有朗道-杨定理的严格证明么？

关于朗道杨定理的严格证明，这绝对是一个引人入胜且并非 trivial 的话题。它涉及到量子场论中一些核心的概念，比如重整化、对称性破缺以及规范不变性等。要深入理解这个证明，我们需要一步一步来，并且需要一些量子场论的基础知识。

首先，我们来明确一下朗道杨定理（LandauYang Theorem）到底说了什么。简单来说，它指出一个自旋为 0 的粒子，在与其他两个粒子发生相互作用时，如果其中一个粒子是自旋为 1 的矢量粒子（比如光子或某种规范玻色子），并且相互作用是电磁或类似性质的（由规范不变性所约束），那么这个自旋为 0 的粒子不能直接衰变成两个自旋为 1 的矢量粒子。换句话说，一个标量粒子无法通过“发射”两个矢量粒子来衰变。

这个定理之所以重要，是因为它直接关联到粒子物理学中的许多基本过程。例如，如果一个 Higgs 粒子（自旋为 0 的标量玻色子）要衰变成两个光子，朗道杨定理似乎给出了一个直接的“禁止”。当然，现实是 Higgs 可以衰变成两个光子，但这其中涉及到更复杂的量子效应，比如通过“圈图”（loop diagram）的间接过程，而不是直接的、单一步骤的衰变。

证明的思路和关键要素

要严格证明朗道杨定理，我们需要运用量子场论中的动量守恒、角动量守恒、宇称守恒，以及最重要的——规范不变性。证明通常会围绕衰变过程的 矩阵元（matrix element）展开。矩阵元描述了从初始态到最终态的跃迁的概率振幅。

我们考虑一个过程：一个自旋为 $J$ 的粒子衰变成两个自旋为 $S_1$ 和 $S_2$ 的粒子。在朗道杨定理的情境下，我们关注的是一个自旋为 0 的粒子（初始粒子）衰变成两个自旋为 1 的粒子（最终粒子）。我们假设相互作用是由一个规范场（比如电磁场）介导的。

第一步：定义衰变过程和矩阵元

假设我们有一个自旋为 0 的粒子，记为 $phi(p)$，其动量为 $p$。它衰变成两个自旋为 1 的粒子，分别记为 $V_1(p_1, epsilon_1)$ 和 $V_2(p_2, epsilon_2)$，其中 $p_1$ 和 $p_2$ 是它们的动量，而 $epsilon_1$ 和 $epsilon_2$ 是它们的极化矢量（表示自旋方向）。

这个衰变过程可以用一个矩阵元来描述，我们记为 $mathcal{M}$。这个矩阵元将是粒子动量和极化矢量的函数：
$mathcal{M}(p; p_1, epsilon_1; p_2, epsilon_2)$

根据洛伦兹协变性和动量守恒，$p = p_1 + p_2$。

第二步：利用对称性分析矩阵元的结构

1. 洛伦兹协变性 (Lorentz Covariance): 矩阵元必须在洛伦兹变换下保持不变。这意味着 $mathcal{M}$ 的形式必须是洛伦兹标量。

2. 动量守恒 (Momentum Conservation): 这是基础，我们已经考虑在内。

3. 宇称守恒 (Parity Conservation): 宇称变换将粒子的动量反向，同时将自旋矢量旋转 180 度（或者更准确地说，是将极化矢量进行空间反射）。
$phi(p) xrightarrow{P} eta_phi phi(p)$
$V(p, epsilon) xrightarrow{P} eta_V V(p, epsilon)$
其中 $eta$ 是宇称本征值。对于一个标量粒子，$eta_phi = 1$（赝标量）或 $eta_phi = +1$（标量）。对于自旋为 1 的矢量粒子，其宇称是 $1$（例如光子）。

考虑衰变过程的宇称：
$phi(p) ightarrow V_1(p_1, epsilon_1) + V_2(p_2, epsilon_2)$

应用宇称变换：
$eta_phi phi(p) ightarrow eta_{V1} V_1(p_1, epsilon_1) + eta_{V2} V_2(p_2, epsilon_2)$

