有人真正理解数列极限的定义吗？
问出这句话的时候，我其实有点紧张。毕竟，在大学数学系的课堂上，这个词——“数列极限”——出现的频率比任何其他概念都要高。教科书上写得洋洋洒洒，老师嘴里也讲得头头是道，可我总觉得，那层窗户纸还没完全捅破，总有种“似懂非懂”的模糊感。
直到那天，一个学长，也不是什么大牛，就是那种成绩还行，但也没那么耀眼的那种，在一次课后的讨论中，用一种近乎“白话”的方式，把那个该死的“εN”的定义，给我讲透了。
当时，我们正围着一张桌子，桌上散乱着一堆习题集和笔记。空气里弥漫着咖啡因和微弱的绝望感。我还在对着课本上的定义发呆：
“当n趋向于无穷大时，如果数列{a_n}的项a_n可以任意地接近一个常数a，那么称a是数列{a_n}的极限，记作lim_{n→∞} a_n = a。”
“任意地接近”？这到底是个什么鬼？难道a_n只要挨着a就行？那挨多近算近？“任意”又是哪个程度的任意？我能说“我随便一瞅，它就在那儿”吗？
我看着学长，希望他能给我点拨一二。
学长倒是没急着开口，先是慢悠悠地拿起笔，在那张写满了公式的白纸上，画了一个数轴。然后在数轴上随便找了个点，标上“a”。接着，他又在这“a”的周围，画了两个圈，但不是实心的，是虚线的。
“你看，”学长指着那两个虚线圈说，“这个a，就是我们说的那个“常数a”。它就像一个固定的靶心。”
“然后呢？”我追问。
“那个虚线的圈，”他继续说，“你想象一下，这就是‘a附近的一个小区间’。这个区间有多小？你可以把它画得比头发丝还细，比一粒尘埃还要小。你能想到的最小的正数，你都可以把这个区间缩小到那个程度。”
他顿了顿，似乎在看我是否能跟上。
“你想让a_n离a有多近？”他突然冒出这么一句。
我有点愣：“嗯……越近越好？”
“对！”他眼睛一亮，“你说越近越好，那我就问你，你想要‘近到什么程度’？是想让a_n和a之间的差距，永远小于1吗？还是小于0.1？还是小于0.000001？”
他用笔尖在纸上轻轻点了一下：“假设，你想让a_n和a的差距，永远小于一个叫做ε（epsilon）的正数。这个ε，你可以自己定。你想多小，就定多小。”
“好了，”他指着虚线圈，“这个虚线圈，就是以a为中心，半径是ε的区间。也就是说，所有在(aε, a+ε)这个区间里的数，都符合你‘想让a_n和a的差距小于ε’的要求。”
“然后呢？数列的项a_n在哪儿？”我有点着急了。
“这时候，我们就得拿出我们的‘大杀器’了——那个‘N’。”学长又画了一个横坐标，标记为“n”，表示数列的项数。
“你想啊，数列{a_n}是无穷的，它有a_1, a_2, a_3……一直到无穷远。我们关心的是，当n变得非常非常大的时候，a_n到底能不能‘乖乖地’进入那个‘ε区间’。”
“所以，我们要找的是一个关键的项数。我们称它为‘N’。”学长在横坐标上指了一个点，“在这个N之后，所有的数列项，也就是a_{N+1}, a_{N+2}, a_{N+3}……它们都必须老老实实地待在那个ε区间里。”
“也就是说，”学长把之前画的虚线圈往n轴的上方移了移，让大家能更清楚地看到对应关系，“如果我指定了一个ε（我想要的“近”的程度），那么我就一定能找到一个N。只要n大于这个N，那么a_n就一定会落进(aε, a+ε)这个区间里。”
“关键就在于这个‘一定能找到’。”学长强调，“不是说‘有时候能找到’，而是说‘你指定任何一个ε，我都保证能找到一个N’。无论你把ε缩小到多小，我都能找到一个对应的N，让它后面的所有项都符合要求。”
他指着那张画满潦草数字和符号的纸：“所以，那个定义，‘当n趋向于无穷大时，如果数列{a_n}的项a_n可以任意地接近一个常数a’，它说的‘任意地接近’，就是指你可以任意指定一个ε，我都能找到一个N，使得当n>N时，|a_n a| < ε。”
“|a_n a| < ε”，这不就是a_n和a的差距小于ε的意思吗？
“那‘n趋向于无穷大’是什么意思？”我又问。
“‘n趋向于无穷大’，就是说我们要看的是数列的远端。”学长又在n轴的远处画了一个箭头，“我们不关心a_1, a_2, a_3是不是在那个区间里，我们只关心，当n变得足够大，足够到‘无穷远’的时候，a_n会不会‘稳定’下来，进入那个由ε决定的‘安全区域’。”
“所以，极限的本质，是关于数列远端行为的描述。它不是说数列里的每一项都必须在那儿，而是说，从某个项数开始，后面的所有项，都乖乖地待在那儿。”
他突然笑了笑：“就像你在观察一个离得很远的山峰，你看到的不是它的底部，而是它在很高处的那个尖顶。极限就是那个尖顶，而εN就是你决定用多好的望远镜（ε）去看，以及你大概需要望向多远（N）才能看到那个尖顶。”
那一刻，我脑子里那层模糊的窗户纸，真的被捅破了。
它不是什么玄之又玄的抽象概念，它是一种精确的、可验证的陈述。它告诉我们，不管你对“接近”的要求有多苛刻（你指定多小的ε），总有一个“转折点”（N），一旦数列的项数越过了这个点，它就会在那个“精确的区间”里稳定下来。
那个学长，他没有用什么高深的术语，没有华丽的辞藻，只是用简单的数轴、虚线圈和“如果你……我就一定能……”这样的逻辑，把一个可能让人望而生畏的定义，讲得如此清晰。
从那天起，每当我看到那个εN定义，我脑海里都会浮现出那个学长画的图，和他说的那句“你指定任何一个ε，我都保证能找到一个N”。
是的，我大概，是真的理解了。这不仅仅是记住一个公式，更是理解了它背后的那份“承诺”——一份来自数列自身的，对于“稳定”的承诺。
网友意见
回答：
如果你学过高等数学（或数学分析），第一个让你琢磨不透的定义应该就是数列极限了。
如果你有一颗征服的心，你看了定义下面的所有例题，也经过好长一段时间的琢磨，终于有一天，你觉得你理解数列极限的定义了！
那么恭喜你，你的数学之路将迎来极大的提升空间！王者之路即将开启！嘿，大表哥，上题！
（2014 数三）设 ，则当n充分大时，有_____
A、|an| > |a|/2 B、|an| < |a|/2
C、an > a-1/n D、an < a+1/n
［分析］ 如果从理论上排除C和D选项（假设先不举特例），非常困难，因为这是考研数学概念题中最具有迷惑性的干扰答案，没有之一。然而命题人并不够聪明，因为一旦考生觉得C正确，D也觉得正确，所以立即排除CD.
