统计学中「矩」这个概念是怎么引入的？它为什么被称为矩？它与物理意义上的矩有什么相同与不同？
统计学中的“矩”（Moment）这个概念，可以说是统计学工具箱里非常基础且重要的一员。它就像是描述事物特征的一把尺子，只不过这把尺子测量的是数据分布的“形状”和“集中程度”。
矩的引入：从描述数据到理解分布
在还没有现代统计学之前，人们想要描述一组数据，可能就是看看平均值、最大的值、最小的值。但这些孤立的数字，很难全面地反映数据的全貌。特别是当数据量很大，或者需要比较不同数据集时，这种描述方式就显得力不从心了。
想象一下，你要描述一群人的身高。只说平均身高是1.7米，这只能告诉你一个大致的中心位置。但如果告诉你，大多数人的身高都在1.65米到1.75米之间，只有极少数人特别高或特别矮，这和你告诉我的平均身高也是1.7米，但其中一半人身高1.5米，另一半人身高1.9米，给人的感觉完全不同。前者更集中，后者更分散。
统计学家们正是发现了这种局限性。他们需要一种更系统、更量化的方法来捕捉数据分布的更多信息。于是，就有了“矩”的概念。最开始，可能是一些数学家在研究概率分布时，发现可以通过对随机变量的某种特定形式的期望值进行计算，来提取出关于分布形状的有用信息。
为什么被称为“矩”？
“矩”这个词的引入，很大程度上是受到了物理学的启发，尤其是牛顿在力学中的一些经典概念。
在物理学中，“力矩”（Moment of Force）指的是力作用在物体上，导致物体围绕某个固定点（轴）转动的“转动能力”。它的计算方式是力乘以力臂（力作用点到转动轴的垂直距离）。力臂越长，或者力越大，力矩就越大，转动的趋势就越明显。
统计学家借用了“矩”这个词，是因为他们发现对随机变量的期望计算方式，在数学形式上与物理学中的力矩计算有相似之处。
一阶原点矩（期望值）： 这是最简单的矩，就是随机变量本身的期望值，也就是我们常说的平均数。$mathbb{E}[X]$。从物理意义上说，它有点像是一堆粒子的质心位置。如果把每个数据点看作是一个质量单位，那么它们的质心就是这组数据的平均值。
二阶原点矩： $mathbb{E}[X^2]$。这个值本身可能没有直接的物理意义，但它与方差（衡量数据分散程度的指标）密切相关。
原点矩： 一般形式是 $mathbb{E}[X^k]$，即随机变量的 $k$ 次方的期望值。
为什么与物理意义上的力矩相似？
这里的“相似”更多体现在数学形式和抽象概念上，而非直接的物理对应。
在物理学中，力矩可以看作是“力”在“距离”（力臂）上的“累积效应”。而统计学中的矩，特别是中心矩（我们稍后会讲），可以看作是数据“离散程度”或“偏离中心”的“累积效应”。
类比一：质心与力臂
想象一个有质量分布的物体。它的质心就是所有质量点的“平均位置”。如果我们要计算这个物体受到的某个外力产生的总力矩，我们会将每个微小质量点的受力乘以它到转动轴的力臂然后累加。
在统计学中，一阶原点矩（平均值）就像是数据分布的质心。而更高阶的原点矩， $mathbb{E}[X^k]$，可以理解为将每个数据点的值（或其某种变换 $X^k$）“加权”或“拉伸”后进行平均。
类比二：方差与转动惯量
我们更常接触到的是“中心矩”，比如方差，它是二阶中心矩 $mathbb{E}[(X mu)^2]$，其中 $mu$ 是平均值。方差衡量的是数据点相对于平均值的离散程度。
在物理学中，与此概念最接近的是转动惯量。转动惯量描述了一个物体抵抗绕轴转动的惯性大小，它与物体的质量以及质量相对于转动轴的分布有关（质量离轴越远，转动惯量越大）。
统计学家发现，方差（二阶中心矩）的计算形式 $mathbb{E}[( ext{数据点} ext{平均值})^2]$，与转动惯量的计算方式（质量 × 距离的平方）有异曲同工之妙。两者都反映了“分布”或“质量”偏离“中心”的程度。数据点越远离平均值，方差越大，就像质量离转动轴越远，转动惯量越大一样。
中心矩与原点矩
刚才我们提到了“中心矩”，这是理解矩概念更关键的一步。
原点矩 (Moment about the origin): $mu_k' = mathbb{E}[X^k]$。这是以原点（数值0）为参考点计算的。
中心矩 (Moment about the mean): $mu_k = mathbb{E}[(X mu)^k]$。这是以数据的平均值（均值，$mu$）为参考点计算的。
