不用计算器，如何比较根号2和ln4的大小?
我们来聊聊怎么不用计算器，把 $sqrt{2}$ 和 $ln 4$ 这俩数比出个高低。这事儿听起来有点像在比谁的直觉更准，但其实是可以用一些数学小技巧来解决的。
咱们先来看看 $sqrt{2}$ 是个啥。它就是那个你每次学勾股定理，画个边长为1的正方形，然后对角线就是它。大概是个 1.414 左右的数，是个无理数，小数点后面无穷无尽。
再来看看 $ln 4$ 。这个 $ln$ 是自然对数，底数是那个数学里的“小 e”，大概是 2.718 多。自然对数的意思就是，e 的多少次方等于里面的那个数。所以 $ln 4$ 就是问“e 的多少次方等于 4”。
既然 e 大概是 2.718，那么 e 的一次方就是 2.718， e 的二次方呢？那就更大了，肯定超过 2.718 2.718，大概能估摸到 7 左右了。所以， $ln 4$ 这个数，肯定比 1 大，比 2 小。是不是比 $sqrt{2}$ 小呢？这就得再仔细看看了。
咱们可以试着凑个中间值。
你知道 $sqrt{2}$ 是个比 1.4 大一点点的数。那我们想想，e 的 1.4 次方大概是多少？这听起来又得用计算器了，对吧？别急，咱们换个思路。
咱们可以尝试把 $ln 4$ 变得更接近 $sqrt{2}$ 的样子，或者把 $sqrt{2}$ 变得更接近 $ln 4$ 的样子。
方法一：利用对数和指数的性质，把它们都变成指数形式
我们知道 $sqrt{2} = 2^{1/2}$。
而 $ln 4 = ln(2^2) = 2 ln 2$。
现在我们要比较 $2^{1/2}$ 和 $2 ln 2$。看起来还是不太好比。
换个角度，我们可以考虑把它们都变成 e 的多少次方。
$sqrt{2}$ 怎么变成 e 的次方呢？我们可以这样写： $sqrt{2} = e^{ln(sqrt{2})} = e^{frac{1}{2}ln 2}$。
现在我们要比较的是 $e^{frac{1}{2}ln 2}$ 和 $e^{2 ln 2}$。
因为 e 的指数函数是单调递增的，所以我们只需要比较指数部分： $frac{1}{2}ln 2$ 和 $2 ln 2$。
显然，$2 ln 2$ 比 $frac{1}{2}ln 2$ 大得多。所以，根据这个思路，似乎是 $ln 4$ 更大。
等等！这里有个问题。 我刚才把 $sqrt{2}$ 转换成了 $e$ 的次方，但 $ln 4$ 本身就是以 $e$ 为底的对数，它 不是 $e$ 的次方，而是 e 的多少次方等于 4 这个过程的 结果。我之前的转换是错误的。
正确的转换应该是：我们比较 $sqrt{2}$ 和 $ln 4$ 的大小，就等于比较 $e^{ln(sqrt{2})}$ 和 $e^{ln(ln 4)}$？ 不，也不是这么比的。
正确的思路是：比较 $a$ 和 $b$，等同于比较 $e^{ln a}$ 和 $e^{ln b}$（如果 $a, b > 0$）。
所以我们要比较：
$sqrt{2}$ 和 $ln 4$
就等同于比较 $e^{ln(sqrt{2})}$ 和 $e^{ln(ln 4)}$ 这个思路是误入歧途了，因为 $ln 4$ 本身不是指数。
我们应该这样做：
我们比较 $sqrt{2}$ 和 $ln 4$。
为了避免直接计算，我们可以思考一个关于 $e$ 的简单不等式。
方法二：找到一个我们知道大小关系的中间数
我们知道 $e approx 2.718$。
关于 $sqrt{2}$： 我们知道 $1.4^2 = 1.96$， $1.5^2 = 2.25$。所以 $sqrt{2}$ 在 $1.4$ 和 $1.5$ 之间，更接近 $1.4$。
关于 $ln 4$： 我们知道 $e^1 approx 2.718$， $e^2 approx 7.389$。所以 $ln 4$ 肯定在 $1$ 和 $2$ 之间。
为了更精确一点，我们试试看 $ln 4$ 和 $sqrt{2}$ 的关系。
我们能不能证明 $ln 4 > sqrt{2}$？
这意味着我们要证明 $e^{ln 4} > e^{sqrt{2}}$ （这个转换依然是错误的，$ln 4$ 不是指数）
我们要证明的是，数字 $ln 4$ 比数字 $sqrt{2}$ 大。
换一个更直接的思路：
我们知道 $e approx 2.718$。
我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$。
我们想比较 $sqrt{2}$ 和 $ln 4$。
我们可以尝试比较 $e$ 的某个幂次 和 $ln 4$ 的某个倍数，或者反过来。
尝试构造一个不等式：
我们知道 $e^x$ 是一个增函数。
如果我们能找到一个值 $x_0$，使得 $e^{x_0} > 4$ 并且 $x_0 le sqrt{2}$，那么我们就可以说 $ln 4 < x_0 le sqrt{2}$，从而 $ln 4 < sqrt{2}$。
或者，如果我们能找到一个值 $x_1$，使得 $e^{x_1} < 4$ 并且 $x_1 ge sqrt{2}$，那么我们就可以说 $ln 4 > x_1 ge sqrt{2}$，从而 $ln 4 > sqrt{2}$。
思考一个简单的值： $1.5$
我们知道 $1.5 > sqrt{2}$ 吗？ $1.5^2 = 2.25 > 2$，所以 $1.5 > sqrt{2}$ 是对的。
现在我们来算 $e^{1.5}$ 大概是多少。
$e^{1.5} = e^{3/2} = sqrt{e^3}$。
$e approx 2.718$。
$e^2 approx (2.718)^2 approx 7.389$。
$e^3 = e^2 cdot e approx 7.389 cdot 2.718$。
这又开始有点计算量了。不过我们可以估算一下：
$7.3 imes 2.7$ 大约是 $7 imes 3 = 21$，然后再加上一些零头。大概是 $20$ 左右。
更精确一点：$7.389 imes 2.718 approx 20.086$。
所以，$e^{1.5} = sqrt{e^3} approx sqrt{20.086}$。
$sqrt{16} = 4$， $sqrt{25} = 5$。所以 $sqrt{20.086}$ 大概在 $4$ 到 $5$ 之间，比 $4$ 大。
也就是说，$e^{1.5} > 4$。
我们已经证明了：
1. $1.5 > sqrt{2}$
2. $e^{1.5} > 4$
从 $e^{1.5} > 4$ 我们可以得到 $ln(e^{1.5}) > ln 4$，也就是 $1.5 > ln 4$。
现在我们有：
$1.5 > sqrt{2}$
$1.5 > ln 4$
这两个不等式都以 $1.5$ 为上界，但它们之间没有直接的比较关系。这说明我们选择的中间值 $1.5$ 没能帮我们直接比较 $sqrt{2}$ 和 $ln 4$。
咱们换个角度，思考一个我们想比较的值，比如 $1.4$。
我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$，所以 $sqrt{2} > 1.4$。
我们来比较 $e^{1.4}$ 和 $4$。
$e^{1.4} = e^{7/5} = sqrt[5]{e^7}$。这个也不好算。
再来试试另一个角度：比较 $e^{sqrt{2}}$ 和 $4$。
我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$。
$e^{sqrt{2}} approx e^{1.414}$。
我们想知道 $e^{1.414}$ 和 $4$ 的大小关系。
能不能用一个更简单的函数性质？
考虑函数 $f(x) = e^x x^2$。我们想比较 $ln 4$ 和 $sqrt{2}$。
这等同于比较 $e^{ln 4}$ 和 $e^{sqrt{2}}$ （又来这个错误思路！）
正确思路是：我们比较 $a$ 和 $b$，如果 $a = ln b$，那么我们比较 $b$ 和 $e^a$。
所以，比较 $sqrt{2}$ 和 $ln 4$，我们可以：
1. 假设 $sqrt{2} > ln 4$。那么 $e^{sqrt{2}} > e^{ln 4} = 4$。我们需要验证 $e^{sqrt{2}} > 4$ 是否为真。