下面大表哥开始正式的分析：
对任意的正数 ,存在N（ ），s.t 当n>N时，有 <
定义中的ε有几点需要说明：
（1）具有任意性，一个大写的However，更强调任意小；
（2）具有暂时的固定性；
（3）ε刻画 与常数a的接近程度
其中（1）与（2）很多学生难以理解，甚至觉得两个含义相互冲突。假设你周末要吃晚饭，你有各种选择，火锅，串串，炒菜米饭，过桥米线，桂林米粉，兰州拉面，凉皮肉夹馍。。。。。。。你有无数种选择，但是一旦选定，你暂时就不能再挑了，大表哥收起菜单，去厨房给您做去！
极限是一种动态的趋势，一种走向，一系列动态的点要与一个固定的点无缝连接！若ε不是任意小，则很难刻画出极限的本质。
如 现在分别取 ,甚至 满足 满足 不存在。这说明ε即使“很小”，也未必能刻画极限的本质，就像你很努力，却仍然很难搞懂这个分析一样，那只能说明你还不够努力，就像 一样，它必须充分小，足够小，小到尘埃里，小到肉眼看不见，才能刻画极限无限趋近的动态本质。这也不难理解，为什么有些证明一开始要限定ε<1。
数列的极限收敛问题，实际过程体现了一静一动原则，收敛到a，其中a 为固定的点。当n充分大时，an可以无限靠近a，那如何刻画“靠近”? 你不能用程度副词去刻画，很靠近，特别靠近，靠近得不能再靠近了，这些话并不能严格去度量他们之间数学上的接近程度，即an与a之间的距离，这时候ε出现了，ε用心良苦，他要测验an与a之间的距离，首先它要安静下来，比如化身为1/100，这时发现可能有一部分an被淘汰出局了，因为可以找到某个项 ,s.t , 之前的项，它们对a点并不忠心，已经在a的1/100邻域之外了。 经综上测验，比如又变成1/9999，这时发现还有更多的项被认定为不忠心。然而 是西西弗斯的化身，它没完没了的使自己变小，有多小呢？只要你能想到一个很小的正数，它就比你想的正数还要小，它可以比我小外甥的小鸡鸡还要小。
现在把C,D选项结合起来考虑，去掉绝对值变为
（1）由定义：对任意的正数 ,存在N( ),s.t 当n>N时，
有 即
而 具有任意性，所以它似乎可以取 ，此时就变为（1）式。
定义中ε不是具有任意性吗？所以当然可以取1/n（而且你不是强调任意小吗？不正好也符合其特质？)这样的逻辑似乎无懈可击！我们不妨回到第（3）条，ε刻画an与a之间的接近程度，那再细致一点，要达到何种程度呢？
答：趋于0的程度；
只要能满足最后趋于0，就可以保证 的极限点为 , 的任意性表现在数值上的任意小，而现在 却以另一副面孔出现，它变得蛮横无理，狭隘自私，它要求 奔向0的速度小于 ,而事实是 跑向 的速度如果慢一点，比如是 （相应地 或是 .....呢？虽然 跑向 的速度慢了些（比如此时取 ），但它们坚持跑到了最后，跑到精疲力竭，却也到达了终点-------极限点 .
本身并不能决定 与 之间的距离提出了一个刚性要求：即你俩之间必须在我给你划
的这个范围内
实际上，若任意 存在N（ ），s.t
此时头尾两个 本来就是矛盾的，尾巴n是动态的“n”，它大于 时才成立。而开头的1/n一旦这么给定，就意味着它其实是某 ，即对给定的 ，存在 .
在本题中，C,D选项试图用形式混淆概念的本质，值得同学们深思。
PS:如果你看完大表哥的分析还是一头雾水，我们不妨从哲学的角度再次认识这个问题。从马哲唯物辩证法观点出发，运动是绝对的，静止是相对的，但只承认绝对运动否认相对静止，就陷入诡辩主义；而只承认静止否认运动又陷入形而上学。而极限的定义中，n是运动的，它从1跑到无穷，而 是相对运动的，一旦给定就暂时被固定下来，把它当成一个静止的参考，从而找到相的N，否则N永远找不到，因为N依赖于 . 本题的CD选项陷入诡辩论的矛盾！
我是大表哥，关注我，考研不翻车！
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