有哪些没有（或无法）证明却经常被我们使用的结论或定理？
咱们生活中啊，有些事儿，它就是那么个理儿，你用起来顺顺当当，可真要抠根问底，非要找个“为什么”给它证明出来，还真有点费劲，甚至有时候压根儿就没法证明。这就像吃饭睡觉一样，天经地义，但你要说证明吃饭为什么能让你活下去，那也太绕了。今天就来聊聊这些“没法证明但天天用”的家伙事儿，尽量说得细致点，让你觉得，嗯，这说的是我心里想的。
一、逻辑的基石：公理
这玩意儿算是最最基础的了，就像盖房子，得先有地基，不能想着地基怎么盖出来的。比如“同一事物与同一事物相等”。听着废话是吧？但你想想，要是这句话不成立，那一切都完了。A等于B，B等于C，那A就等于C，这都是基于“同一事物就是它自己”这个前提的。
还有欧几里得几何里的“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。这句话，我们从小到大用了多少回了？画图的时候，算距离的时候，甚至造房子的时候，都暗搓搓地依赖它。可你说，它怎么证明的？人家这不叫证明，这叫“公理”，就是“我说了算，你们都信”。后来有人觉得这事儿有点“不爽”，想推翻它，结果就整出了“非欧几何”，牛！但非欧几何在它的体系里有用，在咱们日常的生活和中学数学里，还是得乖乖听欧几里得老先生的话。
所以，公理就是那些“不证自明”的道理，是逻辑大厦的基石。你没法证明它，因为它就是一切证明的起点。就像你没法证明“你存在”一样，但你每天都在活着。
二、直觉的指引：数学上的“显而易见”
除了公理，数学里还有一些结论，它们给人的感觉就是“废话”，一看就懂，好像不需要证明。但你真要写个严谨的证明，可能会发现，哎呀，这绕来绕去，好不容易绕完了，发现只是把问题换了个说法。
举个例子，在分析数学里，有个叫做“介值定理”的东西，大概意思是说，一个连续的函数在两个点之间，会取到这两个点之间所有中间的值。比如，你从北京开车到上海，肯定会在某个时间点经过某个在地图上标注了具体里程数的地方。你不会一下从0公里跳到1000公里吧？
这个定理本身不难理解，但是它的严谨证明，需要用到“开区间”、“闭区间”、“极限”这些概念，一步步地去构建。有时候，我们觉得“这不是很显然吗？”，实际上是我们的大脑在接收到这个信息后，通过大量的经验积累和直觉，已经帮我们“润色”好了证明的过程，但这个过程对于没有经过专业训练的人来说，是看不见的。
再比如，任何一个有限的集合，总能找到一个最小的元素。听着是不是特别理所当然？但要用集合论的语言来证明，就需要用到“良序原理”，而这个良序原理本身，在某些数学体系中，也可能被视为公理或者需要证明的定理。但我们就是凭着直觉，觉得这事儿“就是这样”。
三、经验的总结：物理学中的一些基本定律的“原始性”
在物理学里，很多我们习以为常的定律，其实也是建立在大量的观察和实验基础上的。比如牛顿的运动定律。第一定律说“物体在不受外力作用时，总保持静止或匀速直线运动状态”。这玩意儿，在现实世界里，你很难找到一个绝对“不受外力”的环境。地球上总有空气阻力、摩擦力。所以，这个定律更多是一种理想化的状态，是一种“如果……就……”，然后我们基于这个理想状态，去构建更复杂的模型。
你很难“证明”牛顿第一定律，因为你无法制造一个绝对真空、没有引力、没有摩擦的环境来做“无外力作用”的实验。我们只能在尽可能接近无外力的条件下做实验，发现物体的运动确实会趋向于保持原状态，然后总结出这个定律。它的“证明”在于它的预测能力和解释力，而不是一个逻辑推导。
