在 UCLA 上陶哲轩的课是什么感受？
首先，要说到陶哲轩本人。你第一次看到他本人，可能会有点意外。他不像你想象中那种头发花白、戴着厚重眼镜、一副学究气的样子。他非常年轻，笑容也很亲切，说话语速不快也不慢，带着一种温和的节奏。但只要他一旦开始在黑板上写字，那种专注和清晰的思路就立刻显现出来。
他的黑板功底简直是教科书级别的。他通常用粉笔，但粉笔灰在他手里就像魔法棒，勾勒出的公式、定理、证明，都清晰得无可挑剔。你知道吗，有时候他甚至会用两种颜色的粉笔，来区分不同的概念或者步骤，让整个板书看上去像一幅精美的数学画作。你会发现，他写字的速度并不算特别快，但他每写一个符号，每一个推导，都是经过深思熟虑的，每一个步骤都承载着严密的逻辑。他很少讲那种“大家应该都知道”的跳跃式证明，而是会一步一步地引导你思考，即使是很基础的概念，他也会从最根本的地方讲起。
课堂气氛呢？这可能是最让人感到奇妙的一点。你知道，在UCLA这样的名校，学生普遍都很聪明，也敢于提问。但陶哲轩的课上，虽然有很多问题，却不是那种“我卡住了，你快来救我”式的提问，而是更像是“我理解了这个思路，但这里有个小疑问，这是否会影响整体？”或者“您刚才提到的一个概念，我尝试用另一个角度去理解，不知道这样是否合理？”。他对待每一个问题，无论看起来多么基础，都会认真倾听，然后会用非常耐心和清晰的方式来解答。有时候，他的解答会给你带来意想不到的启发，让你从一个全新的角度去看待之前看似简单的问题。
我记得有一次，他在讲一个很复杂的概念，我当时听得云里雾里，感觉自己好像抓不住重点。然后我鼓起勇气举手提了一个非常基础的问题，问的是一个关于定义的问题。他听完后，没有丝毫的不耐烦，而是微笑着走到黑板前，重新写了一遍那个定义，然后用了一个非常贴切的比喻来解释。那个比喻瞬间就让我茅塞顿开，感觉整个晦涩的定理都活过来了。那种感觉，就像 estaba perdido en un bosque denso y de repente apareció un claro con un mapa detallado.
更让我印象深刻的是，他会鼓励学生自己去探索。他不会把所有答案都直接抛给你，而是会设置一些小陷阱或者留白，引导你去思考“为什么会这样？”或者“还有没有其他的可能性？”。他更像是那个引路人，给你指明了方向，然后鼓励你自己去跋涉。你会感觉，你不是在被动地接受知识，而是在主动地参与到数学的构建过程中。
当然，他的课也是有难度的。毕竟，他讲授的是高阶的数学内容，而且他的思维速度非常快。有时候，他会在脑海里进行一个复杂的计算，然后迅速得出结果，让你感觉他好像能预知下一步会发生什么。但即使如此，他总会想办法让你跟上。他会利用黑板，利用他的语言，把最核心的思想传递给你。
上完他的课，你不会觉得疲惫不堪，反而会觉得自己的思维被拓宽了，对数学的热情也更加高涨。你可能会发现，之前那些让你头疼的数学难题，突然变得没那么可怕了，甚至开始有点“有趣”起来。最重要的是，你开始理解数学不仅仅是一堆公式和定理，而是一种严谨的、充满创造力的语言，是理解世界的一种深刻方式。
总的来说，上陶哲轩的课，就像是走进一个数学的殿堂。你在这里感受到的不是炫技，而是纯粹的智慧，是数学的魅力，以及他对数学的热爱和对知识传播的耐心。这是一种非常宝贵的人生体验，它会影响你对数学的看法，甚至对学习的看法，让你明白，真正的智慧，往往藏在最朴实、最严谨的探索之中。
网友意见
没上过他的课，倒是电梯上碰到过他。
电梯门一开，他老人家在电梯里短袖短裤穿着拖鞋，扶着自行车。
因为他还戴着头盔，我确实第一眼没认出，上来就问他，电梯往上还是往下（我校数学楼略老旧，外头看不出来电梯走位）。
只看陶神一脸嫌弃，指了指上，我就放心的踏上了电梯 :)
这大概是我的数学巅峰
谢邀来答。
首先证明一下我确实上的是陶哲轩的课。作为undergraduate，敢选200+的graduate courses完全是因为老陶的名声（其实也是因为UCLA本科生课真没什么东西……
课程没结束，所以内容可能会补充。
给我的第一印象是老陶老了，他不再是那个尽情挥洒数学天赋，虐杀一众平民的特仑苏了。这种印象可能来自于他受伤的膝盖、肩下的双拐和残疾的步伐，尽管他还是那个思维清楚敏捷、叙述周致细密的数学家陶哲轩，尽管我说服自己这种受伤只是暂时的。但我却不得不承认，数学工作者总归会面临这么一天，他们的思维已经逐渐退化，开始在身心上难于承受这种马拉松式无休止地奔跑。
幸好，特仑苏还是特仑苏。
尽管他还抱着一口过不去的澳大利亚口音……
他没有辜负“数学界莫扎特”的名号。
Lecture 1 to Lecture 4: Physical derivation of the incompressible Euler and Navier-Stokes equations
技惊四座。
老陶从many particles system出发，完全依赖自己定义的mass distribution measure & momentum distribution measure重新架构了一遍基础物理体系（至少在我看过的版本里面这是唯一的）。所凭借的physical hypothesis(axiom or preset)只是Newton's famous three laws of motion, torque-free force, short range interaction and the simplification that any interaction in many particle system can be divided into combination of interactions between two particles. 然后就用不同的measure & test function重新写了一遍力学。