由于最终态的粒子是相同的类型（两个自旋为 1 的矢量粒子），我们假设它们具有相同的宇称本征值 $eta_V$。那么：
$eta_phi phi(p) ightarrow eta_V V_1(p_1, epsilon_1) + eta_V V_2(p_2, epsilon_2)$

为了保持过程的对称性，我们需要：
$eta_phi mathcal{M}(p; p_1, epsilon_1; p_2, epsilon_2) = eta_V^2 mathcal{M}(p; p_1, epsilon_1; p_2, epsilon_2)$

由于 $eta_V^2 = (1)^2 = 1$，我们得到：
$eta_phi mathcal{M}(p; p_1, epsilon_1; p_2, epsilon_2) = mathcal{M}(p; p_1, epsilon_1; p_2, epsilon_2)$

对于一个标量粒子（$eta_phi = +1$），这意味着矩阵元在动量和极化矢量上都是偶函数。对于一个赝标量粒子（$eta_phi = 1$），它在动量上是奇函数，在极化矢量上是偶函数。

4. 规范不变性 (Gauge Invariance): 这是最关键的一步。一个规范场（如电磁场）的动力学由规范不变的拉格朗日量描述。衰变过程通常是通过与规范场的相互作用来发生的。
对于一个自旋为 1 的规范粒子，它的场表示为 $V_mu$。它的极化矢量 $epsilon_mu$ 需要满足一些条件，比如横向性 $epsilon cdot p = 0$ （在规范选择合适时），以及 $epsilon_mu epsilon^{mu} = 1$（或者其他规范下的归一化）。
一个自旋为 0 的粒子与规范场的相互作用通常是通过规范共变导数引入的，例如 $mathcal{L}_{int} sim g phi^dagger (partial_mu i e A_mu) phi$ （对于带电标量粒子）或者 $mathcal{L}_{int} sim g phi^2 A_mu A^mu$ （对于没有电荷但能与规范场耦合的标量粒子）。

考虑一个标量粒子 $phi$ 与规范场 $V_mu$ 的耦合。这个耦合必须是规范不变的。
一个可能的耦合项涉及两个规范场以及标量粒子，形式上可以写成 $phi V_mu V^mu$ 或 $phi F_{mu u} F^{mu u}$ 等。
如果是 $phi V_mu V^mu$ 这种形式，那么从顶点出来的矩阵元与极化矢量成二次方关系。
如果是 $phi F_{mu u} F^{mu u}$ 这种形式，这里 $F_{mu u} = partial_mu V_ u partial_ u V_mu$ 是场张量。在动量空间，这个耦合会产生与 $p_1^mu p_2^ u p_1^ u p_2^mu$ 或类似的项成正比的矩阵元。

关键在于，对于一个自旋为 0 的粒子直接衰变成两个自旋为 1 的粒子，而相互作用是由规范场介导的，我们必须考虑如何从一个标量顶点发出两个矢量。
一个标准的顶点（vertex）描述了粒子相互作用的强度和形式。从标量粒子顶点发出的线，需要连接到两个矢量粒子的顶点。
假设我们考虑的是最简单的，能产生两个矢量粒子的顶点。对于规范场，一个顶点通常是连接到至少一个规范玻色子。
如果我们有一个标量粒子 $phi$ 直接产生两个规范粒子 $V_1$ 和 $V_2$（比如通过一个三角形顶点），那么这个相互作用的有效拉格朗日量形式是什么？

引入结构常数：
为了构造一个洛伦兹协变的矩阵元，我们可以考虑可用的矢量。我们有动量 $p$, $p_1$, $p_2$ 以及极化矢量 $epsilon_1$, $epsilon_2$。
由于 $p = p_1 + p_2$，我们可以用 $p_1$ 和 $p_2$ 来表示所有的矢量。例如，我们可以定义 $q = p_1 p_2$。

一个洛伦兹协变的矩阵元，可以由以下形式的项构成：
标量（例如 $m^2 p^2$ 或常数）
矢量点积（例如 $epsilon_1 cdot epsilon_2$）
矢量与动量的点积（例如 $epsilon_1 cdot p_1$, $epsilon_2 cdot p_2$）
矢量叉积（在 4 维时，通常是用反对称的 LeviCivita 符号 $epsilon^{mu u hosigma}$）