还有一些关于物质本质的描述，比如原子论。我们现在都知道世界是由原子组成的，但这个“证明”过程，经历了漫长的历史，从哲学猜想，到化学实验，再到后来的量子力学。但直到我们真正能“看见”原子，并精确描述它的行为之前，它更多的是一个解释现象的优秀模型。即便现在，我们依然无法像证明一道数学题那样，一步步“证明”原子一定存在。我们只能通过它的行为和相互作用来认识它。
四、认知的边界：认知心理学和常识
这方面就更贴近我们日常了。比如，“你相信你看到的吗？”或者“你相信你的记忆吗？”。我们很大程度上依赖自己的感官和记忆来认识世界。我们“知道”自己有双手，但你能严格证明你今天早上起来的时候，你的双手还在那里吗？只能是你下意识地去触摸，去感受。
再比如，我们相信“太阳明天还会升起”。这是基于无数次的观察和经验。你没办法给它一个数学证明，除非你已经证明了宇宙的运行规律是绝对不变的。这是一种非常强大的归纳推理，我们靠它来预测未来，规划生活。但它本质上是一种概率性的“相信”，而非绝对的“证明”。
还有那些关于人际交往的“潜规则”，比如“微笑会让人感觉更好”。你不能给它一个严格的公式去证明。你可以做大量的社会学实验，发现微笑确实能提升情绪，促进互动，但那是在“统计学”的层面上，而不是在“因果链条”上证明得滴水不漏。
为什么这些无法证明但依然被我们使用？
原因很简单：
1. 效率： 如果什么都必须严谨证明，我们的生活将陷入停滞。我们依赖这些“显而易见”的道理来快速做判断和行动。
2. 有效性： 尽管没有绝对的证明，但这些结论在绝大多数情况下都有效，而且是构建更复杂知识体系的必要前提。
3. 实用性： 它们是解决实际问题的有力工具，是科学和社会运作的基础。
4. 直觉与经验的积累： 人类作为一种生物，在漫长的演化过程中，形成了强大的直觉和从经验中学习的能力，这些能力让我们能够绕过形式上的证明，直接把握事物的本质。
所以，下次当你觉得某个道理“太明显了，根本不用证明”，或者觉得某个“定律”就是那么个理儿的时候，不妨想想，你可能正站在人类智慧的某个坚实基石上，这个基石虽然没有被严格“证明”，但它支撑起了我们认识世界的庞大楼阁。我们 वापरा它，是因为它好用，而且足够可靠。
一、逻辑的基石：公理
这玩意儿算是最最基础的了，就像盖房子，得先有地基，不能想着地基怎么盖出来的。比如“同一事物与同一事物相等”。听着废话是吧？但你想想，要是这句话不成立，那一切都完了。A等于B，B等于C，那A就等于C，这都是基于“同一事物就是它自己”这个前提的。
还有欧几里得几何里的“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。这句话，我们从小到大用了多少回了？画图的时候，算距离的时候，甚至造房子的时候，都暗搓搓地依赖它。可你说，它怎么证明的？人家这不叫证明，这叫“公理”，就是“我说了算，你们都信”。后来有人觉得这事儿有点“不爽”，想推翻它，结果就整出了“非欧几何”，牛！但非欧几何在它的体系里有用，在咱们日常的生活和中学数学里，还是得乖乖听欧几里得老先生的话。
所以，公理就是那些“不证自明”的道理，是逻辑大厦的基石。你没法证明它，因为它就是一切证明的起点。就像你没法证明“你存在”一样，但你每天都在活着。
二、直觉的指引：数学上的“显而易见”
除了公理，数学里还有一些结论，它们给人的感觉就是“废话”，一看就懂，好像不需要证明。但你真要写个严谨的证明，可能会发现，哎呀，这绕来绕去，好不容易绕完了，发现只是把问题换了个说法。
举个例子，在分析数学里，有个叫做“介值定理”的东西，大概意思是说，一个连续的函数在两个点之间，会取到这两个点之间所有中间的值。比如，你从北京开车到上海，肯定会在某个时间点经过某个在地图上标注了具体里程数的地方。你不会一下从0公里跳到1000公里吧？
