有哪些定理在高维情况下与三维情况下培养出来的直觉不符？
在三维空间中摸爬滚打久了，我们积累了丰富的空间直觉。比如，我们知道一个球体在单位时间内，表面积的变化是它体积的特定比例，体积增加得越快，表面积也跟着增加，而且我们能很直观地想象出这个过程。我们还知道，在三维空间中，一个封闭曲面内部的“洞”是有限的，而且我们能用手指轻易地描述出这些洞的形状和数量。
然而，当我们把目光投向更高维度的空间时，曾经那些坚实的直觉就开始变得摇摇欲坠，甚至彻底颠覆。以下是一些在高维情况下，与我们三维直觉大相径庭的定理：
1. 球体的“边角料”：维度越高，体积越集中在表面附近
想象一个球体。在三维空间里，我们能轻易地感受到球体的体积是均匀分布的，从中心到表面，每个区域都占有一定比例的体积。即使我们稍微缩小一点半径，损失的体积似乎也是均匀的。
但在高维空间，情况会发生戏剧性的变化。一个高维超球体（比如一个四维球体，我们称之为“超球”）的体积，在很大程度上“挤压”到了靠近表面的薄薄一层。维度越高，这种现象越显著。
举个例子：
一维: 一个长度为2的区间 [1, 1]，体积（长度）是2。端点处的体积比例是0。
二维: 一个半径为1的圆盘，面积是 $pi approx 3.14$。半径缩小0.1，剩下半径为0.9的圆盘，面积是 $pi (0.9)^2 = 0.81pi$。损失的面积是 $0.19pi$，占总面积的 $0.19/3.14 approx 6%$。这个损失的面积主要在半径0.9到1的圆环上。
三维: 一个半径为1的球体，体积是 $frac{4}{3}pi approx 4.19$。半径缩小0.1，剩下半径为0.9的球体，体积是 $frac{4}{3}pi (0.9)^3 = 0.729 imes frac{4}{3}pi$。损失的体积是 $0.271 imes frac{4}{3}pi$，占总体积的 $27.1%$。这些损失的体积主要在半径0.9到1的球壳上。
高维超球体: 随着维度 $n$ 的增加，半径为1的超球体的体积公式为 $V_n(R) = frac{pi^{n/2}}{Gamma(n/2+1)}R^n$。当半径缩小到 $1epsilon$ 时，损失的体积会非常惊人。更令人吃惊的是，对于相当大的维度，如果半径缩小一点点，损失的体积会占到总体积的绝大部分。也就是说，绝大多数体积集中在非常薄的表面层。
这种现象可以用概率来解释。高维空间中随机选取的点，更有可能出现在远离中心的区域。这与我们在三维空间中随机选取一点，更可能在球体中间部分的直觉完全相反。这种体积分布的“反常”行为，是许多高维几何现象的基础。
2. 距离的“消失”：在高维空间中，点与点之间的距离几乎相等
在高维空间中，随机选择两个点，它们之间的距离会非常接近。这听起来匪夷所思，因为我们习惯于在三维空间中，物体之间可以有远近的明显差异。
让我们想象一下。在一个 $n$ 维单位立方体（所有边长为1的立方体）中随机选取两个点。它们的欧几里得距离的期望值（平均距离），随着维度的增加会趋向于无穷大。但这里说的不是这个。我们说的是点与点之间的距离的分布非常窄。
更直观的例子是在一个高维球体内。如果我们随机选择两个点在单位球体内，它们的距离分布会非常集中。对于足够高的维度，你几乎可以肯定这两个点离彼此很近。
为什么会这样？可以从坐标的角度理解。在一个 $n$ 维空间中，一个点的坐标有 $n$ 个数字。当你随机选择两个点时，它们的 $n$ 个坐标都随机变化。根据中心极限定理的某种推广，当维度很高时，各个坐标上的差异对总距离的影响会“平均化”，使得整体的距离差异变得很小。
想象一下，你手里拿着一张纸（二维），然后在上面随机画两个点。这两个点的距离可能有很大的变化范围。现在你把这张纸卷起来，变成一个圆柱体（三维），再把圆柱体的一端盖上，变成一个球体（三维）。点之间的相对距离似乎变化不大。但是，一旦你进入高维空间，这个“卷曲”和“合并”效应会更加剧烈，导致点与点之间的距离变得非常一致。
这种“距离的消失”会影响到诸如聚类分析、数据挖掘等领域，因为我们原本依靠距离来区分数据点的做法，在高维空间下会失效。
