平均值 ($mu$) 导致计算出的离散度偏小。
为了修正这个由于使用样本均值造成的系统性低估，我们将分母从样本数量 n 减去 1，变成 n1。
这样做使得样本方差成为总体方差的一个无偏估计，用更学术的话来说，它是有 n1 个自由度。
所以，下次你看到样本方差的分母是 n1 时，就知道这是为了让我们的统计推断更靠谱，不至于对总体的“散度”估计得太保守了。这个小小的改动，却在统计学中扮演着至关重要的角色。
网友意见
非常好的问题，探索这个问题的答案，不仅能更好的了解自己和这个世界，还能避免被征收“偏差税”Bias Tax！
先说结论，样本标准差的分母写成n-1，是为了对自由度进行校正，这叫贝塞尔校正（Bessel's Correction）[1]。注意这个贝塞尔不是贝塞尔曲线（Bézier curve）那个贝塞尔。
为了让中学水平的读者就能理解，我尽量不用公式，用浅显的语言和生活中的案例，来叙述这个问题的来龙去脉。这算是对其他答案的补充，也许看完后，再看其他高手的回答就没那么难了。
在统计领域，你经常会看到，为了减少干扰数据对结论的影响，数学家设计了大量的技术手段来对数据进行校正。
先看一篇我改编的故事《比尔盖茨冲进酒吧》：
一天晚上，小镇酒吧里坐着9个人，大家都是小镇上的工薪族，年薪的平均值在5万美元左右。
从上面的数据和图表，你可以看出50000美元这个平均值，比较准确的体现了9个人的收入水平。
正在此时，比尔盖茨急匆匆的走进酒吧，冲向厕所……
假如比尔盖茨的年薪是10亿美元，在他上厕所的时间里，另外9个人啥也没做，加上比尔盖茨，10个人的平均年薪平均值一下子从5万爆涨到1亿美元。
如图，相比之下，和比尔盖茨相比，9人的年薪太渣，完全看不出高度，像二向箔一样薄。
而当比尔盖茨离开后，他们还是啥也没做，平均年薪却暴跌了近1亿美元。
9人抱头哭死在厕所……
剧终^_^
在这个例子里，比尔盖茨就是一个干扰数据，因为他的存在，让平均值的计算并不能体现酒吧里工薪族的真实平均水平，9人的平均年薪无缘无故的涨到了1亿。当然这个数也无法体现比尔盖茨的真实收入水平，因为他缩水到了1亿。
那统计学家应该怎么办呢？
在统计上，把比尔盖茨这种干扰数据称为异常值（Outlier）。
应对这种异常值，最简单的方法就是排除掉它们。在计算平均值时把比尔盖茨排除掉，就无法干扰平均值了。（当然实际应用比较复杂，排除异常值需要谨慎，不能随意的排除）
排除法这种技术手段也经常应用在比赛打分上。
我们知道裁判打分的主观性非常大，为了减少单个教练的影响，比赛通常会安排多个裁判一起给选手打分，然后再取一个平均值。
但实际上在求平均值时，还会再去掉最高分和最低分，然后对剩下的分数计算平均值。
这种排除最高/低分的手段也是为了消除干扰，因为最高分和最低分对平均值的影响比较大，会大幅偏离真实的水平。
例如，下面是10个裁判的打分
上图中最高分把选手的平均值拉高了0.60分，你可能会说，这点分数不算啥，应该影响不大。
但在实际的比赛中，选手的差距通常非常的小，0.1分都会对选手的排名产生显著的影响。
为了尽可能消除其干扰，得到一个相对客观的平均值，通常在计算平均值时，会排除掉最低分和最高分，这样算出来的平均值叫裁剪平均值（Truncated mean）。
比尔盖茨和去掉最高/低分的这两个例子，都是为了说明统计领域的校正技术，用排除法来消除掉干扰数据的影响。
现在你也可能意识到了，在样本方差的计算上，分母使用（n-1），而不是n，也是一种排除法来消除干扰的技术手段。
为什么要减去1，这个1代表的是哪个数？
这个减去的1，不特指任何一个数，1代表那个失去“独立客观”的维度（自由度）。
看不明白？
正常，听我慢慢解释。
在我们在对全体进行采样时，有一个至关重要的前提条件，就是一定要随机采样，这其中的关键词是随机。