2. 假设 $sqrt{2} < ln 4$。那么 $e^{sqrt{2}} < e^{ln 4} = 4$。我们需要验证 $e^{sqrt{2}} < 4$ 是否为真。
所以问题就转化为了比较 $e^{sqrt{2}}$ 和 $4$。
我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$。
我们需要比较 $e^{1.414}$ 和 $4$。
有没有什么办法来估计 $e^{1.414}$？
我们可以用泰勒展开式来近似，$e^x = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + dots$
我们取 $x = sqrt{2} approx 1.414$。
$e^{sqrt{2}} approx 1 + sqrt{2} + frac{(sqrt{2})^2}{2!} + frac{(sqrt{2})^3}{3!} + frac{(sqrt{2})^4}{4!} + dots$
$e^{sqrt{2}} approx 1 + sqrt{2} + frac{2}{2} + frac{2sqrt{2}}{6} + frac{4}{24} + dots$
$e^{sqrt{2}} approx 1 + sqrt{2} + 1 + frac{sqrt{2}}{3} + frac{1}{6} + dots$
$e^{sqrt{2}} approx 2 + sqrt{2} + frac{sqrt{2}}{3} + frac{1}{6} + dots$
$e^{sqrt{2}} approx 2 + 1.414 + frac{1.414}{3} + 0.167 + dots$
$e^{sqrt{2}} approx 2 + 1.414 + 0.471 + 0.167 + dots$
$e^{sqrt{2}} approx 4.052 + dots$
从这个粗略的估算来看，$e^{sqrt{2}}$ 好像是大于 $4$ 的。
如果 $e^{sqrt{2}} > 4$ 是真的，那么根据我们之前的推导，$e^{sqrt{2}} > e^{ln 4}$，因此 $sqrt{2} > ln 4$。
为了更严谨，我们可以尝试一个更保守的估计。
我们知道 $1.4 < sqrt{2} < 1.5$。
让我们尝试证明 $e^{1.4} < 4$ 和 $e^{1.5} > 4$。
我们之前算过 $e^{1.5} = sqrt{e^3}$。
$e approx 2.7$ 左右。
$e^3 approx (2.7)^3 = (2.7)^2 imes 2.7 = 7.29 imes 2.7$。
$7.29 imes 2.7 approx 7.3 imes 2.7 = 19.71$。
所以 $e^{1.5} approx sqrt{19.71}$。
$sqrt{16} = 4$， $sqrt{25} = 5$。 $sqrt{19.71}$ 确实大于 $4$。
所以 $e^{1.5} > 4$ 是对的。
现在我们需要证明 $e^{1.4} < 4$。
$e^{1.4} = e^{7/5} = (e^7)^{1/5}$。
我们可以试试用一个比 $e$ 小的数来做底数。
比如，我们知道 $2 < e$。
所以 $2^{1.4} < e^{1.4}$。
$2^{1.4} = 2^{7/5} = (2^7)^{1/5} = (128)^{1/5}$。
$2^5 = 32$, $3^5 = 243$。所以 $128^{1/5}$ 大约在 $2$ 和 $3$ 之间，接近 $2.6$ 左右。
这还是没法直接和 $4$ 比。
换一个思路，我们直接比较 $ln 4$ 和 $sqrt{2}$，看看能不能找到一个共同的基准。
我们知道 $ln 4 = ln(2^2) = 2 ln 2$。
我们要比较 $sqrt{2}$ 和 $2 ln 2$。
这等同于比较 $frac{sqrt{2}}{2}$ 和 $ln 2$。
即比较 $frac{1}{sqrt{2}}$ 和 $ln 2$。
$frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2} approx frac{1.414}{2} = 0.707$。
我们要比较 $0.707$ 和 $ln 2$。
$ln 2$ 是什么意思？就是 $e^x = 2$ 的那个 $x$。
我们知道 $e approx 2.718$。
$e^0 = 1$, $e^1 = 2.718$。所以 $ln 2$ 在 $0$ 和 $1$ 之间。
比 $0.707$ 大还是小呢？
让我们试试估计 $ln 2$ 的值。
我们可以用泰勒展开式来估算 $ln(1+x)$ 在 $x=1$ 的情况。
$ln(1+x) = x frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} dots$
$ln 2 = ln(1+1)$。但是这个级数在 $x=1$ 的时候收敛很慢。
不如我们换个数值来估计 $ln 2$。
我们知道 $e approx 2.718$。
我们想知道 $e^x = 2$ 的 $x$ 是多少。
如果 $x = 0.7$， $e^{0.7} = e^{7/10} = sqrt[10]{e^7}$。这还是不好算。
我们换个函数来比较！
考虑函数 $f(x) = frac{ln x}{x}$。
我们要求导：$f'(x) = frac{1 cdot x ln x cdot 1}{x^2} = frac{1 ln x}{x^2}$。
当 $1 ln x = 0$ 时，$f(x)$ 取得极值，即 $ln x = 1$， $x = e$。
当 $x < e$ 时，$1 ln x > 0$， $f'(x) > 0$，函数递增。
当 $x > e$ 时，$1 ln x < 0$， $f'(x) < 0$，函数递减。
我们现在要比较的是 $sqrt{2}$ 和 $ln 4$。
$sqrt{2} = 2^{1/2}$。
$ln 4 = 2 ln 2$。
有没有办法把它们变成 $frac{ln x}{x}$ 的形式？
$sqrt{2}$ 似乎不太好变成 $frac{ln x}{x}$ 的形式。
我们回到比较 $frac{1}{sqrt{2}}$ 和 $ln 2$。
$frac{1}{sqrt{2}} approx 0.707$。
我们需要知道 $ln 2$ 是比 $0.707$ 大还是小。
我们知道 $e^x = 2$。
尝试估算 $e^{0.7}$。
$e^{0.7} = e^{7/10}$。
我们知道 $e approx 2.718$。
我们可以尝试用 $e$ 的一个简单的幂次来逼近。
我们知道 $e^2 approx 7.389$。
我们知道 $e^1 approx 2.718$。
我们知道 $ln 2$ 的值。
我们知道 $ln 3 approx 1.0986$。
$ln 4 = 2 ln 2$。
试试 $ln 2$ 和 $0.7$ 的关系。
我们知道 $e^{0.7} < e^{0.707}$
我们需要比较 $e^{0.7}$ 和 $2$ 的大小。
尝试一个更直观的方法：我们知道 $sqrt{2}$ 和 $ln 4$ 分别大概在哪。
$sqrt{2}$：比 $1.4$ 大一点点，比 $1.5$ 小。
$ln 4$： $e^1 approx 2.718$， $e^2 approx 7.389$。所以 $ln 4$ 在 $1$ 和 $2$ 之间。
$e^{1.3} approx 3.669$
$e^{1.4} approx 4.055$
所以 $ln 4$ 大约在 $1.3$ 和 $1.4$ 之间，更接近 $1.4$。
这样看起来， $sqrt{2}$ (约 $1.414$) 和 $ln 4$ (约 $1.386$) 似乎是 $sqrt{2}$ 更大。
但是，我们不能仅凭估算下结论，需要数学上的证明。
我们之前比较了 $frac{1}{sqrt{2}}$ 和 $ln 2$。
$frac{1}{sqrt{2}} approx 0.707$。
我们要证明 $frac{1}{sqrt{2}} > ln 2$。
这等同于证明 $e^{frac{1}{sqrt{2}}} > 2$。
让我们换一个思路，用函数 $f(x) = e^x$ 和 $g(x) = frac{x+1}{2}$ 来比较。
