在AHP方法中，如果构造判断矩阵？依据是什么？
AHP方法中判断矩阵的构造与依据：层层递进的决策智慧
在复杂决策场景中，我们常常需要权衡多个相互关联的因素，从中找出最优解。层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP）便是一种强大的工具，它通过将问题分解为相互关联的层级，并在此基础上进行两两比较，最终得出各因素的权重。而判断矩阵，正是AHP方法的核心，它承载着我们对各因素相对重要性的判断。
那么，如何科学地构造判断矩阵？其背后的依据又是什么呢？这就像是一次精密的推演，需要严谨的逻辑和清晰的思考。
一、 判断矩阵：量化相对重要性的“试金石”
首先，让我们明确判断矩阵是什么。简单来说，判断矩阵是一个方阵，其维度等于待比较因素的数量。矩阵中的每个元素 $a_{ij}$ 表示第 $i$ 个因素相对于第 $j$ 个因素的重要性程度。
构造判断矩阵的关键在于：
两两比较 (Paired Comparison): 我们不直接给每个因素一个绝对的评分，而是将它们两两配对，比较哪个更重要，以及重要程度的“多大”。这是AHP方法的一大特色，因为绝对评分往往难以做到一致和客观，而相对比较则更容易捕捉人类的直观判断。
标度取值 (Scale of Preference): 为了量化这种重要性程度，AHP方法设计了一套标度体系，通常是19标度法：
1：表示两个因素同等重要。
3：表示第一个因素比第二个因素稍微重要。
5：表示第一个因素比第二个因素明显重要。
7：表示第一个因素比第二个因素强烈重要。
9：表示第一个因素比第二个因素极端重要。
2, 4, 6, 8：表示介于上述相邻两数值之间的中间程度。
倒数（$1/3, 1/5, 1/7, 1/9$）：当比较的第二个因素比第一个因素重要时使用。例如，$a_{ji} = 3$ 则 $a_{ij} = 1/3$。
这个标度设计并非随意，它反映了人类对“强度”的一种感知，并且能有效处理模糊性。
二、 构造判断矩阵的依据：智慧的结晶
构造判断矩阵，实际上是将我们对问题的理解和判断转化为数学语言的过程。其依据可以从以下几个层面来理解：
1. 决策目标与层级分解：
依据： AHP方法的第一步就是明确决策的最高目标，并将复杂问题分解成若干个相互关联的层级，包括目标层、准则层、子准则层以及方案层。判断矩阵的构造，正是发生在每一层级内部，对该层级中的各因素进行相对重要性排序。
理解： 比如，我们要选择一款笔记本电脑。最高目标是“选择最优笔记本”。准则层可能包括“性能”、“价格”、“便携性”、“品牌”等。在“性能”准则下，我们可能有“处理器”、“内存”、“显卡”等子准则。那么，在准则层内部，我们需要构造一个判断矩阵，比较“性能”相对于“价格”谁更重要，或者“价格”相对于“便携性”谁更重要。
2. 专家经验与主观判断：
依据： 判断矩阵的填报，很大程度上依赖于参与决策的专家或决策者的知识、经验、直觉和价值判断。这些都是人类智慧的体现，因为很多情况下，没有绝对客观的标准可以量化某个因素的重要性。
理解： 例如，在比较“处理器”和“内存”对笔记本性能的影响时，一位资深的IT专家可能会认为处理器对日常运行速度的影响更大，因此在判断矩阵中会给予处理器更高的权重。而另一位用户可能更看重同时运行多个大型软件的能力，则可能倾向于给予内存更高的权重。AHP允许这种个体判断的融入。
3. 相对比较的逻辑一致性：
依据： AHP方法的核心原则之一是一致性原则。这意味着我们两两比较的结果，在整体上应该是协调一致的，避免出现逻辑矛盾。例如，如果认为A比B重要程度是3倍，B比C重要程度是3倍，那么自然而然地，我们应该认为A比C重要程度是9倍（$3 imes 3$）。
理解： 判断矩阵的构造必须遵循这种传递性。如果出现了不一致，说明我们的判断存在偏差，需要进行修正。AHP方法提供了“一致性比率”（CR）来量化这种不一致性。当CR小于0.1时，认为判断是可以接受的；否则，需要重新构造矩阵。这种对一致性的追求，保证了决策的逻辑严谨性。
4. 系统性与全局性考量：
