量子力学中引入虚数 i 的深层意义是什么？
想象一下，我们试图描述一个振动的弦，它的位置随时间变化。在经典力学里，我们可以用一个实数来表示它偏离平衡位置的距离。这个距离是实在的，我们可以直接测量。但到了量子世界，粒子不再是那个能用简单位置和速度来完全刻画的小球。它们更像是“概率波”，描述的是它们出现在某个位置的可能性。
而波，本身就包含着振幅和相位。振幅告诉你这个波有多“高”，而相位告诉你它在振动的哪个阶段。这个相位，用一个实数来表示，会很麻烦。因为波的叠加，比如两个波相互干涉，它们的“前进”程度不同，就会产生建设性或破坏性干涉。这种“前进”的程度，恰恰可以用一个复数来优雅地表示。
这里 i 就登场了。一个复数，比如 $e^{i heta}$，可以被看作是一个单位圆上的点，它的角度是 $ heta$。这个角度，就是我们说的“相位”。当粒子运动或演化时，它的“相位”就会发生改变，这就好比这个复数在单位圆上旋转。
为什么非得是“旋转”呢？这跟量子力学最核心的描述方式——薛定谔方程——有密切关系。薛定谔方程看起来是这样的：
$ihbar frac{partial}{partial t} psi(x, t) = H psi(x, t)$
注意看，方程左边有个 $i$。这里的 $psi(x, t)$ 就是我们前面说的“波函数”，它包含了粒子所有可能的信息。$H$ 是一个“算符”，代表了粒子的能量。
这个方程告诉我们，粒子的波函数是如何随着时间演变的。如果把 $i$ 拿掉，方程会变成一个完全不同的样子，它描述的将是一种“扩散”或“衰减”式的演化，而不是我们观察到的那种“振荡”或“干涉”式的行为。
虚数 i 的引入，让薛定谔方程能够自然地描述波的叠加和干涉现象。当粒子发生相互作用时，它们的波函数会叠加，而复数的性质使得这种叠加能够产生我们观察到的各种干涉图样。比如，双缝干涉实验，粒子穿过两条缝后，其波函数会发生叠加，如果它们到达屏幕上的某个点的“相位”一致，就会加强（建设性干涉），如果相位相反，就会抵消（破坏性干涉）。
更深一层看，i 和复数，本质上是在数学上为我们提供了一个“旋转”的维度。在三维空间中，我们可以描述物体的平移和旋转。但在描述微观粒子的状态时，除了空间的“位置”维度，还有一个“状态”维度，这个“状态”维度就带着这种相位信息。复数，就像一个二维平面，而 $e^{i heta}$ 就是在这个二维平面上绕着原点旋转的点。
更令人着迷的是，虚数 i 的出现，还与量子力学的概率解释紧密相连。波函数 $psi$ 本身是一个复数，但我们能直接观测到的，是 $|psi|^2$，也就是波函数的模的平方，它代表了粒子出现在某个位置的概率密度。这个概率是实数，是可观测的。而虚数 i，就隐藏在了这个“可能性的振荡”之中，决定了这些可能性如何随时间和空间变化，并最终通过 $|psi|^2$ 映射到我们能理解的概率上。
所以，虚数 i 的引入，绝非偶然，它是量子力学数学框架中不可或缺的一部分，是捕捉微观世界波粒二象性、相位演化以及概率叠加这些核心特征的“语言”。它让我们能够用数学的形式，去描述和预测那些超越我们日常直觉的、充满“不确定性”和“概率性”的微观现象。它就像一把钥匙，打开了通往量子世界奥秘之门的一扇关键之窗。
网友意见
非数学的民科版本：
有π必有i，有e必守恒，想要效率高，三者不可抛。
有π必有i，应该好理解，完整的说法应该是有π必可N周期叠加（正交的特征），也意味着圆不能封闭，封闭了就是单周期的特例。于是i可以描述这个不封闭/完全封闭的点，性能优异。
有e必守恒，可能不太好理解，主要是要能描述体积无限小而面积无限大，以及体积无限大面积跟不上的概率空间不完整的风险，于是利用e的共轭性性能优异的特点（旋转45度以及处处光滑的特征），于是i在多维下可以提供-1，用以保证概率空间的完整，即守恒。
i在描述一个描述复杂空间的需要下，性能如此优异，必然要存在。
图形化的比拟，嗯，街机手柄死命摇？
在物理学中引入复数结构的必需性的根源和复数最重要的物理意义在于量子力学运动规律限定的数学结构。用群论的语言概括：概率守恒要求演化规律的数学结构是酉群 U(n) ( 参见
）而 U(n) 恰好可以分解为正交群 O(n) 和实数域的辛群 Sp(2n, R):
U(n) = O(n) ∩ Sp(2n, R) ,
O(n) 的物理意义是概率守恒，而 Sp(2n, R) 的物理意义正是量子力学限定的运动规律。最妙的是复数域的一般线性群 GL(n, C) 恰好把这个交集表示为在复数域上的一个群：
O(n) ∩ Sp(2n, R) = O(n) ∩ GL(n, C) = Sp(2n, R) ∩ GL(n, C) = O(n) ∩ Sp(2n, R) ∩ GL(n, C) ，
见图示：
↑ O(2n) ∩ Sp(2n, R) = O(2n) ∩ GL(n, C) = Sp(2n, R) ∩ GL(n, C) = O(2n) ∩ Sp(2n, R) ∩ GL(n, C) 。U(n) 是 GL(n, C) 的极大紧子群。
所以GL(n, C) 这个复数域上的群是能把或者说是恰巧把概率守恒和运动描述耦合在一起的一个数学结构，或者说量子力学运动规律自然具备的一个数学结构。即使在符号上不引入虚数单位 I 和复数集 C 而只用实数表达，在结构上也不能避免一个与 C 等价的要素。U(n) = O(n) ∩ Sp(2n, R) 恰好是 GL(n, C) 的极大紧子群。
