如何用数学知识解答「在进行社区大规模核酸检测时，分成几人一组进行混检效率最高」？

社区大规模核酸检测：多大的“混检小组”才能跑得最快？

在咱们这儿，大家都知道，疫情一来，社区核酸检测那是家常便饭。最近，随着检测需求的扩大，怎么才能让采样和检测的效率都蹭蹭往上涨，成了一个大问题。尤其是在混检这件事儿上，到底分几个人一组“打包”送检，才能最省时省力，让咱们早点回家？这事儿，其实挺有意思，可以用点数学的道道儿来琢磨琢磨。

咱先别被“数学”两个字吓着，这背后没那么复杂，就是一些基本的统计和概率概念，加上点儿计算，就能把事情说得明明白白。咱们的目标很简单：在保证足够准确的前提下，让整个核酸检测流程跑得越快越好。

问题的核心：风险与效率的博弈

咱们都知道，混检就是把几份样品放在一起进行一次检测。这样做的好处显而易见：减少了检测仪器和试剂的消耗，也大大缩短了需要人工操作的时间。但问题也来了，如果一个人阳性，这一整组样本就得复核，这无疑会增加后续的工作量，甚至可能延误整个批次的报告。

所以，这就形成了一个“风险与效率”的权衡：

小组人数越少：出现阳性时的复核范围越小，检测的准确性（在某个层面上）越高，但同时，检测成本和整体效率也越低，因为需要进行更多的单人检测。
小组人数越多：检测成本和操作效率越高，但一旦出现阳性，复核的工作量也越大，并且隐藏的阳性病例可能被稀释，导致漏检的风险增加（尽管目前的混检技术和试剂对低浓度阳性样本也有一定的检测能力）。

用数学模型来“模拟”检测过程

咱们可以用一个简化的模型来理解这个问题。假设咱们有 N 个人需要进行检测，而且咱们知道（或者可以估计）人群中的阳性率是 P。

咱们想知道，当小组人数是 K 时，整体的检测效率和准确性会怎么样。

1. 效率方面：

采样效率：一个人采样的时间基本是固定的，不管你怎么分组，这部分时间变化不大。
混检效率：如果一个小组有 K 个人，那么 N 个人就需要 N/K 个小组。假设每个小组的混检和初次检测时间是 T_mixed，复核一次的时间是 T_recheck。
平均检测时间（理想状态）：如果所有人都阴性，那么总检测时间大约是 (N/K) T_mixed。小组越大，需要的混检次数越少，初次检测的总体时间就越短。
考虑复核：如果在一个 K 人小组里，有一个人是阳性，那么这一组就需要复核。整个流程就变成了：进行 N/K 次混检 → 发现阳性小组 → 对阳性小组进行 K 次单人复核。

2. 准确性（漏检与误判）：

漏检风险：随着小组人数 K 的增加，低病毒载量的阳性样本被稀释的可能性会增加，这可能会导致初次混检时被判定为阴性（漏检）。目前的技术对此有一定优化，但理论上存在风险。
误判风险：混检技术本身有一个“截断值”，低于这个值就被认为是阴性。小组越大，阳性样本的“稀释效应”越明显，越容易低于截断值。

咱们需要优化的目标：最小化总检测时间（以及相关成本）

咱们希望在尽量短的时间内完成所有人的检测，同时尽可能避免漏检。

假设：

N：总检测人数
P：人群阳性率
K：每组混检人数
T_single：单人检测时间（主要指采样和初次放入机器的时间）
T_mixed_batch：一批 K 个样本进行混检并出结果的时间
T_recheck_single：单人复核的时间
F_recheck：每次复核的成本（包括试剂、人工、仪器占用等）
F_mixed_batch：每批 K 个样本混检的成本

咱们可以从 “平均单位时间内的检测能力” 或者 “完成总检测任务所需的平均总时间” 来衡量效率。

一个更直观的思路是考虑“等待时间”：

小组越大：所有人能在一个更少批次里完成初次检测。如果阳性率低，大家都能很快拿到阴性结果。
小组越小：即使有一个阳性，对整体报告的影响也小。但如果绝大多数人都是阴性，小分组就意味着做了更多的“单人操作”，反而慢了。

引入“期望值”的概念来量化

咱们可以计算在一个 K 人小组中，检测一次（包括初检和可能的复核）所花费的平均时间。

在一个 K 人小组里：

阴性（概率 1P）：只需要进行一次混检。平均时间：T_mixed_batch
阳性（概率 P）：需要进行一次混检，然后进行 K 次单人复核。平均时间：T_mixed_batch + K T_recheck_single