依据： 虽然是两两比较，但 AHP 的目标是为整个决策系统确定权重。因此，在构造判断矩阵时，我们并非孤立地看待每个因素，而是将其置于整个决策目标和层级结构中进行综合考量。
理解： 比如，在比较“价格”和“便携性”时，我们不能仅仅考虑这两个因素本身，而是要结合它们对最终“选择最优笔记本”目标的影响。如果预算有限，那么“价格”的重要性可能会被放大；如果经常需要出差携带，那么“便携性”的重要性也会相应提高。这种全局性的视角，能够避免局部最优导致整体决策失误。
5. 模糊性与不确定性的处理：
依据： 现实世界的许多决策问题都伴随着模糊性和不确定性。AHP 的 19 标度法，以及允许使用分数或倒数，为处理这种模糊性提供了一种灵活的方式。它不是要求给出精确的数值，而是提供了一个相对明确的范围。
理解： 比如，我们很难精确地说“处理器性能是内存性能的3.75倍”。但我们可以说“处理器性能比内存性能稍微重要”，或者“明显重要”。通过这种带有模糊性的描述，我们可以构建出具有一定弹性的判断矩阵。
三、 如何具体构造判断矩阵？
有了上述依据，具体的构造过程通常如下：
1. 确定待比较的因素集合。
2. 选择一位或一组专家，向他们解释决策目标以及待比较的因素。
3. 专家根据自己的经验和判断，对因素集合中的每一对因素进行两两比较。 提问方式可以是：“在对[决策目标]做出贡献方面，因素X相对于因素Y有多重要？”
4. 将专家的判断结果按照 AHP 的标度法填入判断矩阵。 注意 $a_{ii} = 1$，且 $a_{ji} = 1/a_{ij}$。
5. 计算一致性比率（CR）。 如果 CR 过大，则需要与专家沟通，识别判断中的不一致之处，并修正判断矩阵。
6. 对每一层级的所有判断矩阵重复以上步骤。
举例说明：
假设我们要在一级准则层（如“性能”、“价格”、“便携性”）中进行两两比较，以决定它们相对于“选择最优笔记本”这个最高目标的重要性。
我们可能需要回答以下问题（由专家进行判断）：
“在选择最优笔记本方面，性能相对于价格，哪个更重要？重要程度如何？”
“在选择最优笔记本方面，性能相对于便携性，哪个更重要？重要程度如何？”
“在选择最优笔记本方面，价格相对于便携性，哪个更重要？重要程度如何？”
假设专家判断如下（19标度法）：
性能比价格明显重要（记为5）。
性能比便携性稍微重要（记为3）。
价格比便携性稍微重要（记为3）。
那么，该准则层的判断矩阵将是：
| 因素 | 性能 | 价格 | 便携性 |
| : | : | : | : |
| 性能 | 1 | 5 | 3 |
| 价格 | 1/5 | 1 | 3 |
| 便携性 | 1/3 | 1/3 | 1 |
接下来，就可以通过矩阵运算（如特征向量法）来计算出各准则的权重。
结语
构造判断矩阵，是 AHP 方法中至关重要的一步。它不仅仅是将数字填入表格，更是将人类的智慧、经验、判断和对系统整体的理解进行量化和整合。它以一种结构化的方式，帮助我们梳理复杂的决策问题，并在追求逻辑一致性的前提下，捕捉和处理信息中的模糊性。通过层层递进的判断和量化，AHP 最终能够为我们提供一个清晰、可操作的决策依据，指导我们走向最优解。这是一种将感性认知与理性分析巧妙结合的决策智慧。
在复杂决策场景中，我们常常需要权衡多个相互关联的因素，从中找出最优解。层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP）便是一种强大的工具，它通过将问题分解为相互关联的层级，并在此基础上进行两两比较，最终得出各因素的权重。而判断矩阵，正是AHP方法的核心，它承载着我们对各因素相对重要性的判断。
那么，如何科学地构造判断矩阵？其背后的依据又是什么呢？这就像是一次精密的推演，需要严谨的逻辑和清晰的思考。
一、 判断矩阵：量化相对重要性的“试金石”
首先，让我们明确判断矩阵是什么。简单来说，判断矩阵是一个方阵，其维度等于待比较因素的数量。矩阵中的每个元素 $a_{ij}$ 表示第 $i$ 个因素相对于第 $j$ 个因素的重要性程度。
