怎么逐步学习 PDE？
阶段一：建立坚实的基础 (预备知识)
在开始学习PDE之前，确保您已经对以下数学领域有较好的理解：
1. 微积分（Calculus）：
单变量微积分： 导数（微分）、积分、泰勒展开、链式法则等。这是PDE中最基本的操作工具。
多变量微积分： 偏导数、方向导数、梯度、散度、旋度、全微分、重积分（二重积分、三重积分）、格林公式、高斯散度定理、斯托克斯公式。这些概念是理解和处理PDE中涉及的空间导数的关键。
向量分析： 向量场、线积分、面积分、体积分的概念和计算。
2. 线性代数（Linear Algebra）：
向量空间、线性变换、矩阵、行列式、特征值和特征向量、矩阵的分解（如奇异值分解）。 这些在分析PDE的解、数值方法以及理解一些高级概念时非常有用。
3. 常微分方程 (ODE)（Ordinary Differential Equations）：
一阶和高阶 ODE 的解法： 变量可分离法、线性方程、常系数线性方程、欧拉方程、恰当方程、常数变易法等。虽然PDE和ODE不同，但ODE中的一些思想和方法（如解的存在性、唯一性、稳定性）会为学习PDE打下基础。理解ODEs有助于理解特征线法，这是解决某些类型PDE的关键。
4. 实分析（Real Analysis）或函数空间初步：
收敛性（序列、级数）、极限、连续性、有界性、积分的性质。
（可选，但非常有益）初步了解函数空间： 如 $L^p$ 空间、Sobolev 空间等。这些是理解PDE理论分析的基础，虽然在初学阶段不深入研究，但了解它们的存在性和基本性质会帮助理解后续的泛函分析方法。
阶段二：PDE基础理论与分类
在巩固了预备知识后，就可以正式进入PDE的学习。
1. PDE的定义与基本概念：
什么是PDE？ 理解 PDE 是包含未知函数及其偏导数的方程。
阶数、线性性、齐次性： 掌握如何判断一个PDE的阶数、是否是线性的、是否是齐次的。
解的定义： 理解什么是PDE的解（古典解、弱解等）。
定解问题（Boundary Value Problems, BVP）与初值问题（Initial Value Problems, IVP）： 理解为什么PDE需要边界条件和/或初始条件才能有唯一解。
初值条件： 通常与时间有关。
边界条件： 通常与空间域有关，例如 Dirichlet 条件（指定函数值）、Neumann 条件（指定法向导数值）、Robin 条件（指定函数值和法向导数值的线性组合）。
2. PDE的分类： 这是学习PDE的关键一步，因为不同类型的PDE有不同的分析方法和解法。
二阶线性PDE的分类：
椭圆型方程（Elliptic PDEs）： 如拉普拉斯方程 ($ abla^2 u = 0$)、泊松方程 ($ abla^2 u = f$)。主要描述稳态现象（如稳态温度分布、静电势）。
抛物型方程（Parabolic PDEs）： 如热传导方程（扩散方程）($u_t = alpha abla^2 u$)。主要描述随时间演化的扩散或传导过程。
双曲型方程（Hyperbolic PDEs）： 如波动方程 ($u_{tt} = c^2 abla^2 u$)。主要描述波的传播现象。
如何区分？ 通过特征方程来判断。对于二阶线性PDE $Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + dots = 0$，如果 $B^2 AC < 0$，它是椭圆型；如果 $B^2 AC = 0$，它是抛物型；如果 $B^2 AC > 0$，它是双曲型。
3. 基本求解方法与代表性PDE： 重点学习不同类型PDE的经典解法。
热传导方程 (Parabolic):
分离变量法（Separation of Variables）： 这是解决许多线性PDE在规则区域上的定解问题的最基本也是最重要的技巧。需要将PDE转化为一系列ODE，然后利用边界条件确定解的形式。
傅里叶级数与傅里叶变换： 在无限长或周期性区域上，傅里叶级数和傅里叶变换是分离变量法的自然延伸，用于表示周期函数或非周期函数。
Green 函数： 一种强大的工具，用于求解非齐次PDE。
初步理解物理意义： 热量如何扩散，稳态如何形成。
波动方程 (Hyperbolic):
分离变量法： 同样适用，但会涉及三角函数和振动模式。
达朗贝尔（d'Alembert）解法： 专门针对一维波动方程的简洁解法，直观地展示了波的传播。
傅里叶级数： 用于分析字符串的振动模式。
能量守恒： 理解波动方程的解的守恒律。
初步理解物理意义： 波如何传播，反射，驻波。
拉普拉斯方程/泊松方程 (Elliptic):
分离变量法： 在矩形、极坐标等规则区域上求解。
调和函数： 理解拉普拉斯方程的解的性质（如最大值/最小值原理）。
