1×0＝0 是因为 0 乘以任何数字都等于 0，还是因为 1 乘任何数字都等于那个数？
1. 零乘以任何数都等于零 ( $0 imes a = 0$ )
2. 一乘以任何数都等于那个数 ( $1 imes a = a$ )
在你的问题“1 × 0 = 0”中，这两条规则都似乎参与了进来，但这背后其实有一个更根本的原因，或者说，我们应该从哪个角度去理解它。
我们来一步步拆解一下。
为什么 0 乘以任何数都等于 0？
这个规则其实很好理解。想象一下，你有一个装满糖果的盒子，里面有 5 颗糖果。如果你说“我拿了 0 盒糖果”，那么你实际拿到的糖果数量自然就是 0 颗。无论你拿多少“盒”空糖果（每盒 5 颗），最终你拥有的糖果数量都是零。
数学上可以这么解释：乘法可以理解为重复加法。
$0 imes 5$ 就等于把 5 加 0 次，也就是 $0$。
$0 imes 100$ 就等于把 100 加 0 次，也就是 $0$。
依此类推，$0 imes a$ 就是把 $a$ 加 0 次，结果自然是 $0$。
为什么 1 乘以任何数都等于那个数？
这个规则也同样直观。想象一下，你有一张银行卡，上面有 100 元。如果你说“我有 1 张这样的银行卡”，那么你拥有的钱当然就是 100 元。
$1 imes 100$ 就是有 1 个 100，结果是 100。
$1 imes 7$ 就是有 1 个 7，结果是 7。
所以，$1 imes a$ 就是有 1 个 $a$，结果就是 $a$。
回到“1 × 0 = 0”
现在我们来看“1 × 0 = 0”。在这道具体的算式里，我们实际上是在应用“零乘以任何数都等于零”这个规则。
为什么是这样呢？因为在“1 × 0”这个算式中，0 是被乘数，它决定了结果的“份量”。而“1”是乘数，它告诉我们应该有多少份“0”。
你可以这样理解：
从“0乘以任何数都等于0”的角度看：
我们有一个数字是 0。如果我们把它“乘以 1”，也就是问“有多少个 0”，结果当然还是 0。这种理解方式更直接地揭示了 0 的“吞噬”特性。无论你用什么数字（包括 1）去乘以 0，结果都会被吸收到 0 的零值里。
从“1乘以任何数都等于那个数”的角度看：
我们有一个数字是 0。如果我们把它“乘以 1”，也就是“一份 0”，那么这“一份”的 0，它本身的值是多少呢？是 0。所以结果还是 0。
哪个更“根本”？
这其实是一个鸡生蛋还是蛋生鸡的问题，因为这两条规则在数学体系中是相互关联，并且都是作为乘法的基本定义和性质存在的。
不过，如果非要找一个更基础的出发点来解释“1 × 0 = 0”，很多人会倾向于“零乘以任何数都等于零”。
原因在于：
1. “零的本质”： 零作为一个特殊的数字，它代表着“无”。当“无”被任何数量（哪怕是“一份”）去乘时，它所代表的“无”并不会因为乘数的存在而变成“有”。它仍然是“无”。
2. 乘法的定义： 乘法可以被定义为一种运算，它将一个数（乘数）与另一个数（被乘数）联系起来。在这种联系中，零作为被乘数时，表现出一种独特的性质，即“吸收性”。任何数的“一份”仍然是这个数本身，而“零的零份”仍然是零。
我们可以从更严谨的数学定义来理解。乘法通常是基于集合论或皮亚诺公理等基础来定义的。在这些定义下，0 的特殊性使得“任何数乘以 0 等于 0”成为一个非常稳固的性质，而“1 乘以任何数等于任何数”则是“1”作为乘法单位元（identity element）的性质。
在“1 × 0 = 0”这个算式中，我们实际上同时利用了这两个属性，但其结果的出现，更直接地源于 0 的那个乘法性质。如果你将 0 看作是你要“复制”或“组合”的对象，那么无论你复制多少次（即使是复制一次，即乘以 1），你得到的结果仍然是那个“原始对象”——0。
反过来想，如果“1 × 0”的结果不是 0，比如我们强行定义它等于 1。那么 $1 imes 0 = 1$。但我们知道 $1 imes a = a$，所以 $1 imes 0$ 应该等于 $0$。这里就出现了矛盾。
而如果 $0 imes 1$ 不等于 $0$，比如 $0 imes 1 = 5$。那么根据乘法交换律 $a imes b = b imes a$，我们就会有 $1 imes 0 = 5$。但我们知道 $1 imes x = x$，所以 $1 imes 0$ 必须等于 $0$。又产生矛盾。