构造判断矩阵的关键在于：
两两比较 (Paired Comparison): 我们不直接给每个因素一个绝对的评分，而是将它们两两配对，比较哪个更重要，以及重要程度的“多大”。这是AHP方法的一大特色，因为绝对评分往往难以做到一致和客观，而相对比较则更容易捕捉人类的直观判断。
标度取值 (Scale of Preference): 为了量化这种重要性程度，AHP方法设计了一套标度体系，通常是19标度法：
1：表示两个因素同等重要。
3：表示第一个因素比第二个因素稍微重要。
5：表示第一个因素比第二个因素明显重要。
7：表示第一个因素比第二个因素强烈重要。
9：表示第一个因素比第二个因素极端重要。
2, 4, 6, 8：表示介于上述相邻两数值之间的中间程度。
倒数（$1/3, 1/5, 1/7, 1/9$）：当比较的第二个因素比第一个因素重要时使用。例如，$a_{ji} = 3$ 则 $a_{ij} = 1/3$。
这个标度设计并非随意，它反映了人类对“强度”的一种感知，并且能有效处理模糊性。
二、 构造判断矩阵的依据：智慧的结晶
构造判断矩阵，实际上是将我们对问题的理解和判断转化为数学语言的过程。其依据可以从以下几个层面来理解：
1. 决策目标与层级分解：
依据： AHP方法的第一步就是明确决策的最高目标，并将复杂问题分解成若干个相互关联的层级，包括目标层、准则层、子准则层以及方案层。判断矩阵的构造，正是发生在每一层级内部，对该层级中的各因素进行相对重要性排序。
理解： 比如，我们要选择一款笔记本电脑。最高目标是“选择最优笔记本”。准则层可能包括“性能”、“价格”、“便携性”、“品牌”等。在“性能”准则下，我们可能有“处理器”、“内存”、“显卡”等子准则。那么，在准则层内部，我们需要构造一个判断矩阵，比较“性能”相对于“价格”谁更重要，或者“价格”相对于“便携性”谁更重要。
2. 专家经验与主观判断：
依据： 判断矩阵的填报，很大程度上依赖于参与决策的专家或决策者的知识、经验、直觉和价值判断。这些都是人类智慧的体现，因为很多情况下，没有绝对客观的标准可以量化某个因素的重要性。
理解： 例如，在比较“处理器”和“内存”对笔记本性能的影响时，一位资深的IT专家可能会认为处理器对日常运行速度的影响更大，因此在判断矩阵中会给予处理器更高的权重。而另一位用户可能更看重同时运行多个大型软件的能力，则可能倾向于给予内存更高的权重。AHP允许这种个体判断的融入。
3. 相对比较的逻辑一致性：
依据： AHP方法的核心原则之一是一致性原则。这意味着我们两两比较的结果，在整体上应该是协调一致的，避免出现逻辑矛盾。例如，如果认为A比B重要程度是3倍，B比C重要程度是3倍，那么自然而然地，我们应该认为A比C重要程度是9倍（$3 imes 3$）。
理解： 判断矩阵的构造必须遵循这种传递性。如果出现了不一致，说明我们的判断存在偏差，需要进行修正。AHP方法提供了“一致性比率”（CR）来量化这种不一致性。当CR小于0.1时，认为判断是可以接受的；否则，需要重新构造矩阵。这种对一致性的追求，保证了决策的逻辑严谨性。
4. 系统性与全局性考量：
依据： 虽然是两两比较，但 AHP 的目标是为整个决策系统确定权重。因此，在构造判断矩阵时，我们并非孤立地看待每个因素，而是将其置于整个决策目标和层级结构中进行综合考量。
理解： 比如，在比较“价格”和“便携性”时，我们不能仅仅考虑这两个因素本身，而是要结合它们对最终“选择最优笔记本”目标的影响。如果预算有限，那么“价格”的重要性可能会被放大；如果经常需要出差携带，那么“便携性”的重要性也会相应提高。这种全局性的视角，能够避免局部最优导致整体决策失误。
5. 模糊性与不确定性的处理：
依据： 现实世界的许多决策问题都伴随着模糊性和不确定性。AHP 的 19 标度法，以及允许使用分数或倒数，为处理这种模糊性提供了一种灵活的方式。它不是要求给出精确的数值，而是提供了一个相对明确的范围。
理解： 比如，我们很难精确地说“处理器性能是内存性能的3.75倍”。但我们可以说“处理器性能比内存性能稍微重要”，或者“明显重要”。通过这种带有模糊性的描述，我们可以构建出具有一定弹性的判断矩阵。