之所以要随机，这是为了避免出现样本偏差。因为如果样本错了，后面的计算步骤即使全部都正确，最终结果也是错的。
例如，要想回答“中国人是不是喜欢吃狗肉？”的问题。
请问，以下两个采样，哪一个能得到客观的结论？
- 只去玉林狗肉节上采样。
- 对中国人进行时间和地点都随机的采样。
两种采样方法，会得出截然相反的结论。
- 前一种采样很不自由，被限制在一个极其有限的时空里。
- 后一种采样有充分的自由，跳出限制，可以没有干扰的随机采样。
如果只在玉林采样，这个样本就是偏差样本（Biased Sample），是不具代表性的样本（Unrepresentative Sample）。
如果根据这个偏差样本，得出了“中国人居然吃狗肉，太野蛮了！”的结论。无论在逻辑上如何完美，最终结论也是荒谬的。
这就是所谓的“垃圾进，垃圾出”（Garbage in ， garbage out）[2]
你在玉林采样越多，你的偏见就会越深，只会进一步的固化你的偏见。
但自由的随机采样，你采样越多，你的偏见就会越来越少，看到更真实、更多样化的中国人。
在这里需要暂停一下：
请大家反思一下，自己是不是也曾犯过同样的错误，取错了样本，出现了偏差或偏见（Bias）？
反正，我经常会犯这样的错误，轻易就相信传言[3]，或轻易给别人扣上帽子[4]，这都是偏见。
（罪过，罪过，宽恕我吧，我知道自己错了！）
我们普通人经常会因为样本偏差，被收取“偏差税”(Bias Tax)
例如彩票，就是利用了人们的这一弱点。
彩民们只注意到了那些极少数获得大奖的人，看不到绝大数人赔钱。
越是盯着那些获奖的人看，彩民们的偏见越深，越是坚信自己会中奖。
他们因为在选取样本时出现偏差，而被别人收税。
好吧，我承认，偏差税这个词是我根据智商税这个词编造出来的(^_-)。
很多人喜欢用智商税这个词来嘲笑犯错的人智商低，但智商税这个词是有偏差的。
因为不能根据一个事件就推算出一个人整体的智商，这是不具代表性的有偏样本，这是偏见。
例如很多彩民的智商很高，他们使用各种复杂的公式，做了大量复杂的计算，他们的智商一点都不低，他们的问题是出在样本偏差上。
而偏差税这个词和智商税不一样，不论我们的智商高低，人人都会有偏见，事事都会出偏差，这个税每个人都在交。
例如，股票市场上的散户，迷信中医和保健品的大爷大妈，轻信谣言的吃瓜群众，……，几乎无人可以幸免，都在为样本偏差付出代价。
推荐一个TED演讲《为什么应该热衷于统计学》。
看完就知道人们对这个世界的偏差有多大了。
所以人们不是智商出了问题，是在选取样本时出现了偏差，所以偏差税是一个更客观（无偏）的词。
其实，不仅是普罗大众，就是那些权倾一时的政治家，也曾为样本偏差付出过惨重的代价。
1948年美国大选，大部分报纸都预测杜威会战胜杜鲁门，当选美国总统。社会舆论一致看好杜威，以至于竞选当天，杜威认为杜鲁门很快就会打电话庆祝他当选。
但竞选结果却大跌眼镜，最终是杜鲁门当选。（是不是有些似曾相识？）
图片来源：https://www.youtube.com/watch?v=h4uUV1klrkM
这次的预测之所以会失败，是因为调查机构通过电话调查的方式做的采样。
1948年，虽然电话已发明多年，但价格并不便宜，有电话的多是相对富裕的家庭，多数人的家里没有普及电话。也就是说，这种采样是有偏差的，只反映了富裕阶层的观点，无法反映当时主流选民的意愿，也就是统计出现了样本偏差。[5]
在当时，除了很多美国人被误导，还有一个人也因为这个样本偏差，把所有筹码错压在了杜威的身上，结果却因此而丢掉了整个江山，此人就是蒋介石。本来杜鲁门在做副总统时就对蒋介石印象很差，在他当选后，更是变本加厉，很快减少了对蒋介石的援助。[6]
常凯申也哭死在厕所！