Green 函数/点源解： 用于求解泊松方程。
Dirichlet 问题与 Neumann 问题： 重点理解这两种最常见的边界条件。
初步理解物理意义： 静电势，稳态温度，流体动力学。
阶段三：深入理解与进阶方法
掌握了基本概念和求解方法后，可以进一步深入。
1. 特征线法（Method of Characteristics）：
概念： 对于一阶PDE和某些类型的二阶PDE（如双曲型），可以找到一些特殊的曲线（特征线），沿着这些曲线，高阶导数可以被“消除”或转化为常微分方程，从而简化求解过程。
应用： 特别适用于求解一阶线性或拟线性PDE，以及一维波动方程。
2. 数学物理方法中的其他技巧：
积分变换（如拉普拉斯变换）： 用于将PDE转化为常微分方程或代数方程，尤其适用于处理初值问题。
边值问题求解的数值方法初步：
有限差分法（Finite Difference Method）： 将 PDE 的导数用差分近似，将 PDE 转化为一个大型线性方程组或非线性方程组。这是最直观的数值方法之一。
有限元法（Finite Element Method）： 将求解区域划分为小单元，在每个单元上用简单的函数（如多项式）近似解，然后通过变分原理或加权残差法导出方程组。这是解决复杂几何形状和边界条件的强大方法。
有限体积法（Finite Volume Method）： 将求解区域划分为控制体积，对守恒律方程在每个控制体积上积分，得到一个代数方程组。在流体力学等领域非常常用。
3. 泛函分析方法初步：
Lions 引进的弱解概念： 这是现代PDE理论的核心。理解为什么需要弱解（Classical solution 不一定存在，或者不具备很好的性质），以及如何定义和求解弱解。
Sobolev 空间： 学习其基本定义和性质，理解它们如何用于定义弱导数和弱解的函数空间。
LaxMilgram 定理： 一个重要的定理，用于证明某些椭圆型方程的弱解的存在性。
能量估计： 通过构造能量泛函，可以证明解的存在性、唯一性、稳定性以及某些先验估计。
4. 进阶的PDE类型与理论：
非线性PDE： 如 Burgers 方程、非线性薛定谔方程等。这些方程的分析和求解通常更具挑战性，需要专门的技巧，如守恒律形式、熵解等。
高维PDE： 学习处理三维或更高维度的PDE。
不规则区域上的PDE： 学习如何处理不规则的边界和形状。
奇性摄动（Singular Perturbation）： 处理方程中存在小参数时发生的解的剧烈变化。
随机偏微分方程 (SPDEs)： 结合随机过程的PDE，用于描述含有随机性的系统。
学习策略与建议
1. 打好基础： 不要急于学习PDE，确保微积分、线性代数和ODE的基础扎实。可以找一本好的ODE教材回顾一下。
2. 选择合适的教材：
入门级： 可以选择一些侧重数学物理方法和求解技巧的教材，例如：
《数学物理方法》（Mathematical Methods for Physicists） by Arfken, Weber, and Harris (更偏向应用和技巧)
《数学物理方程》（Partial Differential Equations for Scientists and Engineers） by Stanley J. Farlow (非常易懂，注重方法)
《偏微分方程导论》（Introduction to Partial Differential Equations） by Walter A. Strauss (经典教材，理论与方法兼顾)
进阶级： 侧重理论分析和泛函分析的教材，例如：
《Partial Differential Equations: An Introduction》 by Lawrence C. Evans (被誉为PDE的“圣经”，非常全面和深入，但难度较大)
《Partial Differential Equations》 by Peter J. Olver (覆盖范围广，有现代视角)
3. 勤加练习： PDE的学习离不开大量的习题练习。从简单的分离变量法练起，逐步挑战更复杂的题目。
4. 理解物理背景： 许多PDE源于物理学（热学、力学、电磁学、量子力学等）。理解PDE所描述的物理过程，可以帮助你更好地理解方程的意义、边界条件的选择以及解的性质。
5. 重视可视化： 如果可能，使用MATLAB, Python (with libraries like NumPy, SciPy, Matplotlib) 等工具来可视化PDE的解，这有助于加深直观理解。
6. 循序渐进，不要跳跃： 按照逻辑顺序学习，不要试图一次性掌握所有内容。先精通一类PDE的求解方法，再学习下一类。
7. 学习小组或请教他人： 如果遇到困难，不要独自钻牛角尖。和同学讨论，或者请教老师、助教。
