虚数是负数的平方根，为什么是在三次方程中才出现的呢？

这可真是个好问题，也是困扰了数学家们相当一段时间的疑惑！你说“虚数是负数的平方根”，这本身没错，但它为何会在三次方程里“登堂入室”，甚至显得尤为重要，这背后有着更深邃的故事。

咱们得从头说起。在我们的数学世界里，数字就像不同类型的工具，各有各的用处。最初，我们只有自然数（1, 2, 3...），用来数东西，数羊，数日子。后来发现，有些时候光数数不够，比如“我借了你3块钱”，这就需要负数（3）来表示“欠”。有了负数，减法就更方便了，任何一个数减去比它大的数，都不再是“不可能”的事情。

再往后，我们又遇到了“乘法”和“除法”。比如，“2乘以2等于4”，但“4除以2等于2”，那么“2除以3”呢？这引出了分数，也叫有理数。我们现在能用笔写出来的绝大多数数字，比如1.5，2/7，都是有理数。它们完美地解决了数的“分割”问题。

再然后，我们遇到了像“一个正方形的面积是2，那它的边长是多少？”这样的问题。你会发现，我们找不到一个有理数来精确表示这个边长。比如1.41.4=1.96，1.411.41=1.9881，总也达不到2。这时候，我们不得不引入“无理数”，比如√2，π。它们是那些无法表示成两个整数比的数，但它们却是实实在在的数轴上的点，是描述连续世界的必要工具。

所以，你看，每当我们在解决实际问题或者方程时，发现现有的数字系统“不够用”了，我们就会被迫、或者说主动地去创造新的数字类型来填补空白。

现在回到你的问题：三次方程。

我们都知道一元二次方程，比如 $ax^2 + bx + c = 0$。我们有著名的求根公式：

$x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$

这里的关键是根号下的 $b^2 4ac$。当 $b^2 4ac ge 0$ 时，我们得到的是实数根，也就是我们在数轴上能找到的点。当 $b^2 4ac < 0$ 时，也就是被开方数是负数时，我们发现实数系统“不够用了”。这时候，为了让这个公式还能“工作”，数学家们创造了虚数单位 $i$，定义为 $i^2 = 1$，或者说 $i = sqrt{1}$。

于是，当根号下是负数时，比如 $sqrt{4}$，我们就可以写成 $sqrt{4 imes 1} = sqrt{4} imes sqrt{1} = 2i$。这样，即使是负数在二次方程中被开方，我们也能得到一个“有意义”的结果，也就是复数 $a+bi$ 的形式。

但是，这里有个关键的误解：并非所有的三次方程都会出现虚数解。

我们来举个例子。三次方程的一般形式是 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$。

你知道吗，对于三次方程，有一个非常特别的性质：任何一个一元三次方程，总会至少有一个实数根。

这和二次方程不一样，比如 $x^2 + 1 = 0$，它的两个根都是虚数。但三次方程，无论如何，总会有一个脚踩在实数大地上。你可以想象一下函数图像 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$。当 $x$ 趋向于正无穷时，它会趋向于正无穷（如果 $a>0$）或负无穷（如果 $a<0$）。当 $x$ 趋向于负无穷时，它也会趋向于相反方向的无穷。因为图像是连续的，它一定会在某个时刻穿过 $y=0$ 的横轴，也就是实数轴。这就保证了至少有一个实数根。

那虚数为什么会在三次方程中显得“特别”或者说“引人注目”呢？

这主要是因为一个叫做卡尔达诺（Cardano） 的意大利数学家在16世纪对三次方程求解的研究。他发现了一个求解一般三次方程的通用公式，这个公式非常漂亮，但也非常奇怪。

卡尔达诺的公式非常复杂，但其核心思想是，通过一系列代换，可以将三次方程转化为一个更简单的形式，然后利用一些技巧来求解。结果发现，在某些情况下，为了求出一个纯实数解，卡尔达诺的公式竟然会涉及到计算负数的立方根！

这听起来是不是很匪夷所思？为了得到一个实实在在的数字，你居然要用到那些你认为是“虚幻”的数字的立方根。当时的人们对虚数还不像现在这样习以为常，他们觉得这是非常诡异的现象，甚至一度认为这是公式的缺陷。这个现象被称为“不可约情况”（casus irreducibilis）。