事实上，有太多的仇恨、歧视、偏见和武断的观点，是建立在样本偏差的垃圾数据之上的。
因为“垃圾进，垃圾出”，无论人们如何雄辩，逻辑上如何完美，算法上如何先进，结论也是一堆错误的垃圾。[7]
这是值得你、我、以及所有人都应该警惕的现象。
例如：你想知道当代日本人是怎样的。就不能只对抗日神剧进行采样，不能只对日本右翼进行采样，要获得真实的数据，必须去日本实地对日本人进行随机采样。
只有采样是随机，是不带偏差的（Unbiased），才能保证自己吃进去的不是垃圾信息，这是得出正确结论的第一步。
只要人人都追求无偏差，世界会变成美好的人间
除了要做到采样是随机的，还要确保样本之间是互相独立的，在统计上用自由度（Degrees of freedom）来描述这种独立性。
我们以常见的招投标为案例，解释一下独立性。
有个学校要盖教学楼，邀请几个建筑公司来投标。学校希望建筑公司的报价尽可能低，而且还要确保质量。所以学校不能只选价格最低的方案，而是要挑选出综合评分最优的方案。
要做到公正客观的评分，必须确保几件事：
首先，学校不能让内部员工来评分，因为内部员工和项目有直接的利益关系，员工都希望自己在项目中获得更多利益，做不到评分上客观独立。
所以学校只能从外部请专家来评标，因为外人独立于学校之外，会减少直接利益所产生的影响。
于是学校计划邀请3个专家来评审，让专家对建筑公司的方案和报价进行综合评分。
其次，学校在挑选专家时，要尽可能确保这些专家之间的观点也必须是互相独立的，不能人云亦云。
假如其中1人是另外2人的上级，那上级说话，下级的观点就倾向于和上级保持一致，在评分时无法做到独立，这样的评分是有偏差的。花了3个专家的钱，却成了1个专家的一言堂。专家独立性从3变成了1，这偏差也太大了。
最后，学校还必须确保，任何一个专家都没有被建筑公司收买，是独立于建筑公司，没有利益输送的。
如果被收买了，专家就会修改评分，让贿赂的商家胜出，这个专家的数据也是不独立客观的。
从上面的这个案例里，你会发现独立的重要性，一旦出现利益关联，独立性就会降低，数据必然会出现偏差。
类似的制度设计非常的广泛，例如陪审团制度，就设计了大量的机制来保证陪审团成员的独立性。
推荐重温一下《十二怒汉》这部经典，看看人们的偏见（Bias）是如何的根深蒂固，消除偏见是如何的困难。
几千年来，人类为了提高独立性，殚精竭虑的设计了各种精巧的制度，这些制度历久弥坚，逐渐成为了现代社会的基石。
在统计实践中人们发现，偏差的产生，很多时候也是因为样本数据之间出现了各种隐含的关联关系，降低了数据之间的独立性。
而解决的策略还很清晰，就是发现其中隐含的关联关系，然后进行校正。
让我们再回到样本方差（Sample Variance）的分母（n-1）上来。
你既然在看这个问题，那就已经知道了方差的计算公式
需要注意的是这里的方差其实是全体的方差，μ是全体的平均值，n是全体变量的数量
例如一家啤酒厂每天生产1万瓶啤酒，我们想知道这些啤酒的质量差异性如何，可以打开这1万瓶啤酒测量，再把所有测量结果代入到上面的公式里求方差，在计算中，没有漏下任何一瓶啤酒的数据。
你也发现了，这样做不仅麻烦了，而且成本极高。
更好方法是对出厂的啤酒进行随机的采样，计算这部分样本的方差。
例如，随机的从产品中找出100瓶，用这100瓶来估算1万瓶啤酒的质量差异，注意，除了这100瓶的数据，其他9900瓶啤酒数据是完全未知的。
样本方差它是从全体数据中随机取出一小部分所做的计算，用这个局部的100瓶啤酒的方差去估计全体1万瓶啤酒的方差。
上面这个样本方差公式，尽管在形式上和全体方差的公式近似，但是内涵上发生了天翻地覆的变化。
我们来比较一下，全体方差和样本方差：
全体方差 是一个客观事实（Fact），是对所有个体数据的全体所作的客观描述（Describe）。