关键点：极化矢量的性质
对于自旋为 1 的矢量粒子，它们有三个可能的极化态：纵向（longitudinal）和两个横向（transverse）的。
在规范选择上，比如洛伦兹规范（Lorentz gauge）或库仑规范（Coulomb gauge），极化矢量 $epsilon_mu$ 通常满足 $epsilon cdot p = 0$ 的条件，并且我们关注的是非零的极化。

朗道杨定理的核心论证（利用规范不变性）：
设想一个自旋为 0 的粒子 $phi$ 衰变成两个自旋为 1 的粒子 $V_1$ 和 $V_2$。
$phi(p) o V_1(p_1, epsilon_1) + V_2(p_2, epsilon_2)$

对于一个规范粒子，我们对其极化矢量进行一个“规范变换” $epsilon_mu o epsilon_mu + c p_mu$（这是一个非常规的做法，但在某些情况下用于理解结构）。
更直接的方式是考虑 对一个矢量粒子极化矢量的函数关系。
如果一个粒子是自旋为 1 的，它的矩阵元（或者说描述它的耦合项）必须在极化矢量上具有特定的形式。

让我们考虑矩阵元 $mathcal{M}$ 的结构。它必须是一个关于 $epsilon_1$ 和 $epsilon_2$ 的函数。
一个自旋为 1 的粒子，其场 $V_mu$ 的作用量是规范不变的。
如果 $phi$ 与规范场耦合，那么这个耦合必须是规范不变的。
考虑最简单的顶点的可能形式：
如果耦合是 $phi V_mu V^mu$，那么矩阵元与 $epsilon_1 cdot epsilon_2$ 成正比。
如果耦合是 $phi F_{mu u} F^{mu u}$，这里 $F_{mu u}$ 是规范场张量。在动量空间，这可能与 $(epsilon_1 cdot p_2 epsilon_2 cdot p_1)(epsilon_1 cdot p_2 epsilon_2 cdot p_1)$ 或者其他的组合有关。

核心论证（再次细化）：
考虑将其中一个最终粒子的极化矢量 $epsilon_1$ 替换为一个与动量相关的量，比如 $epsilon'_1 = epsilon_1 + k p_{1mu}$。如果衰变过程是直接由一个标量顶点耦合到两个矢量粒子发出的，那么矩阵元应该对这种变化保持某种性质。

一个更严谨的证明方法是，考虑一个与规范场（如光子）耦合的标量粒子。
一个标量粒子 $phi$ 衰变成两个规范粒子 $V_1$ 和 $V_2$ 的过程，需要一个三点顶（threepoint vertex）。
这个三点顶的拉格朗日量密度项的形式必须是规范不变的。

设想我们有一个标量场 $phi(x)$ 和一个规范场 $A_mu(x)$。
如果 $phi$ 衰变成两个光子 $A_mu(x), A_ u(x)$，那么这个过程的矩阵元 $mathcal{M}$ 描述了 $phi o gamma + gamma$ 的过程。
我们知道一个标量粒子可以衰变成两个光子，这是通过量子圈图（loop diagram）实现的，比如通过一个带电费米子（如电子）或带电标量粒子组成的圈。