所以，在一个 K 人小组中，完成一次检测的平均时间 (E[Time_K]) 可以表示为：

E[Time_K] = (1 P) T_mixed_batch + P (T_mixed_batch + K T_recheck_single)
E[Time_K] = T_mixed_batch + P K T_recheck_single

注意：这里假设了阳性样本出现在小组中的概率都是 P，并且每次阳性都正好是一个人。在实际情况中，如果一个人本身携带病毒，他被检测的概率是 P，但他被分到某个 K 人小组的概率是 K/N。更严谨的计算会考虑“在一个 K 人小组中，至少有一个阳性”的概率。

另一种考虑方式是“单位成本下的报告数量”。

假设我们固定一个总检测成本 C_total。

单人检测成本： C_single
混检成本： C_mixed (包括试剂、仪器占用等，假设与人数 K 无关，只与一次混检批次有关)
复核成本： C_recheck_single (每次单人复核的成本)

当小组人数为 K 时，完成 N 个人的检测，总共需要进行 N/K 个混检批次。

总初检成本（混检）： (N/K) C_mixed
总复核成本：这是最难算的，因为它取决于有多少小组是阳性的。
在一个 K 人小组中，出现阳性的概率 P_group ≈ 1 (1P)^K （假设 P 很小，则 P_group ≈ KP）。
平均需要复核的次数 ≈ (N/K) P_group K = N P_group ≈ N K P (这里还是做了近似，当 P 很大时，这个近似就不准了)
所以，平均复核总成本 ≈ (N/K) P_group K C_recheck_single ≈ N P_group C_recheck_single

那么，什么是一个“最优”的 K 值呢？

通常，“效率最高”可以理解为：在单位时间内，完成最多有效检测（即出具阴性报告或准确报告阳性情况）。

从上面的平均时间公式 E[Time_K] = T_mixed_batch + P K T_recheck_single 可以看出，P 越大，K 越大，平均时间越长。

如果我们要最小化平均总检测时间，考虑到 N 个人的总时间是 N E[Time_K] / K （因为一个小组用了 K 个人），这个推导有点复杂。

咱们换个角度，从“单次检测的期望成本”来思考。

假设我们的目标是，平均每一次（对一个人的）报告，其总成本（包括初检、可能发生的复核）最低。

成本： C_total = (N/K) C_mixed + (N/K) P_group K C_recheck_single
这里的 P_group 是 K 人小组出现至少一个阳性的概率。
P_group = 1 (1P)^K
所以，总成本 C_total = (N/K) C_mixed + (N/K) (1 (1P)^K) K C_recheck_single
C_total = N (C_mixed / K) + N (1 (1P)^K) C_recheck_single

咱们想要最小化平均每人成本 = C_total / N = (C_mixed / K) + (1 (1P)^K) C_recheck_single

我们希望最小化这个关于 K 的函数。

(C_mixed / K) 这一项随着 K 增大而减小。
(1 (1P)^K) C_recheck_single 这一项（表示平均每人因复核产生的额外成本）随着 K 增大而增大（因为 1(1P)^K 随着 K 增大而增大）。

最优的 K 值就取决于 C_mixed (混检批量成本) 和 C_recheck_single (单人复核成本) 的相对大小，以及人群阳性率 P。

实际操作中的考量与经验

在实际操作中，我们还需要考虑：

1. 阳性率 P：如果 P 很高（比如超过 1%），那么 K 值就不能太大，否则大部分小组都会出现阳性，导致大量的复核工作，反而降低了整体效率。如果 P 非常低（接近于零），那么 K 值就可以适当增大，以最大化混检的成本效益。
2. 试剂和仪器的限制：很多混检试剂盒和仪器有最大支持的样本数，这会直接限制 K 的上限。
3. 实验室的处理能力：即使混检了，复核也需要时间。如果实验室处理复核的能力有限，那么过多的阳性小组会造成瓶颈。
4. 政策和指导：疾控部门通常会根据流行病学的情况给出建议的混检人数范围。

举个例子来理解：

假设：
混检一次（一个批次）的固定成本（如加样、仪器启动） C_mixed = 50 元。
单人复核的成本（试剂+人工） C_recheck_single = 10 元。
阳性率 P = 0.01 (1%)

咱们来计算不同 K 值下的平均每人成本：

K=5:
P_group = 1 (10.01)^5 ≈ 1 0.951 ≈ 0.049 (4.9%)
平均每人成本 = (50 / 5) + (0.049) 10 = 10 + 0.49 = 10.49 元