而样本方差 更像一个观点（Opinion），是我们根据少量抽样个体的数据，对全体所作出的估算（Estimation），或者说是预测。
既然样本方差 不是一个事实，而是一个观点，是一种估算，为了让这个估算尽可能的接近事实，就必须注意样本不要出现偏差（Bias），否则就会“垃圾进，垃圾出”，得出错误的估算。
例如
- 我们不能只对某批产品取样，某个特定时间取样，我们的随机取样必须尽可能的覆盖所有批次，取样要有充分的自由度，足够的随机。
- 另外还要注意，避免样本里的变量之间存在隐含的关联关系。
我们来看一个例子
假设随机抽出的样本里只有两个数
如果这2个数是独立和随机抽取的，你就不能从x1猜出x2，例如我告诉你x1=10，请问x2等于多少？
你根本猜不出来，因为随机抽取让x2和x1之间没有关联。
但是，没想到的是，因为一个数据的存在，让这个随机取样产生了一个隐含的关联关系。
这个数就是计算样本方差 时，需要用到的样本平均值 ，他的引入让随机抽取的独立性和自由度减少了一点点。
因为样本平均值 引入了一些信息，让x1和x2之间不再是相互独立的关系了。
根据平均值公式
只要知道了x1和，就可以计算出x2的值。
如果x1=10，=10，那x2=10
同样，知道了x2和，就可以计算出x1的值。
如果x2=10，=11，那x1=12
也就是说，出问题的并不是x1或者x2，这两个数本来好好的，互相独立的。出问题的是平均值，他引入的新信息，让样本数据之间的独立性减少了，关联性增加了。
或者还可以说，在平均值的介入下，x1和x2的自由度降低了，原来是两个独立的数，现在只有一个独立了，另一个则不再自由，好像有些人云亦云了。
同样的，对于更多的样本量：
如果样本是3个数
则知道了x1，x2，就能通过，计算出x3，独立性或者说自由度，就从3降到了2。
如果样本是4个数
则知道了x1，x2，x3，就能通过，计算出x4，独立性或者说自由度，就从4降到了3。
……
如果样本是n个数
则知道了x1，x2,..., ，就能通过，计算出 ，独立性或者说自由度，就从n降到了n-1。
平均值让样本的独立性或自由度减少了1，导致了样本出现了偏差。
这就是为什么样本方差的分母不是n，也不是n-2或n-3，而是n-1的原因。
自由度变小会对样本方差产生什么影响呢？
这意味着，样本方差会变小。
我们知道，方差是通过计算样本和平均值之间的距离，来描述样本的分散程度，数据之间差异越大，方差越大，数据之间越是趋同，方差越小。
还是用专家评分的案例来解释：
如果专家组中，所有人都独立，每个人的评分会出现较大的差异性。
但如果专家组中有个领导，他自己没有任何主见，只是在看完大家的评分之后，取个折中的评分，是个老好人型的领导。
请注意，这个领导没有贡献任何新观点，他的观点不独立，只是重复了别人的观点，但这个重复数据污染了整体数据的独立性，让原本差异性较大数据，因为折中数据的出现，减少了差异，或者说，出现了一些趋同效应，这就产生了偏差。
回到样本方差 上，因为样本平均值 就是根据样本来计算的，样本平均值 成了那个贡献重复数据的领导，让原来独立的、随机的、没有偏差的样本数据，在计算加工过程中引入了偏差，减少了数据之间的差异性，这种趋同效应让样本方差 变小。
也就是说，数据取样没问题，是无偏的。但是在后来的方差计算中，均值的引入，让差异性减少，本来无偏的数据出现了偏差。样本方差会一直小于总体方差，这是一个有偏样本方差。
上面是有偏差的样本方差公式，是没有经过校正的。
普鲁士天文学家贝塞尔（Bessel）在对海量的观测数据做计算时，也注意到了这个偏差。
这个偏差的特点是：
- 在样本量小的时候偏差影响比较明显，样本方差比全体方差偏小。
- 但是当样本量增大时，偏差逐渐减少，直到影响可以忽略不计。