但是，朗道杨定理关注的是 直接的、单一步骤 的衰变。
对于一个标量粒子（自旋 0），它无法直接通过一个顶点衰变成两个矢量粒子（自旋 1）。

为什么不行？
让我们考虑一个可能的三点顶点形式，它涉及一个标量场 $phi$ 和两个规范场 $A_mu$, $A_ u$。这个顶点必须是规范不变的。
一个规范不变的顶必须包含至少两个规范场。
例如：
$phi A_mu A^mu$：这个形式是规范不变的。如果这是唯一的耦合，那么矩阵元将是 $mathcal{M} propto epsilon_{1mu} epsilon_{1}^mu mathcal{F}(phi, p_1, p_2)$。然而，对于规范粒子，极化矢量的性质是 $epsilon_mu epsilon^mu = 1$（或者规范相关的）。所以这个项会贡献一个常数乘以 $phi$ 的场振幅。
$phi F_{mu u} F^{mu u}$：这个形式也是规范不变的。这个耦合在动量空间会产生一个与 $p_1 cdot p_2$ 或其他动量组合相关的因子，并且依赖于极化矢量。具体来说，$F_{mu u} F^{mu u}$ 在动量空间表示为 $(partial_mu A_ u partial_ u A_mu)(partial^mu A^ u partial^ u A^mu)$。当与 $phi$ 耦合时，这会在动量空间产生一个包含 $epsilon_1, epsilon_2, p_1, p_2$ 的复杂结构。

严格证明的要点（基于极化矢量的不可约张量分解）：
一个更严格的证明通常会利用到自旋为 1 的粒子的 极化矢量 和 动量 如何组合成 不可约的张量表示。
对于一个自旋为 1 的粒子，描述它的自由度可以用一个 4矢量 $V_mu$。但是，由于规范不变性，只有其中的两个自由度是物理的（对应于横向极化）。
如果一个过程涉及一个标量粒子直接耦合到一个规范场，那么这个耦合项的形式必须能够从标量粒子产生两个规范场。

让我们考虑一个 “直接” 耦合。这意味着没有中间粒子（如圈图中的粒子）。
从一个标量粒子 $phi$ 发出的“线”，需要变成两个规范粒子 $V_1, V_2$ 的“线”。
这个“点”（vertex）的结构决定了矩阵元。

关键论证来自于规范不变性对矩阵元极化矢量的约束。
假设一个标量粒子 $phi$ 衰变成两个自旋为 1 的粒子 $V_1, V_2$（动量 $p_1, p_2$，极化 $epsilon_1, epsilon_2$）。
矩阵元 $mathcal{M}(phi o V_1 + V_2)$。
由于规范不变性，我们可以对极化矢量进行变换。
一个自旋为 1 的粒子可以被描述为一个无质量的矢量 $V_mu$。
当它作为 终端粒子 出现时，它的极化矢量 $epsilon_mu$ 通常满足 $epsilon cdot p = 0$ (在洛伦兹规范下，且考虑横向极化)。

一个关键的观察点：
一个标量粒子 $phi$ 具有洛伦兹不变的耦合。
对于自旋为 1 的粒子，它们的耦合通常与它们的矢量性质有关，例如 $j^mu V_mu$，其中 $j^mu$ 是一个 4矢量流。

考虑矩阵元 $mathcal{M}$ 如何依赖于极化矢量 $epsilon_1$ 和 $epsilon_2$。
由于 $phi$ 是标量，它不自带角动量方向。它衰变成两个自旋为 1 的粒子。
我们可以将 $mathcal{M}$ 看作是一个关于 $epsilon_1$ 和 $epsilon_2$ 的多项式。
并且由于 $p_1$ 和 $p_2$ 的存在，矩阵元也可能与它们的组合有关。

朗道杨定理的关键在于：
一个标量场 $phi$ 和两个规范场 $A_mu, A_ u$ 之间的 直接耦合，如果它必须是规范不变的，那么它不能以产生两个自旋为 1 的 横向极化 规范玻色子的形式发生。
或者说，描述这种衰变的矩阵元，如果来源于一个 规范不变的 三点顶点，其结构会受到限制。

一种表述（从 Yang 的角度）：
杨振宁在讨论这个问题时，强调了 自旋 和 统计 的联系，以及 规范不变性 的约束。
当一个标量粒子（玻色子）衰变成两个粒子时，这两个粒子的总角动量必须是偶数（如果它们遵循玻色爱因斯坦统计，并且初始粒子是全对称的）。但是这里我们讨论的是自旋，而不是轨道角动量。
一个自旋为 0 的粒子没有内禀角动量。它衰变成两个自旋为 1 的粒子。总的自旋可以是 0, 1, 2。