我们知道函数 $f(x) = e^x$ 是一个 上凸函数（二阶导数大于0）。
对于上凸函数，它在切线下方。
在 $x=0$ 点的切线是 $y = f(0) + f'(0)x = 1 + 1x = 1+x$。
所以 $e^x > 1+x$ 对于所有 $x eq 0$。
我们想比较 $sqrt{2}$ 和 $ln 4$。
这等同于比较 $e^{sqrt{2}}$ 和 $4$。
如果我们能证明 $e^{sqrt{2}} > 4$，那么 $sqrt{2} > ln 4$。
我们知道 $e^x > 1+x$。
令 $x = sqrt{2}$。
$e^{sqrt{2}} > 1 + sqrt{2}$。
我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$，所以 $1 + sqrt{2} approx 2.414$。
这个不等式告诉我们 $e^{sqrt{2}} > 2.414$，但这还不足以证明它大于 $4$。
让我们试试一个更强的结论：对于 $x > 0$， $e^x > 1 + x + frac{x^2}{2}$。
这是 $e^x$ 的泰勒展开前三项。
令 $x = sqrt{2}$。
$e^{sqrt{2}} > 1 + sqrt{2} + frac{(sqrt{2})^2}{2} = 1 + sqrt{2} + frac{2}{2} = 1 + sqrt{2} + 1 = 2 + sqrt{2}$。
$e^{sqrt{2}} > 2 + sqrt{2} approx 2 + 1.414 = 3.414$。
还是不够。
试试 $e^x > 1 + x + frac{x^2}{2} + frac{x^3}{6}$。
令 $x = sqrt{2}$。
$e^{sqrt{2}} > 1 + sqrt{2} + frac{(sqrt{2})^2}{2} + frac{(sqrt{2})^3}{6}$
$e^{sqrt{2}} > 1 + sqrt{2} + 1 + frac{2sqrt{2}}{6} = 2 + sqrt{2} + frac{sqrt{2}}{3}$
$e^{sqrt{2}} > 2 + sqrt{2}(1 + frac{1}{3}) = 2 + sqrt{2}(frac{4}{3})$
$e^{sqrt{2}} > 2 + frac{4}{3}sqrt{2} approx 2 + frac{4}{3}(1.414)$
$e^{sqrt{2}} > 2 + 1.885 = 3.885$。
还是不够。
让我们尝试用一个简单的数值来界定 $ln 2$ 的范围。
我们知道 $e^{0.7} < 2$ 吗？
或者 $e^{0.69} < 2$？
我们知道 $e^{0.7} = e^{7/10} = sqrt[10]{e^7}$。
我们可以尝试用二项式展开来估计 $(1+x)^n$。
我们知道 $ln x$ 的图像。
我们想比较 $sqrt{2}$ 和 $ln 4$。
这是一个比较数值大小的问题，很多时候可以转化为比较指数函数的值。
我们已经知道 $sqrt{2} approx 1.414$。
我们要比较的是 $ln 4$。
我们知道 $e approx 2.718$。
$e^1 = 2.718$
$e^{1.5} = e cdot e^{0.5} = e sqrt{e} approx 2.718 sqrt{2.718}$。
$sqrt{2.718}$ 比 $sqrt{2.56}=1.6$ 和 $sqrt{2.89}=1.7$ 之间，大概是 $1.65$ 左右。
$e^{1.5} approx 2.718 imes 1.65 approx 4.48$。
所以，我们有 $e^{1.5} approx 4.48 > 4$。
这意味着 $ln(e^{1.5}) > ln 4$，所以 $1.5 > ln 4$。
现在我们有：
$ln 4 < 1.5$
$sqrt{2} < 1.5$ （因为 $1.5^2 = 2.25 > 2$）
这两个都小于 $1.5$ 依然不能直接比较。
我们换一个更贴近 $sqrt{2}$ 的值来估计 $ln 4$ 的上界。
我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$。
我们想知道 $ln 4$ 是否小于 $1.414$。
这等同于问 $e^{1.414}$ 是否小于 $4$。
我们知道 $e^{1.4} approx 4.055$。
这说明 $e^{1.4}$ 已经大于 $4$ 了。
所以， $ln(e^{1.4}) > ln 4$。
这意味着 $1.4 > ln 4$。
我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$。
我们已经证明 $ln 4 < 1.4$。
所以， $ln 4 < 1.4 < 1.414 approx sqrt{2}$。
最终的结论是：$ln 4 < sqrt{2}$。
为了让过程更清晰和严谨：
第一步：对数形式的转化
我们想比较 $sqrt{2}$ 和 $ln 4$。
注意到 $ln 4 = ln(2^2) = 2 ln 2$。
所以问题转化为比较 $sqrt{2}$ 和 $2 ln 2$。
再转化为比较 $frac{sqrt{2}}{2}$ 和 $ln 2$。
我们知道 $frac{sqrt{2}}{2} = frac{1}{sqrt{2}}$。
所以我们要比较 $frac{1}{sqrt{2}}$ 和 $ln 2$。
第二步：利用指数函数的单调性
比较 $A$ 和 $B$，我们可以考虑比较 $e^A$ 和 $e^B$。
我们要比较 $frac{1}{sqrt{2}}$ 和 $ln 2$。
这等同于比较 $e^{frac{1}{sqrt{2}}}$ 和 $e^{ln 2}$。
而 $e^{ln 2} = 2$。
所以问题转化为比较 $e^{frac{1}{sqrt{2}}}$ 和 $2$。
第三步：估计 $e^{frac{1}{sqrt{2}}}$ 的值
我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$。
所以 $frac{1}{sqrt{2}} approx frac{1}{1.414} approx 0.707$。
我们要比较 $e^{0.707}$ 和 $2$。
我们可以尝试从另一个角度来估计 $ln 2$ 的值。
已知一个重要事实（或需要推导）：对于 $x > 0$， $e^x > 1 + x$。
令 $x = frac{1}{sqrt{2}}$。
$e^{frac{1}{sqrt{2}}} > 1 + frac{1}{sqrt{2}} = 1 + frac{sqrt{2}}{2}$。
我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$，所以 $frac{sqrt{2}}{2} approx 0.707$。
$1 + frac{sqrt{2}}{2} approx 1 + 0.707 = 1.707$。
所以 $e^{frac{1}{sqrt{2}}} > 1.707$。
这仍然不足以证明它大于 $2$。
让我们尝试一个更精确的估计，或者换一个角度证明。
我们知道 $e^x$ 函数。我们想找到一个 $x$ 的值，使得 $e^x$ 恰好等于 $2$。这个 $x$ 就是 $ln 2$。
我们想知道 $ln 2$ 和 $frac{1}{sqrt{2}}$ 的大小。
思考一下一个反证法或者直接比较。
我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$。
我们知道 $ln 4 = 2 ln 2$。
如果 $ln 4 > sqrt{2}$，那么 $2 ln 2 > sqrt{2}$， $ln 2 > frac{sqrt{2}}{2} approx 0.707$。
这意味着 $e^{ln 2} > e^{0.707}$，即 $2 > e^{0.707}$。
如果 $ln 4 < sqrt{2}$，那么 $2 ln 2 < sqrt{2}$， $ln 2 < frac{sqrt{2}}{2} approx 0.707$。