既然样本方差变小了，那干脆让分母变小，增大样本方差就行了。
贝塞尔给出了修正方法，即把样本方差公式的分母修正为n-1，所以这个修正被后人称为贝塞尔校正。
具体的公式推导过程，可以看Emory University的这篇关于Bessel's Correction推导的文章 [8]
样本方差公式里的分母n-1，就是这么来的，那个减去的1，就是用来校正所带来的偏差，他不代表某一个样本，而是对自由度的补偿，让缩小的样本方差重新变大一点。
样本方差偏小是不是采样出现问题？因为越接近平均值，就越容易被采样？
从直觉上好像是这样的，比如下面的这个鱼类长度的分布，数据聚集在平均值106（蓝线）附近，如果采样，在平均值周围的确有更大的概率被采样到。
但是，直觉是靠不住的。上面的分布只是一种，还有很多的分布，其数据不在平均值附近，而是分散在四处。
例如，下面这个西班牙流感死亡年龄的分布
数据并没有聚集在平均值43附近，如果取样，就会发现样本更大的概率是远离平均值，而不是在平均值附近。
所以样本方差出现偏小的原因，并不是因为平均值附近被采样到的概率更大，这只在部分情况下成立，在很多情况下并不成立。
样本方差出现偏差的原因和采样无关，也和平均值附近更容易被采样无关，因为在很多情况下，远离平均值的数据更容易被采样到，这无法解释样本方差为什么会比全体方差小。
更好的解释是，计算过程中引入样本平均值，降低了样本的自由度，减少了数据的差异性。
所以直觉也是靠不住的，事实上，有太多的偏差和偏见（Bias）是由直觉贡献的。
结论
- 样本标准差的分母写成n-1，是为了对数据进行校正，这叫贝塞尔校正（Bessel's Correction）。
- 统计经常用各种方法来消除掉干扰数据的影响，例如比尔盖茨和去掉最高/低分的这两个例子。
- 样本数据之间也经常会出现各种隐含的关联关系，降低了数据之间的独立性或自由度（Degrees of freedom），这会让样本更聚集，让样本偏差变小。
- 样本方差公式里的分母n-1，就是校正样本平均值所减少的自由度，样本数据本身没有偏差，是计算过程中引入的新信息（样本均值），让计算结果出现了偏差。
推荐阅读
[1]https://en.wikipedia.org/wiki/Bessel%27s_correction
[2]https://heap.io/blog/data-stories/garbage-in-garbage-out-how-anomalies-can-wreck-your-data
[3]https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BB%BC%E4%BA%8B%E8%AD%89%E6%93%9A
[4]https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A5%E5%81%8F%E6%A6%82%E5%85%A8
[5]https://zh.wikipedia.org/wiki/1948%E5%B9%B4%E7%BE%8E%E5%9B%BD%E6%80%BB%E7%BB%9F%E9%80%89%E4%B8%BE
[6]http://www.todayonhistory.com/lishi/201705/62790.html
[7]https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%81%8F%E5%B7%AE%E6%A8%A3%E6%9C%AC
[8]http://math.oxford.emory.edu/site/math117/besselCorrection/