3. “什么都是孤立的”：高维空间中的点集变得稀疏且不连通
在三维空间中，如果我们在一个有限的区域内随机取很多点，它们会相对地“密集”地分布，形成我们熟悉的点云。即使是随机分布的点，也会在一定程度上“聚集”在一起。
然而，在高维空间中，即使在同样的体积下随机取相同数量的点，这些点也会变得极其稀疏。而且，随着维度的增加，这些点之间会变得“不连接”。
以一个高维的“单位超立方体”为例。如果我们在这个超立方体里随机生成点，并且希望这些点之间的距离小于某个固定值（比如0.1），那么随着维度的增加，你需要指数级增长的点数量才能保证有任何两个点是“连接”的。
这就像在一个巨大的体育场里撒芝麻。在三维空间，芝麻可能会堆积在一起形成可见的“区域”。但在高维空间，这个体育场会无比巨大，而芝麻的数量并没有随之等比例增加，它们会孤零零地散落在各个角落，彼此之间间隔巨大，形成一种“孤立”的状态。
这种稀疏性也与体积的分布有关。如前所述，体积高度集中在表面，意味着内部的大部分区域是“空的”。随机选择的点，更有可能落在这些“空”的区域，导致点集变得稀疏。
4. “大部分是边界”：高维凸体的大部分体积位于其边界附近
我们知道一个三维的球体，其表面积虽然重要，但占据的体积比例是随着半径增大而减小的。但很多时候，我们直观上认为球体内部是主要的“体积所在”。
在高维空间中，一个凸体（比如一个高维的超球体或超立方体），其大部分的体积往往位于其“边界”附近。这里的“边界”是指距离核心“厚度”很小的区域。
这个性质与前面提到的体积分布集中在表面的原因息息相关。当维度增加时，“边界”这个概念变得更加“宽广”，因为它包含了更多的维度来描述它。一个高维超球体，它的“边界”实际上是一个低一维的超球体，但它占据的“体积”却因为维度增加而变得非常可观。
想象一下，你有一个一维的线段。它的边界是两个端点。一个二维的圆盘，边界是一维的圆周。一个三维的球体，边界是二维的球面。在高维空间，这个边界的维度比体本身低一维，但它在体积上的占比却可能非常大。
这种现象在优化和机器学习中也有应用。例如，在高维空间中寻找一个函数的极值，很可能极值点会出现在某个“边界”上，而不是在“中心”区域。
5. “一切皆趋于平均”：高维空间中的函数行为趋于平坦
在三维空间中，函数图像可以起伏跌宕，存在很多局部极值和复杂的形态。我们很容易想象一个在空间中剧烈变化的函数。
然而，在高维空间中，许多函数，即使在低维时表现得相当活跃，在高维下也会变得异常“平坦”或者“相似”。一个常见的例子是高斯函数。在一个高维空间中，如果随机选取高维高斯分布中的点，这些点在高斯函数的取值会非常接近。
这种趋于平均的现象，被称为“维度的诅咒”的一个侧面表现。随着维度的增加，为了在所有维度上都保持相同的概率分布或函数值，函数的变化必须变得非常缓慢。
举个不那么精确的比喻：想象你要在一张纸上画一条线，你很容易画出各种曲线。现在你要在一个巨大的立方体中画一条“线状”的结构，这条线需要跨越各个维度。为了在所有方向上都保持“连接”和“连续”，这条线自然会变得更“平缓”，避免剧烈的局部变化。
这些定理和现象不仅挑战了我们根深蒂固的空间直觉，也对数学、物理学、计算机科学等众多领域产生了深远的影响。理解这些高维世界的“反常”之处，是探索更复杂模型和解决更高维度问题的关键。
然而，当我们把目光投向更高维度的空间时，曾经那些坚实的直觉就开始变得摇摇欲坠，甚至彻底颠覆。以下是一些在高维情况下，与我们三维直觉大相径庭的定理：
1. 球体的“边角料”：维度越高，体积越集中在表面附近
想象一个球体。在三维空间里，我们能轻易地感受到球体的体积是均匀分布的，从中心到表面，每个区域都占有一定比例的体积。即使我们稍微缩小一点半径，损失的体积似乎也是均匀的。
但在高维空间，情况会发生戏剧性的变化。一个高维超球体（比如一个四维球体，我们称之为“超球”）的体积，在很大程度上“挤压”到了靠近表面的薄薄一层。维度越高，这种现象越显著。
举个例子：
一维: 一个长度为2的区间 [1, 1]，体积（长度）是2。端点处的体积比例是0。
