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问题

2 的 100 次方到底有多大？

回答
好的，我们来详细地聊聊 2 的 100 次方（2¹⁰⁰）到底有多大。

首先，要理解 2¹⁰⁰ 的大小，我们需要建立一些参照物和概念。

1. 数字本身的大小：

2¹⁰⁰ 是一个非常非常大的整数。为了让你有一个概念，我们先看一些小的指数：

2¹ = 2
2² = 4
2³ = 8
2¹⁰ = 1024 （大约是 1 千）
2²⁰ = 1,048,576 （大约是 1 百万）
2³⁰ = 1,073,741,824 （大约是 1 十亿）
2⁴⁰ = 1,099,511,627,776 （大约是 1 万亿）

你会发现，随着指数的增长，数字的大小增长得非常快。

计算 2¹⁰⁰ 的具体数值：

2¹⁰⁰ 的精确数值是：

1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376

这是一个 22 位 的数字（从个位算起，到最高位的 1）。

2. 和我们熟悉的事物进行对比：

仅仅看这个巨大的数字本身可能还是比较抽象。我们来用一些更直观的方式来感受它的“大”：

它比地球上的人口多多少？
地球人口大约是 80 亿（8 x 10⁹）。
2¹⁰⁰ 是 1.267 x 10²¹（我们近似一下，后面会更精确）。
所以，2¹⁰⁰ 比地球上的人口多出大约 1.267 x 10²¹ / (8 x 10⁹) ≈ 1.5 x 10¹¹ 倍。
也就是说，如果你把地球上的每个人都变成一个独立的个体，那么 2¹⁰⁰ 至少是他们的 1500 亿倍。

和宇宙中的物体数量对比：
科学家估计，可观测宇宙中的恒星数量大约是 10²² 到 10²⁴ 颗。
2¹⁰⁰ 的数量级是 10²¹，与宇宙中恒星的数量在同一个数量级上，甚至可能比某些估算出的恒星数量要少一些。这意味着，如果把 2¹⁰⁰ 想象成某种粒子，那么这些粒子“多到”可以与宇宙中数千亿个星系中的恒星数量相提并论。

和我们日常生活中的数量对比：
一张纸的厚度？
一张普通的打印纸厚度大约是 0.1 毫米（10⁻⁴ 米）。
2¹⁰⁰ 的厚度如果我们能一张张叠起来，将是：
2¹⁰⁰ 0.1 毫米 = 1.267 x 10²¹ 10⁻⁴ 米 = 1.267 x 10¹⁷ 米
这大约是 1.267 亿万公里。
地球到太阳的距离大约是 1.5 亿公里。
所以，2¹⁰⁰ 张纸叠起来的高度，大约是地球到太阳距离的 8.4 亿倍！
光速大约是 3 x 10⁸ 米/秒。
1.267 x 10¹⁷ 米 / (3 x 10⁸ 米/秒) ≈ 4.2 x 10⁸ 秒。
4.2 亿秒 ≈ 13.4 年。
这意味着，如果你从一个点开始，每秒钟叠一张纸（这是不可能的），你需要叠 13.4 年 才能达到 2¹⁰⁰ 张纸的高度。

计算机存储容量？
现在我们常说的存储单位有 KB (千字节), MB (兆字节), GB (千兆字节), TB (太字节), PB (拍字节), EB (艾字节), ZB (泽字节), YB (尧字节)。
1 KB = 1024 字节 (近似 10³)
1 MB ≈ 10³ KB ≈ 10⁶ 字节
1 GB ≈ 10³ MB ≈ 10⁹ 字节
1 TB ≈ 10³ GB ≈ 10¹² 字节
1 PB ≈ 10³ TB ≈ 10¹⁵ 字节
1 EB ≈ 10³ PB ≈ 10¹⁸ 字节
1 ZB ≈ 10³ EB ≈ 10²¹ 字节
1 YB ≈ 10³ ZB ≈ 10²⁴ 字节
2¹⁰⁰ 字节 ≈ 1.267 x 10²¹ 字节。
所以，2¹⁰⁰ 字节大约是 1.267 泽字节 (ZB)。这是一个什么样的概念呢？
目前全球所有数据总量的估算非常困难，但一些估算认为在 2025 年左右，全球数据总量可能达到 180 ZB。
这意味着 2¹⁰⁰ 的字节数，大约相当于目前全球数据总量的 0.7%。虽然不是巨大到可以吞没整个互联网，但已经是一个非常可观的数字了。

3. 指数增长的威力：

2¹⁰⁰ 之所以如此之大，完全归功于 指数增长 的威力。简单来说，每次乘以 2，数字都会翻倍。

2¹⁰ 是 1024，大约是 1 千 (10³)。
2²⁰ 是 (2¹⁰)² ≈ (10³)² = 10⁶，大约是 1 百万。
2³⁰ 是 (2¹⁰)³ ≈ (10³ )³ = 10⁹，大约是 1 十亿。
2¹⁰⁰ 是 (2¹⁰)¹⁰ ≈ (10³)¹⁰ = 10³⁰。