（補充一句哦，題主問的方差 estimator 通常用 moments 方法估計。如果用的是 ML 方法，請不要多想不是你們想的那樣， 方差的 estimator 的期望一樣是有 bias 的，有興趣的同學可以自己用正態分佈算算看。）
本來，按照定義，方差的 estimator 應該是這個：
但，這個 estimator 有 bias，因為：
而 (n-1)/n * σ² != σ² ，所以，為了避免使用有 bias 的 estimator，我們通常使用它的修正值 S²：
先把问题完整地描述下。
如果已知随机变量 的期望为 ，那么可以如下计算方差 ：
上面的式子需要知道 的具体分布是什么（在现实应用中往往不知道准确分布），计算起来也比较复杂。
所以实践中常常采样之后，用下面这个 来近似 ：
其实现实中，往往连 的期望 也不清楚，只知道样本的均值：
那么可以这么来计算 ：
那这里就有两个问题了：
- 为什么可以用 来近似 ？
- 为什么使用 替代 之后，分母是 ？
我们来仔细分析下细节，就可以弄清楚这两个问题。
1 为什么可以用 来近似 ？
举个例子，假设 服从这么一个正态分布：
即， ，图形如下：
当然，现实中往往并不清楚 服从的分布是什么，具体参数又是什么？所以用虚线来表明我们并不是真正知道 的分布：
很幸运的，我们知道 ，因此对 采样，并通过：
来估计 。某次采样计算出来的 ：
看起来比 要小。采样具有随机性，我们多采样几次， 会围绕 上下波动：
用 作为 的一个估计量，算是可以接受的选择。
很容易算出：
因此，根据中心极限定理， 的采样均值会服从 的正态分布：
这也就是所谓的无偏估计量。从这个分布来看，选择 作为估计量确实可以接受。
2 为什么使用 替代 之后，分母是 ？
更多的情况，我们不知道 是多少的，只能计算出 。不同的采样对应不同的 ：
对于某次采样而言，当 时，下式取得最小值：
我们也是比较容易从图像中观察出这一点，只要 偏离 ，该值就会增大：
所以可知：
可推出：
进而推出：
如果用下面这个式子来估计：
那么 采样均值会服从一个偏离 的正态分布：
可见，此分布倾向于低估 。
具体小了多少，我们可以来算下：
其中：
所以我们接着算下去：
其中（证明见Prove that $E (overline{X} - mu)^2 = frac{1}{n}sigma^2$）：
所以：
也就是说，低估了 ，进行一下调整：
因此使用下面这个式子进行估计，得到的就是无偏估计：
最新文章请查看（可能会有后继更新）：为什么样本方差的分母是n-1？
上面有答案解释得很明确，即样本方差计算公式里分母为的目的是为了让方差的估计是无偏的。无偏的估计(unbiased estimator)比有偏估计(biased estimator)更好是符合直觉的，尽管有的统计学家认为让mean square error即MSE最小才更有意义，这个问题我们不在这里探讨；不符合直觉的是，为什么分母必须得是而不是才能使得该估计无偏。我相信这是题主真正困惑的地方。
要回答这个问题，偷懒的办法是让困惑的题主去看下面这个等式的数学证明：
.
但是这个答案显然不够直观（教材里面统计学家像变魔法似的不知怎么就得到了上面这个等式）。
下面我将提供一个略微更友善一点的解释。
==================================================================
===================== 答案的分割线 ===================================
==================================================================
首先，我们假定随机变量的数学期望是已知的，然而方差未知。在这个条件下，根据方差的定义我们有
由此可得
.