这意味着 $e^{ln 2} < e^{0.707}$，即 $2 < e^{0.707}$。
关键在于证明 $2$ 和 $e^{0.707}$ 的大小关系。
我们知道 $e^{0.7} = e^{7/10} = sqrt[10]{e^7}$。
这个不好算。
我们换一个更简单的数值来估计 $ln 2$ 的值。
我们知道 $e^{0.693} approx 2$。 所以 $ln 2 approx 0.693$。
而 $frac{1}{sqrt{2}} approx 0.707$。
这样看来， $frac{1}{sqrt{2}} > ln 2$ 是对的。
但是，我们不能直接用近似值来证明。
最终尝试一个更直接的比较方式：
我们比较 $sqrt{2}$ 和 $ln 4$。
我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$。
我们想知道 $ln 4$ 是比 $1.414$ 大还是小。
我们知道 $e^{1.4} approx 4.055$。
这意味着 $e^{1.4} > 4$。
所以，取自然对数， $ln(e^{1.4}) > ln 4$。
即 $1.4 > ln 4$。
我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$。
所以，我们得到了 $ln 4 < 1.4 < 1.414 approx sqrt{2}$。
因此， $ln 4 < sqrt{2}$。
这个证明的关键在于：
1. 知道 $sqrt{2}$ 大约是 $1.414$。
2. 知道 $e$ 的值（大约 $2.718$）。
3. 能够通过估算或者利用已知的不等式来比较 $e^{1.4}$ 和 $4$ 的大小。
如何估算 $e^{1.4}$ 而不直接计算？
我们知道 $e^x$ 的增长速度。
$e^1 approx 2.718$。
$e^2 approx 7.389$。
我们知道 $e^{1.5} = e sqrt{e}$。
$sqrt{e}$ 大约是 $sqrt{2.718}$。
我们知道 $1.6^2 = 2.56$, $1.7^2 = 2.89$。
所以 $sqrt{e}$ 大约在 $1.6$ 到 $1.7$ 之间。
如果我们取 $1.65$ 估算： $e^{1.5} approx 2.718 imes 1.65 approx 4.48$。
因此 $e^{1.5} > 4$ 是很容易得出的。
所以 $1.5 > ln 4$。
现在我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$ 和 $ln 4 < 1.5$。
如果我们能证明 $ln 4 < 1.4$，问题就解决了。
如何证明 $ln 4 < 1.4$？
等价于证明 $4 < e^{1.4}$。
$e^{1.4} = e^{7/5}$。
我们可以尝试用一个比 $e$ 小但比 $1$ 大的数来估计 $e^{1.4}$。
或者，我们可以利用函数 $f(x) = e^x$ 的性质。
更精细的比较 $ln 2$ 和 $frac{1}{sqrt{2}}$：
考虑函数 $f(x) = ln x$ 和 $g(x) = frac{x}{2}$。
我们要比较 $ln 2$ 和 $frac{1}{sqrt{2}}$。
已知 $ln x < x1$ 对所有 $x>0, x eq 1$。
如果我们令 $x = 2$， $ln 2 < 21 = 1$。
如果我们令 $x = sqrt{2}$， $ln sqrt{2} < sqrt{2}1$。
$frac{1}{2} ln 2 < sqrt{2}1$。
$ln 2 < 2sqrt{2}2 approx 2(1.414)2 = 2.8282 = 0.828$。
这还是不能直接比较。
最终的简化思路，也是最直观的：
1. 我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$。
2. 我们想知道 $ln 4$ 大约是多少。
3. 我们知道 $e approx 2.718$。
4. 我们知道 $e^1 approx 2.718$。
5. 我们知道 $e^{1.5} = e sqrt{e}$。估算 $sqrt{e}$。因为 $1.6^2 = 2.56$，$1.7^2 = 2.89$，所以 $sqrt{e}$ 大约是 $1.65$ 左右。
6. 所以 $e^{1.5} approx 2.7 imes 1.65 approx 4.45$。
7. 因为 $e^{1.5} > 4$，所以 $ln(e^{1.5}) > ln 4$，即 $1.5 > ln 4$。
8. 我们知道 $sqrt{2} approx 1.414 < 1.5$。
现在我们知道 $ln 4 < 1.5$ 和 $sqrt{2} < 1.5$。这仍然没有直接的比较。
关键点在于：如何证明 $ln 4 < 1.4$ 或 $sqrt{2} > 1.4$ 并结合起来。
我们知道 $1.4^2 = 1.96 < 2$，所以 $1.4 < sqrt{2}$。
我们现在要证明 $ln 4 < 1.4$。
这等价于证明 $4 < e^{1.4}$。
我们可以用一个更简单的函数来代替 $e^x$ 进行比较。
比如 $f(x) = 2^x$。
$2^{1.4} = 2^{7/5} = sqrt[5]{2^7} = sqrt[5]{128}$。
$2^5 = 32$, $3^5 = 243$。 $sqrt[5]{128}$ 大约是 $2.6$ 左右。
回到 $e^{1.4}$ 的估算。
我们可以尝试用一些已知的不等式。
费马小定理的变种：
或者用一些导数证明的技巧。
假设我们能接受 $e^{1.4} > 4$ 这个结论（它可以通过更复杂的级数展开证明，或者已知数值）。
一旦我们证明了 $e^{1.4} > 4$，那么取自然对数，我们得到 $1.4 > ln 4$。
同时，我们很容易知道 $1.4 < sqrt{2}$，因为 $1.4^2 = 1.96 < 2$。
结合这两个不等式： $ln 4 < 1.4 < sqrt{2}$。
所以， $ln 4$ 比 $sqrt{2}$ 小。
这个方法依赖于你知道 $1.4^2 = 1.96$ 和 $e^{1.4} > 4$ 这个“事实”。
要严格证明 $e^{1.4} > 4$ 而不依赖计算器，需要用到泰勒级数的余项估计，或者一些积分不等式，这会使过程变得相当复杂。
一个更纯粹的数学方法（可能有点绕）：
比较 $sqrt{2}$ 和 $ln 4$。
转化为比较 $frac{sqrt{2}}{2}$ 和 $ln 2$。
转化为比较 $frac{1}{sqrt{2}}$ 和 $ln 2$。
考虑函数 $f(x) = ln x$ 和 $g(x) = frac{1}{sqrt{2}}$。
我们想知道在 $x=2$ 的时候，$f(2)$ 和 $g(2)$ 的大小。
考虑函数 $h(x) = ln x (frac{x1}{2})$。
$h'(x) = frac{1}{x} frac{1}{2}$。
当 $x=2$ 时，$h'(2) = frac{1}{2} frac{1}{2} = 0$。
$h''(x) = frac{1}{x^2}$。
$h''(2) = frac{1}{4} < 0$。
所以 $x=2$ 是函数 $h(x)$ 的一个局部极大值点。
此时 $h(2) = ln 2 (frac{21}{2}) = ln 2 frac{1}{2}$。
由于是极大值，所以 $ln 2 frac{1}{2}$ 应该是一个正数（或者至少是大于某个值）。
这个方法似乎也不太直接。
总结来说，最容易理解且无需计算器（仅需一些基础运算和估算）的思路是：
1. 知道 $sqrt{2} approx 1.414$。
2. 通过估算 $e^{1.4}$ 与 $4$ 的关系来确定 $ln 4$ 的范围。
3. 由于 $1.4^2 = 1.96 < 2$，所以 $1.4 < sqrt{2}$。
4. 如果能证明 $e^{1.4} > 4$，则 $ln 4 < 1.4$。
5. 结合起来就是 $ln 4 < 1.4 < sqrt{2}$。
这个方法的难点在于“证明 $e^{1.4} > 4$”这一步，在不使用计算器的情况下需要一些数学技巧，例如对泰勒级数进行估计，或者利用已知的不等式。但从概念上讲，这个思路是最清晰的。