举个例子（虽然严格来说这个例子可能不如卡尔达诺本人处理的例子那样直接展示问题，但可以帮助理解思路）：

考虑方程 $x^3 6x 4 = 0$。
这个方程的实数解是 $x = 2$ 和 $x = 1 pm sqrt{3}$。
但是，如果你尝试用卡尔达诺的方法来求解，会发现公式会引导你计算 $sqrt[3]{2 + sqrt{121/27}}$ 和 $sqrt[3]{2 sqrt{121/27}}$ 这样的项。这些项里面就包含了负数的平方根（$sqrt{121/27}$）。

更令人惊讶的是，当你把这两个虚数形式的立方根（经过一番复杂的运算）加起来时，里面的虚数部分竟然神奇地抵消了，最终得到了一个纯粹的实数解！

这就好像是一个迷宫，你进入的时候带着一些奇怪的道具（虚数），但走出迷宫的最终结果却是你需要的普通宝藏（实数）。

为什么会这样呢？

这涉及到复数运算的几何意义以及数的“完备性”。复数不仅仅是抽象的符号，它们可以看作是二维平面上的点，或者说带有方向和大小的向量。负数的立方根，虽然在我们直观的实数概念里难以理解，但在复数世界里是有意义的。

当我们计算负数的立方根时，我们会得到三个复数解（想想看，就像负数开平方有两个解一样，开立方会有三个解）。卡尔达诺的公式在“不可约情况”下，恰好会选择那特定的一对负数立方根，它们的和最终能消去虚部，得到实数解。

所以，三次方程并非是“创造”了虚数，而是它将已有的（但当时尚未被充分理解和接受的）虚数概念，以一种出人意料的方式“显现”了出来，并且证明了虚数在求解某些实数问题时是不可或缺的工具。

你可以这样理解：

1. 虚数不是三次方程“生”出来的，而是三次方程的求解过程“引”出了虚数。 就像在解决一个物理问题时，你发现需要用复数来描述某些物理量，而这个物理量本身是实数。
2. “不可约情况”是关键。 并非所有三次方程都需要虚数。但当三次方程出现三个不相等的实数根时（这是三次方程比二次方程更复杂的地方之一），卡尔达诺的公式在这种情况下反而会因为包含负数开方而显得“复杂”，需要虚数来桥接。
3. 虚数让数学更“完备”。 正如负数让减法更完备，分数让除法更完备，虚数（以及复数）让代数方程的求解更加完备。根据代数基本定理，任何一个 $n$ 次多项式方程在复数范围内恰好有 $n$ 个根（允许重根）。这使得数学家们能够安心地研究多项式，因为他们知道总能找到一个“家”来安置所有的根。

所以，三次方程之所以在虚数“出场”这件事上扮演了重要的角色，是因为它将虚数从一个理论上的可能，变成了一个解决实际（看起来是实数）问题的必要步骤。这促使数学家们更加深入地研究虚数和复数，最终理解了它们在整个数学体系中的地位和重要性。

从这个角度看，虚数就像是数学世界的“隐形货币”，它们虽然不在流通中直接出现（比如我们日常买东西不用 $2i$ 元），但在某些交易（比如求解三次方程）的底层计算中却是必不可少的。

网友意见

这是一个非常好的问题。
真的很不错！
老实说，看到有人问这个问题，我都有点小激动！
下面我来解释一下。

0. 在解二次方程时对虚数的忽视

回顾我们的二次方程：

就是通过配方将问题转为一个简单二次方程和一个一般一次方程：

即我们的：

这就是我们要凑出一个完全平方的目的，因为这样可以将问题转化为已知的问题。

但是在实数范围内，我们找不到一个数的平方是负数的情况。

因此当 时，我们直接就说方程无解，然后就不会去想太多了。

1. 虚数在三次方程求解中的关键作用

(实系数)三次方程的一般形式如下:

其实在三次方程的求解过程中，也是通过将问题转化为

一个简单三次方程和一个一般二次方程：

来求解的。

我们简单回顾下文艺复兴时期卡尔达诺在其著作《大术》(Arsmagna)中发表的内容，加上一点点复数的基本知识，这样就很容易理解整个思路框架，不至于迷失在繁杂的计算中而忘了自己的目标。

卡尔达诺是在与尼科洛.塔尔塔利亚的通信中，从一首尼科洛的藏头诗中学会的。

两人恩怨极深！

Step1-归结为缺二次项的三次方程

首先方程两边同时除以首次项系数，便得到：

令 ，便可消去二次项，得到：

Step2-归结为解二次方程

这一步就比较巧妙了。

通过多元来降低次数。

令 代入上述方程：

展开上述左边，化为如下：

观察上述式子，我们想，要是 那问题就简单了。

因为此时我们将 看成两个数的话，我们就有机会得到两数之和，两数之积了。

于是我们联想起二次方程的根与系数关系，很快就看到希望的曙光了。

将上述想法实现，便有如下式子。

由于 ,

令 ,则U,V是如下方程的两个根：

于是得到二次方程的解， .