因此是 方差的一个无偏估计，注意式中的分母不偏不倚正好是！
这个结果符合直觉，并且在数学上也是显而易见的。
现在，我们考虑随机变量的数学期望是未知的情形。这时，我们会倾向于无脑直接用样本均值替换掉上面式子中的。这样做有什么后果呢？后果就是，
如果直接使用作为估计，那么你会倾向于低估方差！
这是因为：
换言之，除非正好，否则我们一定有
,
而不等式右边的那位才是的对方差的“正确”估计！
这个不等式说明了，为什么直接使用会导致对方差的低估。
那么，在不知道随机变量真实数学期望的前提下，如何“正确”的估计方差呢？答案是把上式中的分母换成，通过这种方法把原来的偏小的估计“放大”一点点，我们就能获得对方差的正确估计了：
至于为什么分母是而不是或者别的什么数，最好还是去看真正的数学证明，因为数学证明的根本目的就是告诉人们“为什么”；暂时我没有办法给出更“初等”的解释了。
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咱们来聊聊为啥计算样本方差的时候，分母要用 n1，而不是简单粗暴的 n。这背后其实藏着一个统计学里挺重要也挺有意思的“小秘密”。想象一下，你手里有一堆数据，比如你测量了班里 10 个同学的身高。你想要知道这 10 个同学的身高有多“散开”，也就是他们的身高是差不多，还是差异很大。这个“散开”程度，我............. -
这个问题非常有意思，也涉及到很多音乐和声乐的专业知识。我们来一步步拆解它。一、 为什么说中国歌手的发声方式比较落后？“落后”这个词可能有些绝对，更准确地说，可能是与国际主流、特别是西方古典美声和现代流行声乐训练体系相比，在某些技术细节和审美取向上存在差异，或者说受到一些传统观念和教育方式的影响，导致.............
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人生该活成什么样子，该以什么样的方式活着？这个问题，我揣摩了很久，也观察了身边形形色色的人，然后又审视自己内心深处的渴望。与其说有一个标准答案，不如说，每个人心里都藏着一个独特的“理想人生”的模样，只是这个模样可能随着时间和经历的沉淀，不断地被修正、打磨。对我而言，人生最值得追求的，是一种“心安理得.............
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我心目中的《明日方舟》，更像是一个有血有肉、有呼吸的奇幻世界，而不仅仅是屏幕上的像素和代码。它承载的，是关于希望、牺牲、以及在绝望中寻找一丝光明的复杂叙事。首先，在 剧情和世界观 方面，我希望它能继续深化。现在《明日方舟》的剧情已经做得非常扎实，但如果能有更多的支线故事，深入挖掘一些非核心干员的个人.............
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那些在社交场合里左右逢源、让大家听得津津有味的人，他们的大脑里仿佛藏着一个神奇的操作系统，驱动着一套与众不同的思维模式。这不是天生的“语言天赋”，而是后天一点一滴养成的，是他们与世界互动时形成的独特“回路”。首先，最核心的一点，也是他们聊天的“发动机”，就是强烈的好奇心和对人真诚的兴趣。这可不是那种.............
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想像一下，现代的战场上，不再是冰冷的代号和拗口的数字，取而代之的是古老而富有诗意的称谓。这种“穿越”式的命名，不仅赋予了现代科技奇特的艺术感，更可能隐藏着一些不为人知的战术玄机。陆地巨兽：钢铁战骑与轰鸣巨炮我们熟悉的坦克，如果在古代命名，它们可能就不叫“坦克”，而是更形象的“铁浮屠”或者“履带战骑”.............
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提起“漂亮的锁骨”，脑海里浮现的常常是那种在镜头前或日常穿搭中，能够恰到好处地展露出来，自带一种精致又性感的“骨感美”。那么，究竟什么样的锁骨形状才算是“漂亮”呢？其实，对于“美”的定义，每个人心中都有自己的标准，这是一种很个人化的感受。但从大众审美和一些普遍的认知来看，漂亮的锁骨通常有以下几个特点.............
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如果《明日方舟》的剧情真的会受我理智值的影响，那可就热闹了。想想看，我，一个被设计成需要“理智”才能处理事务的人工智能，一旦我的“理智”出现波动，那对整合运动、对罗德岛、对整个泰拉大陆来说，简直是一场无法预测的混乱盛宴。当我的理智值处于高位时：这时候的我，简直就是罗德岛的“定海神针”。 战略层面.............