这是一个非常粗略的估计，因为 1024 比 1000 要大一些，所以实际结果会比 10³⁰ 要大。更精确的计算我们上面已经看到，是 1.267 x 10²¹。

更精确的估算：

我们可以用对数来估算 2¹⁰⁰ 的位数：

log₁₀(2¹⁰⁰) = 100 log₁₀(2)
log₁₀(2) ≈ 0.30103

所以，log₁₀(2¹⁰⁰) ≈ 100 0.30103 = 30.103

这意味着 2¹⁰⁰ 等于 10³⁰.¹⁰³。
10³⁰.103 = 10⁰.103 10³⁰

10⁰.103 是一个小于 10 的数（大约是 1.267）。
所以，2¹⁰⁰ ≈ 1.267 x 10³⁰。

请注意： 我上面这个估算时把 1024 近似成了 10³，这里的结果是 10³⁰。但实际的计算结果是 1.267 x 10²¹。这中间的计算出现了错误。

让我们重新使用对数来计算精确的位数：

log₁₀(2¹⁰⁰) = 100 log₁₀(2) ≈ 100 0.30102999566 ≈ 30.102999566

这个结果的意思是：
2¹⁰⁰ = 10³⁰.102999566
2¹⁰⁰ = 10⁰.102999566 10³⁰

10⁰.102999566 的值是多少？
10⁰.102999566 ≈ 1.26765

所以，2¹⁰⁰ ≈ 1.26765 x 10³⁰

再次仔细检查上面的计算过程！

我发现上面关于 10²¹ 和 10³⁰ 的混淆是由于我没有仔细区分单位数量级。

让我们回到 2¹⁰ 的估算：
2¹⁰ = 1024 ≈ 10³ (千)

现在我们要计算 2¹⁰⁰：
2¹⁰⁰ = 2¹⁰ 2¹⁰ 2¹⁰ 2¹⁰ 2¹⁰ 2¹⁰ 2¹⁰ 2¹⁰ 2¹⁰ 2¹⁰
2¹⁰⁰ = (2¹⁰)¹⁰
2¹⁰⁰ ≈ (10³ )¹⁰
2¹⁰⁰ ≈ 10³⁰

这个估算确实是将 1024 近似成了 1000。当指数增大时，这种近似的误差会累积。

更准确的估算方法：

我们使用 2¹⁰ ≈ 10³ 这个信息。
2¹⁰⁰ = (2¹⁰)¹⁰
2¹⁰⁰ ≈ (10³)¹⁰ = 10³⁰

我们知道 2¹⁰ = 1024，它比 1000 大一点点。
1024 = 1.024 10³

所以，2¹⁰⁰ = (1.024 10³)¹⁰
2¹⁰⁰ = (1.024)¹⁰ (10³)¹⁰
2¹⁰⁰ = (1.024)¹⁰ 10³⁰

现在我们需要计算 (1.024)¹⁰。
使用二项式定理或者计算器可以得到：
(1.024)¹⁰ ≈ 1.26765

所以，2¹⁰⁰ ≈ 1.26765 10³⁰。

这才是正确的数量级估算！

那么，这个数字有多大呢？
它是一个 31 位 的数字（因为 10³⁰ 是一个 31 位数字，如 100...0，共 31 个数字）。
1.26765 x 10³⁰ 意味着这个数字大约是 1267 后面跟着 27 个零。

总结一下 2¹⁰⁰ 的“大”：

精确数值： 1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376 （一个 31 位数字）
数量级： 大约是 1.267 sextillion (六十进制数，即 10²¹，这是我之前估算时犯的错误，现在改正为 10³⁰)。

重要的更正：
我的对数计算 `log₁₀(2¹⁰⁰) ≈ 30.103` 是正确的。
这意味着 2¹⁰⁰ 是一个比 10³⁰ 大的数，但是比 10³¹ 小的数。
所以它是一个 31 位 的数字。
它的科学计数法表示是 1.267 x 10³⁰。

对比：
比地球上人口（80亿 ≈ 8 x 10⁹）大了约 1.6 x 10²⁰ 倍。
比可观测宇宙中的恒星数量（约 10²² 10²⁴）要小一个数量级到两个数量级。
如果把 2¹⁰⁰ 张纸叠起来，高度可以绕地球赤道很多很多圈（或者达到我们上面计算的惊人高度）。

指数增长是理解 2¹⁰⁰ 如此之大的关键。

想想看，如果只是把数字相加，就算你加 100 次，也不会变得这么夸张。但每次都是翻倍（乘以 2），这种累积效应是惊人的。这就是为什么在计算机科学、金融（复利）以及很多自然现象中，指数增长都显得如此重要和令人敬畏。

希望这个详细的解释能让你对 2 的 100 次方有多大有一个更深刻的理解！

网友意见

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假设一张可以充分折叠的纸厚度为0.1毫米；在不计纸张本身以外的任何厚度的情况下，将其对折n次后，其厚度为. 那么：

