没有基的线性空间，是否可以构造，如何构造？
好的，咱们来聊聊这个“没有基的线性空间”这个有意思的话题。
首先，咱们得明白，在咱们传统理解里，一个线性空间（或者叫向量空间）之所以能够被我们“认识”和“操作”，很大程度上是因为我们总能找到一组“基”来描述它。基就像是线性空间里的坐标轴，有了它，我们就能用一串数字（坐标）来唯一地表示空间里的每一个向量。比如二维平面 R²，我们有标准基 {(1,0), (0,1)}，任何一个向量 (x,y) 都可以表示成 x(1,0) + y(0,1)。这种通过基来表达向量的方式，给我们的感觉是如此自然和必要。
那么，有没有可能存在一种线性空间，它就是纯粹的存在，没有一组有限的“基”能够“覆盖”它呢？答案是肯定的。这听起来有点玄乎，但数学就是这样，总有超越我们直觉的角落。
什么叫“没有基”？
咱们先得把“没有基”这个概念给掰扯清楚。一般来说，我们讨论的是“有限生成”的线性空间。也就是说，存在一个有限的向量集合，这些向量可以线性组合出空间里的任何一个向量。这组有限的向量就是这个空间的“基”。
而我们现在要谈的，就是那些不是有限生成的线性空间。换句话说，无论你拿出多少个向量，总会有一些向量是你用这些选定的向量线性组合不出来的。这就好像你在一个无限大的房间里，你只能搬动有限的几件家具，但你永远无法用这几件家具把整个房间都“填满”。
如何构造这样的空间？
最直接、也最经典的例子就是所有实数构成的向量空间 R。
咱们把 R 看作是一个线性空间。它的“元素”就是所有的实数（比如 1, 2.5, π, √2 等等）。
加法： 我们知道实数的加法是符合交换律、结合律的，并且有零元 0，每个实数都有对应的相反数。
标量乘法： 实数和实数之间的乘法，也符合分配律、结合律，并且存在乘法单位元 1。
所以 R 确实是一个线性空间。
现在来想想它的“基”。
如果 R 是有限生成的，那么就应该存在一组有限的实数 {v₁, v₂, ..., vₖ}，使得 R 中的任何一个实数 x，都可以表示成 x = c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₖvₖ，其中 c₁, c₂, ..., cₖ 都是实数。
但这是不可能的！
为什么 R 没有有限基？
让我们来尝试一下。假设我们选了一组有限的实数作为“潜在的基”，比如 {v₁}. 那么用这组基能生成的空间就是形如 c₁v₁ 的所有数。如果 v₁ 不是 0，那么生成的空间就是 R 中所有与 v₁ 成比例的数。但这显然不是整个 R，因为 R 里有无数多不与 v₁ 成比例的数（比如 v₁ + 1）。
如果我们选了两组，比如 {v₁, v₂}. 那么用它们生成的空间就是形如 c₁v₁ + c₂v₂ 的所有数。如果 v₁ 和 v₂ 不是成比例的（线性无关），那么它们生成的空间就是一个二维的“平面”，但在实数 R 里，我们还有无穷多个维度无法被“覆盖”。
事实上，我们可以证明，任何非零实数 v 都可以作为 R 的一个基。比如，取基为 {1}。那么任何实数 x 都可以表示成 x 1。所以 {1} 是 R 的一个基。
哦，等等，这里好像有点绕了。上面说的“所有实数构成的向量空间 R”如果它的基是 {1}，那它就是有限生成的，并且维度是 1，这就好像说它“有基”了。这好像和我们想说的“没有基”有点矛盾。
对，这里需要更精确地说明。我们通常说的“没有基”是指“没有有限基”。很多线性空间自然就有“无限基”，比如函数空间。而 R 本身，作为实数集，它可以被有限基所生成。所以 R 并不是我们寻找的那个“没有有限基”的例子。
抱歉，我刚才把例子给弄混了。咱们得回到那个核心问题：如何构造一个线性空间，它确实无法被任何有限的向量集合所生成？
更贴切的例子：函数空间
咱们来换个更合适的例子：考虑所有从实数集 R 到实数集 R 的连续函数构成的集合 C(R, R)。
把这个集合看作一个线性空间：
加法： 两个连续函数 f 和 g 的和是 (f+g)(x) = f(x) + g(x)。这个和函数 f+g 也是一个连续函数。
标量乘法： 一个实数 c 和一个连续函数 f 的乘积是 (cf)(x) = cf(x)。这个乘积函数 cf 也是一个连续函数。
C(R, R) 确实满足线性空间的各种公理。
现在的问题是：C(R, R) 是否有有限基？
也就是说，是否存在有限个连续函数 {f₁, f₂, ..., fₖ}，使得 R 上任何一个连续函数 f，都可以表示成：
f(x) = c₁f₁(x) + c₂f₂(x) + ... + cₖfₖ(x) （对于所有的 x ∈ R）
其中 c₁, c₂, ..., cₖ 是实数常数。
答案是：不存在这样的有限基。
为什么函数空间 C(R, R) 没有有限基？
咱们可以尝试构造一些“特殊的”连续函数来证明这一点。
考虑下面这组特殊的连续函数：
f₀(x) = 1 (常数函数)
f₁(x) = x
f₂(x) = x²
f₃(x) = x³
...