8. 阅读经典文献（可选，但有益）： 对于有兴趣深入研究的同学，可以尝试阅读一些重要的经典论文，了解PDE研究的前沿和历史。
学习路径示意图：
```mermaid
graph TD
A[微积分基础] > B[多变量微积分]
B > C[线性代数基础]
B > D[常微分方程基础]
C > E[PDE 基本概念与分类]
D > E
E > F[分离变量法]
E > G[特征线法]
F > H[热传导方程]
F > I[波动方程]
F > J[拉普拉斯方程]
G > H
G > I
H > K[傅里叶级数与变换]
I > K
J > L[数值方法初步]
K > M[泛函分析初步]
L > N[进阶 PDE (非线性等)]
M > N
N > O[深入研究与应用]
subgraph 预备知识
A
B
C
D
end
subgraph PDE 基础
E
F
G
end
subgraph 代表性PDE & 方法
H
I
J
K
end
subgraph 进阶与理论
L
M
N
end
```
总结来说，学习PDE是一个构建和应用数学工具的过程。从理解基本概念和分类开始，掌握解决经典问题的方法，然后逐步深入到更抽象和更强大的理论工具。最重要的是持之以恒的练习和对数学的深入思考。
祝您学习顺利！
网友意见
首先说点题外话，我自己在学PDE这件事上是走过一些弯路的，现在想来主要原因是最开始的时候自己没当回事，有人曾跟我说过学PDE可以看做是高级一点的分析习题，这句话其实是很坑人的，PDE有自己的模式。根据我个人的经验，请初学者一定注意，PDE不是某种分析的分支，同样实分析，泛函分析，复分析这样的理论也不只是为了解PDE而产生的（虽然在学分析的时候微分方程是一个很好的实例）。
我曾写过几个相关的回答，对一些常见的PDE教材有写过一些注记，如果只是想找书的话可以参考下面回答
先回答第二个问题Evans的书什么时候看合适？说一个比较容易的检测方法，你去翻Evans书的附录，如果其中百分之八十的东西对你来说没有太大的障碍的话，直接去看Evans的书就好，虽然也可能会遇到一些困难，比如不太容易适应各种Sobolev不等式，对弱解这个概念不适应之类的，但多去想想，再辅以相关教材，还是比较容易读下去的。最后，我个人的观点是，Evans这本书不适合拿来自学，它是很好的教材和参考书，但对于没有人指导的初学者，并不算特别友好。我听过好几个人用这本书作为主要教材来讲研究生的PDE课程，他们也都根据自己的喜好跳过以及添加了一些内容，使得课程更成体系。
接下来写一个我自己设想的PDE学习思路，中间改过几次，目前算是一个自己觉得还行的入门思路，当然还有待改进（我自己已经没机会按照这个思路来了，欢迎感兴趣的人尝试，最好能给出反馈）。
- 预备知识
1) 与绝大多数的数学系基础课一样，学PDE真正需要的预备知识就只有基本的多元微积分和线性代数，最好的话还是有对Lebesgue积分有所了解，当然学过实分析和泛函分析可能会轻松一点，但除了线代和多元微积分其他的完全不是必须的！要用到的高级一点数学都可以在学的过程中慢慢补充。
2) 如果想要具备比较充足的准备之后再来学PDE的话，建议学过基本的实分析，复分析，泛函分析以及基本的ODE之后再开始学PDE（实际上很多学校的课程安排差不多就是这个顺序），关于这部分教材的选择也比较自由，因为需要用到的基本上也都是这些课程比较核心的基础部分，如果有条件的话学点基本的变分方法，基本的Sobolev空间也可以（这些内容很多讲的多一点的泛函分析教材里都会涉及，也有一些专门的教材，当然更建议在学PDE的过程中学这些东西）
3) 我自己接触到的要学PDE的人基本上都是学过一些实分析和泛函分析的，所以1）说明没有实例支持，不过有一点是可以肯定的，很多人是在学PDE的过程中才真正的对泛函分析这样的课程比较有感觉的。 - 我个人认为的比较好的学习安排
1) 最好还是要学一些古典的PDE理论的，学这些是真的只需要线代和微积分就够了的。我个人目前比较推荐的教材是
A. K. Nandakumaran & P. S. Datti（Cambridge–IISc Series） Partial Differential Equations Classical Theory with a Modern Touch，2020.他们还写过ODE的书可以配合食用(非必要)