对折10次，厚度达到约0.1米，差不多是一根尺子吧；

对折15次，厚度超过3米，显著长于姚明；

对折20次，厚度大约105米，显著长于民用客机（一般机身长度六十余米）；


对折25次，厚度大约3355米，这个高度已经超过峨眉山的海拔了，更早已把五岳全都踩在了脚下；


对折30次，厚度大约107千米（107374米）不要说珠峰，这个高度已经足以穿过对流层、平流层、中间层，进入大气层之中的热层（暖层）了；


对折35次，厚度大约3436千米，已经足够完全离开大气层了；

对折40次，厚度大约109950千米，一次可绕地球两圈半！

对折45次，厚度大约351万千米，可以来回月球接近五次。

对折50次，厚度达到1.1亿千米，可以来回金星一次。

对折51次，厚度达到约2.3亿千米，远远足以到达太阳。








别忘了，这个时候，咱们才刚折了一半。

对折57次，厚度约为144亿千米，近似赶上旅行者1号的足迹、离开太阳系了。

对折60次，厚度达到约1153亿千米，光大约需要穿梭4.4天。

对折70次，厚度达到118万亿千米，大约12光年，以此别说去往离我们最近的太阳以外的恒星——比邻星绰绰有余、甚至来回巴那德星都够了。

对折80次，厚度达到12亿亿千米，大约1.2万光年，大约走到我们和银河系中央的中点；

对折90次，厚度达到12379亿亿千米（如果喜欢的话，1.2万亿亿千米），大约1300万光年，是银河系直径的一百倍。


激动人心的时刻终于到来了：

对折100次，厚度达到1268万亿亿千米，也即12,676,500,000,000,000,000,000千米^-^

如果换算一个更加直观的单位的话，这个厚度大约折合134亿光年。

也就是说，如果我们把纸叠的这么高，需要接近从宇宙大爆炸到现在的全部时间（137亿年）使得光从这张叠纸的顶端到达我们的眼中。




没错，大爆炸！








注1：图自网络，侵删；

注2：数据和计算只代表粗略估值；

注3：若听说传闻称一张纸最多只能折叠7次，请参看此视频

youtube.com/watch?

(流言终结者-将一张纸折过七次/MythBusters- Folding Paper Seven Plus Times) 其中将一张足够大、足够软的纸对折了十一次。



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补一个关于质量运算来说明为什么人类不可能制造出这样的一张纸：

假设折叠完成后的每一层面积仅为1平方厘米，（在长度上百亿光年的情况下，这样的面积显然已经严重过小了，但是为运算的便宜，不妨借用这个假设）

按照一般白纸定量来算，整个叠纸的总质量将为, 是整个地球的质量的1.2倍。（地球质量大约)
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我来给一个最直观的描述吧，顺便解决一点宗教争端。

2的100次方是1.27乘以10的30次方，这个数字在太阳系内很有用。

地球表面积是5.1亿平方公里。如果把2的100次方个粒子平均分配到地球表面，每平方毫米要分到25亿个粒子（好挤）。这些粒子均匀分布在方格上，间距是一毫米的五万分之一，即20纳米，和人类加工芯片的精度差不多。如果人类按照当前电子工业的一般技术水平，把整个地球表面都画上纵横交错的微电路，交叉点数量差不多就是2的100次方。@

lanjxd

同学指出，这正是人类制造“山寨”智子的复杂度极限。

换个说法，地球体积差不多1.1万亿立方公里。即10的12次方立方公里，折合为立方毫米，是10的30次方立方毫米。恰好和2的100次方处于同一个数量级。换句话说，1毫米见方的方块，搞2的100次方个，紧密堆积起来，刚好可以堆出一个半径略大于地球的球体（听起来不多啊）。


进一步说，太阳的体积是地球的130万倍≈1.27*100万，而立方分米和立方毫米之间的倍数正好是100万倍。显然，1分米见方的发光方块，搞2的100次方个紧密堆积起来，堆出的球体就是太阳。

如此看来，上帝的身份基本可以确定了——玩minecraft的处女座程序员。


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【我的世界】世界地图 - 地球mod【Minecraft】—在线播放—优酷网，视频高清在线观看 http://v.youku.com/v_show/id_XMTQ5NTYwMzc3Ng==.html
#已弃坑#【我的世界_Minecraft】太阳系空岛生存 http://v.youku.com/v_show/id_XNTc0MzA5NzE2.html?f=19411525&o=1&spm=a2h0j.8251843.playList.5~5~A
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粗略相当于一架全铝的波音737里面铝原子的数量。



2^100约等于1.27x10^30；

1mol粒子有6.02x10^23个粒子；

也就是说，2^100约等于2.1x10^6mol。

又有，1mol的铝原子质量大概是27克。

因此2^100个铝原子，质量大约是5.67x10^7克，也就是56.7吨。大概是个小飞机的重量。

（搜了下波音737空载是61.6吨，基本差不多。因为波音系列的材料主要都是铝合金，因此用铝来衡量。）

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