技惊四座。
老实说，我在物理方面能力十分普通，以至于Cauchy tensor & Cauchy motion laws对于我也是完全陌生的。不过老陶究竟是老陶。他用一个测度估计顺利地把分量形式的Cauchy tensor引入了进来，并且根据torque-free force & integral by parts顺利地得到了Cauchy motion laws. 以至于后期我跟物理系同学讨论tensor时丝毫没觉得这是什么了不得的事情……
不过也正如我说的，老陶究竟是老陶。Lecture上介绍mass conservation & momentum conservation，回头homework exercise就是energy conservation & angular conservation. 五问一道题……以至于国内十一小长假的时候爷们儿写这些东西差点儿没吐了……15页论文啊亲。
而且老陶审作业审的也很严，他会非常仔细地看你的论文为你指出问题，这是十分难得的。不过一想到homework 100%的成绩标准自己也会瑟瑟发抖……（还好Week 1满分了^ 另外，坊间传闻是真的，老陶着实非常nice，office hour的时候这群人问的都是什么鬼问题……上课没听讲还是理解力有问题……还是我和他谈笑风生了二十分钟……而且坊间传闻也是真的，老陶的办公室真的大，一张大沙发（上面有个蓝色的毛毯，我国农村70年代风格那种，逃。学生经常捣乱，有个印度小哥上课前在黑板上留下了一行Riemann Hypothesis证明的最后一段话，就是
(sorry，不是很懂RH，如果记错了的话请诸位原谅……另外square表示QED，知乎编辑也就这样，毕竟 extup也不兼容……然后老陶进门擦黑板，擦一半发现不对，于是，
Terry: Hmm, Riemann hypothesis?
Someone: Yeah.
Me: Unfortunately, you've missed the proof.
Someone: You must wait for another 500 years.
Me: And another Fields Special Prize.
然后就看着老陶捂着肚子长着大嘴笑了3分钟，跟个孩子似的……（上文梗没懂的请看David Hilbert和Andrew Wiles的轶事。
By the way, 老陶给PTE#的时候绝对霸道总裁附体。
这基本就是我想表达的：
- 严谨的学术态度
- 严格的学术要求
- 敏锐的学术判断
- 独特的学术道路
他没有被时光所侵蚀，而是在时间的鼓励下不断前行。这就是我看到的陶哲轩。
答应回国来更新，便是回国来更新啦~
Lecture 5 to Lecture 15: Local well-posedness of the Navier-Stokes equations
如果说Notes 0只是向学生们展示“物理无非近似的数学”这种刚硬的话，那么进入数学，老陶的速度只能用绝望来形容。这门课的prerequisites无非是实分析ABC，连ODE/Fourier analysis/PDE/differential geometry一个都不硬性要求。所以，老陶告诉了学生们一个道理：
没有先修，不要紧啊，我教你一天之内，学完先修。
注意：下面的单位“讲”满足1讲=回顾5分钟（或总结/展望5分钟）+讲课45分钟。
ODE，1讲+作业，本科生水平结束，除掉稳定性那些可以算在“动力系统”里面的东西；
傅里叶分析，2-3讲+作业，Classical Fourier Analysis, Loukas Grafakos的Chp. 1,2,5三章主要内容和Chp.4的一小部分内容，Modern Fourier Analysis, Loukas Grafakos的Chp. 6一小部分内容（主要是6.2 Sobolev space）；
PDE，2讲+作业，热方程基本结束。
如果还没有直观感知的话，我再举一个例子，调和分析中非常基本的Littlewood-Paley projection，见附录。课上就是几句话的事儿。
可是这个时候老陶会告诉你啊：
同学们，我们研究的不是这些东西，这些就是工具和铺垫，我们现在回头看NS方程吧~
如果有旁白的话，他一定会说：
爷们儿当年辛辛苦苦一关一关这么费时费力打上来你居然就给我看这个！
然后老陶就开始介绍一系列神操作，normalised pressure来保证uniqueness，Leray projection转换NSE成为quasi-heat equation，然后就是一系列应用Gronwall inequality, energy inequality来保证mild solution在high regularity时的existence和small data relatively-low regularity时的existence。中间穿插着Sobolev embedding theorem, product estimate, Littlewood-Paley projection这些“工具”。