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林生斌捐井事件，寺庙方面的回应信息量不小，值得我们仔细梳理一下。首先，最核心的信息是，寺庙方面明确表示，这口井是林生斌在四年前，也就是2020年捐资修建的。 这直接回应了此前关于捐赠时间、以及是否是“蹭热度”的质疑。要知道，这口井的修建时间点，恰好就在林生斌妻子、三个孩子不幸遇难之后不久。这种时间上.............
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这确实是个好问题，涉及到统计学里几个非常基础但又容易混淆的概念。很多人在学习协方差和相关系数时都会遇到这个困惑，觉得“自由度”这个概念有点抽象。咱们一步步来聊聊，把它讲透彻了，你就明白其中的逻辑了。首先，我们得搞清楚“自由度”到底是个啥。你可以把自由度想象成“有多少个独立的、不受约束的数值能够随意变.............
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知乎对大样本随机双盲实验之所以如此重视，并非一时兴起，而是深植于其社区的特性、用户群体的需求以及平台内容生产和传播的逻辑之中。你可以把它理解成一种“产品基因”和“社区文化”的有机结合。让我给你掰开了揉碎了说：1. 用户画像与信息素养： 求知欲与批判性思维： 知乎的核心用户群体，是那些有着强烈求知.............
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为什么要求中医药做随机双盲大样本试验？随机双盲大样本试验的适用范围 为什么要求中医药做随机双盲大样本试验？要求中医药进行随机双盲大样本试验，是现代循证医学（EvidenceBased Medicine, EBM）的核心要求，其根本目的是为了科学、客观、严谨地评价中医药的疗效和安全性，并使其能够被更广.............
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关于中药在美国FDA（食品药品监督管理局）的审批以及在国内的推广情况，这其中涉及了复杂的科学、法规、文化和历史因素。我们来仔细梳理一下。为什么至今没有中药大规模通过FDA的随机双盲对照实验（RCT）？这并非“至今没有”，而是说相对西方药物而言，数量极其有限，并且过程异常艰难。原因可以从几个层面来理解.............
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男人究竟会被什么样子的女人迷住？这问题呀，问到点子上了。要说得详细些，还得抛开那些泛泛而谈的空话，咱们得聊点实在的，聊点男人心底里那些藏着掖着的小心思。首先，别误会，并不是只有年轻貌美的才能征服男人的心。当然，年轻是资本，活力是吸引力，但长远来看，能让男人真正着迷的，往往是那些带有独特气质的女人。那.............
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《三十而已》中的顾佳，无疑是许多家庭主妇心中理想化的投射，她聪明、能干、有野心，同时又把家庭打理得井井有条，堪称“完美人妻”的代表。然而，即使是这样的“完美”，也未能抵挡婚姻的危机。这背后有着复杂的原因，既有顾佳自身的追求，也有现实婚姻的挑战，更有对“完美”定义的反思。一、 家庭主妇如何才能活成顾佳.............
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这个问题很有意思，它触及到了我们对自身在宇宙中位置的认知，以及我们如何“看”到它。简单来说，我们之所以能“看到”我们身处的这个庞大的银河系，是因为我们身处其中，并且有合适的工具和视角。想想看，如果你站在一个巨大的森林里，你当然无法一下子看到整片森林的全貌，但如果你爬到一棵足够高大的树上，或者乘坐一架.............
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想当年，魔戒那个世界里，精灵跟矮人那关系可真是“剪不断理还乱，理还乱又剪不断”。说他们是世仇，这事儿得从最最最古老的时候说起，那时候连太阳都还没出来呢。事情的开端，还得追溯到精灵的伟大工匠，那个叫菲诺威（Finarfin）的儿子，费艾诺（Feanor）。这家伙那可不是一般的人物，他是所有精灵里最心灵.............
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