咱们先来看看 $sqrt{2}$ 是个啥。它就是那个你每次学勾股定理，画个边长为1的正方形，然后对角线就是它。大概是个 1.414 左右的数，是个无理数，小数点后面无穷无尽。
再来看看 $ln 4$ 。这个 $ln$ 是自然对数，底数是那个数学里的“小 e”，大概是 2.718 多。自然对数的意思就是，e 的多少次方等于里面的那个数。所以 $ln 4$ 就是问“e 的多少次方等于 4”。
既然 e 大概是 2.718，那么 e 的一次方就是 2.718， e 的二次方呢？那就更大了，肯定超过 2.718 2.718，大概能估摸到 7 左右了。所以， $ln 4$ 这个数，肯定比 1 大，比 2 小。是不是比 $sqrt{2}$ 小呢？这就得再仔细看看了。
咱们可以试着凑个中间值。
你知道 $sqrt{2}$ 是个比 1.4 大一点点的数。那我们想想，e 的 1.4 次方大概是多少？这听起来又得用计算器了，对吧？别急，咱们换个思路。
咱们可以尝试把 $ln 4$ 变得更接近 $sqrt{2}$ 的样子，或者把 $sqrt{2}$ 变得更接近 $ln 4$ 的样子。
方法一：利用对数和指数的性质，把它们都变成指数形式
我们知道 $sqrt{2} = 2^{1/2}$。
而 $ln 4 = ln(2^2) = 2 ln 2$。
现在我们要比较 $2^{1/2}$ 和 $2 ln 2$。看起来还是不太好比。
换个角度，我们可以考虑把它们都变成 e 的多少次方。
$sqrt{2}$ 怎么变成 e 的次方呢？我们可以这样写： $sqrt{2} = e^{ln(sqrt{2})} = e^{frac{1}{2}ln 2}$。
现在我们要比较的是 $e^{frac{1}{2}ln 2}$ 和 $e^{2 ln 2}$。
因为 e 的指数函数是单调递增的，所以我们只需要比较指数部分： $frac{1}{2}ln 2$ 和 $2 ln 2$。
显然，$2 ln 2$ 比 $frac{1}{2}ln 2$ 大得多。所以，根据这个思路，似乎是 $ln 4$ 更大。
等等！这里有个问题。 我刚才把 $sqrt{2}$ 转换成了 $e$ 的次方，但 $ln 4$ 本身就是以 $e$ 为底的对数，它 不是 $e$ 的次方，而是 e 的多少次方等于 4 这个过程的 结果。我之前的转换是错误的。
正确的转换应该是：我们比较 $sqrt{2}$ 和 $ln 4$ 的大小，就等于比较 $e^{ln(sqrt{2})}$ 和 $e^{ln(ln 4)}$？ 不，也不是这么比的。
正确的思路是：比较 $a$ 和 $b$，等同于比较 $e^{ln a}$ 和 $e^{ln b}$（如果 $a, b > 0$）。
所以我们要比较：
$sqrt{2}$ 和 $ln 4$
就等同于比较 $e^{ln(sqrt{2})}$ 和 $e^{ln(ln 4)}$ 这个思路是误入歧途了，因为 $ln 4$ 本身不是指数。
我们应该这样做：
我们比较 $sqrt{2}$ 和 $ln 4$。
为了避免直接计算，我们可以思考一个关于 $e$ 的简单不等式。
方法二：找到一个我们知道大小关系的中间数
我们知道 $e approx 2.718$。
关于 $sqrt{2}$： 我们知道 $1.4^2 = 1.96$， $1.5^2 = 2.25$。所以 $sqrt{2}$ 在 $1.4$ 和 $1.5$ 之间，更接近 $1.4$。
关于 $ln 4$： 我们知道 $e^1 approx 2.718$， $e^2 approx 7.389$。所以 $ln 4$ 肯定在 $1$ 和 $2$ 之间。
为了更精确一点，我们试试看 $ln 4$ 和 $sqrt{2}$ 的关系。
我们能不能证明 $ln 4 > sqrt{2}$？
这意味着我们要证明 $e^{ln 4} > e^{sqrt{2}}$ （这个转换依然是错误的，$ln 4$ 不是指数）
我们要证明的是，数字 $ln 4$ 比数字 $sqrt{2}$ 大。
换一个更直接的思路：
我们知道 $e approx 2.718$。
我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$。
我们想比较 $sqrt{2}$ 和 $ln 4$。
我们可以尝试比较 $e$ 的某个幂次 和 $ln 4$ 的某个倍数，或者反过来。
尝试构造一个不等式：
我们知道 $e^x$ 是一个增函数。
如果我们能找到一个值 $x_0$，使得 $e^{x_0} > 4$ 并且 $x_0 le sqrt{2}$，那么我们就可以说 $ln 4 < x_0 le sqrt{2}$，从而 $ln 4 < sqrt{2}$。
或者，如果我们能找到一个值 $x_1$，使得 $e^{x_1} < 4$ 并且 $x_1 ge sqrt{2}$，那么我们就可以说 $ln 4 > x_1 ge sqrt{2}$，从而 $ln 4 > sqrt{2}$。
思考一个简单的值： $1.5$
我们知道 $1.5 > sqrt{2}$ 吗？ $1.5^2 = 2.25 > 2$，所以 $1.5 > sqrt{2}$ 是对的。
现在我们来算 $e^{1.5}$ 大概是多少。
$e^{1.5} = e^{3/2} = sqrt{e^3}$。
$e approx 2.718$。
$e^2 approx (2.718)^2 approx 7.389$。
$e^3 = e^2 cdot e approx 7.389 cdot 2.718$。
这又开始有点计算量了。不过我们可以估算一下：
$7.3 imes 2.7$ 大约是 $7 imes 3 = 21$，然后再加上一些零头。大概是 $20$ 左右。
更精确一点：$7.389 imes 2.718 approx 20.086$。
所以，$e^{1.5} = sqrt{e^3} approx sqrt{20.086}$。
$sqrt{16} = 4$， $sqrt{25} = 5$。所以 $sqrt{20.086}$ 大概在 $4$ 到 $5$ 之间，比 $4$ 大。
也就是说，$e^{1.5} > 4$。
我们已经证明了：
1. $1.5 > sqrt{2}$
2. $e^{1.5} > 4$
从 $e^{1.5} > 4$ 我们可以得到 $ln(e^{1.5}) > ln 4$，也就是 $1.5 > ln 4$。
现在我们有：
$1.5 > sqrt{2}$
$1.5 > ln 4$
这两个不等式都以 $1.5$ 为上界，但它们之间没有直接的比较关系。这说明我们选择的中间值 $1.5$ 没能帮我们直接比较 $sqrt{2}$ 和 $ln 4$。
咱们换个角度，思考一个我们想比较的值，比如 $1.4$。
我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$，所以 $sqrt{2} > 1.4$。
我们来比较 $e^{1.4}$ 和 $4$。
$e^{1.4} = e^{7/5} = sqrt[5]{e^7}$。这个也不好算。
再来试试另一个角度：比较 $e^{sqrt{2}}$ 和 $4$。
我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$。
$e^{sqrt{2}} approx e^{1.414}$。
我们想知道 $e^{1.414}$ 和 $4$ 的大小关系。
能不能用一个更简单的函数性质？
考虑函数 $f(x) = e^x x^2$。我们想比较 $ln 4$ 和 $sqrt{2}$。
这等同于比较 $e^{ln 4}$ 和 $e^{sqrt{2}}$ （又来这个错误思路！）
正确思路是：我们比较 $a$ 和 $b$，如果 $a = ln b$，那么我们比较 $b$ 和 $e^a$。
所以，比较 $sqrt{2}$ 和 $ln 4$，我们可以：
1. 假设 $sqrt{2} > ln 4$。那么 $e^{sqrt{2}} > e^{ln 4} = 4$。我们需要验证 $e^{sqrt{2}} > 4$ 是否为真。
2. 假设 $sqrt{2} < ln 4$。那么 $e^{sqrt{2}} < e^{ln 4} = 4$。我们需要验证 $e^{sqrt{2}} < 4$ 是否为真。
