历史上，近世代数中环和域的概念是怎样逐步建立的？
好的，咱们就来好好聊聊近世代数里那两个闪耀的概念——环和域，它们是怎么一点一点地被人们琢磨出来的。这可不是一蹴而就的事情，而是数学家们在解决一个个具体问题的过程中，慢慢提炼、抽象出来的。
1. 起源：数字的世界与方程的诱惑
一切的开端，往往都和我们熟悉的数字打交道。在人类文明的早期，人们就已经掌握了加减乘除这些基本运算。但随着数学的发展，尤其是对代数方程的研究，一些新的、更深层次的问题开始浮现。
整数的性质： 最初，数学家们关注的是整数集 $Z$（... 2, 1, 0, 1, 2 ...）。他们发现整数在加法和乘法下表现出一些有趣的规律：
封闭性： 两个整数相加还是整数，两个整数相乘还是整数。
交换性： $a+b = b+a$, $a imes b = b imes a$
结合性： $(a+b)+c = a+(b+c)$, $(a imes b) imes c = a imes (b imes c)$
分配律： $a imes (b+c) = a imes b + a imes c$
单位元： 加法的单位元是0（$a+0=a$），乘法的单位元是1（$a imes 1 = a$）。
逆元： 每个整数 $a$ 都有加法逆元 $a$（$a + (a) = 0$）。但不是所有整数都有乘法逆元（例如，2的乘法逆元是1/2，但1/2不是整数）。
这些性质，在当时可能只是被当作理所当然的观察。但后来，这些“理所当然”就成了构建抽象结构的基石。
代数方程的挑战： 当数学家们开始研究更复杂的代数方程时，比如 $x^2 2 = 0$，他们发现方程的解 $sqrt{2}$ 和 $sqrt{2}$ 不在整数集里。为了容纳这些解，他们引入了有理数集 $Q$。在有理数集里，不仅加减乘法有上面的性质，除法（除了除以0）也变得有规律了。任何一个非零有理数都有乘法逆元。
这就引出了“域”的概念的雏形。一个集合，如果在这个集合里，加法和乘法都遵循我们熟知的“好”的规则，并且非零元素都有乘法逆元，那么它就可以被看作一个“干净”的、可以进行各种算术运算的场所。
2. 从数论到抽象代数：理论的萌芽
将近几个世纪以来，数论的发展为这些抽象概念的出现奠定了基础。
高斯与代数数论： 卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）在研究二次互反律等数论问题时，深入研究了形如 $a+bsqrt{d}$ 的数（其中 $d$ 是一个无平方因子的整数）。他发现，这些数在加法和乘法下也表现出很多整数的性质，并且在某些情况下，可以类比整数的“唯一因子分解定理”（算术基本定理），在这些扩展的数域中找到类似的概念。高斯的工作，特别是他关于代数整数的思想，已经开始触及到更抽象的代数结构。他遇到的不是零散的性质，而是整个系统性的行为。
库默尔与理想： 在尝试证明费马大定理时，恩斯特·库默尔（Ernst Kummer）遇到了麻烦。他发现，在某些数域中，算术基本定理失效了，例如在 $mathbb{Z}[zeta_{23}]$（其中 $zeta_{23}$ 是23次单位根）中，一些元素无法唯一地分解成不可约元素的乘积。为了解决这个问题，库默尔引入了理想数的概念。他发现，虽然单个的数不行，但可以定义一种“理想”的因子，来恢复因数分解的唯一性。例如，对于 $x^31=0$ 的一些特殊情况，他发现存在着某些“理想”的数因子。库默尔的“理想数”是他为了解决具体问题而构造的辅助概念，后来迪里赫利和克罗内克进一步发展了这一思想。
3. 形式化的努力：结构性的抽象
到了19世纪末20世纪初，数学家们开始更加系统地认识到，很多不同数学对象背后有着共同的结构。将这些共同的结构抽象出来，可以让我们用统一的理论去研究它们。
克罗内克与代数数域： 利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）在研究代数方程的根时，也提出了将方程的根看作整体的“域”的思想。他认为，一个多项式的所有根构成了一个代数上的整体，这个整体是封闭的，并且具有良好的运算性质。他的工作与戴德金对代数数域的研究相结合，对域的概念形成起到了关键作用。
戴德金与环和域： 理查德·戴德金（Richard Dedekind）对抽象代数的发展贡献尤为巨大。