这个定理本身不难理解，但是它的严谨证明，需要用到“开区间”、“闭区间”、“极限”这些概念，一步步地去构建。有时候，我们觉得“这不是很显然吗？”，实际上是我们的大脑在接收到这个信息后，通过大量的经验积累和直觉，已经帮我们“润色”好了证明的过程，但这个过程对于没有经过专业训练的人来说，是看不见的。
再比如，任何一个有限的集合，总能找到一个最小的元素。听着是不是特别理所当然？但要用集合论的语言来证明，就需要用到“良序原理”，而这个良序原理本身，在某些数学体系中，也可能被视为公理或者需要证明的定理。但我们就是凭着直觉，觉得这事儿“就是这样”。
三、经验的总结：物理学中的一些基本定律的“原始性”
在物理学里，很多我们习以为常的定律，其实也是建立在大量的观察和实验基础上的。比如牛顿的运动定律。第一定律说“物体在不受外力作用时，总保持静止或匀速直线运动状态”。这玩意儿，在现实世界里，你很难找到一个绝对“不受外力”的环境。地球上总有空气阻力、摩擦力。所以，这个定律更多是一种理想化的状态，是一种“如果……就……”，然后我们基于这个理想状态，去构建更复杂的模型。
你很难“证明”牛顿第一定律，因为你无法制造一个绝对真空、没有引力、没有摩擦的环境来做“无外力作用”的实验。我们只能在尽可能接近无外力的条件下做实验，发现物体的运动确实会趋向于保持原状态，然后总结出这个定律。它的“证明”在于它的预测能力和解释力，而不是一个逻辑推导。
还有一些关于物质本质的描述，比如原子论。我们现在都知道世界是由原子组成的，但这个“证明”过程，经历了漫长的历史，从哲学猜想，到化学实验，再到后来的量子力学。但直到我们真正能“看见”原子，并精确描述它的行为之前，它更多的是一个解释现象的优秀模型。即便现在，我们依然无法像证明一道数学题那样，一步步“证明”原子一定存在。我们只能通过它的行为和相互作用来认识它。
四、认知的边界：认知心理学和常识
这方面就更贴近我们日常了。比如，“你相信你看到的吗？”或者“你相信你的记忆吗？”。我们很大程度上依赖自己的感官和记忆来认识世界。我们“知道”自己有双手，但你能严格证明你今天早上起来的时候，你的双手还在那里吗？只能是你下意识地去触摸，去感受。
再比如，我们相信“太阳明天还会升起”。这是基于无数次的观察和经验。你没办法给它一个数学证明，除非你已经证明了宇宙的运行规律是绝对不变的。这是一种非常强大的归纳推理，我们靠它来预测未来，规划生活。但它本质上是一种概率性的“相信”，而非绝对的“证明”。
还有那些关于人际交往的“潜规则”，比如“微笑会让人感觉更好”。你不能给它一个严格的公式去证明。你可以做大量的社会学实验，发现微笑确实能提升情绪，促进互动，但那是在“统计学”的层面上，而不是在“因果链条”上证明得滴水不漏。
为什么这些无法证明但依然被我们使用？
原因很简单：
1. 效率： 如果什么都必须严谨证明，我们的生活将陷入停滞。我们依赖这些“显而易见”的道理来快速做判断和行动。
2. 有效性： 尽管没有绝对的证明，但这些结论在绝大多数情况下都有效，而且是构建更复杂知识体系的必要前提。
3. 实用性： 它们是解决实际问题的有力工具，是科学和社会运作的基础。
4. 直觉与经验的积累： 人类作为一种生物，在漫长的演化过程中，形成了强大的直觉和从经验中学习的能力，这些能力让我们能够绕过形式上的证明，直接把握事物的本质。
所以，下次当你觉得某个道理“太明显了，根本不用证明”，或者觉得某个“定律”就是那么个理儿的时候，不妨想想，你可能正站在人类智慧的某个坚实基石上，这个基石虽然没有被严格“证明”，但它支撑起了我们认识世界的庞大楼阁。我们 वापरा它，是因为它好用，而且足够可靠。
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