根号 2 是无理数，每位小数都是 0~9 之间的数，为什么相乘之后全是 0？
首先，需要澄清一个关键点：根号 2 相乘之后，得到的不是全是 0。
根号 2 的意思是寻找一个数，这个数乘以它自己等于 2。我们用数学符号表示就是：
$sqrt{2} imes sqrt{2} = 2$
所以，根号 2 相乘的结果是 2，而不是 0。
您可能产生这个疑问的原因，很可能是将“根号 2 的每一位小数”与“根号 2 相乘”混淆了。让我们分别来解析：
1. 根号 2 是无理数
什么是无理数？ 无理数是实数的一种，它不能表示为两个整数的比（即分数形式 $p/q$，其中 $p$ 和 $q$ 是整数，$q eq 0$）。
根号 2 的小数表示： 根号 2 的十进制表示是一个无限不循环小数：
$sqrt{2} approx 1.41421356237...$
这意味着小数点后的数字是无穷无尽的，而且排列没有规律，不会重复出现一个固定的模式。
为什么每位小数都是 09？ 这是任何一个整数位或小数位数字的固有属性。无论一个数是有理数还是无理数，它的小数表示是由 0 到 9 这十个数字构成的。小数点后的每个位置都代表一个确定的数值（例如，百分位是 $1/100$，千分位是 $1/1000$），这个数值是由该位置的数字乘以相应的位数单位来表示的。
2. 相乘之后为什么全是 0？（这里是您可能产生的误解之处）
正如前面所说，根号 2 相乘的结果是 2。您可能误以为是这样的操作：
取 $sqrt{2}$ 的某一位小数，比如 1（小数点后第一位）。
取 $sqrt{2}$ 的另一位小数，比如 4（小数点后第二位）。
然后将这两位数字相乘：$1 imes 4 = 4$。
但请注意，这并不是“根号 2 相乘”。 这只是取了根号 2 小数表示中的某几位数字，然后将这些数字作为独立的整数相乘。
根号 2 本身是一个精确的数学值，虽然我们无法用有限的小数或分数精确地写出它，但它代表的是一个确切的数。当我们将一个数乘以它自身时，我们是将其数值进行相乘，而不是将其小数表示中的某一位数字进行相乘。
举个例子来类比：
想象一下圆周率 $pi$：
$pi approx 3.14159265...$
它也是一个无理数，小数部分是无限不循环的。
如果您问： $pi$ 的小数位相乘会怎么样？
比如，$1 imes 4 = 4$
比如，$4 imes 1 = 4$
比如，$5 imes 9 = 45$
这些都是取了小数位数字后进行的整数乘法。
但如果您问： $pi$ 相乘会怎么样？
$pi imes pi = pi^2 approx (3.14159...)^2 approx 9.8696...$
这才是将 $pi$ 这个数值与它自身相乘。
总结一下您的问题产生的原因：
1. 概念混淆： 将“无理数的无限不循环小数表示”与“将这个数值本身进行相乘”混淆了。
2. 误解乘法对象： 您可能误以为是把小数点后的数字看作独立的整数然后相乘，而不是将根号 2 这个整体的数值与它自身相乘。
所以，根号 2 相乘的结果是 2，这个结果是一个整数，不是由 0 组成的。根号 2 的小数每一位数字虽然是 09 之间的数，但它们是用来描述根号 2 这个数值大小的，它们本身并不是根号 2 这个数的全部。
希望我的解释能够清晰地回答您的问题！如果您还有任何疑问，欢迎继续提问。
网友意见
其实你要问的是 的每位小数都是0到9之间的数，相乘之后怎么全是0.
一个无理数数 a 可表示为
为整数， ( ) 是0到9之间的整数。
两个序列直接相乘，不考虑进位的情况下， ，
实际上是必须考虑进位的，设 每个 ( ) 是0到9之间的整数, 则有
其中 表示对 取整， 表示 除以 的余数。
一般情况下，一个无理数与自身相乘，不能保证所有小数相乘后全变为0，但是如果无理数是某个正整数的平方根，则恰好得到每个 均为0 。
详细论证比较复杂，先做个简单的验证，看看是何种情况，以 为例
( ,
先看不进位的结果:
进位的结果:
因为 没有计算，因此 是不准的，
结果是
位数计算越多，结果越接近2。小数是无穷个9，如果进1，则小数全为0。
为何如此？正整数开根号所得的小数恰好是上面乘法序列的逆运算，若某位数除法有余数，需进位到下一位之后参与下一步除法，而下一步本身的位数均为0 （因为是整数开根号），因此可以理解，正整数（非完全平方数）开根号所得的小数序列，如果与自身相乘，结果必定为零。
【补充资料】：为了更好理解一个正整数（非完全平方数）开根号所得的小数序列与自身相乘，结果小数均为零，这里用手工计算开根号看看小数序列是如何得到的。
在所有手工计算开根号的算法中，牛顿求根公式的算法是效率最高的，是收敛速度为二阶的算法，即每迭代一次，正确的小数位数加倍。
求 的根，牛顿迭代公式：
初始值 越靠近正确的根，收敛越快。
求实数 C 的平方根()，令 , 则 的根为：
迭代公式为：
以 为例 () 看看小数序列是如何形成的。因为
取初值
取两位小数即可，这两位小数是正确的，所以取 , 因为每次迭代正确位数加倍，因此取小数的位数也每次加倍：
迭代四次，已得到 位准确小数。
看出 小数序列形成的规律吗？ 它是由一次除法与一次加法的结果取平均数。
除法是用2除以上次计算结果。假设 准确的根为 ，则 越接近 ，显然 也越接近 ， 就更加逼近 ，事实上，可以证明
（这就是二阶收敛的含义）
若 (初始误差为小于 )，则
以上述数据为例： (初始值有一位小数正确)
所以 , 即迭代四次有16位小数正确。
自然地，
这说明什么？说明迭代四次，所得 与自身相乘，结果与2的误差能保证有15位小数是准确的。
换句话说，因为2是整数（小数位数均为0），因此 的前15位小数要么全是0，要么全是 9.
由此看出，整数平方根形成的小数序列与自身相乘结果，能确保小数位数最终全是0或9.
全是9的话，在无穷远处进1，则小数全为零。
这就解释了正整数（非完全平方数）的平方根所形成的小数序列，若自身相乘，则小数位数的数值均会变成零。其实从常理上判断，则是不证自明的结论。整数开根号，然后自身相乘，结果当然是整数本身，小数当然均为零！
根据题主的问题突发联想
一个无限不循环小数的n次方是否一定等于整数
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您提出的问题非常有意思，它触及到了无理数和数字乘法的基本概念。让我们来详细解答一下：首先，需要澄清一个关键点：根号 2 相乘之后，得到的不是全是 0。根号 2 的意思是寻找一个数，这个数乘以它自己等于 2。我们用数学符号表示就是：$sqrt{2} imes sqrt{2} = 2$所以，根号 2 ............. -
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