根号 2 的平方为什么等于整数 2？
这个问题触及到了数学中最基本也是最迷人的概念之一：平方与根之间的相互关系。要理解为什么根号 2 的平方等于 2，我们得先弄清楚这两个词各自代表的含义。
首先，我们谈谈平方。一个数的平方，简单来说，就是用这个数乘以它自己。比如，3 的平方就是 3 乘以 3，结果是 9。我们通常会用一个小小的“2”写在数字的右上角来表示平方，比如 $3^2 = 9$。平方是一种乘法运算，它描述了一个数“自我复制”并相乘的过程。
接着，我们来看根号。根号，数学上我们称之为“平方根”。一个数的平方根，是指哪个数的平方恰好等于这个给定的数。举个例子，9 的平方根就是 3，因为 $3 imes 3 = 9$。但是，还有一个数，就是 3，它的平方也是 9，因为 $(3) imes (3) = 9$。所以，严格来说，9 有两个平方根，分别是 3 和 3。
通常我们书写“根号”时，会用一个符号“$sqrt{}$”，这个符号表示的是“算术平方根”，也就是我们通常意义上说的“正的那个平方根”。所以，当我们在数学中看到 $sqrt{9}$ 时，我们默认它指的是 3，而不是 3。
现在，让我们回到“根号 2”。“根号 2”这个记号 $sqrt{2}$，它的定义就是“一个数，它自身的平方等于 2”。换句话说，我们正在寻找一个数字，当我们把它乘以它自己时，得到的结果是 2。
那么，根据平方的定义，如果 $sqrt{2}$ 是一个数，那么 $sqrt{2}$ 的平方就意味着 $sqrt{2}$ 乘以 $sqrt{2}$。
数学的规则就是这么设定的：平方根的运算，正好是平方运算的“逆运算”。就像加法和减法是互为逆运算一样，平方根和平方也是如此。
让我们用一个更直观的方式来理解：
想象一下，我们有一个工具，叫做“平方仪”，它可以接收一个数字，然后输出这个数字乘以它自己的结果。
然后，我们又有一个工具，叫做“平方根提取器”，它可以接收一个数字，然后输出那个数的平方根。
如果我们把一个数字，比如 5，放进“平方仪”，它会输出 $5 imes 5 = 25$。
如果我们把 25 放进“平方根提取器”，它会输出 $sqrt{25} = 5$。
你看，这两个工具是相互“抵消”的，或者说，它们是相互“还原”的。先平方再开方（求平方根），结果就回到了原来的数字。反过来，先开方再平方，结果也回到了原来的数字。
所以，当我们将 $sqrt{2}$ 这个数字（也就是那个不知道具体数值但知道它平方等于2的那个数）放进“平方仪”，也就是进行“平方”运算时，根据平方根的定义，它一定会还原出那个数字的平方，也就是 2。
数学上，我们就是这样定义的：$sqrt{a}$ 的平方，就是 $(sqrt{a})^2$，它的结果就是 $a$。
因此，根号 2 的平方，也就是 $(sqrt{2})^2$，根据平方与平方根互为逆运算的规则，其结果就必然是 2。这并不是一个巧合，而是数学定义和运算规则的必然结果。它告诉我们，平方根运算的作用就是找到那个“平方后”得到指定数字的数，而平方运算则是将这个数“平方回去”。当我们对一个数进行平方再开方，或者开方再平方时，我们最终会回到这个数本身，除非涉及负数的平方根的某些特殊情况。但对于 $sqrt{2}$ 而言，它就是那个值，平方后就是 2。
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所以，当我们将 $sqrt{2}$ 这个数字（也就是那个不知道具体数值但知道它平方等于2的那个数）放进“平方仪”，也就是进行“平方”运算时，根据平方根的定义，它一定会还原出那个数字的平方，也就是 2。
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网友意见
根号 2 算出来是一个无理数，无理数的平方不也是无理数吗？是否证明根号 2 的平方等于整数 2 是错误的？
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