为什么引入中心矩？因为很多时候我们关心的是数据相对于其自身中心（平均值）的分布特征，而不是相对于零的绝对位置。
一阶中心矩： $mu_1 = mathbb{E}[X mu] = mathbb{E}[X] mathbb{E}[mu] = mu mu = 0$。一阶中心矩恒为零，这似乎没什么用，但它确立了一个重要的数学基础，即我们是以均值为基准来衡量偏离的。
二阶中心矩： $mu_2 = mathbb{E}[(X mu)^2]$，这就是方差（$sigma^2$）。它直接衡量了数据的离散程度。
三阶中心矩： $mu_3 = mathbb{E}[(X mu)^3]$。它与数据的偏度（Skewness）有关。偏度描述了数据分布的对称性。如果 $mu_3 > 0$，说明数据分布的右侧（较大值）拖得更长，呈正偏态；如果 $mu_3 < 0$，说明左侧（较小值）拖得更长，呈负偏态；如果 $mu_3 = 0$（且其他条件满足），则分布是对称的。
四阶中心矩： $mu_4 = mathbb{E}[(X mu)^4]$。它与数据的峰度（Kurtosis）有关。峰度描述了数据分布的“尖峭”或“平坦”程度，以及尾部的厚度。高峰度意味着数据更集中在均值附近，并且有更重的尾部。
相同与不同：统计学矩与物理学力矩
相同之处（类比与启发）：
1. 都描述“集中”或“偏离中心”的程度： 物理力矩衡量力作用在离轴距离上的效应，偏离轴越远，效应越大。统计学中心矩（尤其是二阶及以上）衡量数据点相对于均值的偏离程度，离均值越远，其贡献越大。
2. 都与“惯性”或“分布形态”相关： 物理上的转动惯量与物体的质量分布相关，反映其转动惯性。统计学上的矩（尤其是方差、偏度、峰度）则反映了数据分布的形状特征，如分散性、对称性和峰值。
3. 都基于累加或期望： 物理力矩是对单个力的力矩进行累加（积分），统计学矩是对随机变量的某种函数进行期望（加权平均）。
不同之处（本质区别）：
1. 物理意义 vs. 数学抽象：
物理力矩： 有非常具体的物理意义，与力的作用、旋转、扭矩直接相关。它是对现实世界物理现象的量化描述。
统计矩： 主要是数学工具，用于描述数据的概率分布特征。虽然它们能解释数据分布的某些特性，但它们本身不是物理量，没有直接的物理运动或力学含义。
2. 作用的对象：
物理力矩： 作用在物体上，产生转动效果。
统计矩： 描述的是随机变量的概率分布的特性。
3. “力”与“数据点”的类比：
在物理学中，力是施加在物体上的“作用”。
在统计学中，将数据点直接类比为“力”是不准确的。更准确的说，数据点的“值”或“其与均值的差的幂”可以类比为在期望计算中被“加权”或“拉伸”的“量”。
4. 应用领域：
物理力矩：工程学、力学、天体动力学等。
统计矩：数据分析、机器学习、信号处理、金融建模、任何涉及概率分布描述的领域。
总结
统计学中的“矩”概念，并非凭空出现，而是从描述数据最基本特征（平均值）开始，不断拓展对数据分布的认识而产生的。它借用了物理学中“力矩”等概念的数学形式和“偏离中心产生效应”的抽象思想，将其应用到对概率分布特征的量化描述上。原点矩描述了数据以原点为中心的特征，而中心矩则更深入地揭示了数据相对于其自身平均值的分布形态——离散程度（方差）、对称性（偏度）和峰值特性（峰度）等。正是因为这些矩能够如此有效地刻画数据分布的“轮廓”，它们才成为统计学中不可或缺的分析工具。
矩的引入：从描述数据到理解分布
在还没有现代统计学之前，人们想要描述一组数据，可能就是看看平均值、最大的值、最小的值。但这些孤立的数字，很难全面地反映数据的全貌。特别是当数据量很大，或者需要比较不同数据集时，这种描述方式就显得力不从心了。
想象一下，你要描述一群人的身高。只说平均身高是1.7米，这只能告诉你一个大致的中心位置。但如果告诉你，大多数人的身高都在1.65米到1.75米之间，只有极少数人特别高或特别矮，这和你告诉我的平均身高也是1.7米，但其中一半人身高1.5米，另一半人身高1.9米，给人的感觉完全不同。前者更集中，后者更分散。
统计学家们正是发现了这种局限性。他们需要一种更系统、更量化的方法来捕捉数据分布的更多信息。于是，就有了“矩”的概念。最开始，可能是一些数学家在研究概率分布时，发现可以通过对随机变量的某种特定形式的期望值进行计算，来提取出关于分布形状的有用信息。