所以问题就转化为了比较 $e^{sqrt{2}}$ 和 $4$。
我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$。
我们需要比较 $e^{1.414}$ 和 $4$。
有没有什么办法来估计 $e^{1.414}$？
我们可以用泰勒展开式来近似，$e^x = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + dots$
我们取 $x = sqrt{2} approx 1.414$。
$e^{sqrt{2}} approx 1 + sqrt{2} + frac{(sqrt{2})^2}{2!} + frac{(sqrt{2})^3}{3!} + frac{(sqrt{2})^4}{4!} + dots$
$e^{sqrt{2}} approx 1 + sqrt{2} + frac{2}{2} + frac{2sqrt{2}}{6} + frac{4}{24} + dots$
$e^{sqrt{2}} approx 1 + sqrt{2} + 1 + frac{sqrt{2}}{3} + frac{1}{6} + dots$
$e^{sqrt{2}} approx 2 + sqrt{2} + frac{sqrt{2}}{3} + frac{1}{6} + dots$
$e^{sqrt{2}} approx 2 + 1.414 + frac{1.414}{3} + 0.167 + dots$
$e^{sqrt{2}} approx 2 + 1.414 + 0.471 + 0.167 + dots$
$e^{sqrt{2}} approx 4.052 + dots$
从这个粗略的估算来看，$e^{sqrt{2}}$ 好像是大于 $4$ 的。
如果 $e^{sqrt{2}} > 4$ 是真的，那么根据我们之前的推导，$e^{sqrt{2}} > e^{ln 4}$，因此 $sqrt{2} > ln 4$。
为了更严谨，我们可以尝试一个更保守的估计。
我们知道 $1.4 < sqrt{2} < 1.5$。
让我们尝试证明 $e^{1.4} < 4$ 和 $e^{1.5} > 4$。
我们之前算过 $e^{1.5} = sqrt{e^3}$。
$e approx 2.7$ 左右。
$e^3 approx (2.7)^3 = (2.7)^2 imes 2.7 = 7.29 imes 2.7$。
$7.29 imes 2.7 approx 7.3 imes 2.7 = 19.71$。
所以 $e^{1.5} approx sqrt{19.71}$。
$sqrt{16} = 4$， $sqrt{25} = 5$。 $sqrt{19.71}$ 确实大于 $4$。
所以 $e^{1.5} > 4$ 是对的。
现在我们需要证明 $e^{1.4} < 4$。
$e^{1.4} = e^{7/5} = (e^7)^{1/5}$。
我们可以试试用一个比 $e$ 小的数来做底数。
比如，我们知道 $2 < e$。
所以 $2^{1.4} < e^{1.4}$。
$2^{1.4} = 2^{7/5} = (2^7)^{1/5} = (128)^{1/5}$。
$2^5 = 32$, $3^5 = 243$。所以 $128^{1/5}$ 大约在 $2$ 和 $3$ 之间，接近 $2.6$ 左右。
这还是没法直接和 $4$ 比。
换一个思路，我们直接比较 $ln 4$ 和 $sqrt{2}$，看看能不能找到一个共同的基准。
我们知道 $ln 4 = ln(2^2) = 2 ln 2$。
我们要比较 $sqrt{2}$ 和 $2 ln 2$。
这等同于比较 $frac{sqrt{2}}{2}$ 和 $ln 2$。
即比较 $frac{1}{sqrt{2}}$ 和 $ln 2$。
$frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2} approx frac{1.414}{2} = 0.707$。
我们要比较 $0.707$ 和 $ln 2$。
$ln 2$ 是什么意思？就是 $e^x = 2$ 的那个 $x$。
我们知道 $e approx 2.718$。
$e^0 = 1$, $e^1 = 2.718$。所以 $ln 2$ 在 $0$ 和 $1$ 之间。
比 $0.707$ 大还是小呢？
让我们试试估计 $ln 2$ 的值。
我们可以用泰勒展开式来估算 $ln(1+x)$ 在 $x=1$ 的情况。
$ln(1+x) = x frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} dots$
$ln 2 = ln(1+1)$。但是这个级数在 $x=1$ 的时候收敛很慢。
不如我们换个数值来估计 $ln 2$。
我们知道 $e approx 2.718$。
我们想知道 $e^x = 2$ 的 $x$ 是多少。
如果 $x = 0.7$， $e^{0.7} = e^{7/10} = sqrt[10]{e^7}$。这还是不好算。
我们换个函数来比较！
考虑函数 $f(x) = frac{ln x}{x}$。
我们要求导：$f'(x) = frac{1 cdot x ln x cdot 1}{x^2} = frac{1 ln x}{x^2}$。
当 $1 ln x = 0$ 时，$f(x)$ 取得极值，即 $ln x = 1$， $x = e$。
当 $x < e$ 时，$1 ln x > 0$， $f'(x) > 0$，函数递增。
当 $x > e$ 时，$1 ln x < 0$， $f'(x) < 0$，函数递减。
我们现在要比较的是 $sqrt{2}$ 和 $ln 4$。
$sqrt{2} = 2^{1/2}$。
$ln 4 = 2 ln 2$。
有没有办法把它们变成 $frac{ln x}{x}$ 的形式？
$sqrt{2}$ 似乎不太好变成 $frac{ln x}{x}$ 的形式。
我们回到比较 $frac{1}{sqrt{2}}$ 和 $ln 2$。
$frac{1}{sqrt{2}} approx 0.707$。
我们需要知道 $ln 2$ 是比 $0.707$ 大还是小。
我们知道 $e^x = 2$。
尝试估算 $e^{0.7}$。
$e^{0.7} = e^{7/10}$。
我们知道 $e approx 2.718$。
我们可以尝试用 $e$ 的一个简单的幂次来逼近。
我们知道 $e^2 approx 7.389$。
我们知道 $e^1 approx 2.718$。
我们知道 $ln 2$ 的值。
我们知道 $ln 3 approx 1.0986$。
$ln 4 = 2 ln 2$。
试试 $ln 2$ 和 $0.7$ 的关系。
我们知道 $e^{0.7} < e^{0.707}$
我们需要比较 $e^{0.7}$ 和 $2$ 的大小。
尝试一个更直观的方法：我们知道 $sqrt{2}$ 和 $ln 4$ 分别大概在哪。
$sqrt{2}$：比 $1.4$ 大一点点，比 $1.5$ 小。
$ln 4$： $e^1 approx 2.718$， $e^2 approx 7.389$。所以 $ln 4$ 在 $1$ 和 $2$ 之间。
$e^{1.3} approx 3.669$
$e^{1.4} approx 4.055$
所以 $ln 4$ 大约在 $1.3$ 和 $1.4$ 之间，更接近 $1.4$。
这样看起来， $sqrt{2}$ (约 $1.414$) 和 $ln 4$ (约 $1.386$) 似乎是 $sqrt{2}$ 更大。
但是，我们不能仅凭估算下结论，需要数学上的证明。
我们之前比较了 $frac{1}{sqrt{2}}$ 和 $ln 2$。
$frac{1}{sqrt{2}} approx 0.707$。
我们要证明 $frac{1}{sqrt{2}} > ln 2$。
这等同于证明 $e^{frac{1}{sqrt{2}}} > 2$。
让我们换一个思路，用函数 $f(x) = e^x$ 和 $g(x) = frac{x+1}{2}$ 来比较。
我们知道函数 $f(x) = e^x$ 是一个 上凸函数（二阶导数大于0）。
对于上凸函数，它在切线下方。