K=10:
P_group = 1 (10.01)^10 ≈ 1 0.904 ≈ 0.096 (9.6%)
平均每人成本 = (50 / 10) + (0.096) 10 = 5 + 0.96 = 5.96 元

K=20:
P_group = 1 (10.01)^20 ≈ 1 0.818 ≈ 0.182 (18.2%)
平均每人成本 = (50 / 20) + (0.182) 10 = 2.5 + 1.82 = 4.32 元

K=30:
P_group = 1 (10.01)^30 ≈ 1 0.739 ≈ 0.261 (26.1%)
平均每人成本 = (50 / 30) + (0.261) 10 = 1.67 + 2.61 = 4.28 元

K=40:
P_group = 1 (10.01)^40 ≈ 1 0.670 ≈ 0.330 (33.0%)
平均每人成本 = (50 / 40) + (0.330) 10 = 1.25 + 3.30 = 4.55 元

从这个例子可以看出，当阳性率是 1% 时，随着 K 从 5 增加到 30，平均每人成本在下降，说明效率在提升。但当 K 超过 30 后，平均每人成本又开始上升了，这是因为阳性率上升导致复核成本的增长快于混检成本的下降。

结论：

对于“效率最高”这个问题，从数学上讲，我们是在寻找一个 K 值，使得在总检测成本（包含试剂、人力、仪器占用、时间价值等）以及总检测时间（从采样到拿到结果的平均时长）之间达到一个平衡点。

通常，当阳性率较低（例如低于 0.5% 或 1%），1020 人一组是一个比较常见的、效率和成本都比较折中的选择。而当阳性率可能更高时，为了避免大规模的复核，会选择更小的组，比如 510 人。

不过，请注意：以上的计算都是基于简化的模型，并且假设了阳性样本的分布是随机的。在实际的社区检测中，可能还需要考虑采样人员的熟练程度、试剂的灵敏度、以及样本保存的环节等多种因素。所以，最终确定的混检分组人数，往往是数学模型分析、技术可行性以及实际操作经验相结合的产物。

总的来说，用数学工具来分析，可以帮助我们更科学地找到那个“最佳搭档人数”，让社区核酸检测这个庞大的系统跑得更顺畅、更高效！

网友意见

将感染者视为小球，分组视为盒子，当感染人数相对于盒子数极少时，大概率小球相对分散在不同的盒子中，所以盒子越小，盒子数量越多，被重新测试的次数就越少（当一个人就是一组时，则冗余测试为零）。但是相对而言，医护工作人员的工作量就成倍增加。

苦了百姓，医护人员省些力气；方便百姓，苦了医护人员。所以真正需要考虑的是两者综合的时间成本。

       covidtest <-function(n,N,m)    #以n人为一组测试, 共N人接受测试, m人呈阳性; 输出结果为测试次数 {     x = 1:N     P = sample(x=x, size=m)     x[P] = 0     G = floor(N/n)     T = N     for(i in 1:G)     {         if(any(x[c((i-1)*n+1, i*n)]==0)) T = T+n     }     T } covidtest(10,10000000,100000)

写了一个R语言代码模拟次数，其实总的来说分组多少差距不太大，读者可以自己试着运行一下。

我直接艾特红驴 @红护来学数学，本答案参考了 @Fiddie老哥，从比较直观但不严谨的角度来说明一下分组的好处——兼顾了效率和公平。

问题描述：受检人数为n，感染人数为m，其中m远小于n，感染率为p=m/n，数值很小接近于0，假设有多啦A梦的四次元试管，能同时测量无穷多的人，假设每次做检测消耗1个试管。