二维: 一个半径为1的圆盘，面积是 $pi approx 3.14$。半径缩小0.1，剩下半径为0.9的圆盘，面积是 $pi (0.9)^2 = 0.81pi$。损失的面积是 $0.19pi$，占总面积的 $0.19/3.14 approx 6%$。这个损失的面积主要在半径0.9到1的圆环上。
三维: 一个半径为1的球体，体积是 $frac{4}{3}pi approx 4.19$。半径缩小0.1，剩下半径为0.9的球体，体积是 $frac{4}{3}pi (0.9)^3 = 0.729 imes frac{4}{3}pi$。损失的体积是 $0.271 imes frac{4}{3}pi$，占总体积的 $27.1%$。这些损失的体积主要在半径0.9到1的球壳上。
高维超球体: 随着维度 $n$ 的增加，半径为1的超球体的体积公式为 $V_n(R) = frac{pi^{n/2}}{Gamma(n/2+1)}R^n$。当半径缩小到 $1epsilon$ 时，损失的体积会非常惊人。更令人吃惊的是，对于相当大的维度，如果半径缩小一点点，损失的体积会占到总体积的绝大部分。也就是说，绝大多数体积集中在非常薄的表面层。
这种现象可以用概率来解释。高维空间中随机选取的点，更有可能出现在远离中心的区域。这与我们在三维空间中随机选取一点，更可能在球体中间部分的直觉完全相反。这种体积分布的“反常”行为，是许多高维几何现象的基础。
2. 距离的“消失”：在高维空间中，点与点之间的距离几乎相等
在高维空间中，随机选择两个点，它们之间的距离会非常接近。这听起来匪夷所思，因为我们习惯于在三维空间中，物体之间可以有远近的明显差异。
让我们想象一下。在一个 $n$ 维单位立方体（所有边长为1的立方体）中随机选取两个点。它们的欧几里得距离的期望值（平均距离），随着维度的增加会趋向于无穷大。但这里说的不是这个。我们说的是点与点之间的距离的分布非常窄。
更直观的例子是在一个高维球体内。如果我们随机选择两个点在单位球体内，它们的距离分布会非常集中。对于足够高的维度，你几乎可以肯定这两个点离彼此很近。
为什么会这样？可以从坐标的角度理解。在一个 $n$ 维空间中，一个点的坐标有 $n$ 个数字。当你随机选择两个点时，它们的 $n$ 个坐标都随机变化。根据中心极限定理的某种推广，当维度很高时，各个坐标上的差异对总距离的影响会“平均化”，使得整体的距离差异变得很小。
想象一下，你手里拿着一张纸（二维），然后在上面随机画两个点。这两个点的距离可能有很大的变化范围。现在你把这张纸卷起来，变成一个圆柱体（三维），再把圆柱体的一端盖上，变成一个球体（三维）。点之间的相对距离似乎变化不大。但是，一旦你进入高维空间，这个“卷曲”和“合并”效应会更加剧烈，导致点与点之间的距离变得非常一致。
这种“距离的消失”会影响到诸如聚类分析、数据挖掘等领域，因为我们原本依靠距离来区分数据点的做法，在高维空间下会失效。
3. “什么都是孤立的”：高维空间中的点集变得稀疏且不连通
在三维空间中，如果我们在一个有限的区域内随机取很多点，它们会相对地“密集”地分布，形成我们熟悉的点云。即使是随机分布的点，也会在一定程度上“聚集”在一起。
然而，在高维空间中，即使在同样的体积下随机取相同数量的点，这些点也会变得极其稀疏。而且，随着维度的增加，这些点之间会变得“不连接”。
以一个高维的“单位超立方体”为例。如果我们在这个超立方体里随机生成点，并且希望这些点之间的距离小于某个固定值（比如0.1），那么随着维度的增加，你需要指数级增长的点数量才能保证有任何两个点是“连接”的。
这就像在一个巨大的体育场里撒芝麻。在三维空间，芝麻可能会堆积在一起形成可见的“区域”。但在高维空间，这个体育场会无比巨大，而芝麻的数量并没有随之等比例增加，它们会孤零零地散落在各个角落，彼此之间间隔巨大，形成一种“孤立”的状态。
这种稀疏性也与体积的分布有关。如前所述，体积高度集中在表面，意味着内部的大部分区域是“空的”。随机选择的点，更有可能落在这些“空”的区域，导致点集变得稀疏。