为什么被称为“矩”？
“矩”这个词的引入，很大程度上是受到了物理学的启发，尤其是牛顿在力学中的一些经典概念。
在物理学中，“力矩”（Moment of Force）指的是力作用在物体上，导致物体围绕某个固定点（轴）转动的“转动能力”。它的计算方式是力乘以力臂（力作用点到转动轴的垂直距离）。力臂越长，或者力越大，力矩就越大，转动的趋势就越明显。
统计学家借用了“矩”这个词，是因为他们发现对随机变量的期望计算方式，在数学形式上与物理学中的力矩计算有相似之处。
一阶原点矩（期望值）： 这是最简单的矩，就是随机变量本身的期望值，也就是我们常说的平均数。$mathbb{E}[X]$。从物理意义上说，它有点像是一堆粒子的质心位置。如果把每个数据点看作是一个质量单位，那么它们的质心就是这组数据的平均值。
二阶原点矩： $mathbb{E}[X^2]$。这个值本身可能没有直接的物理意义，但它与方差（衡量数据分散程度的指标）密切相关。
原点矩： 一般形式是 $mathbb{E}[X^k]$，即随机变量的 $k$ 次方的期望值。
为什么与物理意义上的力矩相似？
这里的“相似”更多体现在数学形式和抽象概念上，而非直接的物理对应。
在物理学中，力矩可以看作是“力”在“距离”（力臂）上的“累积效应”。而统计学中的矩，特别是中心矩（我们稍后会讲），可以看作是数据“离散程度”或“偏离中心”的“累积效应”。
类比一：质心与力臂
想象一个有质量分布的物体。它的质心就是所有质量点的“平均位置”。如果我们要计算这个物体受到的某个外力产生的总力矩，我们会将每个微小质量点的受力乘以它到转动轴的力臂然后累加。
在统计学中，一阶原点矩（平均值）就像是数据分布的质心。而更高阶的原点矩， $mathbb{E}[X^k]$，可以理解为将每个数据点的值（或其某种变换 $X^k$）“加权”或“拉伸”后进行平均。
类比二：方差与转动惯量
我们更常接触到的是“中心矩”，比如方差，它是二阶中心矩 $mathbb{E}[(X mu)^2]$，其中 $mu$ 是平均值。方差衡量的是数据点相对于平均值的离散程度。
在物理学中，与此概念最接近的是转动惯量。转动惯量描述了一个物体抵抗绕轴转动的惯性大小，它与物体的质量以及质量相对于转动轴的分布有关（质量离轴越远，转动惯量越大）。
统计学家发现，方差（二阶中心矩）的计算形式 $mathbb{E}[( ext{数据点} ext{平均值})^2]$，与转动惯量的计算方式（质量 × 距离的平方）有异曲同工之妙。两者都反映了“分布”或“质量”偏离“中心”的程度。数据点越远离平均值，方差越大，就像质量离转动轴越远，转动惯量越大一样。
中心矩与原点矩
刚才我们提到了“中心矩”，这是理解矩概念更关键的一步。
原点矩 (Moment about the origin): $mu_k' = mathbb{E}[X^k]$。这是以原点（数值0）为参考点计算的。
中心矩 (Moment about the mean): $mu_k = mathbb{E}[(X mu)^k]$。这是以数据的平均值（均值，$mu$）为参考点计算的。
为什么引入中心矩？因为很多时候我们关心的是数据相对于其自身中心（平均值）的分布特征，而不是相对于零的绝对位置。
一阶中心矩： $mu_1 = mathbb{E}[X mu] = mathbb{E}[X] mathbb{E}[mu] = mu mu = 0$。一阶中心矩恒为零，这似乎没什么用，但它确立了一个重要的数学基础，即我们是以均值为基准来衡量偏离的。
二阶中心矩： $mu_2 = mathbb{E}[(X mu)^2]$，这就是方差（$sigma^2$）。它直接衡量了数据的离散程度。
三阶中心矩： $mu_3 = mathbb{E}[(X mu)^3]$。它与数据的偏度（Skewness）有关。偏度描述了数据分布的对称性。如果 $mu_3 > 0$，说明数据分布的右侧（较大值）拖得更长，呈正偏态；如果 $mu_3 < 0$，说明左侧（较小值）拖得更长，呈负偏态；如果 $mu_3 = 0$（且其他条件满足），则分布是对称的。