fₙ(x) = xⁿ
...
这一系列函数 {xⁿ | n ∈ ℕ₀} 构成了 C(R, R) 的一个无限线性无关集。
什么叫“线性无关”呢？就是说，如果一个线性组合等于零函数（即对于所有 x，结果都是 0），那么所有的系数都必须是 0。
比如说，如果我们要证明 {1, x, x², x³} 是线性无关的，我们会写 c₀1 + c₁x + c₂x² + c₃x³ = 0 (对于所有 x)。我们知道，一个多项式如果恒等于零，那么它所有系数都必须是零。所以 c₀=c₁=c₂=c₃=0。
同样地，我们可以证明 {1, x, x², x³, ...} 这个无限集也是线性无关的。如果一个关于 x 的幂级数在整个 R 上都等于零，那么它所有的系数都必须是零。
核心点来了：
如果我们有一个有限基 {f₁, f₂, ..., fₖ}，那么任何一个连续函数 f 都可以表示成这些基函数的线性组合。这意味着，任何一个连续函数 f 的“复杂度”或者说它所能描述的“信息量”都被这有限的 k 个函数所限制住了。
但是，我们知道存在非常“复杂”的连续函数，它们无法用有限个简单函数（比如多项式）来精确描述。
一个更具体的反证思路：
假设 C(R, R) 有一个有限基 {f₁, f₂, ..., fₖ}。
这意味着 R 上的任何一个连续函数都可以是这 k 个函数的线性组合。
现在，让我们考虑这样一个函数：
g(x) = sin(eˣ)
这是一个非常“波动”的函数，它的图像在 x 变化时会产生非常精细的变化。
或者再考虑一个更“粗暴”但有效的例子：
考虑一类函数，它们在 x=0 处的值是 0，但在 x=1/n (n是整数) 处的值是一个非常大的正数，在 x=1/n 处的值是一个非常大的负数，并且在这些点之间是连续的。 （虽然构造这样的函数可能需要更严谨的定义，但可以想象它的“波动性”）。
或者，咱们用一个更直观的思路来理解：
维度 (Dimension) 的概念
线性空间的“维度”就是它的基的“大小”（个数）。对于一个有限维空间，维度是有限的。
函数空间 C(R, R) 的问题在于，它包含了太多“不同种类”的函数，以至于我们无法用一个有限的集合来“生成”所有这些函数。
想象一下，如果你用 k 根无限长的细杆（代表 k 个基函数），你可以组合出非常多的形状。但是，如果函数的“形状”或者说“行为”是无限多样的，那么 k 根细杆就显得不够用了。
关键在于“线性无关性”和“生成能力”的权衡。
一个线性无关的集合，它的元素之间是“独立的”，不会有哪个元素是其他元素的组合。
一个生成集合，它的所有元素可以组合出空间里的任何一个向量。
一个基，既要线性无关，又要能生成整个空间。
对于 C(R, R)，我们可以找到无限多个线性无关的函数（比如我们之前列出的 xⁿ 系列，或者 sin(nx), cos(nx) 系列，或者指数函数 e^(ax) 系列）。
但是，我们无法找到一个有限的集合，使得我们能够通过线性组合这些有限的函数，得到所有的连续函数。
更极端的例子：所有函数构成的向量空间
如果咱们考虑的是一个更广泛的空间，比如所有从实数集 R 到实数集 R 的函数构成的集合 F(R, R) （不要求连续）。这个空间比 C(R, R) 要“大”得多。
在这个空间里，我们甚至可以构造一个不可数的线性无关集。
考虑一组函数 {δₓ | x ∈ R}，其中 δₓ 是一个“狄拉克δ函数”的变种，它在点 x 处的值为 1，而在所有其他点的值都为 0。这种函数在严格的分析中需要用分布理论来定义，但我们可以直观地理解它的作用。
如果我们要表示一个函数 f，我们就可以写成 ∑_{i} cᵢδ_{xᵢ} 的形式（如果 f 是非零的只在有限点有值的函数）。
但是，对于一个连续函数，比如 f(x) = x²，它在每个点的值都是非零的。我们无法用有限个 δ 函数的线性组合来精确表示它。
在这种所有函数构成的空间里，我们甚至需要不可数无穷多个“基向量”才能“张成”这个空间。这比我们刚才讨论的“没有有限基”的例子更进一步了。