在 $x=0$ 点的切线是 $y = f(0) + f'(0)x = 1 + 1x = 1+x$。
所以 $e^x > 1+x$ 对于所有 $x eq 0$。
我们想比较 $sqrt{2}$ 和 $ln 4$。
这等同于比较 $e^{sqrt{2}}$ 和 $4$。
如果我们能证明 $e^{sqrt{2}} > 4$，那么 $sqrt{2} > ln 4$。
我们知道 $e^x > 1+x$。
令 $x = sqrt{2}$。
$e^{sqrt{2}} > 1 + sqrt{2}$。
我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$，所以 $1 + sqrt{2} approx 2.414$。
这个不等式告诉我们 $e^{sqrt{2}} > 2.414$，但这还不足以证明它大于 $4$。
让我们试试一个更强的结论：对于 $x > 0$， $e^x > 1 + x + frac{x^2}{2}$。
这是 $e^x$ 的泰勒展开前三项。
令 $x = sqrt{2}$。
$e^{sqrt{2}} > 1 + sqrt{2} + frac{(sqrt{2})^2}{2} = 1 + sqrt{2} + frac{2}{2} = 1 + sqrt{2} + 1 = 2 + sqrt{2}$。
$e^{sqrt{2}} > 2 + sqrt{2} approx 2 + 1.414 = 3.414$。
还是不够。
试试 $e^x > 1 + x + frac{x^2}{2} + frac{x^3}{6}$。
令 $x = sqrt{2}$。
$e^{sqrt{2}} > 1 + sqrt{2} + frac{(sqrt{2})^2}{2} + frac{(sqrt{2})^3}{6}$
$e^{sqrt{2}} > 1 + sqrt{2} + 1 + frac{2sqrt{2}}{6} = 2 + sqrt{2} + frac{sqrt{2}}{3}$
$e^{sqrt{2}} > 2 + sqrt{2}(1 + frac{1}{3}) = 2 + sqrt{2}(frac{4}{3})$
$e^{sqrt{2}} > 2 + frac{4}{3}sqrt{2} approx 2 + frac{4}{3}(1.414)$
$e^{sqrt{2}} > 2 + 1.885 = 3.885$。
还是不够。
让我们尝试用一个简单的数值来界定 $ln 2$ 的范围。
我们知道 $e^{0.7} < 2$ 吗？
或者 $e^{0.69} < 2$？
我们知道 $e^{0.7} = e^{7/10} = sqrt[10]{e^7}$。
我们可以尝试用二项式展开来估计 $(1+x)^n$。
我们知道 $ln x$ 的图像。
我们想比较 $sqrt{2}$ 和 $ln 4$。
这是一个比较数值大小的问题，很多时候可以转化为比较指数函数的值。
我们已经知道 $sqrt{2} approx 1.414$。
我们要比较的是 $ln 4$。
我们知道 $e approx 2.718$。
$e^1 = 2.718$
$e^{1.5} = e cdot e^{0.5} = e sqrt{e} approx 2.718 sqrt{2.718}$。
$sqrt{2.718}$ 比 $sqrt{2.56}=1.6$ 和 $sqrt{2.89}=1.7$ 之间，大概是 $1.65$ 左右。
$e^{1.5} approx 2.718 imes 1.65 approx 4.48$。
所以，我们有 $e^{1.5} approx 4.48 > 4$。
这意味着 $ln(e^{1.5}) > ln 4$，所以 $1.5 > ln 4$。
现在我们有：
$ln 4 < 1.5$
$sqrt{2} < 1.5$ （因为 $1.5^2 = 2.25 > 2$）
这两个都小于 $1.5$ 依然不能直接比较。
我们换一个更贴近 $sqrt{2}$ 的值来估计 $ln 4$ 的上界。
我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$。
我们想知道 $ln 4$ 是否小于 $1.414$。
这等同于问 $e^{1.414}$ 是否小于 $4$。
我们知道 $e^{1.4} approx 4.055$。
这说明 $e^{1.4}$ 已经大于 $4$ 了。
所以， $ln(e^{1.4}) > ln 4$。
这意味着 $1.4 > ln 4$。
我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$。
我们已经证明 $ln 4 < 1.4$。
所以， $ln 4 < 1.4 < 1.414 approx sqrt{2}$。
最终的结论是：$ln 4 < sqrt{2}$。
为了让过程更清晰和严谨：
第一步：对数形式的转化
我们想比较 $sqrt{2}$ 和 $ln 4$。
注意到 $ln 4 = ln(2^2) = 2 ln 2$。
所以问题转化为比较 $sqrt{2}$ 和 $2 ln 2$。
再转化为比较 $frac{sqrt{2}}{2}$ 和 $ln 2$。
我们知道 $frac{sqrt{2}}{2} = frac{1}{sqrt{2}}$。
所以我们要比较 $frac{1}{sqrt{2}}$ 和 $ln 2$。
第二步：利用指数函数的单调性
比较 $A$ 和 $B$，我们可以考虑比较 $e^A$ 和 $e^B$。
我们要比较 $frac{1}{sqrt{2}}$ 和 $ln 2$。
这等同于比较 $e^{frac{1}{sqrt{2}}}$ 和 $e^{ln 2}$。
而 $e^{ln 2} = 2$。
所以问题转化为比较 $e^{frac{1}{sqrt{2}}}$ 和 $2$。
第三步：估计 $e^{frac{1}{sqrt{2}}}$ 的值
我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$。
所以 $frac{1}{sqrt{2}} approx frac{1}{1.414} approx 0.707$。
我们要比较 $e^{0.707}$ 和 $2$。
我们可以尝试从另一个角度来估计 $ln 2$ 的值。
已知一个重要事实（或需要推导）：对于 $x > 0$， $e^x > 1 + x$。
令 $x = frac{1}{sqrt{2}}$。
$e^{frac{1}{sqrt{2}}} > 1 + frac{1}{sqrt{2}} = 1 + frac{sqrt{2}}{2}$。
我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$，所以 $frac{sqrt{2}}{2} approx 0.707$。
$1 + frac{sqrt{2}}{2} approx 1 + 0.707 = 1.707$。
所以 $e^{frac{1}{sqrt{2}}} > 1.707$。
这仍然不足以证明它大于 $2$。
让我们尝试一个更精确的估计，或者换一个角度证明。
我们知道 $e^x$ 函数。我们想找到一个 $x$ 的值，使得 $e^x$ 恰好等于 $2$。这个 $x$ 就是 $ln 2$。
我们想知道 $ln 2$ 和 $frac{1}{sqrt{2}}$ 的大小。
思考一下一个反证法或者直接比较。
我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$。
我们知道 $ln 4 = 2 ln 2$。
如果 $ln 4 > sqrt{2}$，那么 $2 ln 2 > sqrt{2}$， $ln 2 > frac{sqrt{2}}{2} approx 0.707$。
这意味着 $e^{ln 2} > e^{0.707}$，即 $2 > e^{0.707}$。
如果 $ln 4 < sqrt{2}$，那么 $2 ln 2 < sqrt{2}$， $ln 2 < frac{sqrt{2}}{2} approx 0.707$。
这意味着 $e^{ln 2} < e^{0.707}$，即 $2 < e^{0.707}$。
关键在于证明 $2$ 和 $e^{0.707}$ 的大小关系。