理想： 受到库默尔工作的启发，戴德金在1870年代的工作中，将库默尔的“理想数”概念形式化，并将其推广到了更一般的整数环上。他定义了理想（ideal），作为环的一个子集，它对加法封闭，并且可以被环中的任何元素“吸收”（即环中的元素乘以理想中的元素，结果仍在理想中）。他发现，在戴德金域（一种特殊的整环），每个理想都可以唯一地表示为有限个主理想（由单个元素生成的理想）的乘积。这就是后来我们所说的理想论的基础，它在数论和代数几何中都至关重要。
域（域论）： 在他的《连续性与有理数》等著作中，戴德金也明确地给出了域（field）的现代定义。他将域看作一个集合，在这个集合中，加法和乘法是满足特定公理（封闭性、交换性、结合性、分配律、单位元、加法逆元、乘法逆元）的运算。他研究的重点是代数数域，即有理数域的有限扩张。他清晰地定义了域的结构，并深入研究了其性质。
希尔伯特与抽象代数： 大卫·希尔伯特（David Hilbert）进一步将抽象代数的思想发扬光大。他提出了公理化方法的理念，强调数学理论的结构和逻辑一致性。他的工作推动了对理想论的进一步发展，并引入了“模”（module）的概念，这是环和域之间的中间结构。他提出的希尔伯特基定理，是关于多项式环中理想性质的一个基本结果，对代数几何产生了深远影响。
4. 明确定义：环与域的诞生
到了20世纪初，数学家们对代数结构的理解已经相当成熟。环和域的概念逐渐清晰化，并得到了精确的定义。
环的形成： 最初，人们关注的是整数集 $Z$ 和代数整数环。这些结构都具有加法和乘法，并且满足特定的性质。随着研究的深入，数学家们发现，像多项式环 $R[x]$（其中 $R$ 是一个域）以及更一般的代数整数环，都具有类似的结构。于是，“环”（ring）这一概念被抽象出来，定义为一个集合，配备了两种二元运算（通常称为加法和乘积），使得它们满足特定的公理：
1. 在加法下构成一个交换群（封闭性、结合性、单位元0、逆元）。
2. 乘法满足结合律和分配律。
3. 乘法有单位元1（这个性质在某些定义中是可选项，但非常常见）。
需要注意的是，早期的环定义可能不要求乘法满足交换律（例如矩阵环就不是交换的），但后来大家发现交换环（commutatie ring）的情况尤其重要和常见，因此在很多基础教材中，环的定义就已经包含了乘法交换律，而将非交换环作为一个更一般的概念来研究。整数集 $Z$ 就是一个典型的交换环。
域的独立与推广： 域的概念，可以看作是“可除环”或“体”的特殊情况。正如前面提到的，有理数集 $Q$ 和实数集 $R$ 是域的例子。随着代数数论的发展，人们开始研究数域的扩张，这就需要一个能够进行加减乘除（除以非零元素）的结构。域的定义相对更严格：
1. 在加法下构成一个交换群。
2. 所有非零元素在乘法下构成一个交换群。
3. 乘法对加法满足分配律。
这个定义清晰地刻画了我们熟悉的有理数、实数、复数等数学对象，它们都是域。
总结一下这个演进过程，大概是这样的脉络：
1. 从具体到抽象： 从研究整数、有理数、代数数这些具体的数集及其运算性质出发。
2. 发现共性： 认识到不同数集在加法和乘法下都遵循一套共同的“规则”（公理的雏形）。
3. 解决问题驱动： 为了解决代数方程无解、因数分解不唯一等问题，引入新的数系或新的概念（如理想）。
4. 形式化与公理化： 通过戴德金、希尔伯特等数学家，将这些性质和概念进行严谨的数学定义和公理化。
5. 结构性认知： 将环和域视为具有特定结构的代数系统，脱离了对具体数字的依赖，从而可以研究更广泛的数学对象。
这个过程，充分体现了数学的魅力——从具体的问题中提炼出抽象的规律，再用这些抽象的规律去解决更广泛、更深层次的问题。环和域的建立，是抽象代数发展史上的里程碑，为我们理解数学结构打开了全新的视角。
1. 起源：数字的世界与方程的诱惑
一切的开端，往往都和我们熟悉的数字打交道。在人类文明的早期，人们就已经掌握了加减乘除这些基本运算。但随着数学的发展，尤其是对代数方程的研究，一些新的、更深层次的问题开始浮现。
整数的性质： 最初，数学家们关注的是整数集 $Z$（... 2, 1, 0, 1, 2 ...）。他们发现整数在加法和乘法下表现出一些有趣的规律：
封闭性： 两个整数相加还是整数，两个整数相乘还是整数。
交换性： $a+b = b+a$, $a imes b = b imes a$
结合性： $(a+b)+c = a+(b+c)$, $(a imes b) imes c = a imes (b imes c)$