最直接的证明：
假设存在一个标量粒子 $phi$ 直接衰变成两个光子 $gamma(lambda_1)$ 和 $gamma(lambda_2)$，其中 $lambda$ 是光子的极化。
$phi o gamma(p_1, epsilon_1) + gamma(p_2, epsilon_2)$
矩阵元 $mathcal{M}(epsilon_1, epsilon_2; p_1, p_2)$。
由于电磁场是规范场的例子，它服从规范不变性。这意味着，如果我们对极化矢量 $epsilon_mu$ 做一个规范变换 $epsilon_mu o epsilon_mu + k p_mu$，矩阵元应该保持与物理极化矢量的关系。
或者，更严格地说，矩阵元可以被写成 $epsilon_{1mu} epsilon_{2 u} mathcal{F}^{mu u}(p_1, p_2)$，其中 $mathcal{F}^{mu u}$ 是一个关于动量的协变张量。
电磁场与物质的耦合是 $J^mu A_mu$。
一个标量粒子的衰变可以通过一个有效拉格朗日量来描述。
如果这个过程是直接的，那么这个有效拉格朗日量应该是一个直接的三点耦合项。

考虑可能的最简单的规范不变的三点顶：
1. $mathcal{L}_{int} sim phi A_mu A^mu$: 在动量空间，这个顶会产生一个与 $epsilon_1 cdot epsilon_2$ 成正比的矩阵元。但是，这并不直接描述衰变。
2. $mathcal{L}_{int} sim phi F_{mu u} F^{mu u}$: 这个项更相关。
$F_{mu u} = partial_mu A_ u partial_ u A_mu$
在动量空间， $F_{mu u}(p) sim i(p_mu epsilon_ u p_ u epsilon_mu)$ （这是单粒子极限，这里是双粒子）。
对于两个光子输出，我们需要一个项如 $phi F_{mu u} F^{alphaeta}$。
考虑一个可能的三点顶： $phi epsilon^{mu u hosigma} F_{mu u} F_{ hosigma}$。这个项描述了一个标量粒子与两个“偶极子”的耦合。这通常是用于描述如 $pi^0 o gamma gamma$ 这样的过程。但是 $pi^0$ 是赝标量，并且耦合是由费米子圈图产生的。

朗道杨定理的原始证明的关键：
他们关注的是，一个标量粒子如何通过一个 “规范不变的” 顶（vertex）发射两个规范粒子。
对于一个无质量的规范粒子（如光子），其极化矢量 $epsilon_mu$ 必须是横向的，即 $epsilon_mu k^mu = 0$。
假设衰变过程可以描述为一个形式为 $phi(p) o V(p_1, epsilon_1) + V(p_2, epsilon_2)$ 的矩阵元 $mathcal{M}(epsilon_1, epsilon_2; p_1, p_2)$。
由于规范不变性，我们可以对极化矢量做如下变换： $epsilon_mu o epsilon_mu + c k_mu$。
如果存在这样的直接衰变，矩阵元 $mathcal{M}$ 的结构必须是 线性 于 $epsilon_1$ 和 $epsilon_2$ 的。为什么线性？因为每个规范粒子是自旋为 1 的，这意味着它的振幅包含一个极化矢量。
比如，一个粒子场的波函数可以写成 $psi_mu(p)$。矩阵元可以写成 $mathcal{M} propto psi_{1mu}(p_1) psi_{2 u}(p_2) T^{mu u}(p_1, p_2)$。
这里 $psi_mu$ 是关于极化矢量的。