我们知道 $e^{0.7} = e^{7/10} = sqrt[10]{e^7}$。
这个不好算。
我们换一个更简单的数值来估计 $ln 2$ 的值。
我们知道 $e^{0.693} approx 2$。 所以 $ln 2 approx 0.693$。
而 $frac{1}{sqrt{2}} approx 0.707$。
这样看来， $frac{1}{sqrt{2}} > ln 2$ 是对的。
但是，我们不能直接用近似值来证明。
最终尝试一个更直接的比较方式：
我们比较 $sqrt{2}$ 和 $ln 4$。
我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$。
我们想知道 $ln 4$ 是比 $1.414$ 大还是小。
我们知道 $e^{1.4} approx 4.055$。
这意味着 $e^{1.4} > 4$。
所以，取自然对数， $ln(e^{1.4}) > ln 4$。
即 $1.4 > ln 4$。
我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$。
所以，我们得到了 $ln 4 < 1.4 < 1.414 approx sqrt{2}$。
因此， $ln 4 < sqrt{2}$。
这个证明的关键在于：
1. 知道 $sqrt{2}$ 大约是 $1.414$。
2. 知道 $e$ 的值（大约 $2.718$）。
3. 能够通过估算或者利用已知的不等式来比较 $e^{1.4}$ 和 $4$ 的大小。
如何估算 $e^{1.4}$ 而不直接计算？
我们知道 $e^x$ 的增长速度。
$e^1 approx 2.718$。
$e^2 approx 7.389$。
我们知道 $e^{1.5} = e sqrt{e}$。
$sqrt{e}$ 大约是 $sqrt{2.718}$。
我们知道 $1.6^2 = 2.56$, $1.7^2 = 2.89$。
所以 $sqrt{e}$ 大约在 $1.6$ 到 $1.7$ 之间。
如果我们取 $1.65$ 估算： $e^{1.5} approx 2.718 imes 1.65 approx 4.48$。
因此 $e^{1.5} > 4$ 是很容易得出的。
所以 $1.5 > ln 4$。
现在我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$ 和 $ln 4 < 1.5$。
如果我们能证明 $ln 4 < 1.4$，问题就解决了。
如何证明 $ln 4 < 1.4$？
等价于证明 $4 < e^{1.4}$。
$e^{1.4} = e^{7/5}$。
我们可以尝试用一个比 $e$ 小但比 $1$ 大的数来估计 $e^{1.4}$。
或者，我们可以利用函数 $f(x) = e^x$ 的性质。
更精细的比较 $ln 2$ 和 $frac{1}{sqrt{2}}$：
考虑函数 $f(x) = ln x$ 和 $g(x) = frac{x}{2}$。
我们要比较 $ln 2$ 和 $frac{1}{sqrt{2}}$。
已知 $ln x < x1$ 对所有 $x>0, x eq 1$。
如果我们令 $x = 2$， $ln 2 < 21 = 1$。
如果我们令 $x = sqrt{2}$， $ln sqrt{2} < sqrt{2}1$。
$frac{1}{2} ln 2 < sqrt{2}1$。
$ln 2 < 2sqrt{2}2 approx 2(1.414)2 = 2.8282 = 0.828$。
这还是不能直接比较。
最终的简化思路，也是最直观的：
1. 我们知道 $sqrt{2} approx 1.414$。
2. 我们想知道 $ln 4$ 大约是多少。
3. 我们知道 $e approx 2.718$。
4. 我们知道 $e^1 approx 2.718$。
5. 我们知道 $e^{1.5} = e sqrt{e}$。估算 $sqrt{e}$。因为 $1.6^2 = 2.56$，$1.7^2 = 2.89$，所以 $sqrt{e}$ 大约是 $1.65$ 左右。
6. 所以 $e^{1.5} approx 2.7 imes 1.65 approx 4.45$。
7. 因为 $e^{1.5} > 4$，所以 $ln(e^{1.5}) > ln 4$，即 $1.5 > ln 4$。
8. 我们知道 $sqrt{2} approx 1.414 < 1.5$。
现在我们知道 $ln 4 < 1.5$ 和 $sqrt{2} < 1.5$。这仍然没有直接的比较。
关键点在于：如何证明 $ln 4 < 1.4$ 或 $sqrt{2} > 1.4$ 并结合起来。
我们知道 $1.4^2 = 1.96 < 2$，所以 $1.4 < sqrt{2}$。
我们现在要证明 $ln 4 < 1.4$。
这等价于证明 $4 < e^{1.4}$。
我们可以用一个更简单的函数来代替 $e^x$ 进行比较。
比如 $f(x) = 2^x$。
$2^{1.4} = 2^{7/5} = sqrt[5]{2^7} = sqrt[5]{128}$。
$2^5 = 32$, $3^5 = 243$。 $sqrt[5]{128}$ 大约是 $2.6$ 左右。
回到 $e^{1.4}$ 的估算。
我们可以尝试用一些已知的不等式。
费马小定理的变种：
或者用一些导数证明的技巧。
假设我们能接受 $e^{1.4} > 4$ 这个结论（它可以通过更复杂的级数展开证明，或者已知数值）。
一旦我们证明了 $e^{1.4} > 4$，那么取自然对数，我们得到 $1.4 > ln 4$。
同时，我们很容易知道 $1.4 < sqrt{2}$，因为 $1.4^2 = 1.96 < 2$。
结合这两个不等式： $ln 4 < 1.4 < sqrt{2}$。
所以， $ln 4$ 比 $sqrt{2}$ 小。
这个方法依赖于你知道 $1.4^2 = 1.96$ 和 $e^{1.4} > 4$ 这个“事实”。
要严格证明 $e^{1.4} > 4$ 而不依赖计算器，需要用到泰勒级数的余项估计，或者一些积分不等式，这会使过程变得相当复杂。
一个更纯粹的数学方法（可能有点绕）：
比较 $sqrt{2}$ 和 $ln 4$。
转化为比较 $frac{sqrt{2}}{2}$ 和 $ln 2$。
转化为比较 $frac{1}{sqrt{2}}$ 和 $ln 2$。
考虑函数 $f(x) = ln x$ 和 $g(x) = frac{1}{sqrt{2}}$。
我们想知道在 $x=2$ 的时候，$f(2)$ 和 $g(2)$ 的大小。
考虑函数 $h(x) = ln x (frac{x1}{2})$。
$h'(x) = frac{1}{x} frac{1}{2}$。
当 $x=2$ 时，$h'(2) = frac{1}{2} frac{1}{2} = 0$。
$h''(x) = frac{1}{x^2}$。
$h''(2) = frac{1}{4} < 0$。
所以 $x=2$ 是函数 $h(x)$ 的一个局部极大值点。
此时 $h(2) = ln 2 (frac{21}{2}) = ln 2 frac{1}{2}$。
由于是极大值，所以 $ln 2 frac{1}{2}$ 应该是一个正数（或者至少是大于某个值）。
这个方法似乎也不太直接。
总结来说，最容易理解且无需计算器（仅需一些基础运算和估算）的思路是：
1. 知道 $sqrt{2} approx 1.414$。
2. 通过估算 $e^{1.4}$ 与 $4$ 的关系来确定 $ln 4$ 的范围。
3. 由于 $1.4^2 = 1.96 < 2$，所以 $1.4 < sqrt{2}$。
4. 如果能证明 $e^{1.4} > 4$，则 $ln 4 < 1.4$。
5. 结合起来就是 $ln 4 < 1.4 < sqrt{2}$。
这个方法的难点在于“证明 $e^{1.4} > 4$”这一步，在不使用计算器的情况下需要一些数学技巧，例如对泰勒级数进行估计，或者利用已知的不等式。但从概念上讲，这个思路是最清晰的。
网友意见
sqrt(2)>1.414>2×0.7>2ln2=ln4.
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