分配律： $a imes (b+c) = a imes b + a imes c$
单位元： 加法的单位元是0（$a+0=a$），乘法的单位元是1（$a imes 1 = a$）。
逆元： 每个整数 $a$ 都有加法逆元 $a$（$a + (a) = 0$）。但不是所有整数都有乘法逆元（例如，2的乘法逆元是1/2，但1/2不是整数）。
这些性质，在当时可能只是被当作理所当然的观察。但后来，这些“理所当然”就成了构建抽象结构的基石。
代数方程的挑战： 当数学家们开始研究更复杂的代数方程时，比如 $x^2 2 = 0$，他们发现方程的解 $sqrt{2}$ 和 $sqrt{2}$ 不在整数集里。为了容纳这些解，他们引入了有理数集 $Q$。在有理数集里，不仅加减乘法有上面的性质，除法（除了除以0）也变得有规律了。任何一个非零有理数都有乘法逆元。
这就引出了“域”的概念的雏形。一个集合，如果在这个集合里，加法和乘法都遵循我们熟知的“好”的规则，并且非零元素都有乘法逆元，那么它就可以被看作一个“干净”的、可以进行各种算术运算的场所。
2. 从数论到抽象代数：理论的萌芽
将近几个世纪以来，数论的发展为这些抽象概念的出现奠定了基础。
高斯与代数数论： 卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）在研究二次互反律等数论问题时，深入研究了形如 $a+bsqrt{d}$ 的数（其中 $d$ 是一个无平方因子的整数）。他发现，这些数在加法和乘法下也表现出很多整数的性质，并且在某些情况下，可以类比整数的“唯一因子分解定理”（算术基本定理），在这些扩展的数域中找到类似的概念。高斯的工作，特别是他关于代数整数的思想，已经开始触及到更抽象的代数结构。他遇到的不是零散的性质，而是整个系统性的行为。
库默尔与理想： 在尝试证明费马大定理时，恩斯特·库默尔（Ernst Kummer）遇到了麻烦。他发现，在某些数域中，算术基本定理失效了，例如在 $mathbb{Z}[zeta_{23}]$（其中 $zeta_{23}$ 是23次单位根）中，一些元素无法唯一地分解成不可约元素的乘积。为了解决这个问题，库默尔引入了理想数的概念。他发现，虽然单个的数不行，但可以定义一种“理想”的因子，来恢复因数分解的唯一性。例如，对于 $x^31=0$ 的一些特殊情况，他发现存在着某些“理想”的数因子。库默尔的“理想数”是他为了解决具体问题而构造的辅助概念，后来迪里赫利和克罗内克进一步发展了这一思想。
3. 形式化的努力：结构性的抽象
到了19世纪末20世纪初，数学家们开始更加系统地认识到，很多不同数学对象背后有着共同的结构。将这些共同的结构抽象出来，可以让我们用统一的理论去研究它们。
克罗内克与代数数域： 利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）在研究代数方程的根时，也提出了将方程的根看作整体的“域”的思想。他认为，一个多项式的所有根构成了一个代数上的整体，这个整体是封闭的，并且具有良好的运算性质。他的工作与戴德金对代数数域的研究相结合，对域的概念形成起到了关键作用。
戴德金与环和域： 理查德·戴德金（Richard Dedekind）对抽象代数的发展贡献尤为巨大。
理想： 受到库默尔工作的启发，戴德金在1870年代的工作中，将库默尔的“理想数”概念形式化，并将其推广到了更一般的整数环上。他定义了理想（ideal），作为环的一个子集，它对加法封闭，并且可以被环中的任何元素“吸收”（即环中的元素乘以理想中的元素，结果仍在理想中）。他发现，在戴德金域（一种特殊的整环），每个理想都可以唯一地表示为有限个主理想（由单个元素生成的理想）的乘积。这就是后来我们所说的理想论的基础，它在数论和代数几何中都至关重要。
域（域论）： 在他的《连续性与有理数》等著作中，戴德金也明确地给出了域（field）的现代定义。他将域看作一个集合，在这个集合中，加法和乘法是满足特定公理（封闭性、交换性、结合性、分配律、单位元、加法逆元、乘法逆元）的运算。他研究的重点是代数数域，即有理数域的有限扩张。他清晰地定义了域的结构，并深入研究了其性质。