总结一下：
一个线性空间“没有基”的说法，通常指的是它“没有有限基”。这样的空间是无限维的。
构造这样的空间，核心在于找到一个集合，使得：
1. 这个集合的元素可以进行加法和标量乘法运算，并满足线性空间的公理。
2. 无论你选择多少个元素，总能找到一个元素（或者说一个“行为模式”），是这些选定元素线性组合不出来的。
最常见的例子就是各种函数空间，例如所有连续函数空间 C(R, R)。它们包含了足够“丰富”的函数，以至于任何有限集合都无法“张成”它们。
所以，与其说“没有基”，不如说“没有有限基”。无限维线性空间是数学中一个非常丰富和重要的概念，它们在泛函分析、微分方程等许多领域都有着至关重要的作用。它们的存在，告诉我们数学世界的广阔和多样性，远不止我们用有限坐标就能轻易描绘的简单几何。
首先，咱们得明白，在咱们传统理解里，一个线性空间（或者叫向量空间）之所以能够被我们“认识”和“操作”，很大程度上是因为我们总能找到一组“基”来描述它。基就像是线性空间里的坐标轴，有了它，我们就能用一串数字（坐标）来唯一地表示空间里的每一个向量。比如二维平面 R²，我们有标准基 {(1,0), (0,1)}，任何一个向量 (x,y) 都可以表示成 x(1,0) + y(0,1)。这种通过基来表达向量的方式，给我们的感觉是如此自然和必要。
那么，有没有可能存在一种线性空间，它就是纯粹的存在，没有一组有限的“基”能够“覆盖”它呢？答案是肯定的。这听起来有点玄乎，但数学就是这样，总有超越我们直觉的角落。
什么叫“没有基”？
咱们先得把“没有基”这个概念给掰扯清楚。一般来说，我们讨论的是“有限生成”的线性空间。也就是说，存在一个有限的向量集合，这些向量可以线性组合出空间里的任何一个向量。这组有限的向量就是这个空间的“基”。
而我们现在要谈的，就是那些不是有限生成的线性空间。换句话说，无论你拿出多少个向量，总会有一些向量是你用这些选定的向量线性组合不出来的。这就好像你在一个无限大的房间里，你只能搬动有限的几件家具，但你永远无法用这几件家具把整个房间都“填满”。
如何构造这样的空间？
最直接、也最经典的例子就是所有实数构成的向量空间 R。
咱们把 R 看作是一个线性空间。它的“元素”就是所有的实数（比如 1, 2.5, π, √2 等等）。
加法： 我们知道实数的加法是符合交换律、结合律的，并且有零元 0，每个实数都有对应的相反数。
标量乘法： 实数和实数之间的乘法，也符合分配律、结合律，并且存在乘法单位元 1。
所以 R 确实是一个线性空间。
现在来想想它的“基”。
如果 R 是有限生成的，那么就应该存在一组有限的实数 {v₁, v₂, ..., vₖ}，使得 R 中的任何一个实数 x，都可以表示成 x = c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₖvₖ，其中 c₁, c₂, ..., cₖ 都是实数。
但这是不可能的！
为什么 R 没有有限基？
让我们来尝试一下。假设我们选了一组有限的实数作为“潜在的基”，比如 {v₁}. 那么用这组基能生成的空间就是形如 c₁v₁ 的所有数。如果 v₁ 不是 0，那么生成的空间就是 R 中所有与 v₁ 成比例的数。但这显然不是整个 R，因为 R 里有无数多不与 v₁ 成比例的数（比如 v₁ + 1）。
如果我们选了两组，比如 {v₁, v₂}. 那么用它们生成的空间就是形如 c₁v₁ + c₂v₂ 的所有数。如果 v₁ 和 v₂ 不是成比例的（线性无关），那么它们生成的空间就是一个二维的“平面”，但在实数 R 里，我们还有无穷多个维度无法被“覆盖”。
事实上，我们可以证明，任何非零实数 v 都可以作为 R 的一个基。比如，取基为 {1}。那么任何实数 x 都可以表示成 x 1。所以 {1} 是 R 的一个基。