三、 如何具体构造判断矩阵？
有了上述依据，具体的构造过程通常如下：
1. 确定待比较的因素集合。
2. 选择一位或一组专家，向他们解释决策目标以及待比较的因素。
3. 专家根据自己的经验和判断，对因素集合中的每一对因素进行两两比较。 提问方式可以是：“在对[决策目标]做出贡献方面，因素X相对于因素Y有多重要？”
4. 将专家的判断结果按照 AHP 的标度法填入判断矩阵。 注意 $a_{ii} = 1$，且 $a_{ji} = 1/a_{ij}$。
5. 计算一致性比率（CR）。 如果 CR 过大，则需要与专家沟通，识别判断中的不一致之处，并修正判断矩阵。
6. 对每一层级的所有判断矩阵重复以上步骤。
举例说明：
假设我们要在一级准则层（如“性能”、“价格”、“便携性”）中进行两两比较，以决定它们相对于“选择最优笔记本”这个最高目标的重要性。
我们可能需要回答以下问题（由专家进行判断）：
“在选择最优笔记本方面，性能相对于价格，哪个更重要？重要程度如何？”
“在选择最优笔记本方面，性能相对于便携性，哪个更重要？重要程度如何？”
“在选择最优笔记本方面，价格相对于便携性，哪个更重要？重要程度如何？”
假设专家判断如下（19标度法）：
性能比价格明显重要（记为5）。
性能比便携性稍微重要（记为3）。
价格比便携性稍微重要（记为3）。
那么，该准则层的判断矩阵将是：
| 因素 | 性能 | 价格 | 便携性 |
| : | : | : | : |
| 性能 | 1 | 5 | 3 |
| 价格 | 1/5 | 1 | 3 |
| 便携性 | 1/3 | 1/3 | 1 |
接下来，就可以通过矩阵运算（如特征向量法）来计算出各准则的权重。
结语
构造判断矩阵，是 AHP 方法中至关重要的一步。它不仅仅是将数字填入表格，更是将人类的智慧、经验、判断和对系统整体的理解进行量化和整合。它以一种结构化的方式，帮助我们梳理复杂的决策问题，并在追求逻辑一致性的前提下，捕捉和处理信息中的模糊性。通过层层递进的判断和量化，AHP 最终能够为我们提供一个清晰、可操作的决策依据，指导我们走向最优解。这是一种将感性认知与理性分析巧妙结合的决策智慧。
网友意见
看一些用到AHP方法的论文，里面最大的瞎掰之处就是在构造判断矩阵上面。
不说100%的论文是瞎掰的吧，最少有90%的论文是瞎搞的。
大家看到整数方式的互为倒数，不用说，就是一个人拍脑袋搞出来的。
论文都说是经过专家打分的，那么假定10个专家打分，最后合成的判断矩阵是什么样子的呢？
有一个在线软件SPSS相关的，里面的AHP构造出的判断矩阵就是瞎掰的。尽管符合判断矩阵互为倒数的关系。
好，下面讲一下，多人打分如何得到一个清晰化的判断矩阵。
1、清晰化的例子
上面是DEMATEL清晰化的例子。注意其原理跟AHP互为倒数的关系是不同的。这个方法可以兼容AHP的合成清晰化矩阵的过程。
上面是过程，注意清晰化的算法。
上面的原理讲完了，下面讲AHP中多人打分如何得到判断矩阵。
2、判断大小的方向。
先假定一个4乘以4的矩阵。
上面的三角形表示大于等于一的值。圆圈里的表示小于1的值。
具体含义很好理解。
然后就可以转化成上面的矩阵。其中三角形块的就是专家要打分的地方，而且是打
1到9这么几个值。
到了上面这步大家应该理解了。另外一边就是对角线对称的位置求倒数而已。
3、专家打分
上面假定是一个专家打分的情况。
上面假定是另外一个专家打分的情况。
4、求平均值
上面就是合成出来的判断矩阵。
对应的位置，求一下倒数即可。
5、根据合成出的正反互为倒数的判断矩阵，求解
求权重这一步初中生都会了，就不说了。
然后，进行所谓的一致性校验。
6、AHP两个根本前提
第一、为什么要互为倒数，这个是前提设定。完全可以不互为倒数
第二、一致性校验是没有数理逻辑基础的
上述两点，可以看AHP提出者一些文章。
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