希尔伯特与抽象代数： 大卫·希尔伯特（David Hilbert）进一步将抽象代数的思想发扬光大。他提出了公理化方法的理念，强调数学理论的结构和逻辑一致性。他的工作推动了对理想论的进一步发展，并引入了“模”（module）的概念，这是环和域之间的中间结构。他提出的希尔伯特基定理，是关于多项式环中理想性质的一个基本结果，对代数几何产生了深远影响。
4. 明确定义：环与域的诞生
到了20世纪初，数学家们对代数结构的理解已经相当成熟。环和域的概念逐渐清晰化，并得到了精确的定义。
环的形成： 最初，人们关注的是整数集 $Z$ 和代数整数环。这些结构都具有加法和乘法，并且满足特定的性质。随着研究的深入，数学家们发现，像多项式环 $R[x]$（其中 $R$ 是一个域）以及更一般的代数整数环，都具有类似的结构。于是，“环”（ring）这一概念被抽象出来，定义为一个集合，配备了两种二元运算（通常称为加法和乘积），使得它们满足特定的公理：
1. 在加法下构成一个交换群（封闭性、结合性、单位元0、逆元）。
2. 乘法满足结合律和分配律。
3. 乘法有单位元1（这个性质在某些定义中是可选项，但非常常见）。
需要注意的是，早期的环定义可能不要求乘法满足交换律（例如矩阵环就不是交换的），但后来大家发现交换环（commutatie ring）的情况尤其重要和常见，因此在很多基础教材中，环的定义就已经包含了乘法交换律，而将非交换环作为一个更一般的概念来研究。整数集 $Z$ 就是一个典型的交换环。
域的独立与推广： 域的概念，可以看作是“可除环”或“体”的特殊情况。正如前面提到的，有理数集 $Q$ 和实数集 $R$ 是域的例子。随着代数数论的发展，人们开始研究数域的扩张，这就需要一个能够进行加减乘除（除以非零元素）的结构。域的定义相对更严格：
1. 在加法下构成一个交换群。
2. 所有非零元素在乘法下构成一个交换群。
3. 乘法对加法满足分配律。
这个定义清晰地刻画了我们熟悉的有理数、实数、复数等数学对象，它们都是域。
总结一下这个演进过程，大概是这样的脉络：
1. 从具体到抽象： 从研究整数、有理数、代数数这些具体的数集及其运算性质出发。
2. 发现共性： 认识到不同数集在加法和乘法下都遵循一套共同的“规则”（公理的雏形）。
3. 解决问题驱动： 为了解决代数方程无解、因数分解不唯一等问题，引入新的数系或新的概念（如理想）。
4. 形式化与公理化： 通过戴德金、希尔伯特等数学家，将这些性质和概念进行严谨的数学定义和公理化。
5. 结构性认知： 将环和域视为具有特定结构的代数系统，脱离了对具体数字的依赖，从而可以研究更广泛的数学对象。
这个过程，充分体现了数学的魅力——从具体的问题中提炼出抽象的规律，再用这些抽象的规律去解决更广泛、更深层次的问题。环和域的建立，是抽象代数发展史上的里程碑，为我们理解数学结构打开了全新的视角。
网友意见
关于group的一些例子可以追随到18世纪Euler关于congruence的研究（mod n）。在此之后，Lagrange、Gauss、Cauthy等数学家研究equation（或polynomial）的解的性质的时候也相继出现，这时，这些group以permutation group为主。Cauthy在19世纪前期已经给出了permutation group的定义，也发现了permutation group和equation解之间有一些关系，但是它并没有在一般性的建立这种关系。在这之后，Galois将permutation group和equation的解联系在一起，创立了人们熟知的Galois theory。这也是19世纪，group theory发展中最重要的结果之一。
ring概念的形成大概在19世纪中期（1840左右），差不多是group theory蓬勃发展的年代。最一开始，人们是在研究几何问题的时候发现一些几何结构可以理解为polynomial的解的集合。由此提出了一个非常代数思想来解决几何问题（也是代数几何的由来）。由Dedekind等一系列数学家在此基础上发展代数方法。但是他们当时并没有明确的定义ring的一般axiom，只是在研究polynomial（或者说polynomial ring）。一直到20世纪初（1900-1920），由Fraenkel最早提出了ring的一般定义并由Noether在此之后完善成现在教科书中的版本。
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