PDE这个学科在20世纪的时候发生了很大的改变，特别是自Leray关于Navier-Stokes方程的著名工作[1]之后（也包括同时期泛函分析这一学科的发展，Sobolev的工作，Schwartz的分布理论的出现等等），绝大多数的本科PDE课程都是只会涉及到古典的PDE理论的(也就是十九世纪之前)，这本书如标题所言，在介绍古典理论的时候，尽可能的为读者描绘一下现代理论的样子，算是一个比较好的尝试。其实古典的理论绝大多数书都是讲的大同小异，就像我上面回答中所说的随便选一本拿来看都没太大问题。我之所以比较推荐这本书一方面是因为作者想尽可能的消除从古典理论过度到比较现代的理论之间的‘Gap’的想法，另一方面是因为个人很喜欢，此书中对一阶PDE的处理，除了基本的特征线法之外，你还能接触两类非常重要的两类一阶方程：Hamilton–Jacobi和守恒律方程，而这并不需要费太多的功夫！个人觉得这部分写的是要比Evans或者F.John书中更友好的。我之所以提关于一阶方程的这部分，还有一个原因，很多国内的PDE教材关于这一部分写的都很简略，我记得我在一开始上PDE课的时候，我们直接就没讲过这些东西。最后关于一阶方程的这部分一个更为丰富一点的参考是Sandro Salsa的书第四章和第11章（个人觉得这个书比Evans更适合自学的人）也很推荐在这个阶段辅以韩青老师的GSM120.
2) 再学个一些古典理论之后，PDE这门课基本上就画风大变了，因为你不再学着如何解方程了。一般的研究生阶段PDE课程(请忽略掉研究生阶段这个定语)，差不多就是选一个切入点来讲基于弱解这个概念的线性方程理论了。首先是要理解所谓的弱导数、弱解以及Sobolev空间的概念了。关于这些Evans的第五章以及Salsa的第四章和第六章算是一个比较短的介绍。关于如何开始真正的学习这些东西，我个人比较推荐的是Alberto Valli的书A Compact Course on Linear PDEs，2021
和Evans以及Salsa这本书也是以椭圆方程为切入点的(实际上，Valli在前言中有写他当时上课所用的主要参考书就是这两本)。这本书只有两百多页，由于细节很丰富，非常适合自学使用，如果用来上课的话或许还能在补充一点内容组成一学期的课程。这本书有一点对自学的人非常好，即便是对于一个完全没怎么接触过PDE的人拿着本书来看也不会有太大的困难。比如作者很贴心的在书中直接写了一章来介绍有限维空间和无限维空间的区别，很贴心地手把手教你怎么证Lax–Milgram等等。更关键的是书中包含了大量的motivation的东西。在最开始引入弱解的概念的时候，用最简单方程对比了古典的方法和基于weak formula的方法的主要区别，让你很容易的感受到，现代分析对于PDE这个学科带来的改变。再比如我遇到过很多人搞不清楚一致椭圆条件和系数矩阵正定到底是什么关系的人（虽然这只是基本的线性代数而已），在习题中作者也很好的引导你理解了这个概念。此书可以说是我见过的最好的现代PDE入门书了！(入门也就意味着，有很多东西是没有涉及到的)这本书主要是以线性椭圆方程为主后面关于抛物方程和双曲方程的处理也是基于前面对于椭圆方程的分析。在读过此书的基础上，接下来个人比较倾向的选择是
伍卓群先生[2]最开始是做ODE研究的，后来吉林大学数学系决定建立偏微分方程这一学科，开始转向PDE的研究，为我国PDE事业的发展做出了很多重要的贡献，伍先生与其学生合著的这本研究生教材，将椭圆型方程和抛物型方程这两类偏微分方程的重要分支融为一体, 系统地介绍了这两类方程的基本理论和基本方法, 既突出了两者共性, 又揭示了各自的特性, 是偏微分方程的优秀的入门书籍之一。在读这本书的过程中辅以Han-Lin，Gilbbarg-Trudinger，Friedman，Lieberman，Ladyzenskaja，以及陈亚哲老师、沈尧天老师的书都是不错的选择。
关于双曲型方程，个人认为最好的入门书是Serge Alinhac的 Hyperbolic partial differential equations
再学过这个之后可以去看看Christopher D. Sogge的Lectures on Nonlinear Wave equations
以及Reinhard Racke的Lectures on Nonlinear Evolution Equations
想学守恒律的话可以参考Joel Smoller的书或者 Constantine M. Dafermos也行
如果对dispersive equations感兴趣，可以去翻翻 Felipe Linares, Gustavo Ponce的Introduction to Nonlinear Dispersive Equations
以及陶哲轩的
3) 学过一些比较基本的PDE之后，就会发现PDE这个领域是很细分的，现代PDE的研究已经催生处理很多细分的方向，接下来就是自由探索的阶段了，最后附上两篇综述以供参考
3. 送给能看到最后的人一个小彩蛋吧，如果学过一段时间PDE了，想检验一下自己学的怎么样，不如去读读Leray著名的工作[1] ，鉴于原文是法语，下面提供一个更易读的版本