（1）假设m=1，即只有1个人感染，做一次彻底的筛查在最坏情况下需要多少个试管？

（2）m>=1呢？

（3）假设m>=1，不考虑最坏情况，而是考虑试管的期望消耗呢？

（1）假设m=1，即只有1个人感染，做一次彻底的筛查在最坏情况下需要多少个试管？

1.1穷举法

一人一管，全部检测！

很明显，有n个人，那就需要消耗n个试管，做 n次检测。这样做保证可以把感染的人给揪出来，但是没有效率，检测时间长，试管消耗大。

那么有没有非常效率的方法呢？

1.2二分法

有的，那就是二分法。

什么是二分法呢？

我们想象有这样一个数列，从1排到n，其中隐藏着一个红护，为了方便起见我们把他放在1号位，事实上他在任何一个位置都一样，如图1所示。

我们从中间用拼多多刀法砍一刀，发现上半区有反应，下半区没反应，于是我们丢弃下半区，继续在上半区中间开砍，如图2所示。

通过这样不断地重复逼近，最终一定能够把红护给找出来，最坏的情况是砍到这里才把红护找出来，如图3所示。

假设我们砍了x次，只要保证，我们就可以在x刀内把红护砍出来。

求解得。

回归问题，这种方法能最有效率消耗最少的试管来找到感染者。

但是有一个大问题，那就是——不公平。

因为红护最多要被捅x次，其他人最少只要1次就够。

有没有兼顾效率和公平的方法呢？

1.3混合检测

有的，这就是我们实际应用中的混检。

假设我们k个人一组进行检测。严谨过程可以参考这个老哥的答案，写的真的很好。

如何用数学知识解答「在进行社区大规模核酸检测时，分成几人一组进行混检效率最高」？ - Fiddie的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/524417189/answer/2411517075

只需要n/k+k次就足够了。

利用基本不等式，我们知道它的最小值为2n^0.5，k=n^0.5次时取得该值。

为什么说它兼顾了公平与效率呢，请看图4。

x是人数，y是检验的次数/消耗的试管数。

我们可以很直观看出，第三种方法所对应的中间的函数曲线，消耗不多不少，次数也是刚刚好，抱守中庸之道。

关键还挺公平，一个人最多被捅两次。

（2）m>=1呢？

（3）假设m>=1，不考虑最坏情况，而是考虑试管的期望消耗呢？

正如Fiddie老哥所讲，这个最后可以化为优化问题进行求解，通过约束感染率和混检人数，使得混检方法兼顾效率和公平，大幅提升了核酸检测能力，降低了个人检测费用负担，也不影响出具检测报告的时间，这在疫情小范围爆发时很有效果。

我有绝佳的思路过程，但是这里太小我写不下了！

问题：如何用数学知识解答「在进行社区大规模核酸检测时，分成几人一组进行混检效率最高」？

解答: 下面我们记表示不小于的最小整数, 即的向上取整.

假设采取人一组的混合检测, 如果有一个试管出现阳性, 那么就对这个试管单独测试.

(1)当时, 这样一共需要管核酸试剂. 利用基本不等式,

第二个不等号中的等号成立的条件是. 所以我们采取人混检的策略可以使得策略最优(考虑到取整问题, 可能与相差一个很小的常数, 但这无关紧要).

(2)对于, 最坏的情况是每一组都有一个确诊的, 这样一共需要管核酸试剂. 根据基本不等式,

第二个不等号中的等号成立的条件是. 所以我们采取人混检的策略可以使得策略最优.

(3)记感染率, 每组人中, 都没有感染的概率是, 此时只需要检验1次; 而至少有1人感染的概率是, 此时需要检验次. 所以这个人的检验次数的期望值是

接下来为了方便起见, 我们不妨设可以整除, 那么个人一共分成了组, 利用期望的加法性质, 总检验次数的期望为

下面确定使得上式等号右边最小. 设函数

这个函数的最小值不太好求, 但是由于这个函数形式简单, 我们可以把它放进matlab求解, 如下图, 感染率分别为时, 最佳取值分别为. 可以大致发现, 随着减小, 混检人数的最佳取值变大.

更一般地, 我们可以用梯度下降法或者Newton迭代(求导数的最小值)等经典的数值算法, 很快就能求出最佳取值.

不过我们可以顺便算一下什么情况下混检比单独检测更好. 显然, 单独检测一共需要检次. 令, 解得

可知当感染率和混检人数满足上面不等式的情况下, 混检比单独检测更优.

最近以新冠疫情作为背景的数学题或者模型非常多, 例如2021北京高考题、2021南京大学经济学拔尖计划考试题(见文末), 都是用核酸检测来作为出题背景, 这些题把数学融入了我们生活中的各个角落, 让大家觉得数学不再是那么高不可攀.

阿里巴巴全球数学竞赛的预选赛部分其实一直都聚焦于实际, 比如去年的预赛题目就以注射疫苗后留观室的人数来作为背景, 其翻译成数学语言就是在一个有界区域里面的满足一定条件的点可以有多少个.