四阶中心矩： $mu_4 = mathbb{E}[(X mu)^4]$。它与数据的峰度（Kurtosis）有关。峰度描述了数据分布的“尖峭”或“平坦”程度，以及尾部的厚度。高峰度意味着数据更集中在均值附近，并且有更重的尾部。
相同与不同：统计学矩与物理学力矩
相同之处（类比与启发）：
1. 都描述“集中”或“偏离中心”的程度： 物理力矩衡量力作用在离轴距离上的效应，偏离轴越远，效应越大。统计学中心矩（尤其是二阶及以上）衡量数据点相对于均值的偏离程度，离均值越远，其贡献越大。
2. 都与“惯性”或“分布形态”相关： 物理上的转动惯量与物体的质量分布相关，反映其转动惯性。统计学上的矩（尤其是方差、偏度、峰度）则反映了数据分布的形状特征，如分散性、对称性和峰值。
3. 都基于累加或期望： 物理力矩是对单个力的力矩进行累加（积分），统计学矩是对随机变量的某种函数进行期望（加权平均）。
不同之处（本质区别）：
1. 物理意义 vs. 数学抽象：
物理力矩： 有非常具体的物理意义，与力的作用、旋转、扭矩直接相关。它是对现实世界物理现象的量化描述。
统计矩： 主要是数学工具，用于描述数据的概率分布特征。虽然它们能解释数据分布的某些特性，但它们本身不是物理量，没有直接的物理运动或力学含义。
2. 作用的对象：
物理力矩： 作用在物体上，产生转动效果。
统计矩： 描述的是随机变量的概率分布的特性。
3. “力”与“数据点”的类比：
在物理学中，力是施加在物体上的“作用”。
在统计学中，将数据点直接类比为“力”是不准确的。更准确的说，数据点的“值”或“其与均值的差的幂”可以类比为在期望计算中被“加权”或“拉伸”的“量”。
4. 应用领域：
物理力矩：工程学、力学、天体动力学等。
统计矩：数据分析、机器学习、信号处理、金融建模、任何涉及概率分布描述的领域。
总结
统计学中的“矩”概念，并非凭空出现，而是从描述数据最基本特征（平均值）开始，不断拓展对数据分布的认识而产生的。它借用了物理学中“力矩”等概念的数学形式和“偏离中心产生效应”的抽象思想，将其应用到对概率分布特征的量化描述上。原点矩描述了数据以原点为中心的特征，而中心矩则更深入地揭示了数据相对于其自身平均值的分布形态——离散程度（方差）、对称性（偏度）和峰值特性（峰度）等。正是因为这些矩能够如此有效地刻画数据分布的“轮廓”，它们才成为统计学中不可或缺的分析工具。
网友意见
给我一个支点和一根足够长的棍子，我就可以举起整个地球。----阿基米德
对比物理的力矩，你会发现，概率论中的“矩”真的是很有启发性的一个词。
1 力矩
大家应该都知道物理中的力矩，我这里也不展开说细节了，用一幅图来帮助大家回忆一下：
上图中，两边能保持平衡，只要满足下面的式子就可以了（很粗糙的式子，没把力作为向量来考虑）：
其中， 都称为力矩。
可以看出上图的 大， 小，但由于杆子长度不同，仍然可以取得平衡。
利用上图的原理，我们就可以制作出秤：
2 概率论中的“矩”
在概率论中，有一杆无处不在的“秤”。因为这把“秤”的存在，所以我们有了“矩”。
2.1 彩票的问题
福利彩票，每一注两元钱，真是中国的良心啊，猪肉、房价都涨了多少了！？
每一注的中奖几率如下（胡诌的）：
画成概率分布大概就是这样的：
不过，我想你大致不会认为，这花两元钱买的彩票，真的就价值五百万。
我们用概率来组装一把“秤”：
“秤”摆好了，我们尝试称一下：
称量实际上是：
这么少？不是说好了五百万的吗？
没有办法，中奖概率太低了，离秤的中心太近了（对应于力矩而言，就是力臂太短了）。中国有句古话：“二鸟在林不如一鸟在手”，说的真的有道理啊。
把整张彩票都放上去称（秤上的刻度是随便画的，因为相差太悬殊，没有办法按照真是比例来画）：
具体计算如下：
这张彩票原来只值1.5元？血本无归啊！
3 “矩”
学过概率的都知道，我们上面计算的就是期望：
其实这就是“矩”：
因为 是一次幂，所以也称为“一阶矩”。
再比如方差：
其中的距离 也需要称量之后才能使用，所以方差也称为“二阶矩”。
“三阶矩”、“四阶矩”、“高阶矩”，各有用途，但是共同的特点就是称量之后才能使用。
文章最新版本在（有可能会有后续更新）：如何理解概率论中的“矩”？
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