所以，为了保持数学体系的自洽性，无论从哪个角度看，当涉及到与 0 相乘时，0 的那个“乘以任何数都等于 0”的性质，是导致结果为 0 的关键所在。1 乘以任何数是那个数，这使得“1”不改变“0”的本质。
总结一下：
“1 × 0 = 0” 这个结果，最根本的原因是 0 乘以任何数字都等于 0。而“1 乘以任何数字都等于那个数字”这个规则，则确保了当我们说“1 份的 0”时，这个“1”并没有改变 0 的值。
如果一定要选一个更主要的解释，那就是 “零乘以任何数都等于零”。
网友意见
在一个环里，1是乘法单位元，0是加法单位元。假设这个环不是零环，那么1和0就是两个不同的元素。
因为环在乘法下是幺半群，所以对于任意的元素a，a×1=a=1×a是环的公理。由此可得第一种证明思路：取a=0，则0×1 = 1×0 = 0。
第二种证明思路依赖于a×0=0=0×a这个性质，该性质可以直接由环的公理（包括a×1=a=1×a）推导得出：
a×0 = a×0 + 0 = a×0 + (a + (-a)) = (a×0 + a) + (-a) = (a×0 + a×1) + (-a) = a×(0+1) + (-a) = a×1 + (-a) = a + (-a) = 0
0×a = 0×a + 0 = 0×a + (a + (-a)) = (0×a + a) + (-a) = (0×a + 1×a) + (-a) = (0+1)×a + (-a) = 1×a + (-a) = a + (-a) = 0 = a×0
值得注意的是，这种证明只需要用到环的公理，不需要假设乘法交换律或乘法的逆运算。
于是，取a=1，则0×1 = 1×0 = 0。
综上所述，两种思路都可以证明，但第一种直接用公理，步骤略少一些。
如果这种证明无法解决题主的疑惑，那么我就再提供一个因果关系角度的分析。「E是因为C1，还是C2？」这样的问句往往在询问实际原因（actual cause）。例如，「已知以下三种状况同时存在，车祸的原因到底是司机酒驾，还是雨天路滑，还是刹车故障？」题主的问题，在哲学里被称为symmetric overdetermination：列出的任何一个因都能造成这个果。
寻找实际原因的过程，通常也是寻找责任（道德责任或法律责任）的过程。但是，我个人不推荐用因果关系的思维解决数学问题。因为，数学中的证明（proof）、蕴含（entailment）、实质条件（material conditional）都是有良定义的概念，学过数理逻辑就可以理解。可是，现实中的因果关系并没有一个被普遍接受的良定义。
在学习因果关系的过程中，我时常会提醒自己：能用严谨的数学语言描述的问题，就不必要加入「因果」这样模棱两可的词汇。例如，identifiability of linear non-Gaussian additive noise model尽管被称为一个「因果识别」问题，它的实际定义并不包含任何「因果」的成分，用数学就能完美描述。
所以，我先前把题主问题中的「因为」转化成了「可证明」进行论述：
- 从公理「1 乘任何数字都等于那个数」，我们可以证出「1×0＝0」；
- 从性质「0 乘以任何数字都等于 0」，我们也可以证出「1×0＝0」；
- 从公理「1 乘任何数字都等于那个数」以及环的一些其他公理，我们可以证出性质「0 乘以任何数字都等于 0」。
补充：在半环里，「0 乘以任何数字都等于 0」和「1 乘任何数字都等于那个数」都是公理。
本来随手答的一道题，没想到上热榜了。原来的证明虽然没有错，但是没有用最少的公理。这里重新证一遍a×0=0：
a×0 = a×(0+0) = a×0 + a×0
a×0 + (-(a×0)) = (a×0 + a×0) + (-(a×0))
0 = a×0 + (a×0 + (-(a×0)))
0 = a×0 + 0
0 = a×0
0×a=0的证明同理，但需要用到右分配律。
到此为止，仅用了分配率、加法结合律、加法逆运算、加法单位元。对于任何满足上述公理的代数结构，a×0=0×a=0都是成立的。
同时，我一开始就把1理解为了乘法的双边单位元，所以在任何有1的代数结构里，应该都有公理a×1=1×a=a。
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