除了上面与疫情有关的题之外, 还有一些题也是比较有意思的. 我曾经参加过第一届和第二届的竞赛(虽然第二届只答了第一轮的题, 到第二轮的时候跑出去玩了TAT), 印象比较深刻的是第二届的那道用拓扑学来描述张师傅拧面条的题; 而到了第三届还有“后续”, 变成了一道优化题, 用优化的方法来调节古董收音机的收音效果.

而这一届阿里巴巴全球数学竞赛邀请了许多社会人士来出题, 把生活中我们习以为常的细节变成一道道数学题. 利用数学的工具, 激发我们用一个更理性的角度去看待与我们生活息息相关的事情, 也让这次数学竞赛更加大众化.

附：

【2021北京, 18】 为加快新冠肺炎检测效率, 某检测机构采取“合1检测法”, 即将个人的拭子样本合并检测. 若为阴性, 则可确定所有样本都是阴性的. 若为阳性, 则还需要对本组的每个人再做检测. 现有100人, 已知其中2人感染病毒.
(1) 若采用“10合1检测法”, 每10人分成一组, 共10组.
(i)若两名患者在同一组, 求总检测次数;
(ii)若两名患者在同一组的概率为.
记随机变量为总检测次数, 求此时随机变量的分布列和数学期望;
(2) 若采用“5合1检测法”, 检测次数的数学期望为, 试比较(1)中的和的大小关系(直接写出结论).

【2021NJU经济学拔尖考】 假设某城市全体居民人数为. 该城市因防治传染病的要求, 需要对全体居民进行核酸检测. 有两种办法进行全体居民的核酸检测:
(1)每个人的样本分别检验, 这时需要检验次;
(2)把个人的样本混在一起进行检验, 如果结果是阳性的, 那么对这个人再逐个检验, 这时对这个人的检验共需要做次. 假设对所有的人来说, 检验结果呈阳性反应的概率都是, 而且这些人的检验反应是独立的. 试分析满足什么条件时, 办法(2)能够产生比办法(1)更少的检验次数.

　　数学苦手刷到了一个实用价值很高的数学题，这到底苦手的悲剧还是数学的扭曲？数学已经不是苦手印象中一边抽水一边放水，一边吃草一边长草的时候了吗？记得以前的题目都是一人一狗往前跑，狗子回头把人找，要问啥时候能相遇，疯狗阴影有多少？

　　现在用核酸人数算，我觉得是跟阳性概率有关的吧，效率的主要问题出在如果出现了阳性重新检测的工作上，所以概率越低，人数越多，反之则越少。

　　好了，我的数学水平只支持我废话到这里，回答这个的问题是为了贡献一点热度，想看真的大手子科学的解答。

实践出真知。

人在东南亚，核算检测都是自己上，每次都做到手发麻。

开始也是想搞个数学模型，求个最优化啥的，但是奈何比例太高，俩人混检都不一定划算。

所以大部分情况下，还都是一人份的老老实实每个人单独检测。

尤其是现在，奥密克戎，威风的很，速度也快，本地大部分躺平的都不怎么检了，谁不舒服了就自检就可以了。

当然，现在国内的情况还是有搞搞优化的余地的，但是最好还是根据当时当地的实际状况来做，不易太复杂化。

毕竟核酸试剂现在也很便宜了，产能也跟得上，应该不是个大问题了。

@Jack Wang

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北京国际数学研究中心教授谢俊逸和袁新意在几何Bogomolov猜想领域取得突破，这无疑是数学界的一件大事。要理解这项工作的意义，我们得先稍微深入地了解一下这个猜想本身，以及它在数学中的位置。什么是Bogomolov猜想？Bogomolov猜想是一个非常深刻的猜想，它涉及到代数几何中的一个重要概念——.............
如何用数学卖个萌？

哼哼，数学也能卖萌？那必须的呀！不过，用数学卖萌可不是随便喊喊口号，而是要把那些枯燥的数字和符号，变成会说话、会撒娇的小精灵，让看到的人心都化了~咱们今天就来一场“数学卖萌十八式”，保证让你成为数学界的“萌主”！第一式：点亮你的心，用“萌萌哒”函数你想表达“我喜欢你”？直接说太没诚意了！咱们可以用函.............
如何用数学证明活着就有希望？

这是一道极富哲学意味的数学问题。用纯粹的数学逻辑来“证明”一个生命状态的意义，本身就带有一定的比喻和象征性。但我们可以尝试用数学的视角来解读“活着就有希望”这句话，并构建一个基于概率论和博弈论的论证过程。核心思路：“活着就有希望”可以理解为：只要生命状态存在（即活着），就存在一种可能性（希望），使未.............