4. “大部分是边界”：高维凸体的大部分体积位于其边界附近
我们知道一个三维的球体，其表面积虽然重要，但占据的体积比例是随着半径增大而减小的。但很多时候，我们直观上认为球体内部是主要的“体积所在”。
在高维空间中，一个凸体（比如一个高维的超球体或超立方体），其大部分的体积往往位于其“边界”附近。这里的“边界”是指距离核心“厚度”很小的区域。
这个性质与前面提到的体积分布集中在表面的原因息息相关。当维度增加时，“边界”这个概念变得更加“宽广”，因为它包含了更多的维度来描述它。一个高维超球体，它的“边界”实际上是一个低一维的超球体，但它占据的“体积”却因为维度增加而变得非常可观。
想象一下，你有一个一维的线段。它的边界是两个端点。一个二维的圆盘，边界是一维的圆周。一个三维的球体，边界是二维的球面。在高维空间，这个边界的维度比体本身低一维，但它在体积上的占比却可能非常大。
这种现象在优化和机器学习中也有应用。例如，在高维空间中寻找一个函数的极值，很可能极值点会出现在某个“边界”上，而不是在“中心”区域。
5. “一切皆趋于平均”：高维空间中的函数行为趋于平坦
在三维空间中，函数图像可以起伏跌宕，存在很多局部极值和复杂的形态。我们很容易想象一个在空间中剧烈变化的函数。
然而，在高维空间中，许多函数，即使在低维时表现得相当活跃，在高维下也会变得异常“平坦”或者“相似”。一个常见的例子是高斯函数。在一个高维空间中，如果随机选取高维高斯分布中的点，这些点在高斯函数的取值会非常接近。
这种趋于平均的现象，被称为“维度的诅咒”的一个侧面表现。随着维度的增加，为了在所有维度上都保持相同的概率分布或函数值，函数的变化必须变得非常缓慢。
举个不那么精确的比喻：想象你要在一张纸上画一条线，你很容易画出各种曲线。现在你要在一个巨大的立方体中画一条“线状”的结构，这条线需要跨越各个维度。为了在所有方向上都保持“连接”和“连续”，这条线自然会变得更“平缓”，避免剧烈的局部变化。
这些定理和现象不仅挑战了我们根深蒂固的空间直觉，也对数学、物理学、计算机科学等众多领域产生了深远的影响。理解这些高维世界的“反常”之处，是探索更复杂模型和解决更高维度问题的关键。
网友意见
高维空间中的球体堆积是一个有趣的问题。问题是这样的：在一个N维空间中，用什么方式堆积相同大小的球体可以使得密度达到最大。
我们还是从三维空间开始吧。三维空间中的球体堆积问题看起来十分简单。早在1611年，开普勒就提出了一个假设：如下图中的金字塔形的堆积方式可以达到最高的密度。
图片来自Close-packing of equal spheres
这种堆积方式可以利用74%的空间。
但是，开普勒和后世的数学家们却无法为这个假设提供证明。直到约400年后的1998年，匹兹堡大学的数学家托马斯·黑尔斯才在计算机的帮助下证明了这个假设。他的论文长达250页。
让我们把这个问题延伸到高维空间。在四维或更高维空间，我们可以构造和上图的金字塔类似的堆积方式。维度越高，高维球体之间的空隙就越大。到了八维空间，球体中间的空隙就恰好可以塞进去新的球。这种被称为E8的排列方式似乎就达到了一个效率很高的堆积方案。相同的情况也发生在24维空间。这种24维空间中的堆积方式被称为里奇网格（Leech Lattice）。值得一提的是，在里奇网格中，每个球和196560个球相邻。
虽然人们怀疑E8和里奇网格就是八维和24维空间的最佳堆积形式，但是对这两个假设的证明却在2016年三月才千呼万唤始出来。攻克这一难关的是柏林洪堡大学的数学家Maryna Viazovska。
所以，现在已知最佳球体堆叠方式的空间维度分别是2，3，8和24维。对于其他维度（包括四维空间），我们还一无所知。
在高维空间堆积球体问题并不只是数学家的玩具，它在很多领域都有广泛的应用，比如通信中的纠错码。有兴趣的读者可以参考Why You Should Care about High-Dimensional Sphere Packing。
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