如果用矩阵力学的表述具体一点说，量子力学演化算符在矩阵表述下是厄米矩阵，因为观测值是演化算符的矩阵本征值，必须为实数值，所以演化算符必须是厄米矩阵。如果把厄米矩阵实部虚部分开写，实部是对称矩阵（对应O(2n)群），虚部是反对称矩阵（对应实数域的辛群 Sp(2n, R)），而复数域的 GL(n, C) 结构正是把这两部分始终耦合在一起的数学结构。所以即便不显式引入虚数单位 I 和复数，复数定义和运算规则所带有的特性还是蕴藏在量子力学的运动规律里的。
补充：还有一种视角是从代数角度看，传统的量子力学教材不讲很多抽象的数学，一般引入希尔伯特空间的概念，后面就说的基本是波动力学、矩阵力学这些具体表示下的物理和计算了。（有一本例外 Haag, Local Quantum Physics: Fields, Particles, Algebras）。像「代数量子力学」这种提法，估计只有专门研究数学物理的学者才会深究的。看到这几篇参考资料：
- Algebraic quantum mechanics: http://www.math.ru.nl/~landsman/algebraicQM.pdf
- Jordan-Lie-Banach algebra's equivalence to C*-algebra
- Baez, What is C*-algebra good for?
参考：
- 捷克物理學家 Luboš Motl 正好有篇文章解釋複數在物理學中的地位 〈Why complex numbers are fundamental in physics〉裡面解釋了虚数单位 I 不是人工创造的，而是量子力学算符对易关系自动要求的。
- Unitary group 2-out-3 property
- quantum mechanics without imaginary numbers
- algebraic quantum mechanics: http://www.math.ru.nl/~landsman/algebraicQM.pdf
- Jordan-Lie-Banach algebra's equivalence to C*-algebra
2022-1-12 补充：
最近新出了一篇论文，用“升级版贝尔实验”从实验上证明了只有“复数量子力学”而非“实数量子力学”才能解释实验现象。
... by proving that real and complex Hilbert-space formulations of quantum theory make different predictions in network scenarios comprising independent states and measurements. This allows us to devise a Bell-like experiment, the successful realization of which would disprove real quantum theory, in the same way as standard Bell experiments disproved local physics.
论文：https://www.nature.com/articles/s41586-021-04160-4
新闻稿：Quantum theory based on real numbers can be experimentally falsified - Nature
前面答案都好数学呀。我的理解一直都是，如果没有i，薛定鄂方程就变成扩散方程啦，原子怎么稳定存在呢？i的引入才使得用波动语言描述量子世界成为了可能。。。
https:// courses.physics.illinois.edu /phys580/fa2013/susy_v2.pdf
这个问题有一个容易理解的答案。关键是量子理论把粒子态用波来表述。什么数学最方便描述波动？想想Fourier transform，就会自然想到了要用复数。更重要是波频率是代表能量的。不可以是负的。而sin , cos 含有负频率。
物理中有种说法，谁如果说理解量子力学，那他就没有理解量子力学。量子力学之所以无法被人类的理性所理解，具体到双缝干涉实验，可以这么说明：只开上缝，后屏某处有5%的概率可以落上电子，只开下缝，同一处也有5%的概率可以落上电子。如果2缝同时打开，理论上同一处落上电子的概率是10%，这是概率论中的加法原理推论出的结果，不管理论上，还是逻辑上都没有任何问题，但偏偏实验结果是0。（有人考虑了电子之间的相互影响，但后来人们可以做实验，控制每次只有1个电子发射）
如何理解5%+5%=0这个实验结果呢？
物理上虽然无法理解，但是数学上是容易处理的：只要把这个5%变为矢量就可以了。矢量有角度，当2个角度相差180度的时候，相加就可以是0了。原本实数的概率变成了概率矢量。
数学上是用复数来表示这个概率矢量的，复数的模的平方对应5%的那个概率值，复数的相角表示矢量的角度。由于复数也包含了负数，自然概率可以是-5%，由此前边5%+5%=0的奇怪结果在数学上就说得通了，只要其中一个5%是负数就可以了。（严格地说，得开下平方，但基本思想没问题，就不费这个麻烦了）。
所以，我当初说过这么一句话：“所谓的量子力学，就是复数概率论“。一个从来没有学过物理的数学家，当他把实数概率论扩展到复数概率论，他就在不知不觉之中发明了量子力学。
回到题主的问题，引入虚数i的深层意义，其实就是物理学家为了迎合实验结果，不得不从数学上引入虚数。但是物理层面，这还是目前为止人类文明最大的未解之谜，还没人能真正理解这是怎么回事。
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