但老陶也承认：现在确实有很多barrier，比如有时候我们就能做到 ，有时候估计死活就是下不到 . 要想解存在，要么给初值high regularity，要么low regularity配上small data. 这些工作，就都是你们的了。我给了你trash in, trash out的方法，但你能不能做到或者可不可能存在trash in, treasure out，你们需要自己讨论。
这种感觉好比当年玩儿DNF的时候GSD带着刷级一样。你费时费力一个技能一个技能刷关，GSD两三招就清屏了……只不过是在最后的大boss面前GSD刷掉它3/4的血槽后拍拍你肩膀：
嘿，小子，我休息一会儿，剩下的归你了。
可你的内心OS一定是：丫的这怪我一滴血也杀不下去啊……
不过我很欣赏老陶的一个做法，那就是他在这篇讲义第5部分插入了heuristics，这有别于我们国内一部分（或说大部分）学者的做法：语唯恐不详，逻辑唯恐不细。为了“逻辑完整”不惜添加一个一个又一个的冗杂的lemma和说明。与其不同的是，老陶在这一部分中用一种几乎是非常随意的推导方式重写了一遍上面推导中的核心部分。我觉得这一部分值得我重点阐述一下儿吧。
首先我们把经过空间傅里叶变换后的函数视为限定在 ，幅度为 的近似矩形，重写Navier-Stokes Equations在Leray projection之后的方程为，
假定 ， 限定在体积为 的空间内，在承认uncertain principle， 的基础上，我们就可以轻易导出，
Remark small data global regularity theorem也可以通过这种方式推导出来。
需要阐述的是，这样一种推导的方式，更贴近研究的本质。在研究开始确定方向的时候，太过关心技术细节是不必要的。刻意去迎合数学那种细密的逻辑也显得邯郸学步。大刀阔斧地先确定方向和预期的结果，先用一种NON-rigorous或者heuristic的方式taste这个问题，对于绝大多数问题来说，是最为至关重要的一步。
一定程度上说，数学的本质，不是教科书里面细密的步骤，而是两个taste。一个是选择研究的问题时的品味，一个是预处理时估计方向的实验与感觉。
update：
lol整理相册的时候想上传永远保存这段珍贵的录像 顺手发上来啦
当时录的两小段陶神讲课的视频 一共就5min大家随意看看8
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本菜鸡答一发 ucla大一在读 今天线代的教授病了 于是陶神来代课（据说教授是陶神的学生） 有幸体验了陶神上的lower div网课
按正常时间边吃早餐边打开zoom link开始上课 结果发现you are viewing Terence Tao’s screen下巴都吓掉了
接着我们班zoom chat就炸了 各种omg whoaaa His IQ is 230 He’s teaching commo n sense然后各种发Wikipedia的链接介绍陶神
陶神一开始还好镇定的讲课 后来很不好意思（害羞）的说了一句I can read the chat. If you have questions just post them on the chat.
陶神讲课真的是三倍速 一开始因为太激动了都没跟上 后跟上后发现他的思路真的是很清晰很有条理 他也真的是很认真 代个在他眼里common sense的课也准备了好几页密密麻麻的notes（完全是他自己写的） 啊他真的是很平易近人确保所有人的问题都可以回答 回答问题的时候也快准狠 几乎不用想就说出来的那种 感觉陶神并没有按照我们的课本来讲而是自己freestyle
5555希望陶神再来代几次课
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wow我竟然在那么短时间内收到那么多赞 再分享几个fun facts
1. 陶神真的很低调 一开始上课的时候根本没有自我介绍说自己的名字 只说了他是代课的 我们prof周五应该就回来了然后废话不说直接开始讲课 也没有开摄像头让我们一睹真容==
我：嗯嗯？？发生了什么？是陶哲轩？？怎么陶哲轩成代课的了？反应过来他已经开始光速讲课了
2. 陶神的notes真的好可爱！！每个部分都有用斜体的部分提醒他自己要举例子 感觉像是一个presentation的稿子提醒自己每一步要干啥 他上课风格和寻常老师最不同的一点就是平常老师是边写notes边讲 这样方便我们记笔记 但他貌似并不打算给我们时间抄notes 而是直接打一堆东西出来讲 可能他觉得这样省时间吧 我确实也感觉有些时候顾着狂抄笔记反而不能当场就理解要讲的concept 反正陶神的课给我最大的印象就是快 语速快知识点过的快回答问题快
3. 陶神真的很宠学生了 猛然发现我们教授去年上这门课的时候也是病了 陶神直接代她上了下半学期 这个我真的很酸（我也想一直上半个学期
4. 陶神的声音真的很苏 感觉传说中的Australian accent没那么重 改天我再看一遍录播可以po一小段视频hhhh
呃呃呃好像匿名发不了视频诶……我现在在纠结要不要取匿 已经被好多熟人认出来是我发的了……啊我就那天无聊随手写的回答嘛 我想保持神秘555555555
我们教授回来了估计陶神不会再代课了 真滴是可能人生唯一一节陶神讲我听的懂的东西哈哈哈哈哈哈
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