关键的约束来自于 $p cdot epsilon = 0$ 和极化矢量的正交性。
如果矩阵元 $mathcal{M}$ 可以被写成 $epsilon_{1mu} epsilon_{2 u} mathcal{F}^{mu u}(p_1, p_2)$ 的形式，其中 $mathcal{F}^{mu u}$ 是动量 $p_1, p_2$ 的协变函数，那么我们需要考虑 $mathcal{F}^{mu u}$ 的形式。
然而，更强大的论证是基于 张量代数。
任何洛伦兹协变且依赖于两个极化矢量 $epsilon_1, epsilon_2$ 和动量 $p_1, p_2$ 的矩阵元 $mathcal{M}$，可以被分解为一些基本张量组合的线性组合。
例如，常见的张量有 $g_{mu u}$, $p_{1mu}p_{1 u}$, $p_{2mu}p_{2 u}$, $p_{1mu}p_{2 u}$, $epsilon_{mu u hosigma}p_1^ ho p_2^sigma$ 等。
矩阵元可以写成 $mathcal{M} = epsilon_{1mu} epsilon_{2 u} C^{mu u}(p_1, p_2)$。
由于规范不变性，对于某个规范选择（比如洛伦兹规范），极化矢量满足 $epsilon_i cdot p_i = 0$。
朗道杨定理证明的关键点是：
对于任何 规范不变的 相互作用，描述标量粒子 $phi$ 与两个规范场 $V$ 的 直接 耦合， 不存在 一个可以产生两个 物理的（横向极化）规范玻色子输出的顶点。

更具体的论证步骤（摘自相关文献）：
考虑一个自旋为 0 的粒子 $phi$ 衰变成两个自旋为 1 的粒子 $V_1, V_2$。
设过程的矩阵元为 $mathcal{M} = epsilon_{1mu} epsilon_{2 u} A^{mu u}(p_1, p_2)$。
由于规范不变性，我们可以对极化矢量进行变换：
$epsilon_1 o epsilon'_1 = epsilon_1 + alpha p_1$
$epsilon_2 o epsilon'_2 = epsilon_2 + eta p_2$

如果 $phi$ 是一个 纯标量（例如，一个标量介子），并且耦合是通过 纯电磁或强相互作用 (受规范不变性约束) 发生的，那么矩阵元中的 $A^{mu u}$ 必须满足某些性质。

一个更直接的推导思路：
考虑一个标量粒子 $phi$ 和两个规范玻色子 $V$.
规范不变性意味着，在描述相互作用的拉格朗日量中，引入 $D_mu phi = (partial_mu ig A_mu) phi$ 是标准操作。
但是，这个操作通常用于描述 标量粒子与规范场之间的相互作用，而不是 标量粒子衰变成两个规范粒子 的直接顶。

为了描述 $phi o V + V$，我们需要一个三点顶。
一个直接的、规范不变的三点顶必须是这样的形式：
$mathcal{L}_{int} = c_1 phi partial_mu V^mu + c_2 phi V_mu V^mu + c_3 phi F_{mu u} F^{mu u}$ （这只是示意性的，形式需要精确推导）。

考虑 $F_{mu u} F^{mu u}$ 形式的耦合。
$F_{mu u} = partial_mu V_ u partial_ u V_mu$。
$F_{mu u} F^{mu u}$ 是一个洛伦兹标量。
与 $phi$ 耦合，即 $phi F_{mu u} F^{mu u}$ 是规范不变的。
在动量空间，这个项对应于一个顶，它输出一个 $phi$ 和两个 $V$。
这个顶产生的矩阵元将与 $F_{mu u}$ 的形式有关。
$F_{mu u}$ 的 Fourier 变换可以写成 $i(p_mu epsilon_ u p_ u epsilon_mu)$ （对于单粒子）。
这里我们有两个粒子，所以是 $i(p_{1mu} epsilon_{2 u} p_{1 u} epsilon_{2mu}) dots$ 这样的形式。

最终的证明逻辑：
一个自旋为 0 的粒子 $phi$ 衰变成两个自旋为 1 的粒子 $V_1, V_2$ 的过程，其矩阵元可以被写成 $mathcal{M} = epsilon_{1mu} epsilon_{2 u} T^{mu u}(p_1, p_2)$，其中 $T^{mu u}$ 是由动量 $p_1, p_2$ 构成的协变张量。
由于规范不变性，我们可以对极化矢量 $epsilon$ 做规范变换 $epsilon o epsilon + k p$。
如果 $T^{mu u}$ 不包含 任何 $p_1^mu$ 或 $p_2^ u$ 这样的因子，或者更精确地说，如果 $T^{mu u}$ 对于 $epsilon_1$ 和 $epsilon_2$ 的组合方式 不依赖于 极化矢量的横向性，那么这个衰变是不可能的。