哦，等等，这里好像有点绕了。上面说的“所有实数构成的向量空间 R”如果它的基是 {1}，那它就是有限生成的，并且维度是 1，这就好像说它“有基”了。这好像和我们想说的“没有基”有点矛盾。
对，这里需要更精确地说明。我们通常说的“没有基”是指“没有有限基”。很多线性空间自然就有“无限基”，比如函数空间。而 R 本身，作为实数集，它可以被有限基所生成。所以 R 并不是我们寻找的那个“没有有限基”的例子。
抱歉，我刚才把例子给弄混了。咱们得回到那个核心问题：如何构造一个线性空间，它确实无法被任何有限的向量集合所生成？
更贴切的例子：函数空间
咱们来换个更合适的例子：考虑所有从实数集 R 到实数集 R 的连续函数构成的集合 C(R, R)。
把这个集合看作一个线性空间：
加法： 两个连续函数 f 和 g 的和是 (f+g)(x) = f(x) + g(x)。这个和函数 f+g 也是一个连续函数。
标量乘法： 一个实数 c 和一个连续函数 f 的乘积是 (cf)(x) = cf(x)。这个乘积函数 cf 也是一个连续函数。
C(R, R) 确实满足线性空间的各种公理。
现在的问题是：C(R, R) 是否有有限基？
也就是说，是否存在有限个连续函数 {f₁, f₂, ..., fₖ}，使得 R 上任何一个连续函数 f，都可以表示成：
f(x) = c₁f₁(x) + c₂f₂(x) + ... + cₖfₖ(x) （对于所有的 x ∈ R）
其中 c₁, c₂, ..., cₖ 是实数常数。
答案是：不存在这样的有限基。
为什么函数空间 C(R, R) 没有有限基？
咱们可以尝试构造一些“特殊的”连续函数来证明这一点。
考虑下面这组特殊的连续函数：
f₀(x) = 1 (常数函数)
f₁(x) = x
f₂(x) = x²
f₃(x) = x³
...
fₙ(x) = xⁿ
...
这一系列函数 {xⁿ | n ∈ ℕ₀} 构成了 C(R, R) 的一个无限线性无关集。
什么叫“线性无关”呢？就是说，如果一个线性组合等于零函数（即对于所有 x，结果都是 0），那么所有的系数都必须是 0。
比如说，如果我们要证明 {1, x, x², x³} 是线性无关的，我们会写 c₀1 + c₁x + c₂x² + c₃x³ = 0 (对于所有 x)。我们知道，一个多项式如果恒等于零，那么它所有系数都必须是零。所以 c₀=c₁=c₂=c₃=0。
同样地，我们可以证明 {1, x, x², x³, ...} 这个无限集也是线性无关的。如果一个关于 x 的幂级数在整个 R 上都等于零，那么它所有的系数都必须是零。
核心点来了：
如果我们有一个有限基 {f₁, f₂, ..., fₖ}，那么任何一个连续函数 f 都可以表示成这些基函数的线性组合。这意味着，任何一个连续函数 f 的“复杂度”或者说它所能描述的“信息量”都被这有限的 k 个函数所限制住了。
但是，我们知道存在非常“复杂”的连续函数，它们无法用有限个简单函数（比如多项式）来精确描述。
一个更具体的反证思路：
假设 C(R, R) 有一个有限基 {f₁, f₂, ..., fₖ}。
这意味着 R 上的任何一个连续函数都可以是这 k 个函数的线性组合。
现在，让我们考虑这样一个函数：
g(x) = sin(eˣ)
这是一个非常“波动”的函数，它的图像在 x 变化时会产生非常精细的变化。
或者再考虑一个更“粗暴”但有效的例子：
考虑一类函数，它们在 x=0 处的值是 0，但在 x=1/n (n是整数) 处的值是一个非常大的正数，在 x=1/n 处的值是一个非常大的负数，并且在这些点之间是连续的。 （虽然构造这样的函数可能需要更严谨的定义，但可以想象它的“波动性”）。
或者，咱们用一个更直观的思路来理解：
维度 (Dimension) 的概念
线性空间的“维度”就是它的基的“大小”（个数）。对于一个有限维空间，维度是有限的。
函数空间 C(R, R) 的问题在于，它包含了太多“不同种类”的函数，以至于我们无法用一个有限的集合来“生成”所有这些函数。