由于v由 等式所确立，因此只要解出u即可。

令 ,当它大于等于0时，大家相对容易做出正确的判断。

这也是为什么在文艺复兴时期，尼科洛只能解系数p大于0的情况。

但是当delta小于0时，由于u没有实数解，我们容易臆想原三次方程没有实数解。

这是错误的。

Step3-归结为解三次方程

为了解释清楚delta小于0的情况，我们不得不采用复数的指数形式。

这样做还有另外一个好处，就是对于上述不管delta是否小于0的所有情况，我们都能找到统一的答案。

对任何一个非0复数，我们都能找到统一的唯一表达：三角形式或者说指数形式

上式中的r,theta分别称为复数z的模长和幅角。

回到正题，由于u,v的对称性，于是我们将关于u的三次方的二次方程重新写成如下形式：

于是u的三个根分别为

由于v由 ，所以z的三个根分别为:

1). delta小于0时

在二次方程

的 小于0时，由

我们可以很容易的计算得到 .

此时，方程的三个根都有统一的表达式:

因此当delta小于0时，原三次方程不是没有实数根，反而是有三个不同的实数根，因为上述括号里面的两个复数是共轭的，共轭复数相加就成了实数。

正是在这个三次方程的求解过程中，发现虚数对其实数根的帮助之大，而且还很关键。

这才真正重视这件事情。

也就是说，不考虑虚数，我们的二次方程的实数根不会受影响，该是几个就是几个，该是什么值就是什么值。

但是在一个有三个不同实数根的三次方程中，如果不考虑虚数，

你极有可能一个实数根都找不到，而考虑虚数你却能找到全部实数根。

不要说有三个实根的情况了，就算只有一个实根的时候，一般情况下你也很难找出这个实根。

比如直接从方程 出发，你是很难通过运气来凑出其实数解的。
因为 就是其唯一的实数解，这显然是无理数。
即便是今天，多项式方程手工能凑出来的解依然只有有理数解。
事实上，它的另外两个根是虚数.

这点就可以看出复数的威力了：

即使是为实数服务，有了复数也能让事情更加高效，圆满！

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有关三次方程的更多精彩内容详见专栏文章：

初中数学课上，我们把一元二次方程的解分为三种情况：有两个不同的解、有两个相同的解、无解。

具体来说，我们推导出了求根公式：

求根公式中根号的存在正是出现『无解』情况的原因：当时，根号下是负数，（在实数域内）无法计算，所以方程无解。

十六世纪的人们也是这么想的。对于这样的方程，在当时的人们眼中就是方程无解的标识，因为对负数开根号没有数学意义。

那三次方程是什么情况呢？

十六世纪意大利数学家Tartaglia给出了形如的三次方程的公式（然而人们却称之为Cardano公式，他俩也因此结怨）：

（推导过程以及一般形式的解见Wikipedia：

三次方程

）

于是，方程的解就是：

按照之前的想法，根本没有意义，所以意味着方程无解。可是……

可是就满足这个方程呀！那又是什么情况？

1572年，意大利数学家Bombelli做了一个尝试——如果把当作一个平方是的数来计算，我们就有：

于是，.

问题解决啦！

不过话说回来，参与运算之后这个问题得到了解决，所以我们再不认真对待它真是说不过去了。

然而复数直到十九世纪才被严格定义，这归功于爱尔兰数学家Hamilton。

Hamilton把复数定义为有序实数对，并把复数的加法与乘法定义为：

如此定义的动机就是之前我们把复数写成时的计算。

定义了复数之后，Hamilton就把目光转向了，试图把复数继续推广到高维空间当中。

于是，Hamilton开始试图构造『三元数』。十三年之后，他承认了自己的失败。

为了挽救自己这么多年的努力，他开始尝试『四元数』。1843年10月16日，他成功了。（关于四元数的介绍请看：

为什么实际旋转角度是四元数里面的角度的两倍?有什么数学上的原因吗? - 匡世珉的回答

）

同年12月，Hamilton的好朋友Graves构造出了八元数。当然，这些就是另外的故事了。

那么就这样=w=

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