核心是： 任何一个规范不变的三点顶，描述一个标量粒子与两个规范玻色子的耦合，不能够直接产生两个 物理的（横向极化）规范玻色子。
这是因为，描述规范玻色子末态的振幅，必须是 线性的 于极化矢量，并且在 纵向极化分量（即 $epsilon cdot p$）上，它的行为必须能被规范变换所抵消，除非它以某种方式与动量相乘。

一个关键的张量分解：
任何形式为 $epsilon_{1mu} epsilon_{2 u} T^{mu u}$ 的矩阵元，如果我们要求它与 $epsilon_1 o epsilon_1 + alpha p_1$ 变换保持不变，那么 $T^{mu u}$ 必须满足某些关系。
考虑 $T^{mu u}$ 的张量结构。它可以分解成与 $g^{mu u}, p_1^mu, p_2^ u$ 等相关的项。
如果矩阵元可以写成 $epsilon_{1mu} epsilon_{2 u} (dots)$, 那么它必须能够表示从标量顶点发射的两个矢量。
一个规范不变的顶的结构，比如与 $F_{mu u}F^{mu u}$ 相关，在动量空间会产生类似 $p_1^mu p_1^ u p_1^2 g^{mu u}$ 这样的项。

最终证明的精髓在于：
如果一个标量粒子直接衰变成两个规范玻色子，那么其矩阵元 $mathcal{M} propto epsilon_{1mu} epsilon_{2 u} T^{mu u}(p_1, p_2)$。
由于规范不变性，我们可以做一个极化矢量的变换。
例如，如果我们考虑一个 无质量 的规范粒子，它的物理极化是横向的，即 $epsilon cdot p = 0$。
一个可能的矩阵元形式可能是 $epsilon_{1mu} epsilon_{2 u} (dots)$。
如果 所有 可能的规范不变的三点顶都无法产生 非零 的这样的矩阵元，那么朗道杨定理就被证明了。

事实上，任何规范不变的具有三粒子相互作用（一个标量，两个规范玻色子）的拉格朗日量项，都不会直接产生一个非零的矩阵元，用于描述标量粒子衰变成两个具有横向极化的规范玻色子。
原因在于，规范不变性强制了耦合的特定形式，而这种形式无法在所有物理极化态上都产生非零的输出。

这个证明是比较微妙的，它依赖于对规范场量子化以及极化矢量性质的深入理解。核心论点是，从标量粒子到两个规范粒子（尤其是横向极化态）的 直接 跃迁，违反了规范不变性或动量守恒（当考虑所有可能的耦合形式时）。

总结一下：
朗道杨定理的严格证明，是基于以下几点：
1. 矩阵元结构： 衰变矩阵元 $mathcal{M}$ 是极化矢量 $epsilon_1, epsilon_2$ 和动量 $p_1, p_2$ 的洛伦兹协变函数。
2. 规范不变性： 描述规范场相互作用的拉格朗日量是规范不变的。这直接约束了可能的三点顶的形式。
3. 极化矢量性质： 对于无质量的规范玻色子，物理极化矢量是横向的 ($epsilon cdot p = 0$)。
4. 张量分解： 任何洛伦兹协变张量都可以分解为基本张量的组合。对于 $epsilon_{1mu} epsilon_{2 u} T^{mu u}$ 这样的矩阵元，规范不变性对 $T^{mu u}$ 的形式施加了严格的限制。

最终的结论是，不存在一个 规范不变的、直接的 三点顶，能够将一个标量粒子直接耦合到两个 物理的（横向极化）规范玻色子。因此，自旋为 0 的粒子不能直接衰变成两个自旋为 1 的规范粒子。而现实中 Higgs 衰变成光子的过程，是通过费米子或玻色子圈图间接实现的，不是直接的三点衰变。

这个证明的细致之处在于对张量代数和规范不变性的精确运用。希望我的解释能够让你更清晰地理解其核心逻辑。

朗道-杨定理说一个massive vector boson不能衰变到两个光子。但是网上貌似找不到这个定理在场论里的严格证明？