作者是Wojciech S. Ożański, Benjamin C. Pooley在此引用一下他们的摘要部分
This article offers a modern perspective which exposes the many contributions of Leray in his celebrated work on the Navier--Stokes equations from 1934. Although the importance of his work is widely acknowledged, the precise contents of his paper are perhaps less well known. The purpose of this article is to fill this gap.
此文收录在CHARLES L. FEFFERMAN，JAMES C. ROBINSON & JOS ´E L. RODRIGO主编的Partial Differential Equations in Fluid Mechanics (London Mathematical Society Lecture Note Series: 452)如果对Navier-Stokes方程的定性理论感兴趣的话强烈推荐去读读
[Cambridge Studies in Advanced Mathematics 157] James C. Robinson, José L. Rodrigo, Witold Sadowski - The Three-Dimensional Navier-Stokes Equations_ Classical Theory (2016, Cambridge University Press)
4. 暂且就止步于此，以后有空会补充一个更完整的版本，希望对想要学习PDE的你有所帮助。
参考
- ^abLeray, J.: Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace. Acta Math. 63, 193– 248 (1934) https://link.springer.com/article/10.1007/BF02547354
- ^伍卓群先生简介 https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-JAXK201912001.htm
英语好的确实可以从Evans的起步。
但是既然题主问如何从头学起，我就按照老老实实从基础学起的样子讲讲。以下内容不适用于天才少年，你们可能觉得太容易。。。
大一的分析和代数加上基础的常微就可以学本科的数学物理方程了。（学过实变更好没学过也无所谓）。
数学物理方程，数学系这课其实就是一个初级的pde课程。国内最常见的教材就是谷超豪或者姜礼尚的吧。其实教材都差不多，之前我没觉得有啥不好。我选用的是谷超豪的。我们学校只有三学分，勉强能讲完前四章。这个课参考书我一般推荐看Evans的第一章和第三章前三节。因为这些内容基本上是涵盖了国内本科主流教材的范围。
进入研究生学习pde就有必要把泛函和实变学完了。并且实变一定要学完Lp空间，否则对pde来说没有意义。
泛函我一般推荐Brezis的泛函分析，有中译本；张恭庆的上册也不错。这两本书对专门做pde的人比较对口。
实变国内的主流教材其实都够用，内容上区别不大。觉得不够我推荐一本Lieb和Loss的《分析学》，内容非常全，几乎可以说是专为pde编的书。
在这以后念Evans基本没问题了。当然除非你理想特远大，否则研一pde只学完前两部分就差不多了。基本的线性pde都包括了。
在之后就看你的方向选择了，第三部分都是专题性质的。。。除非闲着没事，没必要都看。
当然这书限于篇幅有些经典内容是缺少的，比如Schauder估计神马的。但一般读到这地步，你自然就该知道还有哪些你需要的东西该学了。
以上。
------------昏割线-------------
以前看过有很多人真是一言不合就开始推荐Rudin。。。我觉得Rudin的泛函分析和实分析与复分析并不太适合给做方程的人学。。。这么多人推荐Rudin，你们真的看过么？
-----------再次昏割线-----------
评论里有人提到这本书
其实我也有一本影印版的。看起来是挺适合本科生的。。。
但素！
这微妙的中英混编是个神马意思？？？编辑脑袋让驴踢了么。。。
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