想象一下，如果你用 k 根无限长的细杆（代表 k 个基函数），你可以组合出非常多的形状。但是，如果函数的“形状”或者说“行为”是无限多样的，那么 k 根细杆就显得不够用了。
关键在于“线性无关性”和“生成能力”的权衡。
一个线性无关的集合，它的元素之间是“独立的”，不会有哪个元素是其他元素的组合。
一个生成集合，它的所有元素可以组合出空间里的任何一个向量。
一个基，既要线性无关，又要能生成整个空间。
对于 C(R, R)，我们可以找到无限多个线性无关的函数（比如我们之前列出的 xⁿ 系列，或者 sin(nx), cos(nx) 系列，或者指数函数 e^(ax) 系列）。
但是，我们无法找到一个有限的集合，使得我们能够通过线性组合这些有限的函数，得到所有的连续函数。
更极端的例子：所有函数构成的向量空间
如果咱们考虑的是一个更广泛的空间，比如所有从实数集 R 到实数集 R 的函数构成的集合 F(R, R) （不要求连续）。这个空间比 C(R, R) 要“大”得多。
在这个空间里，我们甚至可以构造一个不可数的线性无关集。
考虑一组函数 {δₓ | x ∈ R}，其中 δₓ 是一个“狄拉克δ函数”的变种，它在点 x 处的值为 1，而在所有其他点的值都为 0。这种函数在严格的分析中需要用分布理论来定义，但我们可以直观地理解它的作用。
如果我们要表示一个函数 f，我们就可以写成 ∑_{i} cᵢδ_{xᵢ} 的形式（如果 f 是非零的只在有限点有值的函数）。
但是，对于一个连续函数，比如 f(x) = x²，它在每个点的值都是非零的。我们无法用有限个 δ 函数的线性组合来精确表示它。
在这种所有函数构成的空间里，我们甚至需要不可数无穷多个“基向量”才能“张成”这个空间。这比我们刚才讨论的“没有有限基”的例子更进一步了。
总结一下：
一个线性空间“没有基”的说法，通常指的是它“没有有限基”。这样的空间是无限维的。
构造这样的空间，核心在于找到一个集合，使得：
1. 这个集合的元素可以进行加法和标量乘法运算，并满足线性空间的公理。
2. 无论你选择多少个元素，总能找到一个元素（或者说一个“行为模式”），是这些选定元素线性组合不出来的。
最常见的例子就是各种函数空间，例如所有连续函数空间 C(R, R)。它们包含了足够“丰富”的函数，以至于任何有限集合都无法“张成”它们。
所以，与其说“没有基”，不如说“没有有限基”。无限维线性空间是数学中一个非常丰富和重要的概念，它们在泛函分析、微分方程等许多领域都有着至关重要的作用。它们的存在，告诉我们数学世界的广阔和多样性，远不止我们用有限坐标就能轻易描绘的简单几何。
网友意见
谢邀：你这个问题在MSE上已经被讨论过了：
最重要的知道“任何一个向量空间都有基”和“选择公里”是等价的。 Andreas Blass 在1984年证明了如果“任何一个向量空间都有基”那么“选择公理”成立。
不承认选择公理有两种情况：1,假设它是错的，2.不去理会它的对错，独立于它。
1.假设“选择公里是错误的”（这和不假设选择公里是两回事），那么你自然可以构造出一个没有基的向量空间。因为它们是一回事。也就是说你只能通过假设来证明这个空间存在。
2 首先，离开选择公理后，你需要选择一个公理系统，这个系统独立于选择公理论，不去假设它的对错，那么抱歉，你自然无法证明这个命题"一个线性空间是否一定有基"，因为这个系统是独立于选择公理的。我们常见的系统ZF被证明是独立于选择公理的。 这也就是在我们默认的公理系统ZF下，你无法证明是否存在一个没有基的向量空间。自然你也不可能构造出反例。
下面是 Andreas Blass 的论文
http://www. math.lsa.umich.edu/~abl ass/bases-AC.pdf
不只是这个命题，下面的命题和都选择公理是等价
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